Estudo de Planos

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Geometria 
Analitíca II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dra. Ana Lucia Junqueira
Revisão Textual:
Prof.a Me. Selma Aparecida Cesarin
Estudo de Planos
• Introdução
• Equação geral do plano
• Equação vetorial e equações paramétricas do plano
• Plano determinado por um ponto e um vetor normal
• Casos particulares da equação geral do plano
• Interseção de um plano com os eixos coordenados
• Equação segmentária do plano
• Posições relativas entre planos
• Ângulo entre planos
• Planos perpendiculares
• Condição de paralelismo e de ortogonalidade entre dois planos
• Equação de feixe de planos
• Distância de um ponto a um plano
• Distância entre dois planos
• Exercícios resolvidos
· Definir o plano por três pontos distintos e não colineares: equação geral;
· Definir as formas de equações do plano: vetorial e paramétricas; 
· Estudar as posições relativas entre os planos;
· Definir ângulo entre dois planos; 
· Resolver problemas envolvendo planos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Nesta Unidade, vamos tratar do estudo do plano. Veremos a definição de 
planos de mais de uma maneira, o que vai nos permitir encontrar as diversas 
equações do plano: a geral, a vetorial, as paramétricas e a segmentária.
Em seguida, estudaremos de forma analítica as posições relativas entre os 
planos e definiremos o ângulo entre dois planos, explorando bem estes 
conceitos, apresentando diversos exemplos e finalizando com a resolução 
de alguns exercícios.
ORIENTAÇÕES
Estudo de Planos
UNIDADE Estudo de Planos
Contextualização
Há vários indícios de que os primeiros conhecimentos do que denominamos 
Geometria foram desenvolvidos pelos babilônios (~2.000 a. C.) e pelos egípcios 
(~1.300 a. C.), na tentativa de resolver problemas do cotidiano, como a demarcação 
de terras ou a construção de edifícios. 
No entanto, foram os gregos, por volta de 600 a.C., os primeiros a sistematizar 
e organizar tudo que se conhecia sobre o assunto até sua época, cujo principal 
trabalho foi feito por Euclides, por volta de 300 a.C., que escreveu um tratado de 
Geometria, chamado Os Elementos. 
Os elementos de Euclides não tratam apenas de Geometria, mas também de 
Teoria dos Números e Álgebra Elementar (geométrica). 
O livro se compõe de quatrocentos e sessenta e cinco proposições distribuídas 
em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre Geometria 
Plana Elementar, os três seguintes sobre Teoria dos Números, o livro X sobre 
Incomensuráveis e os três últimos tratam de Geometria no Espaço. Entretanto, a 
preocupação central de Euclides em sua obra é a demonstração de propriedades 
geométricas com o auxílio da Lógica. 
Euclides, no livro Os Elementos, tomou como base cinco axiomas e cinco 
postulados geométricos e tentou deduzir todas as suas quatrocentos e sessenta e 
cinco proposições dessas dez afirmações. 
Certamente, um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a criação 
da forma postulacional de raciocínio.
São conceitos primitivos na Geometria euclidiana:
- Ponto: indicado por letra maiúscula latina;
- Reta: indicado por letra minúscula latina;
- Plano: indicado por letra minúscula grega.
s
t
r
β
B
A C
Pontos Retas
α
Planos
6
7
Por que estamos falando de Geometria Euclidiana? 
Porque na Geometria Analítica tratamos de alguns objetos geométricos, 
notadamente dos conceitos primitivos, do ponto de vista algébrico, ou seja, 
estudando suas equações e propriedades, o que não prescinde, necessariamente, 
de representações gráficas desses elementos. 
Nesta unidade, vamos tratar do estudo do plano em Geometria Analítica. 
Como vamos tratar de planos no espaço é bom lembrar o que são os planos 
coordenados no sistema cartesiano 3 :
Para bem se situar, assista ao slide player no link:
Disponível: http://slideplayer.com.br/slide/1230772/. Ex
pl
or
Veja agora uma das aplicações atuais sobre o uso de planos que podemos 
encontrar no artigo “Orientação indireta de imagens digitais usando telhados 
de duas águas como apoio de campo” (PAVAN, SANTOS, DEL POZ, 2012). 
Segue um breve extrato do artigo.
7
UNIDADE Estudo de Planos
Orientação indireta de imagens digitais usando telhados de duas águas como 
apoio de campo
(...)A orientação de imagens é tarefa fundamental em Fotogrametria e consiste em 
determinar os parâmetros de orientação exterior (posição e rotação) da câmera no 
momento da exposição das imagens. 
O método direto consiste em determinar a posição e a rotação da câmara a partir da 
integração de sensores GPS (em inglês, Global Positioning System). 
No método indireto, um modelo fotogramétrico, como o de colinearidade, e um 
método de ajustamento de observações, tal como o Método dos Mínimos Quadrados 
(MMQ) são aplicados para estimar os parâmetros de orientação exterior da câmera 
(POEs)
 Edificações com telhados de duas águas são visualmente selecionados pelo operador 
na imagem digital e suas correspondentes na imagem de intensidade do pulso laser. 
Um ponto qualquer sobre as cumeeiras de cada uma das edificações é manualmente 
selecionado na imagem digital. 
Os telhados adjacentes das edificações correspondentes são manualmente 
delimitados, os erros espúrios são automaticamente filtrados e, em seguida, os 
planos dos telhados são segmentados e ajustados pelo MMQ.
Finalmente, os pontos imagem coletados sobre a cumeeira das edificações e os 
parâmetros dos planos dos telhados adjacentes são usados para a estimativa dos 
parâmetros de orientação exterior da câmera, aplicando o modelo matemático 
proposto.
A Estratégia de intersecção de telhados adjacentes
Geralmente, uma reta no espaço euclidiano é determinada por dois pontos, por um 
ponto e seu vetor diretor ou pela intersecção entre dois planos.
No último caso, pode-se obter uma equação matemática por meio da intersecção 
de duas faces planas, cujos atributos são representados, neste caso, por telhados 
adjacentes.
8
9
Uma edifi cação do tipo telhado de duas águas é defi nida por dois telhados 
adjacentes, cujos planos π1 e π2 são defi nidos pela equação geral do plano:
*� �
� � � �
� � � �
�
�
�
A X BY C Z D
A X B Y C Z D
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
v2
v1
Q
dZ
Y
XC
P
π1
π2
Fonte: Pavan, Santos, Poz (2012, p. 128).
Como o ponto P determinado pelas coordenadas X Y Zp p p, ,� � pertence aos 
planos π1 e π2, o ponto satisfaz o sistema de equações lineares (*). (...)
Leia o artigo Orientação indireta de imagens digitais usando telhados de duas águas 
como apoio de campo na integra no link abaixo:
http://www.scielo.br/pdf/bcg/v18n1/a07v18n1.pdf
Ex
pl
or
9
UNIDADE Estudo de Planos
Introdução
Em Matemática, um plano é um objeto geométrico infinito, de duas dimensões 
e sem espessura.
No Espaço Euclidiano, um plano é uma superfície tal que, dados quaisquer dois 
pontos nesta superfície, a superfície também contém a única linha reta que passa 
por estes pontos. O principal objeto de estudo da Geometria Euclidiana Plana é o 
plano. O plano é constituído de pontos e retas. 
Uma superfície é um conjunto de pontos em um espaço euclidiano. É um espaço 
topológico bidimensional que localmente, ou seja, de perto, assemelha-se ao espaço 
euclidiano bidimensional. Em outras palavras, em torno de cada ponto de uma superfície, 
ela é “bem aproximada” pelo plano tangente à superfície nesse ponto.
Uma definição tradicional de superfície que se refere a termos intuitivos e fácil de 
trabalhar do ponto de vista matemático foi dada por Euclides: uma superfície é o que 
tem apenas comprimento e largura (Os Elementos, Livro I, definição 5).
Ex
pl
or
Dessa forma, vamos ver a definição de planos de mais de uma maneira e deduzir 
as diferentes equações de plano: geral, vetorial e paramétricas.
Também vamos abordar as posições relativas entre os planos e a definição de 
ângulo entre dois planos, sempre apresentando exemplos e finalizando com a 
resolução de alguns exercícios.
10
11
Equação Geral do Plano
Da Geometria euclidiana, sabemos que um plano é determinadopor três pontos 
distintos e não colineares. Isto é verdade, mas podemos ter também outras maneiras 
de fazê-lo. 
