3 09 COC Derivadas I

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
 
PROF. ROBERTO CARLOS LOURENÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BLOCO 3. DERIVADAS – PARTE I 
Neste bloco, estudaremos a derivada de uma função, apresentando de forma 
geométrica e algébrica. 
A derivada é uma importante ferramenta da Matemática que pode colaborar com 
diversas áreas da nossa sociedade, sendo, na verdade, uma ferramenta que mede a 
taxa de variação de uma função. 
Com o objetivo de explicar da melhor forma esse conteúdo fundamental de Cálculo, 
estudaremos a derivada como taxa de variação, a definição da derivada de uma 
função, seguindo em inclinação de uma curva, e também conheceremos as derivadas 
de algumas funções elementares e as propriedades operatórias das derivadas. 
 
3.1 Derivada como taxa de variação 
Com o gráfico de y = f(x), podemos identificar algumas propriedades dessa função, 
como: Crescimento; Decrescimento; Valores máximos; Valores mínimos. Em alguns 
casos, a construção do gráfico não é fácil!!! 
Então, podemos utilizar a DERIVADA de uma função. 
 
Taxa de variação 
Observando o gráfico da função afim y = 2 x + 3, temos: 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente a cada unidade do x é 2. 
Observando a tabela de uma função y = - 3 x + 5, temos: 
3 
 
 
 
3 
 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente a cada unidade do x é -3. 
De um modo geral, dada uma função afim f(x) = ax + b, consideremos dois pontos 
quaisquer x1 e x2, sendo x1 < x2. Quando x varia de x1 até x2, f(x) varia de y1 = f(x1) = a x1 
+ b até y2 = f(x2) = a x2 + b, ou seja, para uma variação de x igual a x2 – x1, temos: 
f(x2) – f(x1) = (a x2+ b) – (a x1 + b) = a . (x2 – x1) 
 
Calculando: 
ar
xx
xxar
xx
xfxfr =⇔
−
−
=⇔
−
−
=
12
12
12
12 ).()()(
 
Então, a é a taxa de variação de f(x) entre x1 e x2. 
Para uma função afim, o estudo do crescimento ou do decrescimento resume-se à 
determinação de sua taxa de variação: 
12
12 )()(
xx
xfxfa
−
−
=
 
que é constante em qualquer intervalo [x1, x2]. 
 
Essa taxa também é chamada DERIVADA de f(x) = ax + b. 
Exemplo: 
A temperatura θ de um forno, ao ser desligado, varia com o tempo de acordo com a 
expressão θ = 300 – 12 t (θ em °C e t em minutos) até que se atinja a temperatura 
ambiente que é 16°C. Qual a derivada de θ em relação a t? 
 
 
 
4 
 
 
Portanto, a derivada de θ em relação a t é -12°C. 
 
3.2 Derivada de uma função 
De modo geral, se uma função y = f(x) não é do 1o. grau, então a taxa de variação em 
relação a x não é um valor constante, dependendo do ponto que se observa. 
Dessa forma, vamos estudar a taxa de variação média entre x1 e x2, generalizando o 
conceito de DERIVADA para as demais funções. 
Observando o gráfico da função quadrática y = x² - 4, temos: 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente a cada unidade não é constante. 
Observando a tabela de uma função y = - x³ + 10, temos: 
 
 
 
5 
 
 
Nesse caso, a taxa de variação referente cada unidade não é constante. 
 
A taxa de variação 12
12 )()(
xx
xfxfr
−
−
=
depende do intervalo considerado, sendo r taxa de 
variação média entre x1 e x2. 
Para determinar a taxa de variação de f(x) em um determinado ponto x0, recorremos à 
noção de limite. 
0
0
0
)()(
lim)´(
0 xx
xfxf
xf
xx −
−
=
→
 
Quando os limites indicados não existem ou não são finitos, então dizemos que a 
função f(x) não tem derivada no ponto considerado. 
Exemplo: 
Seja f(x) = x², procure a derivada dessa função no ponto onde x = 3, ou seja, f´(3). 
 
Portanto, a derivada dessa função para x = 3 é 6, ou seja, f´(3) = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
3.3 Inclinação de uma curva 
A partir do gráfico de uma função, podemos obter uma importante interpretação da 
noção de derivada. Estudando as retas secante e tangente ao gráfico da função, é 
possível identificar a inclinação de uma curva. 
Na figura a seguir, a reta r é secante ao gráfico da função f, pois passa pelos dois 
pontos A e B. 
 
