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Raciocínio Lógico
3ª edição
Rio de Janeiro
UVA
2016
Denise Candal
 
Raciocínio Lógico
3ª edição
Rio de Janeiro
UVA
2016
Copyright © UVA 2015
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer 
meio sem a prévia autorização desta instituição.
Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográfico 
da Língua Portuguesa.
ISBN: 978-85-65812-39-9
Autoria do Conteúdo
Denise Candal
Design Instrucional
Wagner G. A. Destro
Projeto Gráfico
UVA
Diagramação
Raphaela Saules
Revisão
Janaina Vieira
Tássia Braga
Lydianna Lima
Ficha Catalográfica elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UVA.
Biblioteca Maria Anunciação Almeida de Carvalho.
C216r Candal, Denise.
 Raciocínio lógico [livro eletrônico] / Denise Candal. – 
 3. ed. – Rio de Janeiro : UVA, 2016. 
 
 1,2 MB. 
 ISBN 978-85-65812-39-9 
 Disponível também impresso.
 1. Lógica simbólica e matemática. 2. Matemática. 3. 
 Raciocínio. 4. Lógica. I. Universidade Veiga de Almeida. 
 II. Título.
 
 CDD – 511.3
SUMÁRIO
Apresentação...............................................................................................................7
Sobre a autora..............................................................................................................8 
Capítulo 1 - Fundamentos da Lógica..........................9
Fundamentos da Lógica.............................................................................10
Proposições e conectivos lógicos..........................................................14
Análise lógica por meio de tabela-verdade.....................................34
Referências......................................................................................................41
Capítulo 2 - Estruturas lógicas...................................43
Equivalência lógica e negação de proposições.............................44
Diagrama lógico............................................................................................64
Lógica de argumentação..........................................................................80
Referências.....................................................................................................89
Capítulo 3 - Raciocínio lógico-matemático...............91
Razão e Proporção.........................................................................................92
Outras questões sobre lógica matemática...................................112
Introdução ao estudo de matrizes e determinantes...................118
Referências....................................................................................................139
Capítulo 4 - Análise combinatória..............................141
Princípio fundamental da contagem............................................142
Arranjo e permutação..............................................................................153
Combinação.....................................................................................161
Referências....................................................................................................168
Considerações finais.........................................................169
7
APRESENTAÇÃO
 
APRESENTAÇÃO
Este livro trata de conceitos e aplicações a respeito do tema Raciocínio 
lógico.
A palavra “raciocínio” tem origem no termo em latim ratiocinatio e, se-
gundo o Dicionário Michaelis, significa: “ato, faculdade ou maneira de 
raciocinar, operação intelectual discursiva, pela qual, da afirmação de 
uma ou mais de uma proposição, passamos a afirmar outra em virtude 
de uma conexão necessária com as primeiras, encadeamento de argu-
mentos, juízo, objeção, ponderação, inteligência, razão.” 
Quando precisamos tomar uma decisão, chegar a uma conclusão ou 
resolver um problema, estamos diante de uma questão a respeito da 
qual precisamos utilizar o nosso raciocínio lógico — que reúne, ao mes-
mo tempo, processo de conscientização, capacidade de estruturação e 
organização do pensamento. Trata-se de uma sequência de juízos ou 
argumentos usados para chegarmos a uma determinada conclusão. 
Assim, a partir do conteúdo deste livro, vamos tratar de alguns tópicos 
e conceitos de raciocínio lógico, de modo que capacidade crítica e senso 
argumentativo sejam desenvolvidos, possibilitando organização e estu-
do de situações cotidianas, potencializando-se a capacidade de criação 
e interpretação.
Desejamos que você aproveite ao máximo esta experiência e que a lei-
tura desta obra promova uma oportunidade de reflexão sobre os conte-
údos abordados, contribuindo efetivamente para o seu enriquecimento 
cultural e acadêmico.