Em outras palavras, um plano no espaço euclidiano pode ser determinado por:
· Um ponto e dois vetores não paralelos;
· Três pontos distintos e não colineares;
· Dois pontos e um vetor.
I) Plano determinado por um ponto e dois vetores não paralelos
z
x
y
v1
v2
P
P
0
α
0
Fonte: Venturi (2015, p. 157).
Dados um ponto P x y zo � � �0 0 0, , e os vetores v x y z1 1 1 1
��
� � �, , e v x y z2 2 2 2
���
� � �, , , o 
plano α que contém o ponto P0 e é paralelo aos vetores v1
��
 e v2
���
, não paralelos 
entre si. Um ponto P x y z� � �, , pertence ao plano α se, e somente se, os vetores 
P P v
0 1
� ��� ��
, e v2
���
 forem coplanares.
Dessa forma, a equação geral do plano pode ser encontrada pela condição de 
coplanaridade destes três vetores, ou seja:
x x y y z z
x y z
x y z
� � �
�
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0 (I)
11
UNIDADE Estudo de Planos
II) Plano determinado por três pontos distintos e não colineares.
z
x
y
P2
P
α
0
P
P3
Fonte: Venturi (2015, p. 158)
Dados os pontos P x y z1 1 1 1� � �, , , P x y z2 2 2 2� � �, , P x y z3 3 3 3� � �, , distintos e não 
colineares, o plano α é determinado por estes três pontos. Um ponto P x y z� � �, , 
pertence ao plano α se, e somente se, os vetores PP P P
1 2 1
� ��� � ����
, e P P
3 1
� ���
 forem coplanares. 
Dessa forma, a equação geral do plano pode ser encontrada pela condição de 
coplanaridade destes três vetores, ou seja:
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
� � �
� � �
� � �
�
1 1 1
2 1 2 1 2 1
2 1 3 1 3 1
0 (II)
III) Plano determinado por dois pontos e um vetor.
z
x
y
v
P
P1
α
0
P2
Fonte: Venturi (2015, p. 158)
12
13
Dados os pontos, não coincidentes, P x y z1 1 1 1� � �, , e P x y z2 2 2 2� � �, , e um vetor 
v v v vx y z� �� ��, , , o plano α que passa por esses dois pontos e é paralelo ao vetor 
v
é assim determinado: um ponto P x y z� � �, , pertence ao plano se, e somente se, 
os vetores PP PP
1 1 2
� ��� � ����
, e 
v forem coplanares.
Dessa forma, a equação geral do plano pode ser encontrada pela condição de 
coplanaridade destes três vetores, ou seja:
x x y y z z
x x y y z z
v v vx y z
� � �
� � � �
1 1 1
2 1 2 1 2 1
0 (III)
A resolução de cada um dos três determinantes (I), (II) ou (III) conduz a uma 
equação linear a três variáveis, denominada Equação Geral do Plano:
Equação geral do plano
ax + by + cz + d = 0
Assim, para obter um ponto do plano basta substituir duas coordenadas na 
equação e encontrar uma terceira coordenada que satisfaça esta equação. 
Exemplo 1
Escreva a equação geral do plano α que contém os seguintes pontos: A � �� �0 2 1, , ,
B � � �1 3 0, , e C � �� �4 2 1, , .
Resolução
Vimos que o plano α será determinado pela condição de não coplanaridade dos 
vetores AP
� ���
, AB
� ���
 e AC
� ���
 em que P x y z� � �, , é um ponto genérico do plano. 
Assim, temos que:
x y z x y z� � �
� � �
� � � �
�
� �
�
�
0 2 1
1 0 3 2 0 1
4 0 2 2 1 1
2 1
1 1 1
4 4 2
0 )
13
UNIDADE Estudo de Planos
O que resulta em:
2 4 4 4 8 4 4 4 2 4 6 2 8 12 0x z y x z y x y z� � � �� � � � � � � �� � � � � � � . 
Logo, a equação geral deste plano é: 6 2 8 12 0x y z� � � � . 
Observações
a) Lembre-se de fixar qualquer um dos três pontos para formar os três vetores;
b) Para verificar se a equação do plano está correta, basta substituir as coordenadas 
dos três pontos dados na equação do plano; se satisfizerem a equação, esta está 
correta;
c) Observe que as segunda e terceira linhas do determinante não são múltiplas, o 
que significa que os vetores AB
� ���
 e AC
� ���
 não são paralelos, o que é equivalente a 
dizer que os três pontos A B,� e C não são colineares.
Exemplo 2
Seja o plano β que passa pelo ponto A � � �2 2 1, , e é paralelo aos vetores u
u � �� �2 3 1, , e v � �� �1 5 2, , . Encontre a equação geral do plano β.
Resolução
Vimos que se um ponto P x y z� � ��, , � , então os três vetores AP
� ���
, 
u e v são 
coplanares. 
Logo, temos que:
x y z� � �
�
�
�
2 2 1
2 3 1
1 5 2
0 
14
15
O que resulta em:
� �� � � �� � � �� ��� �� � �� � � �� � � �� ��� �� �6 2 10 1 2 5 2 4 2 3 1 0x z y x y z . 
� � � � � �� � � � � � � �� � �6 12 10 10 2 5 10 4 8 3 3 0x z y x y z . 
Logo, a equação geral do plano β é: � � � � �11 5 7 25 0x y z . 
Observações
Agora, para verifi car se a equação do plano está correta, podemos testar se o ponto 
A satisfaz a equação de β. 
E quanto aos vetores? 
Se substituirmos as coordenadas dos vetores na equação de β, não vão satisfazer 
(exceto se o plano passasse pela origem, o que não é o caso, já que o ponto 
O , ,� � �0 0 0 não satisfaz a equação deste plano. 
Como fazer então? Temos de ter um representante dos vetores 
u e v no plano β. 
Para tal, tomamos vetores paralelos a cada um deles no plano β, isto é, os vetores 
u OA u
1
4 1 2
�� � ��� �
� � � �� �, , que é paralelo a u em v OA v1 1 7 3
�� � ��� �
� � � � �, , que 
é paralelo a 
v em β. Agora, as coordenadas de u1
��
 e de v1
��
 satisfazem a equação 
de β. 
Verifi que!
Equação Vetorial e Equações 
Paramétricas do Plano
Sabemos da Geometria Euclidiana que para determinar um plano π, precisamos 
conhecer pelo menos três de seus pontos não colineares. Com esses três pontos, 
podemos determinar dois vetores paralelos ao plano π, que darão a posição do 
plano π no espaço. 
Seja, então, o ponto A x y z� � �0 0 0, , e os dois vetores 
u x y z� � �1 1 1, , e 
v x y z� � �2 2 2, ,
assim obtidos, paralelos o plano π no espaço. Para que um ponto P x y z� � �,� ,�
pertença ao plano π, é preciso que existam dois escalares h t, ∈ , tais que:
AP hu tv
� ��� � �
� � .
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UNIDADE Estudo de Planos
Que podemos escrever também assim:
P A hu tv� � �  . 
v
tv
u
h u
PA
π
Fonte: Winterle (2000, p. 128) 
Substituindo na equação, temos:
x x y y z z h x y z t x y zi� � �� � � � � � � �0 0 0 1 1 2 2 2, , , , , , . 
Que é a equação vetorial do plano π. Os vetores 
u e v são conhecidos como 
vetores diretores do plano e os escalares h e t como parâmetros.
Da equação vetorial do plano, podemos deduzir as equações paramétricas do 
plano:
� :
x x hx tx
y y hy ty
z z hz tz
� � �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
0 1 2
0 1 2
0 1 2
Observações
a) Como é possível encontrar infinitos ternos A, B e C de pontos não alinhados em 
π, como consequência existem infinitos sistemas de equações paramétricas que 
representam o mesmo plano;
b) É importante observar que os vetores diretores formados com três pontos do 
plano não sejam paralelos. Se isto ocorrer, basta mudar um dos pontos, de modo a 
garantir que os vetores diretores não sejam paralelos.
16
17
Exemplo 3
Considere o mesmo plano β do exemplo 2. Encontre a equação vetorial e as 
equações paramétricas do plano β. 
Resolução
O plano β é determinado pelo ponto A � � �2 2 1, , e pelos vetores u � �� �2 3 1, , e
v � �� �1 5 2, , . Temos, então, se P x y z� � ��, , ,� que AP hu tv
� ��� � �
� � .
Logo:
x y z h t� � �� � � �� � � �� �2 2 1 2 3 1 1 5 2, , , , , , que é a equação vetorial de β.
Dessa forma, as equações paramétricas do plano β são:
x h t
y h t
z h t
� � �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
2 2
2 3 5
1 2
.
Para encontrar qualquer outro ponto do plano β, basta elencar valores para os 
parâmetros. 
Por exemplo, para h � �4 e t = 3 temos o ponto B, cuja coordenadas são:
x
y
z
� � � � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
2 8 3 9
2 12 15 29
1 4 6 3
.
Ou seja, B � �� �9 29 3, , pertence ao plano β.
Vamos verificar se B � �� �9 29 3, , satisfaz a equação geral do plano β vista no 
exemplo � � � � �11 5 7 25 0x y z .
Substituindo as respectivas coordenadas, temos:
� �� � � � � � � ��� �� � � � �� � � � � � �11 9 5 29 7 3 25 99 145 21 25 25 25 0 .
Era de se esperar, claro, se os cálculos estiverem corretos. Mas foi importante 
testarmos, pois a equação geral e as equações paramétricasparecem muito 
diferentes. 
Mas isso é só aparente, pois, com certa estratégia, a partir de uma podemos 
deduzir a outra. É o que veremos mais à frente. 
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UNIDADE Estudo de Planos
Plano Determinado por um 
Ponto e um Vetor Normal
Seja A x y z� � �1 1 1, , um ponto pertente ao plano π e 
n a b c� � �, , , 