Na figura a seguir a reta t é tangente ao gráfico da função f, pois passa por pelo P. 
 
 
3.3.1 Reta secante 
A taxa média de variação de f no intervalo [a, b] é o coeficiente angular da reta r que 
passa pelos pontos P e Q. 
 
 
 
7 
 
 
 
ab
afbf
x
y
−
−
=
∆
∆ )()(
 
Exemplo: 
Determine a taxa média de variação da função f(x) = 2x² - 5 no intervalo [0, 3]. 
 
Portanto, a taxa média de variação de f no intervalo [0, 3] é 6. 
 
3.3.2 Reta tangente 
Reta tangente é a aproximação linear de um gráfico em um ponto, onde o problema da 
determinação da inclinação de um gráfico reduz ao se achar o coeficiente angular da 
tangente naquele ponto. Dessa forma, define-se a inclinação de um gráfico. 
 
 
 
8 
 
 
x
xfxxfm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim
0 
Onde m é a inclinação de um gráfico f no ponto (x, f(x0)) 
Equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)): 
y – y0 = m . (x – x0) 
ou 
f(x) – f(x0) = m . (x – x0) 
 
Onde m é o coeficiente angular. 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxfm
xx −
−
=
→
 
Exemplo: 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto em que x = 1. 
3)( xxf = 
Resolução: 
Equação da reta tangente tem esse formato: y – y0 = m . (x – x0) 
 
 
 
9 
 
 
Portanto, a equação da reta tangente é: 
( ) 0
3
2
3
11.
3
11 =+−⇔−=− yxxy
 
 
3.4 Derivada de funções elementares 
3.4.1 Derivada da função constante 
Explicação: 
Seja f(x) = c, c Є R. 
A derivada de f(x) pela definição é: 
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)´(
0
 
 
Temos: 
00lim0limlim)´(
000
==
∆
=
∆
−
=
→∆→∆→∆ xxx xx
ccxf 
 
Portanto, a derivada de uma função constante é sempre zero. 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
 
 
 
 
10 
 
0)('15)()
0)(')()
0)('7)()
=⇒−=
=⇒=
=⇒=
xfxfc
xfxfb
xfxfa
π
 
3.4.2 Derivada da função potência 
Explicação: 
Seja *,)( Znondexxf n ∈= . 
A derivada de f(x) pela definição é: 
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)´(
0
 
Temos: 
x
xxxxf
nn
x ∆
−∆+
=
→∆
)(lim)´(
0
 
Aplicando o desenvolvimento binomial, temos: 
1
1
2
1
0
1
2
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
.)('
)(...).(
2
)1(lim)´(
)(...).(
2
)1(
lim)´(
)(...).(
2
)1(
lim)´(
)(...).(
2
)1(
lim)´(
−
−
−
−
→∆
−
−
−
→∆
−
−
→∆
−
−
→∆
=⇔






∆++∆
−
+=⇔
∆






∆++∆
−
+∆
=⇔
∆
∆++∆
−
+∆
=⇔
∆
−∆++∆
−
+∆+
=
n
n
n
x
x
n
n
x
x
n
n
x
x
nn
n
xn
x
xnxf
xxxnnnxxf
x
xxxnnnxx
xf
x
xxxnnxnx
xf
x
xxxxnnxnxx
xf
 
 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
 
 
 
 
11 
 
76
45
).6()(')()
.5)(')()
−− −=⇒=
=⇒=
xxfxxfb
xxfxxfa
 
Portanto, a derivada da função potência é 
*,)( Znondexxf n ∈=
 
é ..)(' 1−= nxnxf 
 
3.4.3 Derivada da função múltiplo constante 
Explicação: 
Para h(x)=C . f(x), onde C é um número real e f(x) uma função, temos: 
h(x)=C . f(x) => h’(x) = C . f’(x) 
Portanto, a derivada de uma função (h) onde existe um número real (C) multiplicando 
com uma outra função (f), basta multiplicar a constante (C) com a derivada da função 
(f’). 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
 
776
445
.12)(').6.(2)('.2)()
.35)('.5.7)('.7)()
−−− −=⇔−=⇒=
=⇔=⇒=
xxfxxfxxfb
xxfxxfxxfa
 
3.4.4 Derivada da função exponencial 
Explicação: 
)ln(.)(')10(,)( aaxfentãoaeaaxfSe xx =≠>= 
Portanto, a derivada da função exponencial é: 
)ln(.)(')10(,)( aaxfaeaaxf xx =⇒≠>= 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Exemplo: 
Apresente a derivada de cada função: 
xxx
xx
exfeexfexfb
xfxfa
=⇔=⇒=
=⇒=
)('ln.)(')()
5ln5)('5)()
 
Sendo e o número de Euler, temos esse caso particular. 
 
