Aritmética e Teoria dos Números Prova Nº I E II Objetiva

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Podemos dividir o conjunto dos números inteiros em outros subconjuntos, utilizando para isso alguma forma de classificação. Uma forma de realizar isso é separando eles pela paridade, ou seja, se ele é par ou ímpar. Após feito isso, criamos dois conjuntos de números que são ao mesmo tempo disjuntos, por não ter nenhum elemento comum. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Ao multiplicarmos dois números ímpares, o resultado é um número ímpar.
(    ) O zero não é considerado par nem ímpar, ou seja, é neutro.
(    ) Ao diminuir dois números ímpares, a solução pode ser ímpar.
(    ) Elevando ao quadrado um número par, obtemos um número par.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) F - V - F - F.
	
	b) V - F - F - V.
	
	c) V - F - V - V.
	
	d) V - F - V - F.
	 
	 
	2.
	É comum na matemática a utilização de símbolos para expressar operações, nomear algum objeto ou até mesmo para denotar uma fórmula. Um destes símbolos é o somatório, que de forma reduzida, generaliza por meio de um argumento o comportamento de uma sequência. Observe o somatório em anexo:
	
	
	a) F - V - F - F.
	
	b) V - F - V - F.
	
	c) F - F - V - V.
	
	d) V - F - V - V.
	3.
	Brincadeiras de adivinhação são comuns entre as pessoas e principalmente entre alunos e professores de matemática. Obviamente que para o professor, os problemas matemáticos não são restritos a adivinhações, mais sim em estabelecer um procedimento ou método para sua resolução. Acompanhe este pequeno desafio:
"Ache um múltiplo de 6 que deixa o mesmo resto quando dividido por 5 e 4".
É evidente que há infinitas soluções! Com base nesta pergunta, como uma possibilidade para a solução do problema, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) 342 é uma possível solução.
(    ) 306 é uma possível solução.
(    ) 242 é uma possível solução.
(    ) 282 é uma possível solução.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) V - F - V - F.
	
	b) F - V - V - F.
	
	c) V - V - F - V.
	
	d) V - F - F - V.
	4.
	Na elaboração da prova por indução, a primeira etapa da demonstração é a verificação para o primeiro número envolvido, no caso n = 1. Logo a seguir, supomos que a P(k) é verdadeira para n = k e, por último, provamos que é válida para k + 1. Sobre a primeira etapa para demonstrar a situação anexa, analise as opções a seguir:
	
	
	a) Somente a opção II está correta.
	
	b) Somente a opção IV está correta.
	
	c) Somente a opção I está correta.
	
	d) Somente a opção III está correta.
	5.
	Saber realizar uma demonstração é, para um professor de matemática, algo extremamente fundamental. Além de conhecer de onde surgem as coisas, desenvolve o raciocínio e a possibilidade em suas aulas, explanando isso com seus alunos. Você estudou alguns axiomas fundamentais da aritmética, em que alguns deles são:
? A1 - Soma e multiplicação bem definidas
? A2 - Comutatividades
? A3 - Associatividade
? A4 - Elemento Neutro
? A5 - Simétrico
? A6 - Distributiva
? D1 - Diferença de dois números.
Usando estas nomenclaturas, realizaremos uma demonstração a seguir, em que provaremos que se  - a + b = 0, então b = a.
Partindo de - a + b = 0,
I) então por A1 podemos somar + a em ambos os membros, obtemos (- a + b) + a = 0 + a
II) então por A3 na esquerda e A2 na direita, - a + (b + a) = a + 0
III) então por A2 na esquerda e na direita A4, - a + (a + b) = a
IV) então por A2 na esquerda, (- a + a) + b = a
V) então por A5 na esquerda, 0 + b = a
VI) então por A2 na esquerda, b + 0 = a
VII) então por A4 na esquerda, b = a, como queríamos demonstrar.
Analisando cada item do desenvolvimento da demonstração sobre o axioma utilizado, pois o processo de demonstração está correto, podemos afirmar que:
	
	a) Os itens I, II, III, IV, V e VII estão corretos.
	
	b) Os itens I, II, V, VI e VII estão corretos.
	
	c) Os itens I, II, III, V, VI e VII estão corretos.
	
	d) Os itens I, II, IV, V, VI e VII estão corretos.
	6.
	A tricotomia nos fornece uma relação muito forte no conjunto dos números inteiros. Diante deste conceito, surgem algumas propriedades para completar a relação de ordem nos números inteiros. Sobre as propriedades e as operações de ordem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Transitiva.
II- Antissimétrica.
III- Lei do Cancelamento.
(    ) 1 + 2 < 3 + 2   então  1 < 3
(    ) -1 < 3 e 3 < 5   então  -1 < 5
(    ) Se a menor ou igual a  b e b menor ou igual a  a então  a = b
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) II - I - III.
	