n ≠ 0≠

n ≠ 0 , um 
vetor normal (ortogonal) ao plano π , como indica a figura a seguir:
A
P
n
�
Fonte: Winterle (2000, p. 125)
Como 
n �� , n é ortogonal a qualquer vetor representado em π. Então, um 
ponto P x y z� � �, , pertence a π se, e somente se, o vetor AP
� ���
�� , isto é, 
� � ���n AP. = 0 . 
Desta forma, calculando o produto interno dos dois vetores, temos que: 
a b c x x y y z z, , . , ,� � � � �� � �1 1 1 0 
a x x b y y c z z�� � � �� � � �� � �1 1 1 0 
ax by cz ax by cz� � � � � �� � �1 1 1 0 .
 
Denominando, d ax by cz� � � �1 1 1, temos a equação geral do plano π: 
ax by cz d� � � � 0 . 
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19
Observações
Da mesma forma que 
n �� , qualquer vetor paralelo a n também é ortogonal 
ao plano π. 
Digamos que o vetor 
w é paralelo ao vetor n ; então, w será um múltiplo de n . 
Isso só acarretará numa equação múltipla, com mesmo fator de multiplicação, da 
equação obtida com 
n, mas que obviamente representa o mesmo plano π. 
Também é importante notar que os coefi cientes a b,� � e c da equação geral do 
plano representam as componentes do vetor normal ao plano.
Exemplo 4
Obter a equação geral do plano que tem por vetor normal o vetor 
n � �� �0 1 1, ,
e contém o ponto A � �� �1 2 4, , .
Resolução
Podemos resolver como fizemos na dedução ou já utilizando a equação geral de 
um plano, desde que saibamos o papel dos coeficientes na equação.
Vamos resolver utilizando a equação geral de um plano que, neste caso específico, 
será: 0 1 1 0. . .x y z d� � � � . 
Como A pertence ao plano, substituindo as coordenadas desse ponto na equação 
do plano temos que:
0 1 1 2 1 4 0 2 4 0 2. . .�� � � � � � � � � � � � � �d d d .
Logo a equação do plano é: y z x� � � � �2 0,  . 
Note que é necessário indicar que a variável x é livre, ou seja, a equação é o 
conjunto de duas sentenças matemáticas, a saber: 
y z
x qualquer
� � ��
�
�
2 0
 