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SOBRE A AUTORA
Denise Candal é doutora em Engenharia de Sistemas e Computação 
pela COPPE Sistemas - Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Gradua-
ção e Pesquisa de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janei-
ro – UFRJ (2005), mestre em Informática - Otimização pelo Núcleo de 
Computação Eletrônica - NCE, da Universidade Federal do Rio de Janei-
ro - UFRJ (2000) e licenciada e bacharel em Matemática pela Universida-
de Federal Fluminense - UFF (1988). Professora universitária, atua nos 
cursos de Engenharia, Sistema de Informação, Pedagogia, Administra-
ção e Marketing da Universidade Estácio de Sá. 
LATTES: http://lattes.cnpq.br/3313896272608196
9Fundamentos da Lógica
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CAPÍTULO 1 
FUNDAMENTOS DA LÓGICA
Este capítulo trata do estudo dos fundamentos da Lógica 
Matemática. Essencialmente, a Lógica Matemática estuda a 
natureza do raciocínio, auxiliando no aprimoramento da 
sua utilização e constituindo uma ferramenta poderosa 
para desenvolver uma sequência de pensamentos que per-
mitem reconhecer contradições, eliminando a probabilida-
de de ocorrência de erros.
Ela [a Lógica] lhe dará clareza de pensamento, a ha-
bilidade de ver seu caminho através de um quebra-
-cabeça, o hábito de arranjar suas ideias numa for-
ma acessível e ordenada e, mais valioso que tudo, 
o poder de detectar falácias e despedaçar os argu-
mentos ilógicos e inconsistentes que você encontra-
rá tão facilmente nos livros, jornais, na linguagem 
cotidiana e mesmo nos sermões e que tão facilmen-
te enganam aqueles que nunca tiveram o trabalho 
de instruir-se nesta fascinante arte. (CARROLL)
Fundamentos da Lógica10
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FUNDAMENTOS DA LÓGICA
Mas para que estudamos Lógica?
O indivíduo que pensa e raciocina de maneira crítica, inde-
pendentemente da sua área de atuação, possui uma dife-
renciação poderosa. O desempenho profissional e a capaci-
dade de raciocinar logicamente estão intimamente ligados, 
uma vez que esta desenvolve a habilidade que vai permitir 
que os indivíduos consigam elaborar argumentos válidos 
e convincentes e identificar argumentações enganosas ou 
tendenciosas. A Lógica estuda conceitos, juízos e raciocí-
nios, constituindo-se uma ferramenta que nos permite re-
conhecer contradições e eliminar probabilidades de erro, 
objetivando, ainda, demonstrar se um argumento utilizado 
é válido ou ambíguo,evitando o duplo sentido e a falta de 
definições precisas.
Alguns nomes representativos da Lógica
Aristóteles, o criador da Lógica Formal
Aristóteles (século IV a.C. 384-322 a.C.), filósofo grego, alu-
no de Platão e professor de Alexandre, o Grande, um dos 
maiores pensadores de todos os tempos, é considerado o 
criador do pensamento lógico, o fundador da lógica for-
mal. Aristóteles determinou que a validade lógica de um 
raciocínio depende de sua forma ou estrutura, e não de seu 
conteúdo. Para Aristóteles, a Lógica era um instrumento 
para todas as ciências, e preocupava-se basicamente com 
as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos 
11Fundamentos da Lógica
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considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhe-
cimentos.
As obras de Aristóteles sobre lógica foram reunidas e pu-
blicadas de forma sistematizada no século II da era cris-
tã, por Alexandre de Afrodísia. Essa obra, designada Or-
ganun, que significa “ferramenta para o correto pensar”, 
estabeleceu princípios tão sólidos e robustos que até hoje 
são considerados válidos. 
Leibniz e Ambiguidade
Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716), filósofo e 
matemático alemão, acreditava que a linguagem comum 
era muito propensa a imprecisões e ambiguidades. Dessa 
forma, Leibniz desenvolveu uma linguagem artificial, uma 
língua racional, uma espécie de cálculo universal para o ra-
ciocínio, na qual as estruturas do pensamento eram subs-
tituídas pelas estruturas do cálculo, leis sintáticas lógicas. 
