Prova final Objetiva Algebra Linear e Vetorial (MAD13)

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06/12/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Acadêmico: Sérgio Santos de Oliveira (1754035)
Disciplina: Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) - Individual FLEX ( Cod.:649341) ( peso.:3,00)
Prova: 23708124
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Um dos primeiros tópicos que é analisado no estudo das matrizes é o da construção de
matrizes, a partir de sua lei de formação. Com base nesta lei, os termos são calculados a partir
da posição que ocupa nas linhas e colunas da matriz. Considerando a lei de formação de matriz
dada por: A = (aij)2x2 definida por aij = i -2 j, classifique V para as opções verdadeiras e F para
as falsas:
( ) O elemento a11 de A é -1.
( ) O elemento a12 de A é -3.
( ) O elemento a21 de A é 1.
( ) O elemento a22 de A é -2.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - V - V.
 b) F - V - F - F.
 c) V - V - V - V
 d) V - V - F - V.
2. Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece
como raiz do polinômio característico. Já a multiplicidade geométrica de um autovalor é a
dimensão do subespaço de autovetores associados. No estudo de Álgebra Vetorial, estes
conceitos são muito importantes, pois nos dão a noção das dimensões que autovalores e
autovetores podem assumir. Sendo assim, determine a multiplicidade algébrica e geométrica de
todos os autovalores do operador linear representado pela matriz T a seguir, e assinale a
alternativa CORRETA:
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 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
3. Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na
mesma direção. Ao trabalhar com a noção de Espaço Vetorial, duas retas são paralelas e existe
um plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim sendo, elas estão na mesma
direção, mesmo que estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o
mesmo. Sendo assim, analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença I está correta.
 b) As sentenças II e III estão corretas.
 c) As sentenças I e III estão corretas.
 d) As sentenças I e IV estão corretas.
Anexos:
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
 
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4. A ortogonalidade entre dois vetores pode ser calculada. Trata-se de verificar se o ângulo
formado entre dois vetores é 90º. Para isto, podemos nos apoiar nos conceitos de produto
interno usual para auxiliar no processo. Com base nisso, analise as opções a seguir e assinale a
alternativa CORRETA:
 a) As opções I, II e III estão corretas.
 b) As opções I, III e IV estão corretas.
 c) As opções I, II e IV estão corretas.
 d) As opções II, III e IV estão corretas.
5. Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja norma resulta
na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos vetores utilizados na operação.
Supondo que estes vetores pertencem a um mesmo ponto e que eles possuem v = (1, -3, 2) e u
= (-2, -1, 3), determine aproximadamente a área do paralelogramo delimitado por estes vetores e
assinale a alternativa CORRETA:
 a) 7.
 b) 49
 c) 15,15
 d) 12,12
Anexos:
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial
 
6. Uma vez que um vetor é representado por uma matriz, isso também significa que ele pode ser
multiplicado por uma matriz. Essa multiplicação permite-nos transformar um vetor que está num
sistema de coordenadas qualquer em um vetor em outro sistema. Esse processo pode ser
chamado de Transformação Linear. Visto isto, leia atentamente a questão e assinale a
alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
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7. A matemática é repleta de regras e fórmulas, e cada uma foi criada visando a facilitar a vida do
ser humano. Os estudos sobre a matriz vêm desde o século XIX e trazem uma nova experiência
ao campo da matemática. Sobre as matrizes e os elementos associados, classifique V para as
sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da
diagonal principal.
( ) Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz não muda de sinal. 
( ) O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero.
( ) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1,
então o determinante dessa matriz será igual a zero.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - V - V.
 b) V - F - V - F.
 c) F - V - F - V.
 d) F - V - F - F.
8. Os autovalores e autovetores associados a uma matriz de transformação linear possuem uma
vasta aplicação na Álgebra Linear. Eles, por exemplo, permitem a realização da rotação de eixos
que, desta forma, podem alternar o posicionamento base de estruturas de posição fixa. Dos
conceitos puramente matemáticos relacionados com autovalores e autovetores, analise a
sentenças a seguir:
I- Os autovetores representam a direção que é conservada em uma Transformação.
II- O polinômio característico é uma transformação que possui grau igual à ordem da matriz da
transformação.
III- Os autovalores são a média das coordenadas dos autovetores.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença II está correta.
 b) As sentenças I e III estão corretas.
 c) Somente a sentença I está correta.
 d) As sentenças I e II estão corretas.
9. A Imagem de uma Transformação Linear é o conjunto de vetores de um espaço vetorial W, que
são imagens de pelo menos um vetor v que pertence a V (espaço de partida). Esta imagem deve
satisfazer a lei de formação da transformação e atingir assim um vetor de W. Analise as
sentenças a seguir para a transformação:
T(x, y, z) = (2x + y, y, z - x) 
Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O vetor v = (1, -2, 3) tem como imagem w = (0, 2, 2).
( ) O vetor v = (3, -1, 4) tem como imagem w = (5, -1, 1).
( ) O vetor v = (1, 0, 1) tem como imagem w = (2, 0, 0).
( ) O vetor v = (2, -4, 0) tem como imagem w = (0, 0, -2).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - V.
 b) V - F - V - F.
 c) F - V - V - F.
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 d) F - F - V - V.
10.As matrizes possuem disposição em linhas e colunas e, por este fato,podem ser facilmente
comparadas. Sabemos, desta forma, que duas matrizes são iguais se os termos que se
encontram indexados na mesma linha e coluna das matrizes a serem comparadas são iguais.
Baseado nisto, dadas as matrizes:
 a) Somente a afirmação III está correta.
 b) Somente a afirmação II está correta.
 c) Somente a afirmação I está correta.
 d) As afirmações I e II estão corretas.
11.(ENADE, 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa modelar
matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação problema, depois de
modelada, recaiu em um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, para o
qual a matriz dos coeficientes foi denominada M.
Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do sistema (Pa) era
igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (pa) e (Pc), têm valor equivalente ao
número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n.
Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, avalie as
afirmações que se seguem.
I- A matriz M é singular.
II- O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução.
III- É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme modelado.
IV- O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes quadradas de
M que tenham determinantes não nulos.
É correto apenas o que se afirma em:
 a) I e III.
 b) II e IV.
 c) II.
 d) I.
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12.(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande
interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo
do empreendimento relativamente à população beneficiada e a quantidade de água a
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de
matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do
Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água.
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões,
de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-
se o sistema de equações lineares AX = B, em que:
 a) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
 b) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
 c) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode
provocar sérios danos ambientais.
 d) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
Prova finalizada com 12 acertos e 0 questões erradas.