============FAC-AULA 2 CONGRUENCIA MODULO M V3

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Congruência 
módulo m 
 
 
Prof. Renato Padilha 
 
DIVISIBILIDADE 
 
 
 
CONGRUÊNCIA MÓDULO M 
 
Definição: 
 
 Sejam a e b dois números inteiros . Dizemos que o número a é 
congruente ao número b módulo m, onde m é um número inteiro não 
nulo,se e somente se, a diferença a-b for divisível por m≠0. 
SÍMBOLO: 
 1) a ≡ b (mód m) 
 
 2) a ≈ b (mód m) 
 
 3) a ≡ b 
 m 
Exemplo: 
 
( ) 10≡2 (mod 4 ) 
 
( ) 35≡10 (mod 5 ) 
 
( ) 12≡2 (mod 5 ) 
 
( ) 28≡1 (mod 9 ) 
 
( ) 24≡3 (mod 7 ) 
 
( ) 12≡7 (mod 6 ) 
 
 
 
 
 
TEOREMA 1: 
 
 Dizemos que 2 números inteiros são 
congruentes em relação a algum outro, quando 
deixa o mesmo resto na divisão por esse outro. 
 
26≡5 (mod 7 ) 
 
 26≡19 (mod 7 ) 
 
 
19≡5 (mod 7 ) 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 
7 8 9 10 11 12 13 
14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 
28 29 30 31 32 33 34 
35 36 37 38 39 40 41 
42 43 44 45 46 47 48 
49 50 51 52 53 54 55 
56 57 58 59 60 61 62 
 
12≡x (mod 4 ) 
 
0 1 2 3 
4 5 6 7 
8 9 10 11 
12 13 14 15 
16 17 18 19 
...................... 
...................... 
....................... 
 
 
 
12≡0 
 
12≡4 
 
12≡12 
 
16≡0 
 
16≡12 
Exemplo:04 
 
Dê todos inteiros positivos x menores que 100 
tais que : 
 a) X≡8 (mod 13 ) 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 
 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 
 52 53 ... 
 
 
 x={ 8, 21, ... } 
 
 
 
Exemplo:04 
 
Dê todos inteiros positivos x menores que 100 
tais que : 
 a) X≡8 (mod 13 ) X=13K+8 
 
Para k=0  X=13.0+8=8 
 k=1  X=13.1+8=21 
 k=2  X=13.2+8=34 
 k=3  X=13.3+8=47 ... 
 
 
 
 X= { 8, 21, 34, 47, ... } 
 
 
 
 
 
 
 
X = 13.K + 8 
Exemplo:05 
 
Dê todos inteiros positivos x menores que 100 
tais que : 
 a) X≡5 (mod 6 ) 
 
 b) X≡4 (mod 8 ) 
 
 c) X≡2 (mod 10 ) 
 
 d) X≡1 (mod 7 ) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:06 
 Se hoje é SEXTA-FEIRA que dia da semana será 
daqui a 1520 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 
SABADO DOMINGO 
 0 1 2 
3 4 5 6 7 8 9 
10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 
24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 
38 38 40 41 42 43 44 
SÁBADO 
CALENDÁRIO 
Exemplo: 
 
 Se hoje é TERÇA-FEIRA que dia da semana 
será daqui a 2000 dias? 
 
 
 
 
Exemplo:07 
 
2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 
SÁBADO DOMINGO 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
DOMINGO 
CALENDÁRIO 
PROPRIEDADES 
Adição 
Subtração 
PROPRIEDADES 
Multiplicação 
Divisão 
PROPRIEDADES 
Constante 
Potência 
PROPRIEDADES 
Identidade 
Inversa = 
Exercício 
Exercício 
Exercício 
N1= Q1 X D + R1 
N2= Q2 X D + R2 
 
N1XN2= ( Q1XD + R1). ( Q2XD+ R2) 
 = D²XQ1XQ2 + DXQ1XR2+ DXQ2XR1+ R1XR2 
 = D( DXQ1XQ2 + Q1XR2+Q2XR1) +R1XR2 
 = DXQ3 + R1XR2 
 
 N1XN2 ≡ R1XR2 mod ( D ) 
EXERCÍCIO 08 
QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 23 X 24 POR 7? 
EXERCÍCIO 09 
QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 2121 X 2123 X 2125 POR 12 ? 
EXERCÍCIO 10 
QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 7777 X 6666 X 5555 X 4444 POR 11 ? 
OPERAÇÕES: REVISÃO 
 a ≡ b c ≡ d 
 m m 
 P1: a + c ≡ b + d 
P2: a . c ≡ b . d 
P3: an ≡ bn 
OPERAÇÕES: 
 a ≡ b c ≡ d 
 m m 
P4: k . a ≡ k . b 
P5: a ≡ b = b ≡ a inversa 
Exercício 11 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 20062006 POR 5 ? 
 
Exercício 12 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 20061889 POR 5 ? 
 
Exercício 13 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 20042004 POR 5 ? 
 
Exercício 14 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 200477777 POR 5 ? 
 
Exercício 15 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 20062006 + 20042004 POR 5 ? 
 
Exercício 16 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
(20062006 + 20042004)2005POR 5 ? 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 251 POR 7 ? 
Exercício 17 
 
RESTO=1 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 251 + 3 POR 7 
? 
Exercício 18 
 
RESTO=0 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 253 POR 7 ? 
Exercício 19 
 
RESTO=4 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 253 + 5 POR 7 ? 
Exercício 20 
 
RESTO=2 
 
Exercício 21 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 3541 POR 20 ? 
 
A) 3 B) 7 C) 5 D) 11 E) 13 
RESTO=3 
 
Exercício 22 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 22005 POR 5 ? 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
RESTO=2 
 
Exercício 23 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 1720.000 POR 2 ? 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
RESTO=2 
 
Exercício 24 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 122122123124 POR 11 ? 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
RESTO=1 
 
Exercício 25 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 15411600 POR 5 ? 
 
RESTO=1 
 
Exercício 26 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 14061000 POR 7 ? 
 
RESTO=1 
 
Exercício 27 
  QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 409200 + 407400 POR 4 ? 
 
RESTO=2 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 52000 POR 18 ? 
 
 
Exercício 28 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 5749 + 7749 +11749 + 13749 
POR 9 ? 
 
RESTO=0 
 
Exercício 29 
  QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 1310000 POR 3 ? 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 152012 POR 7 ? 
 
 
Exercício 30 
  QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 2653 POR 7 ? 
 
 QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE 
 
 
 51000 POR 18 ?