Leibniz, com procedimentos análogos aos procedimentos 
matemáticos, construiu uma linguagem universal baseada em 
um alfabeto do pensamento ou characteristica universalis.
Em 1666, aos 20 anos, Leibniz esboçou um método para 
reduzir pensamentos de qualquer tipo e sobre qualquer 
assunto a enunciados de perfeita exatidão, chamado De 
arte combinatória (sobre a arte das combinações).
Boole e sua Álgebra Booleana
George Boole (1815-1864), matemático inglês, concebeu 
uma analogia entre símbolos algébricos e aqueles repre-
sentativos das formas lógicas. Boole criou uma álgebra da 
Fundamentos da Lógica12
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lógica, publicando um trabalho intitulado An Investigation 
of the Laws of Thought on Which to Found the Mathema-
tical Theories of Logic and Probabilities, em 1854. Esse 
trabalho deu origem à Álgebra Booleana, com aplicações 
em construção de computadores, circuitos e sistemas de 
comunicação. Vale ressaltar que esse estudo foi publicado 
quase um século antes que os computadores digitais fos-
sem inventados.
Princípio da Casa dos Pombos
Há diversos problemas envolvendo Raciocínio Lógico e Ló-
gica Matemática que são deveras interessantes. Um proble-
ma clássico é o Princípio da Casa dos Pombos. Esse pro-
blema é também conhecido por Princípio das Gavetas de 
Dirichlet (Schubfachprinzip = "princípio das gavetas"), pois 
foi utilizado pela primeira vez, em 1834, por Johann Peter 
Gustav Lejeune Dirichlet, matemático alemão.
A ideia desse princípio é que, se temos um pombal no qual 
existem mais pombos que casinhas disponíveis, então al-
gumas casinhas abrigarão pelo menos dois pombos.
De maneira simplificada, podemos enunciar o Princípio da 
Casa dos Pombos como: “Se tivermos n+1 pombos para 
serem colocados em n casas, então pelo menos uma casa 
deverá conter, pelo menos, dois pombos.”
Se pensarmos em termos do Princípio das Gavetas, enun-
ciamos: “Se temos n objetos para serem guardados em n 
gavetas, então pelo menos uma gaveta deverá conter mais 
de um objeto.” 
13Fundamentos da Lógica
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1. Quantas pessoas devemos ter em uma sala, no mínimo, para 
termos a certeza de que duas delas fazem aniversário no mes-
mo mês?
Resolução:
Precisamos pensar no “pior dos mundos”, ou seja, no fato de 
cada pessoa fazer aniversário em um mês diferente. Dessa for-
ma, teremos a “certeza” que o problema nos pede. 
Associamos, então, cada pessoa ao seu mês de nascimento.
Pelo Princípio das Casas de Pombos, como temos 12 casas, pre-
cisaríamos ter 13 pessoas, pois a 13a pessoa fará aniversário em 
um dos meses já contemplados.
2. Em uma caixa há duas cores de bolas, sendo cinco vermelhas 
e três azuis. Quantas bolas devemos tirar da caixa para garantir-
mos que haja duas bolas de cores diferentes?
Resolução:
Note que precisamos pensar no “pior dos mundos”, na “pior das 
hipóteses”. Assim, teremos a garantia do que se pede.
A pior das hipóteses será retirarmos as cinco bolas vermelhas e, 
só então, na sexta bola removida, retirarmos a bola azul. 
Assim, seriam seis bolas retiradas.