	b) III - I - II.
	
	c) III - II - I.
	
	d) I - II - III.
	7.
	Definimos o módulo de um número inteiro, representado por 'a', observando o seu valor. Caso seja maior ou igual a zero apenas reescrevemos, caso seja menor que zero, devemos escrever o oposto dele. Outra forma de pensarmos no módulo de um número é na reta numérica, como a distância dele até na origem. Com base na definição, então, '- 12 - (-7)' corresponde a:
	
	a) -5.
	
	b) 5.
	
	c) -19.
	
	d) 19.
	8.
	A estruturação do conjunto dos números naturais, como conhecemos hoje, levou um longo período para ser construído. Do qual, Giuseppe Peano, matemático italiano, teve papel fundamental na formulação axiomática desse conjunto, que surgiu pela necessidade de contagem. Mais tarde, tivemos a formalização dos números inteiros, que podemos considerar como uma ampliação do conjunto dos números naturais. No conjunto dos inteiros, temos duas operações definidas: adição e multiplicação. Sobre os axiomas válidos para a adição nos inteiros, assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
	
	b) Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade do Elemento Inverso.
	
	c) Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade da Existência do Elemento Oposto.
	
	d) Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
	9.
	Um problema bem curioso proposto e resolvido por Jacob Steiner (1796-1863) em 1826 é o da Pizza de Steiner. Este problema possui a seguinte formulação:
"Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n cortes retos?"
Deste problema, podemos dizer que a solução para 4 cortes é:
	
	a) 12 pedaços.
	
	b) 10 pedaços.
	
	c) 9 pedaços.
	
	d) 11 pedaços.
	10.
	Com relação ao conjunto dos números naturais, duas operações são bem definidas, a adição e a multiplicação, pois é sempre possível operar nesse conjunto. Já a subtração de dois números naturais, por exemplo, nem sempre resulta em um outro número natural. Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) O conjunto dos números naturais é fechado em relação à subtração.
	
	b) O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e multiplicação.
	
	c) O conjunto dos números naturais é fechado em relação somente à adição.
	
	d) A subtração de dois números inteiros resulta em um número natural.
	Dados dois (ou mais) números inteiros não nulos, denominamos como máximo divisor comum desses números, o maior número inteiro é o divisor dos números dados. Definimos por mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números o menor número inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente todos os números dados. Determine o mdc(a, b) e mmc(a, b) sabendo que a= 2².3².7 e  b=2.3³.5 e assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) O mdc (a, b) = 18 e mmc (a, b) = 630.
	
	b) O mdc (a, b) = 9 e mmc (a, b) = 630.
	
	c) O mdc (a, b) = 18 e mmc (a, b) = 3780.
	
	d) O mdc (a, b) = 9 e mmc (a, b) = 3780.
	 
	 
	2.
	Uma proposta curiosa para fazer aos alunos é a investigação para encontrar a quantidade de divisores que existe para um certo número. Obviamente, este tipo de pergunta pode ser proposto no momento em que eles estudama estruturas de números, como o produto de números primos. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- A quantidade de divisores do número 180 é 18.
II- São 8 os divisores pares do número 48.
III- Se um número possui 10 divisores e o outro 6 divisores, o produto entre eles proporciona 60 divisores.
IV- Os únicos números naturais que possuem dois divisores naturais são os primos.
Assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) As sentenças I, II e IV estão corretas.
	
	b) Somente a sentença II está correta.
	
	c) As sentenças I e III estão corretas.
	
	d) As sentenças I, III e IV estão corretas.
	3.
	Resolver uma equação diofantinas linear aX + bY = c, nos naturais, pode ser simples, devido ao método procedimental existente para a sua solução. No entanto, saber se a equação possuirá solução, para um certo valor c, pode ter suas complicações. Em alguns casos, a verificação é óbvia da impossibilidade, porém, saber generalizar para qualquer valor c é fundamental. Sendo assim, para a equação 5X + 3Y = c, em que X, Y e c são números naturais incluindo o zero. Sobre as impossibilidades de obter uma solução com a mudança da constante c, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Existem 5 impossibilidades para c, em que a equação não possua solução.
(    ) O produto entre os casos impossíveis é 56.
(    ) A equação possui solução para qualquer c > 6.
(    ) Dois deles são números primos.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) F - V - V - V.
	
	b) V - F - V - F.
	
	c) F - V - F - V.
	
