ISLID MÉTODOS DE QUANTATIVO 1

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MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Função afim e função quadrática
Valdeci da Silva Araújo
Unidade de Ensino: Unidade 1
Competência da 
Unidade de Ensino:
Compreender relações e funções como subconjuntos de um produto
cartesiano; Identificar o domínio e a imagem de uma função, bem como
representá-la graficamente visando sua aplicação a problemas práticos.
Resumo: Nessa unidade você estudará noções de conjuntos, representação noplano cartesiano, função afim e função quadrática.
Palavras-chave: Função afim; Função quadrática; Sinal; Ponto de mínimo; Ponto demáximo
Título da tele aula: Função afim e função quadrática
Tele aula nº: 01
Contextualização
A função afim e a função quadrática são duas classes de funções muito
utilizadas não somente na Matemática, mas também na Física, na Economia,
na Engenharia, na Administração etc.
Matemática básica: operações, expressões e noções primitivas como
conjunto, elemento e pertinência.
Imagine que você seja o dono de uma empresa que fabrica bonés. Para
melhor analisar os custos e lucros você decidiu estudar esses números
utilizando funções e gráficos matemáticos, buscando uma melhor
organização e maiores lucros, bem como um planejamento de expansão da
empresa.
Conceitos
Função
Lei de formação e gráfico de uma função
Considere que em determinado posto de combustíveis o preço do etanol seja
de R$2,40 o litro. Qual é a lei de formação da função que relaciona a
quantidade de etanol abastecida (x) e o valor a pagar v(x)?
• Lei de formação v(x) = 2,40 . x
2,40 x 0 = 0,00
2,40 x 1 = 2,40
2,40 x 2 = 4,80
2,40 x 3 = 7,20
Generalização
Uma empresa de táxi cobra pela corrida um valor fixo de R$4,85 (bandeirada)
mais um valor variável de R$2,90 por quilômetro rodado. Construa a lei de
formação da função que retorna o preço f(x) para uma distância x percorrida.
Resolução
• Lei de formação = 4,85 + 2,90 . X
Função relacionada ao preço e a quilometragem
Resolução da SP
SP01
Função: lucro, receita 
e custo
Vamos imaginar que o preço de venda dos bonés seja de R$30,00 por
unidade. Qual a receita obtida com a venda de 10 unidades?
Vamos supor que, a partir de balanços financeiros de anos anteriores,
chegou-se à conclusão de que, mensalmente, o custo com a produção é
composto por um custo fixo de R$9.000,00 mais um custo variável de
R$20,00 por boné.
Nesse caso, com a produção e venda de 750 bonés em um mês, tem-se lucro
ou prejuízo?
E se forem produzidos e comercializados 1200 bonés?
Lembre-se de que o preço de venda de cada boné e R$ 30,00.
• Se nenhum boné for vendido, não ha receita;
0 . R$30,00 = R$0,00 
• Se 1 boné for vendido, a receita é R$ 30,00;
1 . R$30,00 = R$30,00 
• Se 2 bonés forem vendidos, a receita é R$ 60,00;
2 . R$30,00 = R$60,00
Se x bonés forem vendidos, a receita é 
x . R$30,00 = R$30,00 . x 
Com a venda de 10 bonés: 10 x R$ 30,00 = R$ 300,00
Outro questionamento feito foi em relação ao lucro, mas, para isso,
precisamos determinar a função custo, traduzindo matematicamente a
informação:
“o custo com a produção é composto por um custo fixo de R$ 9.000,00 mais
um custo variável de R$ 20,00 por boné”.
Função do custo: C(x) = 9.000 + 20 . x
Função da receita: R(x) = 30 . x
Lucro/prejuízo = receita – custo
L(x) = R(x) – C(x)
Preço de Venda
Fixo Variável
750 bonés
R(x) = 30 . x = 30 . 750 = 22.500 
C(x) = 9.000 + 20 . x = 9.000 + 20 . 750 = 24.000 
L(x) = 22.500 – 24.000 = – 1.500
1200 bonés
R(x) = 30 . x = 30 . 1.200 = 36.000
C(x) = 9.000 + 20 . x = 9.000 + 20 . 1.200 = 33.000 
L(x) = 36.000 – 33.000 = 3.000
(Prejuízo)
(Lucro)
L(x) = R (x) – C (x)
Lucro = Receita – Custo
Conceitos
Função afim 
Uma função afim é uma função : → cuja lei de formação é ( ) =
+ , em que , não nulo, é denominado coeficiente angular e
é denominado coeficiente linear.