14
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Fundamentos da Lógica
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS LÓGICOS 
Há uma significativa ligação entre a semântica de deter-
minada língua, a linguagem corrente e a Lógica Matemáti-
ca. A Semântica trata da análise das sentenças, da relação 
dos elementos de uma língua e seus significados, tendo 
por objetivo escrever ou mesmo traduzir as sentenças da 
língua natural de uma forma lógica. É interessante que se 
perceba que podemos comparar os constituintes sintáticos 
e os componentes da lógica. A construção do significado 
nas línguas naturais está ligada intimamente à sintaxe e às 
estruturas lógicas das sentenças. A estruturação das sen-
tenças pode modificar o seu sentido. Sabemos que quando 
estamos considerando o significado de uma sentença não 
podemos simplesmente considerar o somatório dos signifi-
cados das palavras que a compõem, mas, sim, observar as 
estruturas sintáticas e lógicas para que haja uma interpre-
tação correta da sentença.
Agora trataremos da estrutura equivalente às sentenças da 
gramática da lógica matemática: as proposições.
Proposições
Chamamos de proposição todo conjunto de palavras ou sím-
bolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Proposições simples e proposições compostas
Podemos classificar as proposições como simples ou com-
postas. Chamamos proposição simples ou proposição atô-
15Proposições e conectivos lógicos
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mica àquela que não contém outra proposição como parte 
de si mesma. De modo geral, as proposições simples são 
representadas por letras latinas minúsculas, como, por 
exemplo, p, q, r.
Exemplos de proposições simples:
p: João é inteligente.
q: Vamos ao teatro amanhã.
Chamamos de proposição composta ou proposição mole-
cular àquela formada pela combinação de duas ou mais 
proposições simples. De modo geral, as proposições com-
postas são representadas por letras latinas maiúsculas, 
como, por exemplo, P, Q, R.
Exemplos de proposições compostas:
R: João é inteligente e José é brilhante.
S: João é inteligente ou José é brilhante.
T: Se João é inteligente, então José é brilhante.
As proposições são equivalentes às orações e, portanto, 
possuem sujeito e predicado. Além disso, as proposições 
são orações declarativas, e nunca exclamativas, interroga-
tivas ou imperativas. 
Princípios da lógica matemática
Um princípio, de acordo com o Dicionário Priberamda 
Língua Portuguesa, é a origem, o fundamento, a base de 
uma ciência. 
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Fundamentos da Lógica
prin•cí•pi•o 
(do latim – principium, -ii)
substantivo masculino
1. O primeiro impulso dado a uma coisa ≠ FIM.
2. Ato de principiar uma coisa = COMEÇO, INÍCIO ≠ 
FIM.
3. Origem.
4. Causa primária = BASE, FUNDAMENTO, ORIGEM
5. O que constitui a matéria.
6. O que entra na composição de algo = COMPONEN-
TE.
7. Opinião.
8. Frase que exprime uma conduta ou um tipo de 
comportamento = LEI, MÁXIMA, SENTENÇA.
9. Aquilo que regula o comportamento ou a .ação de 
alguém; preceito moral = LEI, NORMA, REGRA.
10. Frase ou raciocínio que é base de uma arte, de 
uma ciência ou de uma teoria.
A lógica clássica é regida por dois princípios: o da não con-
tradição e o do terceiro excluído.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode 
ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é ver-
dadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses ca-
sos, nunca um terceiro. 
17Proposições e conectivos lógicos
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O princípio da não contradição pode ser interpretado 
como: dadas duas proposições contraditórias, ou seja, 
uma sendo a negação da outra, uma delas é falsa.
Dizemos que a lógica clássica, por conta desses princípios, 
é bivalente, uma vez que as proposições simples são ou 
verdadeiras ou falsas. A opção verdadeira exclui a opção 
falsa, e vice-versa.
Observamos, então, a necessidade de determinar se uma 
proposição é verdadeira ou falsa. A essa determinação, cha-
mamos de valor-verdade ou valor lógico das proposições.
Valor lógico
Chamamos o valor lógico de uma proposição de verdade 
(V), se a proposição é verdadeira, e falsidade (F), se a pro-
posição é falsa.