.
Caso contrário, estaríamos indicando a equação de uma reta no plano YZ de 
equação z y� � 2 .
19
UNIDADE Estudo de Planos
Exemplo 5
Escreva a equação geral do plano β que passa por A � �� �3 4 1, , e é paralelo ao 
plano � : 2 7 5 0x y z d� � � � .
Resolução
Como o plano β é paralelo ao plano α, então 
n também é normal a β. Então, a 
equação geral de β é do tipo: 2 7 5 0x y z d� � � � . Resta achar a constante d, que 
é obtida substituindo as coordenadas do ponto A que pertence a β. 
Logo, temos que:
2 3 7 4 5 1 0 6 28 5 0 27. . .� � � �� � � � � � � � � � � � � �d d d .
Portanto, a equação geral do plano β é: 2 7 5 27 0x y z� � � � . Agora considere 
a seguinte situação: dados dois vetores 
u e v num plano π, já vimos que o vetor
 u v× é simultaneamente ortogonal a u e a v , portanto,  u v� � � . 
Dessa forma, podemos denominar o vetor normal ao plano como 
  n u v� � , 
conforme indica a figura a seguir:
u x v
v
u
Sabendo disso, veja o exemplo seguinte no qual este fato será usado.
Exemplo 6
Considere os pontos não colineares A � �� �2 2 1, , , B � � �1 0 1, , e C � � �3 2 1, , . 
Encontre a equação geral do plano π determinado por estes três pontos.
20
21
Resolução
Vamos formar dois vetores AB
� ���
� � �� �1 2 2, , e AC 1 0, ,2 e, com eles, encontrar� � ��� � ���n AB AC� � :
AB AC
i j k
i j k i
� ��� � ���
� � �
� � � �
� � � � � � �� � � �� � � �� � � �1 2 2
1 0 2
4 0 2 2 0 2 4 �� �4 2
� �
j k .
Logo, 
n � �� �4 4 2, , e a equação geral do plano é � : � � � � �4 4 2 0x y z d . Resta 
encontrar o valor do coeficiente independente d . 
Para tal, basta substituir as coordenadas de qualquer um dos três pontos que 
determinam este plano. 
Para o ponto B d d d� � �� � � � � � � � � � � �1 0 1 4 1 4 0 2 1 0 2 0 2, , . . . . 
Assim, a equação geral do plano determinado pelos três pontos A B,� e C é dada 
por � : � � � � �4 4 2 2 0x y z .
Verifique que os outros dois pontos A e C também satisfazem a equação do 
plano.
Atenção
Dados três pontos A B C,� ,� de um plano, se AB AC
� ��� � ��� �
� � 0 , os três pontos são 
colineares.
Casos Particulares da 
Equação Geral do Plano
Se um ou mais coeficientes na equação geral forem nulos, o plano ocupará 
posicionamento particular em relação aos eixos coordenados. 
Seja a equação geral de um plano: ax by cz d� � � � 0 . 
Caso 1
d ax by cz com a b c� � � � � � �0 0 0, . . o plano contém a origem.
21
UNIDADE Estudo de Planos
Caso 2
Temos três situações.
i) a by cz d com b c d� � � � � � �0 0 0, . . o plano é paralelo ao eixo X
ii) b ax cz d com a c d� � � � � � �0 0 0, . . o plano é paralelo ao eixo Y
iii) c ax by d com a b d� � � � � � �0 0 0, . . o plano é paralelo ao eixo Z
Caso 3
Também temos três situações.
i) a d com b c� � � �0 0, . o plano conterá o eixo das abscissas;
ii) b d com a c� � � �0 0, . o plano conterá o eixo das ordenadas;
iii) c d com a b� � � �0 0, . o plano conterá o eixo das cotas.
z z
y
x
by + cz + d=0
by + cz=0
x
y
Plano paralelo ao eixo x Plano que contém o eixo x
Fonte: Eron e Isabel (Notas de aula, 2007, p. 7).
Caso 4
Temos três situações.
i) a b cz d com c d� � � � � � �0 0 0, . o plano é paralelo ao plano XY;
ii) a c by d com b d� � � � � � �0 0 0, . o plano é paralelo ao plano XZ;
iii) b c ax d com a d� � � � � � �0 0 0, . o plano é paralelo ao plano YZ.
22
23
cz + d=0
y
z
x
Plano paralelo ao plano XY
Fonte: Eron e Isabel (Notas de aula, 2007, p. 8).
Exemplo 7
Veja as equações a seguir e indique o posicionamento de cada plano em relação 
ao sistema cartesiano:
a) 2 4 0x y z� � � �plano que passa pela origem;
b) 2 3 4 0x z� � � � plano paralelo ao eixo Y;
c) 2 3 0x y� � � plano que contém o eixo Z;
d) y � � �2 0 plano paralelo ao plano XZ.
Lembrar que no plano euclidiano 2 uma equação do tipo 2 3 6 0x y� � � . 
representa uma reta. 
No entanto, no espaço euclidiano 3 tal equação representa um plano paralelo 
ao eixo Z. 
Veja na figura seguinte:
z
x
y
α: 2x + 3y - 6=0
2
3
r: 2x + 3y - 6=0
x
y
2
3
Fonte: Eron e Isabel (Notas de aula, 2007, p. 8).
23
UNIDADE Estudo de Planos
Interseção de um Plano 
com os Eixos Coordenados
Seja o plano � : ax by cz d� � � � 0 . Para determinar as interseções do plano 
com os eixos coordenados fazemos o seguinte:
a) y z A
d
a
� � � � ��
�
�
�
�
�0 0 0, , é o ponto de interseção do plano com o eixo X;
b) x z B
d
b
� � � � ��
�
�
�
�
�0 0 0, , é o ponto de interseção do plano com o eixo Y;
c) x y C
d
c
� � � � ��
�
�
�
�
�0 0 0, , é o ponto de interseção do plano com o eixo Z.
Confira na figura a seguir:
α
z
C
B y
A
x
Fonte: Venturi (2015, p. 160).
Dizemos que o plano α intercepta o eixo X na abscissa x d
a
� � ; intercepta o eixo 
Y na ordenada y d
b
� � e intercepta o eixo Z na cota z d
c
� � . 
24
25
Exemplo 8
Obter os pontos de interseção do plano � : x y z� � � �2 4 5 0 com os eixos 
coordenados.
Resolução
A � �� �5 0 0, , , B � ��
�
�
�
�
�0
5
2
0, , e C � �
�
�
�
�
�0 0
5
4
, , . 
Equação Segmentária do Plano
O plano � : ax by cz d� � � � 0 , com a.b.c.d ≠ 0, corta os eixos cartesianos em 
três pontos distintos, P Q,� � e R , que determinam os três segmentos OP OQ OR,� � , � � . 
Vamos indicar por p q r,� ,� as respectivas medidas destes segmentos, ou seja, 
p OP= , q OQ= e r OR= .
Dessa forma, teremos:
P p ap d p d
a
Q q bq d q d
b
R r
� � �� � � � � � �
� � �� � � � � � �
� � ��
, ,
, ,
, ,
0 0 0
0 0 0
0 0
�
�
�� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
cr d r d
c
I
0
 