3.4.5 Derivada da função logarítmica 
Explicação: 
ax
xfentãoaeaxxfSe a ln.
1)(')10(),(log)( =≠>= 
Portanto, a derivada da função logarítmica é: 
ax
xfaeaxxf a ln.
1)(')10(),(log)( =⇒≠>= 
Exemplo: 
Apresente a derivada de cada função: 
x
xf
ex
xfxxfb
x
xfxxfa
e
1)('
ln.
1)(')(log)()
7ln.
1)(')(log)() 7
=⇔=⇒=
=⇒=
 
Sendo e o número de Euler, temos esse caso particular. 
 
3.4.6 Derivada das funções trigonométricasExplicação: 
Função seno 
A derivada da função seno é a função cosseno. 
f(x) = sen x => f’(x) = cos x 
 
 
 
 
 
13 
 
Função cosseno 
A derivada da função cosseno é o oposto da função seno. 
f(x) = cos x => f’(x) = - sen x 
 
Função tangente 
)²(sec)(')( xxftgxxf =⇒= 
 
Função cotangente 
)²(cos)('cot)( xecxfgxxf −=⇒= 
 
Função secante 
)().sec()('sec)( xtgxxfxxf =⇒= 
 
Função cossecante 
)(cot).(cos)('cos)( xgxecxfecxxf −=⇒= 
 
3.5 Propriedades operatórias das derivadas 
3.5.1 Soma 
Explicação: A derivada da soma é a soma das derivadas. 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
[ ] )(')(')()()(')()()( xgxfxgxf
dx
dxhxgxfxh +=+=⇒+= 
 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
a) f(x) = 13 x³ + 2x² + x 
=> f’(x) = 13. 3. x² + 2. 2. x + 1 = 39 x² + 4x + 1 
 
b) f(x) = x³ + sen(x) + 7 
=> f’(x) = 3.x² + cos(x) + 0 = 3x² + cos(x) 
 
 
 
 
14 
 
3.5.2 Diferença 
Explicação: A derivada da diferença é a diferença das derivadas. 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
[ ] )(')(')()()(')()()( xgxfxgxf
dx
dxhxgxfxh −=−=⇒−= 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
a) f(x) = 5 x³ - 2x² 
=> f’(x) = 5. 3. x² - 2. 2. x = 15 x² - 4x 
 
b) f(x) = x³ - cos(x) - 7 
=> f’(x) = 3.x² - [-sen(x)] - 0 = 3x² + sen(x) 
 
3.5.3 Produto 
Explicação: A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da 
primeira função pela segunda função mais o produto da primeira função pela derivada 
da segunda função. 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
[ ] )(').()().(')().()(')().()( xgxfxgxfxgxf
dx
dxhxgxfxh +==⇒= 
Exemplos: 
Apresente a derivada de cada função: 
a) f(x) = 5 x³ . sen(x) 
=> f’(x) = 5. 3. x² . sen(x) + 5x³ . cos(x) = 15 x².sen(x) + 5x³.cos(x) 
 
b) f(x) = x² . tg(x) 
=> f’(x) = 2.x . tg(x) + x² . sec²(x) 
 
3.5.4 Quociente 
Explicação: A derivada do quociente de duas funções é igual o produto do 
denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela 
derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. 
 
 
 
15 
 
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então: 
)²(
)(').()().('
)(
)()('0)(,
)(
)()(
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
dxhxgcom
xg
xfxh −=





=⇒≠= 
Exemplo: 
Apresente a derivada da função: 
)²(sec
)²(cos
1
)²(cos
)²()²(cos)('
)²(cos
)]().[()cos().cos()('
)cos(
)()(
x
xx
xsenxxf
x
xsenxsenxxxf
x
xsenxf
==
+
=⇔
−−
=⇒=
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a derivada como taxa de variação comparando gráficos e 
tabelas da função, definindo a derivada de uma função, analisando a inclinação de 
uma curva. Conhecemos também as retas secante e tangente em relação ao gráfico da 
função, as derivadas de algumas funções elementares e as propriedades operatórias 
das derivadas para ser possível realizar os cálculos necessários. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro de Carvalho 
Patarra. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994