De acordo com os Princípios da Lógica Matemática pode-
mos afirmar que: toda proposição tem um, e um só, dos 
valores: V ou F.
p: Brasília é a capital da Argentina. 
V(p) = F
q: O produto de dois números inteiros negativos é um número 
inteiro positivo.
V(q) = V
Tabela-verdade
A tabela-verdade é um dispositivo prático utilizado para 
facilitar a determinação do valor lógico de uma proposição 
composta.
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Fundamentos da Lógica
A construção da tabela-verdade de uma proposição com-
posta consiste em representar todos os valores lógicos 
possíveis das proposições simples componentes e suas 
combinações.
Convém observarmos que o valor lógico de uma proposi-
ção composta depende unicamente dos valores lógicos das 
proposições simples componentes.
Vejamos as possibilidades de proposições compostas, com 
uma e duas proposições simples. 
Proposição simples:
P
V
F
Proposição composta com duas proposições simples:
Para a construção desta tabela, precisamos considerar as 
alternativas possíveis. Note que podemos ter:
• As duas proposições verdadeiras.
• A primeira proposição verdadeira e a segunda falsa.
• A primeira proposição falsa e a segunda verdadeira.
• As duas proposições falsas.
p q
V V
V F
F V
F F
19Proposições e conectivos lógicos
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Proposições compostas com três proposições simples:
Para a construção dessa tabela, precisamos considerar as 
alternativas possíveis. Note que podemos ter:
• Todas as três proposições verdadeiras.
• Duas proposições verdadeiras e uma falsa.
• Uma proposição verdadeira e duas falsas.
• Todas as proposições falsas.
Precisamos considerar, inclusive, quais são as alternativas 
verdadeiras e quais são as falsas.
p q r
V V V
V V F
V F V
F V V
V F F
F V F
F F V
F F F
Os conectivos
No estudo da aritmética e da álgebra, efetuamos operações 
(adição, subtração, multiplicação, divisão) com seus ele-
mentos: os números. Fazendo uma analogia com a Lógica, 
podemos efetuar operações com os seus elementos bási-
cos: as proposições.
Trataremos agora de operações sobre as proposições, uti-
lizando elementos conhecidos em lógica como conectivos, 
20
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Fundamentos da Lógica
símbolos análogos aos da aritmética e álgebra: soma (+), 
subtração (-), multiplicação (x) e divisão (/). Esse estudo é 
denominado Cálculo Proposicional.
Novas proposições compostas podem ser criadas a partir de 
outras proposições. Essas operações lógicas são realizadas 
com o auxílio dos conectivos.
Assim, os conectivos são símbolos lógicos com os quais 
efetuamos as operações lógicas, as quais obedecem às re-
gras do cálculo proposicional. 
Os conectivos utilizados na lógica proposicional são:
1. Negação
Simbologias: ~, ¬ , ´
Linguagem corrente: “não”, “é falso que”.
2. Conjunção
Simbologia: ˄
Linguagem corrente: “e”, “mas”, “além disso”, “tam-
bém”.
3. Disjunção
Simbologia: ˅
Linguagem corrente: “ou”
4. Condicional
Simbologia: →
Linguagem corrente: “se... então”, “implica”, “logo”.
5. Bicondicional
Simbologia: ↔
Linguagem corrente: “...se e somente se...”.
21Proposições e conectivos lógicos
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Sejam as proposições:
p: O lucro operacional da empresa melhorou no terceiro trimes-
tre.
q: A receita da empresa ficou abaixo das expectativas.
Teremos, então:
~p: O lucro operacional da empresa não melhorou no terceiro 
trimestre.