Confira na figura a seguir:
z
R
Q y
P
x
r
q
O
p
Fonte: Venturi (2015, p. 162)
25
UNIDADE Estudo de Planos
Voltando à equação do plano α temos: ax by cz d� � � � .
Dividindo ambos os membrosdesta equação por �� �d ficamos com:
a
d
x b
d
y c
d
z
�
�
�
�
�
�1
Que podemos reescrever da seguinte forma:
x
d
a
y
d
b
z
d
c
II
�
�
�
�
�
� � �1� � � � � � � �
Substituindo I� � em II� � temos:
x
p
y
q
z
r
� � �1
Denominada equação segmentária do plano:
x
p
y
q
z
r
� � �1.
Exemplo 9
Determine os pontos de interseção do plano � : 4 3 12 0x y z� � � � com os 
eixos coordenados e encontre a equação segmentária deste plano.
Resolução
Para encontrar as interseções com os eixos coordenados procedemos assim:
Eixo X: y z x x A� � � � � � � � � � �0 4 12 0 3 3 0 0, , ;
Eixo Y: x z y y B� � � � � � � � � � �0 3 12 0 4 0 4 0, , ;
Eixo Z: x y z z A� � � � � � � � � � � �� �0 12 0 12 0 0 12, , .
26
27
Confira na figura a seguir: 
4x + 3y - z - 12=0
-12
4
3
C
x
z
y
B
A
Portanto, a equação segmentária do plano α é:
x y z
3 4 12
1� �
�
� .
Observação
Veja que de uma equação segmentária podemos chegar à equação geral do 
plano. Por exemplo, dada a equação segmentária do plano:
x y z
3 4 12
1� �
�
� . 
Podemos multiplicar ambos os membros da equação pelo mmc 3 4 12 12, , ,�� � � ficando 
com: 4 3 12 4 3 12 0x y z x y z� � � � � � � � , que é a equação geral desse plano.
27
UNIDADE Estudo de Planos
Posições Relativas entre Planos
Sejam π1 e π2 dois planos. As seguintes situações podem ocorrer:
i) � �
� �
� �1 2
1 2
1 2
 �
�
�
�
�
� � �.
ii) � � � �1 2 1 2� �� � �¦ r . 
Confira nas figuras a seguir:
Fonte: Eron e Isabel (Notas de aula, 2007, p. 11).
Suponhamos �
1 1 1 1 1
0: a x b y c z d� � � � e �
2 2 2 2 2
0: a x b y c z d� � � � , as equações 
gerais dos dois planos em relação ao sistema cartesiano do 3 .
Sejam os vetores w a b c1 1 1 1
���
� � �, , e w a b c2 2 2 2
� ��
� � �, , os respectivos vetores normais 
a π1 e π2. 
Então, � �1 2 1 � w
���
 e w2
� ��
 são paralelos, ou seja, w tw t
a ta
b tb
c tc
1 2
1 2
1 2
1 2
��� � ��
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
,  . 
Se, além disso, existe P x y z0 0 0 0 1� � ��, , � e P x y z0 0 0 0 2� � ��, , � , temos:
d a x b y c z
1 1 0 1 0 1 0
� � � �� � e d a x b y c z2 2 0 2 0 2 0� � � �� � . 
d ta x tb y tc z
1 2 0 2 0 2 0
� � � �� � d a x b y c z2 2 0 2 0 2 0� � � �� � . 
28
29
Logo:
d td
a ta
b tb
c tc
d td
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� � .
Mas, se w1
���
 e w2
� ��
 não forem paralelos, temos que � �
1 2� � r , ou seja, os dois 
planos são concorrentes e se interceptam segundo uma reta r. Essa reta será 
determinada pelo sistema de equações r
a x b y c z d
a x b y c z d
:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
� � � �
� � � �
�
�
�
 e esse sistema é 
chamado de equação da reta na forma planar.
Notemos ainda que � �1 2 1 2 0� � �w w
��� � ��
. . 
Observação
Veremos mais sobre retas no espaço na próxima unidade
Exemplo 10
Determine a posição relativa entre os pares de planos a seguir: 
a) �
1
2 3 1 0: x y z� � � � e �
2
2 0: x y z� � � . 
b) �
1
1 0: x y z� � � � e �
2
2 2 2 1 0: x y z� � � � . 
c) �
1
1 0: x y z� � � � e �
2
3 3 3 3 0: x y z� � � � . 
29
UNIDADE Estudo de Planos
Resolução 
a) �
1
2 3 1 0: x y z� � � � e �
2
2 0: x y z� � � . Então w1 11 2 3
���
� � � �, , � e
w
2 2
1 1 2
� ��
� �� � �, , � . É fácil verificar que um destes vetores não é múltiplo do outro; 
portanto, w1
���
 não é paralelo a w2
� ��
. Então, os planos π1 e π2 são concorrentes e sua 
interseção é uma reta cuja equação é dada pelo sistema r
x y z
x y z
:
� � � �
� � �
�
�
�
2 3 1 0
2 0
;
b) �
1
1 0: x y z� � � � e �
2
2 2 2 1 0: x y z� � � � . Então w1 11 1 1
���
� � � �, , � e
w
2 2
2 2 2
� ��
� � � �, , � . Logo, w w2 12
� �� ���
= e, portanto, w w
1 2
��� � ��
 , e como consequência 
π1 ∕∕ π2. Resta verificar se os planos são ou não coincidentes. Mas como
d d d d
2 2 2 1
1 2� � � � � . Assim, os dois planos são paralelos, mas não coincidentes;
c) �
1
1 0: x y z� � � � e �
2
3 3 3 3 0: x y z� � � � . Então w1 11 1 1
���
� � � �, , � e
w
2 2
3 3 3
� ��
� � � �, , � . Logo, w w2 13
� �� ���
= e, portanto, w w
1 2
��� � ��
 e como consequência 
π1 ∕∕ π2. Resta verificar se os planos são ou não coincidentes. Mas como 
d ed d d
2 2 2 1
1 3 3� � � � � � . Assim, os dois planos são coincidentes.
Ângulo entre Planos
O ângulo entre dois planos π1 e π2 é o menor ângulo formado pelos seus 
respectivos vetores normais, w1
���
 e w2
� ��
, conforme indica a figura seguinte:
Fonte: Eron e Isabel (Notas de aula, 2007, p. 13)
30
31
O ângulo θ é calculado por meio da seguinte fórmula:
cos
w w
w w
� �
1 2
1 2
��� � ��
��� � ��
.
.
.
Exemplo 11
Determinar o ângulo entre os planos dados a seguir:
�
1
2 1 0: x y z� � � � e �
2
3 2 1 0: x y� � � . 
Resolução
Os vetores normais dos planos são, respectivamente, w1 2 1 1
���
� � �� �, , e
w
2
3 2 0
� ��
� �� �, , . Com isso, vemos que os vetores w1
���
 e w2
� ��
 não são paralelos, logo, 
os planos π1 e π2 não são paralelos e, portanto, são concorrentes. Isso significa que 
o ângulo entre eles não é nulo. Vamos então encontrar o ângulo:
w w
1 2
2 1 1 3 2 0 2 3 1 2 1 0 6 2 0
��� � ��
. , , . , , . . .� � �� � �� � � � �� � �� � � �� � � � � � 88
w w
1 2
8 8
��� � ��
. = =
w
1
2 2 2
2 1 1 2 1 1 4 1 1 6
���
� � �� � � � �� � � �� � � � � �, ,
w
2
2 2 2
3 2 0 9 4 0 13
� ��
� � �� � � � � � �
cos
w w
w w
� � � � � �
1 2
1 2
8
6 13
8
78
8
8 832
0 906
��� � ��
��� � ��
.
. . ,
, . 
Logo:
� � � � � �arc cos 0 906 25, .
31
UNIDADE Estudo de Planos
Planos Perpendiculares
Considere os planos π1 e π2 e seus respectivos vetores normais n1
��
 e n2
���
. Então, 
temos que:
� �
1 2 1 2 1 2
0� � � � �n n n n
�� ��� �� ���
. . 
Veja na figura a seguir:
 