A representação gráfica de uma função afim sempre é uma reta
a = Coeficiente Angular
b = Coeficiente Linear
Esboce o gráfico da função f(x) = 3x – 2
Zero e sinal da função afim
O zero de uma função f(x) é o valor x0 tal que f(x0) = 0.
Ex.: Dada a função f(x) = 5x – 10, determine:
O zero;
Os valores de x para os quais f(x) > 0;
Os valores de x para os quais f(x)<0.
Crescente Decrescente
Ponto 0
x = 2
Resolução da SP
SP02
Calcular: lucro ou 
prejuízo
Você deve fazer uma apresentação contendo:
a) Um gráfico com os lucros/prejuízos para cada quantidade produzida.
b) Determinar intervalos de produção para os quais há lucro ou prejuízo.
c) O lucro do trimestre com o aumento da produção dos atuais 600 bonés
para 1200 bonés ao mês, com acréscimo de produção de 200 bonés
mensais.
ATUAL TRIMESTRE
600 + 200 800 + 200 1000 + 200 1200
Primeiramente, para esboçar um gráfico com o lucro/prejuízo, é necessário
construir a função lucro L(x) = R(x) – C(x)
Dado R(x) = 30x e C(x) = 9000 + 20x
L(x) = 30x – (9000 + 20x) =
L(x) = 30x – 9000 – 20x =
L(x) = 10x – 9000
Fixo Variável
Função do Lucro
L(x) = 10x – 9000 Função do Lucro
Gráfico de L(x) = 10x – 9000 
Determinando x: 
L(x) = 0
L(x) = 10x – 9000
L(x) = 10x – 9000 = 0
10x = 9000
x = 9000/10
x = 900
Crescente 
a = 10
L(x) = 10x – 9000
L(800) + L(1000) + L(1200)
Temos:
= (10 . 800 – 9000) + (10 . 1000 – 9000) + (10 . 1200 – 9000)
= (8000 – 9000) + ( 10000 – 9000) + (12000 – 9000)
= – 1000 + 1000 + 3000
= 3000
Lucro no Trimestre: R$ 3.000,00
TRIMESTRE
Interação
Momento de 
Interação
Gráficos e Tabelas
Como a construção de gráficos, tabelas e o cálculo de medidas com
base em uma coleção de dados pode colaborar com o desempenho
de uma empresa?
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e contribua no nosso mural!
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O valor pago por uma corrida de táxi é dado pela lei de formação
P = 6 + 2,5K
• Sabendo que uma pessoa ao final da corrida pagou R$ 41,00, quantos
quilômetros percorreu o taxi?
• Se o gasto for de R$ 68,50. Quantos KM percorreu?
Resolução:
P = 6 + 2,5K Gasto: R$ 41,00
P = R$ 6,00 + R$ 2,50 K 
R$ 41,00 = R$ 6,00 + R$ 2,50 K
R$ 41,00 – R$ 6,00 = R$ 2,50 K
R$ 35,00 = R$ 2,50 K
K = R$ 35,00 / R$ 2,50
K = 14 RESPOSTA: 14 KM
P = 6 + 2,5 K
68,50 = 6 + 2,5 K
68,50 – 6 = 2,5 K
62,50 = 2,5 K
K = 62,50 / 2,5
K = 25
RESPOSTA 25 KM
Conceitos
Função quadrática 
Uma função quadrática é aquela cuja lei de formação é 
( )= ² + + com ≠ , os valores a, b e c são denominados 
coeficientes e ² é o termo dominante.
A representação gráfica de uma função quadrática é uma curva plana
denominada parábola.