~q: A receita da empresa não ficou abaixo das expectativas.
p ˄ q: O lucro operacional da empresa melhorou no terceiro 
trimestre e a receita da empresa ficou abaixo das expectativas. 
p ˅ q: O lucro operacional da empresa melhorou no terceiro 
trimestre ou a receita da empresa ficou abaixo das expectativas. 
p → q: Se o lucro operacional da empresa melhorou no terceiro tri-
mestre, então a receita da empresa ficou abaixo das expectativas.
p ↔ q: O lucro operacional da empresa melhorou no terceiro 
trimestre, se e somente se a receita da empresa ficou abaixo das 
expectativas. 
De acordo com a quantidade mínima de proposições ne-
cessárias à utilização dos conectivos, podemos dizer que 
temos um conectivo unário (~) e quatro conectivos binários 
(˅, ˄ , →, ↔). Os conectivos ditos unários são aqueles que só 
necessitam de uma proposição: ~p. Já os conectivos ditos 
binários são aqueles que necessitam de duas proposições 
para serem utilizados: p ˅ q, p ˄ q, p → q, p ↔ q.
Operações lógicas fundamentais
Trataremos agora das operações lógicas fundamentais: ne-
gação, conjunção, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, 
condicional e bicondicional e suas tabelas-verdade. 
Negação
Chamamos de negação uma proposição p à proposição re-
presentada por ~p. Quando o valor lógico da proposição p 
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Fundamentos da Lógica
for verdadeiro, o valor lógico da proposição ~p será falso, 
evice-versa.
Resumindo: o valor lógico da proposição ~p é oposto ao 
da proposição p.
Simbolicamente: ~p; ¬p, p´.
Linguagem corrente: utilizamos o advérbio "não", "não é o 
caso que", "é falso que".
Considere a proposição p: Wall Street fecha em alta esta semana.
Teremos então:
~p: Wall Street não fecha em alta esta semana. 
~p: É falso que Wall Street fecha em alta esta semana.
~p: Não é verdade que Wall Street fecha em alta esta semana.
Tabela-verdade da negação:
p ~p
V F
F V
Note que, quando negamos a negação da proposição p, ob-
temos a própria proposição p:
Simbolicamente: ~(~p) significa p.
Conjunção
Chamamos de conjunção de duas proposições p e q à pro-
posição representada por p˄q. A conjunção será verdadei-
ra quando ambas as proposições o forem. Se uma das pro-
posições ou ambas forem falsas, então a conjunção será 
falsa também.
23Proposições e conectivos lógicos
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Observe que o conectivo “e” carrega consigo a ideia de 
eventos simultâneos.
Imagine que você afirme a uma criança:
— Vou te levar à praia e te comprar um sorvete.
Você está fazendo uma promessa à criança. Você prome-
teu que a levará à praia e também que comprará um sor-
vete para ela; você, na verdade, comprometeu-se com essa 
criança a “fazer” as duas coisas com ela.
Se você levá-la à praia e não comprar-lhe um sorvete, ela 
não ficará feliz, pois você não cumpriu o que havia pro-
metido. O mesmo se dará se você não a levar à praia e 
somente comprar-lhe um sorvete. Em ambas as situações 
você será taxado de “falso”. O prometido foi que você iria 
cumprir as duas atividades: levá-la à praia e comprar um 
sorvete. Se ambas as promessas forem cumpridas, você 
será considerado como “verdadeiro”.
Resumindo: se ambas as proposições forem verdadeiras, 
a conjunção também o será, caso contrário a conjunção 
será falsa.
Simbolicamente: p ˄ q ; p • q
Linguagem corrente: "e".
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Fundamentos da Lógica
p: A Comissão Mista de Orçamento – CMO votou os relatórios 
setoriais da Lei Orçamentária Anual – LOA para o próximo ano.
q: O texto do relatório da Lei Orçamentária enviado ao Congres-
so pelo Poder Executivo recebeu mais de 9 mil propostas de 
emendas.
p ˄ q: A Comissão Mista de Orçamento – CMO votou os relató-
rios setoriais da Lei Orçamentária Anual – LOA para o próximo 
ano e o texto do relatório da Lei Orçamentária enviado ao Con-
gresso pelo Poder Executivo recebeu mais de 9 mil propostas 
de emendas.