 n1 n2
�
1
�
2
Nesse sentido, é sempre bom verificar antes se os vetores normais são ou não 
ortogonais. 
Exemplo 12
Verificar se os seguintes planos são planos perpendiculares:
�
1
3 4 2 0: x y z� � � � e � 2
6 3
2
:
x h t
y h t
z h
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
.
Resolução
Verificamos que um vetor normal ao plano π1 é n1 3 1 4
��
� �� �, , . Já para encontrar 
o vetor normal ao plano π2 temos de encontrar dois vetores não paralelos nesse 
plano e, para tal, basta buscar três pontos não colineares de π2. 
Isso é obtido atribuindo valores para os parâmetros h e t Observe que π2 é um 
plano que passa pela origem, basta fazer h t= = 0 , logo O � � ��0 0 0 2, , � . 
32
33
Vamos encontrar dois outros pontos:
- Para h e t A� � � � �� ��0 1 3 1 0 2 , , � ;
- Para h e t B� � � � �� ��1 0 6 1 2 2 , , � .
Com este três pontos de π2, O A B� � � � �� � � �� �0 0 0 3 1 0 6 1 2, , , , , , , , podemos 
formar os vetores OA
� ���
� �� �3 1 0, , e OB
� ���
� �� �6 1 2, , que não são paralelos e encontrar
o vetor n OA OB2
��� � ��� � ���
� � normal a π2. 
Assim temos:
n
i j k
i j k i j k
2
3 1 0
6 1 2
2 0 0 6 3 6 2 6 3
���
� � �
� � � � � �
� �
�
� �� � � �� � � � �� � � � � � 22 6 3, ,� � . 
Agora, basta verificar se os vetores n1
��
 e n2
���
 são ou não ortogonais:
n n
1 2
3 1 4 2 6 3 3 2 1 6 4 3 6 6 12 0
�� ���
. , , . , , . . .� �� � � � � � � � � � � . 
Logo, os planos π1 e π2 são perpendiculares. 
Condição de Paralelismo e de 
Ortogonalidade entre Dois Planos
Sejam os planos �
1 1 1 1 1
0: a x b y c z d� � � � e �
2 2 2 2 2
0: a x b y c z d� � � � . 
Os planos α α1 2 e são paralelos se, e somente se, seus vetores normais n1
��
 e 
n2
���
 o forem, isto é, se e somente se, os coeficientes das variáveis correspondentes 
forem proporcionais:
a
a
b
b
c
c
1
2
1
2
1
2
= = . 
Em particular, se os planos forem coincidentes, teremos:
a
a
b
b
c
c
d
d
1
2
1
2
1
2
1
2
= = = . 
33
UNIDADE Estudo de Planos
E nesse caso, a equação de um plano é múltipla da equação do outro plano. 
A condição de ortogonalidade de α1 e α2 é a mesma de seus vetores normais
n1
��
 e n2
���
, ou seja:
a a b b c c
1 2 1 2 1 2
0. . .� � � .
Confira a representação na figura a seguir. À esquerda, planos paralelos;à 
direita, planos perpendiculares ou ortogonais:
n2
n1
n2
n1
α2
α1
α2
α1
Exemplo 13
a) Determinar k para que os planos �
1
2 3 1 0: x z� � � e �
2
2 0: .x y kz� � � � 
sejam ortogonais;
b) Dê a equação do plano que contém o ponto P � � �0 1 2, , e é paralelo ao 
plano � : 2 3 7 0x y z� � � � . 
Resolução
a) Os respectivos vetores normais aos planos β1 e β2 são n1 2 3 1
��
� �� �, , e
n k
2
1 1
���
� � �, , . Então � �1 2 1 2 2 3 1 1 1 0� � � � �� � � � �n n k
�� ���
, , . , , . Então, temos que
2 1 3 1 1 0 2 3 0 5. . . ;� � �� � � � � � � � �k k k
b) Seja β um plano paralelo ao plano α , então � : 2 3 0x y z d� � � � . Como 
o ponto P � � ��0 1 2, , � , substituindo na equação as coordenadas desse ponto, 
obtemos: 2 0 3 1 2 0 0 3 2 0 1 0 1. .� � � � � � � � � � � � � � �d d d d . 
Portanto, a equação geral do plano procurado é � : 2 3 1 0x y z� � � � .
34
35
Equação de Feixe de Planos
Considere α1 e α2 dois planos que se interceptam segundo uma reta r. No 
espaço tridimensional a reta r pode ser representada por:
r
a x b y c z d
a x b y c z d
:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
� � � �
� � � �
�
�
�
.
r
α1
α2
Fonte: Venturi (2015, p. 176)
Denomina-se Feixe de Planos de eixo r ao conjunto de todos os planos que 
passam por r. A equação do feixe de planos é dada multiplicando α2 por um 
escalar λ e somando-se com a equação de α
1
.
Assim, obtemos a equação do feixe:
a x b y c z d a x b y c z d
1 1 1 1 2 2 2 2
0� � � � � � �� � �� .
Para cada valor de λ, a equação anterior representa um plano que passa pela 
reta r , interseção de α1 e α2 , pois qualquer ponto desta interseção satisfaz tanto 
as equações deα1 e α2 , como a equação do feixe. 
35
UNIDADE Estudo de Planos
Em notação simplificada, a equação do feixe de dois planos é � ��
1 2
0� � .
Exemplo 14
Achar a equação do plano que contém a reta r
x y z
x y
:
2 1 0
1 0
� � � �
� � �
�
�
�
 e o ponto 
P � � �1 3 0, , . 
Resolução
A solução do feixe de planos é: 2 1 1 0x y z x y� � � � � �� � �� . Como o ponto
P r� � ��1 3 0, , temos que:
2 1 3 0 1 1 3 1 0 6 3 0 2. � � � � � �� � � � � � � � �� � � . 
Agora basta substituir � � �2 na equação do feixe de planos para obter o plano 
procurado: 
2 1 2 1 0x y z x y� � � � � �� � � . 
2 1 2 2 2 3 0x y z x y y z� � � � � � � � � � � . 
Então a equação do plano do feixe que passa pelo ponto P é: y z� � �3 0 . 
Distância de um ponto a um plano
Considere um plano � : ax by cz d� � � � 0 e um ponto P x y z0 0 0 0� � �, , . A 
distância entre o ponto P0 e o plano π é definida como a menor entre as distâncias 
de P0 a pontos do plano π. 
Assim, se P x y z� � �, , é um ponto qualquer do plano π, então a distância entre
P0 e π é o módulo da projeção do vetor PP0
� ���
 na direção do vetor 
n π normal ao 
plano π, conforme indica a figura a seguir.
P
PO
P1
n
�
�
36
37
O vetor PP x x y y z z0 0 0 0
� ���
� � � �� �, , e n a b c�
���
� � �, , A dist P proj P Pn0 0,�� � � �
� ���
.
Lembrando-se de que proj P P P P n
n
n
nn
�
� ��� � ��� �
�
�
�0 0=
.
 onde 


n
n
 é o versor na direção de 
n.
Logo, dis P
P P n
n0
0
,
.
�� � �
� ��� �
� . 
Mas PP n x x y y z z a b c a x x b y y c z0 0 0 0 0 0 0
� ��� ���
. , , . , ,� � � � �� � � � � �� � � �� � � ��� �z . 
ax by cz ax by cz ax by cz d0 0 0 0 0 0� � � � �� � � � � � . 
E sabemos que 
n a b c� � �2 2 2 , portanto:
dist P
ax by cz d
a b c
0
0 0 0
2 2 2
,�� � � � � �
� �
.
Exemplo 15
Calcule a distância do ponto P0 1 0 2� �� �, , ao plano dado pela equação
� : 2 3 5 10 0x y z� � � � .
Resolução
Primeiro vamos achar algum ponto do plano π Fazendo x y= = 0 , encontramos
z = 2 e, portanto, o ponto P � � ��0 0 2, , � . Logo, PP0 1 0 4
� ���
� �� �, , .
Como o vetor normal a π é 
n � �� �2 3 5, , , a distancia de P0 a π é calculada pela 
fórmula: dist P
P P n
n0
0 1 0 4 2 3 5
2 3 5
2 0 20
4
,
. , , . , ,
, ,
�� � � �
�� � �� �
�� �
�
� �
�
� ��� �
�
99 25
18
38�
� . 
37
UNIDADE Estudo de Planos
Distância entre dois planos
A distância entre dois planos π1 e π2 é definida como a menor distância possível 
entre os pontos do plano π1 e os pontos do plano π2. 
Ou seja:
dist min dist P P P P� � � �
1 2 1 2 1 1 2 2
, , , ,�� � � � � � �� � . 
Então, se π1 e π2 são concorrentes, a distância é nula. Logo, só faz sentido 
pensar na distância entre dois planos paralelos e não coincidentes. E, nesse caso, 
há uma infinidade de pontos dos dois planos que realizam essa distância. 
De fato, a cada P1 1�� existe exatamente um P2 2�� tal que PP1 2
� ����
 está na direção 
normal dos planos e daí a distância entre os planos é dada pela distância entre 
esses dois pontos, a medida do segmento determinado por esses dois pontos, ou 
seja, PP
1 2
� ����
. 
Entretanto, não há necessidade de obter explicitamente esses dois pontos dessa 
forma. Basta tomar um ponto qualquer P��1 e um ponto qualquer Q�� 2 e 
tomar a projeção ortogonal de PQ
� ���
 na direção do vetor normal aos planos 
n (que 
pode ser a mesma para os dois, já que os planos são paralelos). 
Veja a ilustração a seguir, o vetor PQ
� ���
 em verde e o vetor 
n em preto:
Daí, temos que:
dist proj PQ
PQ n
nn
� �
1 1
,
.
� � � ��
� ���
� ��� �
.
38
39
Exemplo 16
Encontre a distância entre os planos π1 e π2 sabendo que suas equações são: 
�
1
2 2 1 0: x y z� � � � e �
2
2 4 4 4 0: x y z� � � � . 
Resolução
Fica perfeitamente claro que os planos π1 e π2 são paralelos e não coincidentes. 
E podemos tomar como vetor normal 
n � �� �1 2 2, , . Por outro lado, vamos escolher 
dois pontos, um em cada plano. 
Sejam P � �� ��1 0 0 1, , � e Q � � ��0 0 1 2, , �
Daí, PQ n
� ��� �
. , , . , , . . .� � � �� � � � � �� � � �1 0 1 1 2 1 1 1 0 2 1 2 1
E como 
n � � � �� � �1 2 2 32 2 2 , a dist
PQ n
n
� �
1 2
1
9
1
3
,
.
� � � � �
� ��� �
.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Veja o plano representado na imagem a seguir:
6
z
x
y
4
Ο
Usando o que aprendemos na Unidade e analisando a imagem, encontre a 
equação deste plano. 
Resolução
Seja a equação geral do plano � : ax by cz d� � � � 0 . Analisando a posição do 
plano na figura, vemos que o plano intercepta o eixo X no ponto A � � �4 0 0, , e o 
eixo Y no ponto B � � �0 0 6, , . Além disso, o plano é paralelo ao eixo Z; logo, o 
coeficiente da ordenada na equação geral do plano é b = 0 .
39
UNIDADE Estudo de Planos
Temos de buscar um terceiro ponto em α Para tal, podemos pensar em algum 
ponto que esteja, por exemplo, na reta de interseção de α com o plano XY, em que 
todas as abscissas são x = 4 e todas as cotas são z = 0 e a ordenada é qualquer. 
Seja, então, o ponto C � � �4 1 0, , que é distinto de A. Com esses três pontos, 
vamos formar dois vetores do plano � , , ,AB
� ���
� �� �4 0 6 e AC
� ���
� � �0 1 0, , . Agora é só 
encontrar o vetor normal a α, 
� � ��� � ���n AB AC� � . 
Logo, temos que:

 

 

n
i j k
i j k� � � �� � � � � � �� � � � �� �4 0 6
0 1 0
6 0 4 6 0 4, ,
Então o plano α: � : � � � �6 4 0x z d . Para encontrar o valor de d, vamos 
substituir as coordenadas de qualquer ponto do plano, digamos, o ponto A � � �4 0 0, , , 
o que implica em: � � � � � � � � � �6 4 4 0 0 24 0 24. . d d d . 
Logo: � : � � � �6 4 24 0x z ou, simplificando, � : 3 2 12 0x z� � � .
Exercício 2
Determinar o ângulo entre os planos α e β sabendo suas equações
� : 2 3 0x y z� � � � e � : x y� � �4 0 .
Resolução
Para encontrar o ângulo θ entre os planos usamos que:
cos
n n
n n
�
� �
� �
�
��� ���
��� ���
.
.
 onde n�
���
� �� �2 1 1, , é ortogonal a n�
���
� � �1 1 0, , é ortogonal a β. 
Então:
cos� �
�� � � �
�� � � �
�
� �
� � � �
�
2 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0
2 1 0
4 1 1 1 1 0
3
6
, , . , ,
, , . , , . . 22
3
2 3
3
2
� �
Logo, �
�
�
�
�
�
�
�
� �arc cos rd 
3
2 6
.
40
41
Exercício 3
Dado o plano π determinado pelos pontos A � �� �1 1 2, , , B � �� �0 3 2, , e
C � �� �1 2 6, , , obter o sistema de equações paramétricas de π.
ResoluçãoCom os três pontos, podemos formar dois os vetores do plano π, � � ���u AB� � � �� �1 2 0, , e �
� ���
v AC� � �� �2 3 4, , . 
Esses vetores não são paralelos; portanto, podem ser os vetores diretores de π . 
Utilizando o ponto A � �� �1 1 2, , temos a equações vetorial do plano, P A hu tv� � � .
Assim sendo, as equações paramétricas são:
� :
x h t
y h t
z t
� � �
� � � �
� �
�
�
�
�
�
1 2
1 2 3
2 4
.
Exercício 4
Obter a equação do plano β que passa pelos pontos A � � �1 2 0, , e B � � �3 0 1, , e 
é ortogonal ao plano � : .x y z� � � �3 0
Resolução
O vetor 
� � ���u AB� � �� ��2 2 1, , � . Além disso, o vetor v � �� �1 1 1, , é normal ao 
plano α. Como se deseja que � �� , então 
v é um vetor paralelo ao plano β.
Dessa forma, podemos encontrar um vetor normal a β, fazendo
  w u v� � .

 

w
i j k
i j k� �
�
� �� � � �� � � �� � � � �2 2 1
1 1 1
2 1 1 2 2 2 1 3 4, ,
Assim, a equação geral do plano � : x y z d� � � �3 4 0 . Para encontrar o 
coeficiente independente, é só substituir as coordenadas de um ponto de β na 
equação, digamos do ponto A � � �1 2 0, , , obtendo: 1 3 2 4 0 0 7� � � � � � �. . d d . 
Portanto, a equação do plano procurado é � : x y z� � � �3 4 7 0 .
41
UNIDADE Estudo de Planos
Exercício 5
A figura a seguir representa um galpão e os números representam as dimensões 
do galpão. Encontre as equações dos planos que contêm o telhado e as paredes do 
galpão (VENTURI, p. 171):
Resolução
Para cada plano, vamos determinar três pontos não colineares do plano para 
encontrar dois vetores diretores do plano. 
a) Telhado EIFH: E � � �0 0 8, , , F � � �20 0 8, , e H � � �20 6 10, , . Daí, 
EF
� ���
� � �20 0 0, , eFH
� ���
� � �0 6 2, , . S eP x y z� � �, , pertence ao telhado, temos 
EP x y z
� ���
� �� �, , 8 . 
Como os vetores EP EF FH
� ��� � ��� � ���
,� ,� são coplanares, temos que:
x y z
z y y z
�
� � �� � � � � � � � �
8
20 0 0
0 6 2
0 120 8 40 0 40 120 960 0
Simplificando, a equação do telhado EFIH é: y z� � �3 24 0 ;
42
43
b) Telhado IDGH: I � � �0 6 10, , , D � � �0 12 8, , e G � � �20 12 8, , . Daí, 
ID
� ��
� �� �0 6 2, , e DG
� ���
� � �20 0 0, , . Se P x y z� � �, , pertence ao telhado, temos (IP) 
IP x y z
���
� � �� �, ,6 10 e como os vetores IP ID DG
��� � �� � ���
, , são coplanares, temos que:
x y z
y z
� �
� � � � �� � � �� � �
6 10
0 6 2
20 0 0
0 40 6 120 10 0
� � � � � � � � � � �40 240 120 1200 0 6 3 30 0y z y z
A equação do telhado IDGH é: y z� � �3 36 0 .
c) Parede frontal ABGF: A � � �20 0 0, , , B � � �20 12 0, , e F � � �20 0 8, , . Daí, 
temos os vetores AB
� ���
� � �0 12 0, , e AF
� ���
� � �0 0 8, , . Se P x y z� � �, , pertence ao plano,
AP x y z
� ���
� �� �20, , e os três vetores AP AB AF
� ��� � ��� � ���
, � ,� são coplanares; portanto, temos:
x y z
x x
�
� � �� � � � � �
20
0 12 0
0 0 8
0 96 20 0 20 0 é equação da parede frontal.
d) Parede traseira OEDC é paralela à parede frontal e coincide com o plano 
YZ, logo sua equação é x = 0 ;
e) Parede lateral OAFE coincide com o plano XZ, logo sua equação é y = 0 ;
f) Parede lateral BCDG é paralela à parede OAFE; então, sua equação é do 
tipo y d� � 0 . Como C � � �0 12 0, , pertence a este plano, substituindo na equação, 
temos: 12 0 12� � � � �d d . Então, esse plano tem equação y � �12 0 . 
Exercício 6
Determine a distância do ponto P � �� �1 1 2, , ao plano � : 2 0x y z� � � . 
Resolução
Vamos usar a fórmula de distância de ponto a plano. 
Então temos:
dist P
ax by cz d
a b c
0
0 0 0
2 2 2
2 1 1 1 1 2 0
4 1 1
2 1
,
. . .
�� � � � � �
� �
�
� �� � � �
� �
�
� ��
�
2
6
5
6
dist P,�� � � 5 6
6
.
43
UNIDADE Estudo de Planos
Exercício 7
Obtenha as equações paramétricas do plano α que contém o ponto A � � �1 1 2, , . 
e é paralelo ao plano � :
x h t
y h t
z h
� � �
� �
� �
�
�
�
�
�
1 2
2 . 
Resolução
Pelas equações de β dois vetores diretores de β são 
u � �� �1 2 1, , e v � � �2 1 0, , . 
Como α é paralelo a β, α tem os mesmo vetores diretores. E como o ponto
A � � ��1 1 2, , � , um sistema de equações paramétricas de α pode ser:
� :
x r s
y r s
z r
� � �
� � �
� �
�
�
�
�
�
1 2
1 2
2
, r s, ∈ .
Exercício 8
Obtenha a equação geral do plano π que contém os pontos A � � �1 1 0, , e
B � � �� �1 1 1, , e é paralelo a v � � �2 1 0, , .
Resolução
Como π contém os pontos A e B, o vetor AB
� ���
� � �� ��0 2 1, , � . E como v é 
paralelo ao plano π, podemos encontrar um vetor normal a π fazendo 
� � ��� �n AB v� � .
Logo, 