Raízes de uma função quadrática
Coeficientes de uma função quadrática
( )= ² + + a b c
x’ e x”
Esboce o gráfico da função: f(x) = x² – 8x + 12
Sabendo que a = 1; b = – 8; c = 12 temos
Esboce o gráfico da função: f(x) = x² – 8x + 12
Vértice
Resolução da SP
SP03 
Calcular área futura
a) Que função relaciona a medida x e a área total do galpão, incluindo a
atual? E qual função relaciona x com o valor do investimento? Quais os
gráficos dessas funções?
b) Qual medida x proporcionará uma área total de 750 m²?
A área de um retângulo é obtida multiplicando as medidas de dois lados
consecutivos.
No caso da área atual, a medida 300 ² é obtida multiplicando 20 por
15 . 
Para calcular a área futura, multiplicamos (20 + ) por (15 + ) .
Logo, a função que relaciona a medida , em metros, e a área futura em
metros quadrados é:
( ) = (20 + ) . (15 + )
= 20 . 15 + .15 + 20 . + . 
= 300 + 35 + ² Função da área
A função investimento I( ) é obtida multiplicando 725,85 (valor do metro
quadrado) pela área que será acrescida.
( ) = ( ( ) − 300) . 725,85 =
=( ² + 35 + 300 − 300) . 725,85 =
= 725,85 ² + 25404,75
Subtrai 300 da área pois só vamos 
pagar o que foi construído a +
Conceitos
Sinal, mínimo e 
máximo de uma 
função quadrática 
Seja ( ) = ² + + uma função quadrática. Se:
• > 0, o gráfico tem concavidade voltada para cima, e o vértice é seuponto mais baixo;
• < 0, o gráfico tem concavidade voltada para baixo, e o vértice é seu
ponto mais alto.
Vértice
Vértice
Dada a função ( ) = ² + 6 + 5, faça o estudo dos sinais e determine se
f possui um valor máximo ou um mínimo e especifique esse valor.
( ) = ² + 6 + 5 
Resolução da SP
SP04
Calcular preço de 
venda
Seu sócio quer agora recuperar parte do investimento aumentando o preço
de venda dos bonés. Atualmente, são produzidos e comercializados 2400
bonés por mês, vendidos por R$30,00 cada.
Para que tudo ocorra de modo planejado, ele se adiantou e fez uma pesquisa
junto aos consumidores estimando que para cada reais acrescidos no preço
de cada boné são vendidas (2400 - 60 ) unidades por mês.
Qual deve ser o preço de cada boné 
para que a receita seja 
a maior possível?
Considere que o preço do boné, que atualmente é de R$30,00, seja
acrescido em reais. O novo preço será: 30,00 +
Com o boné nessa faixa de preço, são vendidas (2400 – 60 ) unidades.
Lembre-se de que a função receita é obtida multiplicando a quantidade
vendida pelo preço, logo:
( ) = (2400 − 60 ) . (30 + )
= (2400 − 60 ) 30 + (2400 − 60 ) 
= 72000 − 1800 + 2400 − 60 ²
= - 60 ² + 600 + 72000
Portanto, R(x) = – 60 ² + 600 + 72000
temos a = – 60 < 0
Como o preço atual é R$ 30,00, o novo valor será R$ 35,00
Vende: 2400 x 30 = 72.000 
Função da quantidade vendida
(2400 – 60 . x )
2400 – 60 . 5
2400 – 300 = 2100
2.100 x 35 = 73.500
Interação
Momento de 
Interação
O lucro de uma empresa na venda de determinado produto é dado pela
função:
( ) = −4 ² + 100 − 80,
onde representa o número de produtos vendidos e ( ) é o lucro em reais.
Determine a quantidade de produtos que deve ser vendida para se obter o
lucro máximo.
Resolução: 
RESPOSTA: 12,5
a = – 4 b = 100 c = – 80 
Lucro em Reais
N° de produtos vendidos
Conceitos
Recapitulando
Função Afim;
Função Quadrática;
Máximo e mínimo de uma 
Função Quadrática