Tabela-verdade da conjunção:
p q p ˄ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção
Chamamos de disjunção (disjunção inclusiva) de duas 
proposições p e q a proposição representada por p ˅ q. A 
disjunção será verdadeira quando pelo menos uma delas 
o for. A disjunção será falsa quando as duas proposições 
o forem. 
Resumindo: se uma das proposições for verdadeira, a disjun-
ção também será verdadeira; caso contrário, será falsa.
Simbolicamente: p ˅ q , p + q (soma lógica).
Linguagem corrente: "ou".
25Proposições e conectivos lógicos
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p: A carga tributária sobre bens e serviços bateu recorde este 
ano.
q: O investimento externo cresceu este ano.
p ˅ q: A carga tributária sobre bens e serviços bateu recorde 
este ano ou o investimento externo cresceu este ano. 
Nesse caso, podemos ter a carga tributária sobre bens e serviços 
batendo recorde este ano, podemos, ainda, ter o investimento 
externo crescendo este ano, mas também existe a possibilidade 
de terem acontecido ambos os fatos. 
Tabela-verdade da disjunção:
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Condicional
Chamamos de condicional de duas proposições p e q a 
proposição representada por p → q. A proposição p é dita 
hipótese ou antecedente, e a proposição q é dita tese ou 
consequente. A condicional somente será falsa quando o 
valor lógico da hipótese (antecedente) p for verdadeiro e o 
da tese (consequente) q for falso.
Resumindo: a proposição condicional somente será falsa 
se partirmos de algo verdadeiro e chegarmos a algo falso.
Simbolicamente: p → q.
Linguagem corrente: "se... então..."
26
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Fundamentos da Lógica
p → q: Se fizer sol, então eu vou à praia.
Imagine que você afirme à criança: 
— Se fizer sol, então eu te levarei à praia.
Você está fazendo uma promessa a essa criança. Você prometeu 
que, se fizer sol, você a levará à praia.
Se fizer sol efetivamente e você levar a criança à praia, você cer-
tamente será considerado alguém “verdadeiro”, cumpridor de 
suas promessas.
No entanto, se fizer sol, e, por algum motivo, você não levar a 
criança à praia, você será considerado um mentiroso, um “falso”.
Ainda podemos observar que, uma vez que você não prometeu 
nada com relação a não fazer sol, o que quer que você venha a fazer 
com a criança, ela não poderá lhe taxar de mentiroso nesse caso. 
Tabela-verdade da condicional:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional
Chamamos de bicondicional de duas proposições p e q a 
proposição p ↔ q. A proposição bicondicional será verda-
deira somente quando as duas proposições componentes 
tiverem o mesmo valor lógico, ou seja, ambas são verda-
deiras ou ambas são falsas.
Resumindo: a proposição bicondicional será verdadeira 
quando ambas as proposições forem falsas ou ambas fo-
rem verdadeiras.
27Proposições e conectivos lógicos
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Simbolicamente: p ↔ q. 
Linguagem corrente: "p se e somente se q", "p equivale a 
q", "p é uma condição necessária e suficiente para q".
p ↔ q: Iremos à praia se e somente se fizer sol. 
Note que o bicondicional pode ser considerado como o “se... en-
tão...” na ida e na volta.
Pensar na bicondicional p ↔ q, significa pensar em duas con-
dicionais que ocorrem simultaneamente, a ida e a volta: p → q 
e q → p 
p → q: Se fizer sol, então iremos à praia.
q → p: Se formos à praia, então fez sol.
Tabela-verdade da bicondicional:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Exercícios resolvidos
1. Determinar o valor lógico da proposição: “O Brasil foi 
descoberto em 1900 ou por Pedro Álvares Cabral.”