 

 

n
i j k
i j k� � � � �� � � � �� � � �� � � �� �0 2 1
2 1 0
0 1 2 0 0 4 1 2 4, , . 
Dessa forma, a equação geral do plano é do tipo: x y z d� � � �2 4 0 . Basta 
substituir as coordenadas de um ponto de π para encontrar d, por exemplo, o 
ponto A � � �1 1 0, , . 
Daí temos que 1 2 0 0 1� � � � � �d d . Portanto, a equação geral procurada é:
� : x y z� � � �2 4 1 0 .
44
45
Exercício 9
Dadas as equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano
� : .
x h t
y h t
z t
� � �
� �
� �
�
�
�
�
�
1
2
3
Resolução
Vamos encontrar três pontos do plano π, estipulando valores para os parâmetros. 
Para
h t A
h t B
h t C
� � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
�
�
�
�
�
0 1 0 3
0 1 0 1 2
1 0 2 2 3
, ,
, , ,
, , ,
.
Logo, temos os vetores do plano π, AB
� ���
� � �� �1 1 1, , e AC
� ���
� � �1 2 0, , . Além disso, 
se P x y z� � ��, , � , consideremos o vetor AP x y z
� ���
� � �� �1 3, , . 
A condição de coplanaridade dos três vetores nos dá a equação geral do plano:
x y z
y z x z
� �
� � � � � � �� �� � � � �� � � �� �� � �
1 3
1 1 1
1 2 0
0 2 3 2 1 3 0 . 
� � �� � � � � � �� � � � � � � �y z x z x y z2 6 2 2 3 0 2 3 7 0� : .
Exercício 10
Dada uma equação geral do plano � : y z� � �2 0 , obtenha as equações 
paramétricas do plano.
Resolução
Para obter as equações paramétricas de π, precisamos encontrar dois vetores 
diretores. Observe que π é um plano paralelo ao eixo X. Logo, um vetor diretor 
pode ser o vetor 

i � � �1 0 0, , . Vamos encontrar dois pontos de π para formar o 
vetor diretor: 
y z A
z y B
AB
� � � � � � �� �
� � � � � � �
�
�
�
��
� � � �
0 2 0 0 2
0 2 0 2 0
0 2 2
, ,
, ,
, ,
� ���
. 
45
UNIDADE Estudo de Planos
 Então, se P x y z� � ��, , � um sistema de equações paramétricas pode ser obtido 
da equação vetorial: OP OA ri sAB
� ��� � ��� � � ���
� � � . 
Portanto:
� : , , , .
x r
y s r s
z s
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�2
2 2

 
Assim, chegamos ao fim da Unidade, esperando que tenham aproveitado bem 
e compreendido os conceitos tratados. 
Voltem aos exemplos e exercícios resolvidos se for necessário dirimir alguma dúvida.
46
47
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Representação de pontos no espaço tridimensional
Disponível em : https://goo.gl/AGnmSZ
O Plano no Espaço: 
Vídeo I: Equações Paramétricas do Plano:
http://goo.gl/BJWT4o
Vídeo II: Equação Cartesiana do Plano:
http://goo.gl/wk0Csx
 Leitura
Introdução à Geometria Espacial:
Disponível em : http://goo.gl/cpbrKE
Planos Coordenados:
Disponível em : http://goo.gl/goycss
Geometria Euclidiana Plana, de Almir Santos e Humberto Viglioni. Universidade Federal de Sergipe:
Disponível em : http://goo.gl/ndnBmt
Equações paramétricas do plano:
Disponível em : http://goo.gl/OoxGrD
47
UNIDADE Estudo de Planos
Referências
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares 
Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC, 2002. 
______. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+: Ensino Médio – 
orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. 
Brasília: MEC, 2002.
______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações 
Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas 
Tecnologias. Brasília: MEC/Seb, 2006.
CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento 
vetorial. 3.ed. São Paulo:Pearson Prentice Hall, 2006. 543p. v.1
CONDE, A. Geometria analítica. São Paulo: Atlas, 2004. (E-book) 
ERON & ISABEL. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica: retas e plano. 
(Notas de aula), CEFET-BA, 2007. Disponível em: <http://ganuff.weebly.com/
uploads/1/9/2/5/19255685/lgebra_vetorial_e_geometria_analtica_-_retas_e_
planos.pdf>. Acesso em: 5 abr. 2016.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução Hygino H. 
Domingues. São Paulo: Unicamp, 2004.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. 
8.ed. São Paulo: Atual, 1997. 374p. v.7
48
49
______ et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2010. v.3.
FEITOSA, Miguel Oliva. Cálculo vetorial e geometria analítica: exercícios 
propostos e resolvidos. São Paulo: Atlas, 1996.
JULIANELLI, José Roberto. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Habra, 1994.
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no plano: geometria analítica, vetores 
e transformações geométricas. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 2002.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 
2009. (E-book)
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron 
Books, 1995.
VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 10.ed. Curitiba: 
Biblioteca Central da UFPR, 2015. Disponível em: <http://www.geometriaanalitica.
com.br/>. Acesso em: 13 mar. 2016. 
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 
2000. 232p. v.1.
49