	d) V - F - F - V.
	4.
	Em um pomar de laranjas chegou o momento da colheita. No primeiro momento, em cada carreiro deste pomar a colheita acontece dividindo igualmente as laranjas em 37 montes. Após serem retiradas 17 frutas para análise em laboratório, as restantes são embaladas em 79 embalagens, cada uma com a mesma quantidade. Quantas laranjas no mínimo, pode haver, em cada embalagem?
	
	a) 4 laranjas.
	
	b) 6 laranjas.
	
	c) 5 laranjas.
	
	d) 7 laranjas.
	5.
	Uma equação diofantinas é uma equação polinomial em que as variáveis podem assumir apenas valores inteiros. Um caso mais específico são as equações diofantinas lineares, em que os monômios envolvidos são de grau 0 ou 1. Sobre cada equação diofantinas, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) A equação 4x + 3y = 7, possui solução nos naturais.
(    ) A equação 2x - 6y = 5, possui solução nos inteiros.
(    ) A equação 2x + 5y = 17, possui solução nos inteiros.
(    ) A equação 8x - 4y = 6, possui solução nos inteiros.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) V - F - V - F.
	
	b) F - F - V - F.
	
	c) V - F - V - V.
	
	d) F - V - F - F.
	6.
	É comum as pessoas acharem que a palavra "primo", que utilizamos para nomear os números primos, está se referindo a alguma relação de parentesco. Este pensamento está totalmente equivocado. Na verdade, a palavra primo está relacionada à ideia de primeiro, enquanto os demais, seriam os secundários, pensamento este dos primeiros matemáticos gregos. Com base neste conceito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Existem 10 números primos entre 0 e 30.
(    ) Existem infinitos números primos.
(    ) Se dois números são primos entre si, então um deles é primo.
(    ) O produto de dois números primos é um número ímpar.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) F - V - V - F.
	
	b) V - V - F - F.
	
	c) V - F - V - F.
	
	d) V - F - F - V.
	7.
	O teorema de Legendre fornece o valor do expoente de um número primo p, na decomposição em números primos de um inteiro n, quando aplicado n!. Com este tema, é definido a Ep(m) como sendo o expoente da potência de p que aparece na fatoração de m em fatores primos. Assim sendo, sobre o número corresponde a 50!, analise as afirmativas a seguir:
I- É composto por 14 números primos.
II- A potência do primo 5 é 12.
III- A potência dos primos acima do 23 são todos 1.
IV- A potência do primo 7 é 7.
Assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) As afirmativas III e IV estão corretas.
	
	b) As afirmativas I e II estão corretas.
	
	c) As afirmativas II e III estão corretas.
	
	d) As afirmativas I, II e IV estão corretas.
	8.
	É possível classificar os números inteiros quanto à soma dos seus divisores próprios. O caso mais especial são os números perfeitos, pela beleza da consequência presente neles. Os demais números, podem ser ainda, classificados como abundante e deficiente. Sendo assim, analise as afirmativas a seguir:
I- O número 12 é deficiente.
II- O número 20 é abundante.
III- São infinitos os números perfeitos pares.
IV- Os números primos são todos deficientes.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) As afirmativas II, III e IV estão corretas.
	
	b) As afirmativas I e IV estão corretas.
	
	c) As afirmativas I, II e IV estão corretas.
	
	d) As afirmativas I, II e III estão corretas.
	9.
	Um aluno fez uma suposição de um método que busca determinar o valor de dois números, quando conhecido o resultado do seu produto e o mdc entre eles. Basicamente, o método consiste em observar a decomposição em fatores primos do resultado apresentado pela multiplicação. Percebendo que o método realmente estava correto, o professor questionou o aluno sobre o seguinte problema:
"Sabendo que o produto de dois números com dois algarismos é 1944 e que o mdc entre eles é 18, quais seriam estes números?". Sobre este questionamento, analise as afirmativas a seguir:
I- Um dos números é um quadrado perfeito.
II- Os números são divisíveis também pelo 12.
III- Ambos os números são pares.
IV- O módulo da diferença entre eles é 18.
Assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) As afirmativas II e III estão corretas.
	
	b) As afirmativas I e II estão corretas.
	
	c) As afirmativas I, II e IV estão corretas.
	
	d) As afirmativas I, III e IV estão corretas.
	10.
	Equação diofantina linear é uma equação da forma ax + by = c, em que a, b, c são números inteiros. E possui solução se, e somente se, d = mdc (a, b) divide c. Na equação 28x + 36y = 20 podemos encontrar o mdc (28, 36) facilmente através das divisões sucessivas e logo encontramos x, y que satisfazem a equação. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução particular:
	
	a) x = 5 e y = 3.
	
	b) x = 20 e y = -15.
	
	c) x = 4 e y = - 3.
	
	d) x = 20 e y = 15.