Resolução:
Consideremos como p: “O Brasil foi descoberto em 1900” e 
q: “O Brasil foi descoberto por Pedro Álvares Cabral”. Note 
que o valor lógico da proposição p é falso e o da proposição 
q é verdadeiro. Como temos um “ou”, para que este seja ver-
dadeiro basta que uma das proposições o seja, que é o caso. 
28
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da Lógica
2. Dadas as proposições p: “O jovem discípulo aprende 
rápido” e q: “O mestre possui muito conhecimento”, tra-
duza para a linguagem corrente as proposições:
a) ~p ˄ q.
b) p ˄ ~q.
c) p ˅ ~q.
d) ~p → q.
e) p ˄ ~q → p.
Resolução:
a) ~p ˄ q: O jovem discípulo não aprende rápido e o mestre 
possui muito conhecimento.
b) p ˄ ~q: O jovem discípulo aprende rápido e o mestre não 
possui muito conhecimento.c) p ˅ ~q : O jovem discípulo aprende rápido ou o mestre 
não possui muito conhecimento.
d) ~p → q: Se o jovem discípulo não aprende rápido, então 
o mestre possui muito conhecimento.
e) p ˄ ~q → p: Se o jovem discípulo aprende rápido ou o 
mestre não possui muito conhecimento, então o jovem dis-
cípulo aprende rápido.
3. Determinar V(p), ou seja, o valor lógico da proposição 
simples p, considerando: 
a) V(q) = F e V (p ˄ q) = F.
Resolução:
Para que o valor do “e” seja falso, basta que uma das pro-
posições seja falsa. Dessa forma, como o valor de q já é 
falso, o valor de p pode ser falso ou verdadeiro. 
29Proposições e conectivos lógicos
......................................................................................................................................................................................................................
b) V(q) = V e V (p ˄ q) = F.
Resolução:
Para que o valor do “e” seja falso, basta que uma das pro-
posições seja falsa. Como o valor de q é verdadeiro, neces-
sariamente precisamos que p seja falso.
c) V(q) = F e V (p ˅ q) = F.
Resolução:
Para que o valor do “ou” seja falso, ambas as proposições 
precisam ser falsas. Dessa forma, p precisa ser falsa tam-
bém.
d) V(q) = V e V (p ˅ q) = F.
Resolução:
Para que o valor do “ou” seja falso, ambas as proposições 
precisam ser falsas. Não há como essas condições serem 
aceitas.
e) V(q) = F e V (p → q) = F.
Resolução:
A condicional será falsa somente quando o antecedente for 
verdadeiro e o consequente for falso. Isso significa que te-
mos V(p) = V e V(q) = F.
30
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da Lógica
f) V(q) = V e V (p → q) = F
Resolução:
A condicional será falsa somente quando o antecedente 
for verdadeiro e o consequente for falso. Isso significa 
que temos V(p) = V e V(q) = F. Como o problema exige que 
V(q) = V, não há como essas condições serem satisfeitas 
simultaneamente.
g) V(q) = F e V (p ˄ q) = V
Resolução:
Para que o valor do “e” seja verdadeiro, necessariamente 
ambas as proposições precisam ser verdadeiras. Como o 
valor lógico de q já é falso, não há como as duas condições 
serem satisfeitas de forma simultânea. 
h) V(q) = V e V (p ˄ q) = V
Resolução:
Para que o valor do “e” seja verdadeiro, necessariamente 
ambas as proposições precisam ser verdadeiras. Já temos 
o valor de q verdadeiro; assim, o valor de p será verdadeiro 
também. 
i) V(q) = F e V (p ˅ q) = V
Resolução:
Para que o valor do “ou” seja falso, ambas as proposições 
precisam ser falsas. Assim, como o valor de q já é falso, 
temos que o valor de p também é falso. 
31Proposições e conectivos lógicos
......................................................................................................................................................................................................................
j) V(q) = V e V (p ˅ q) = V
Resolução:
Para que o valor do “ou” seja verdadeiro, pelo menos uma 
das proposições precisa ser verdadeira. Note que o valor 
de q já é verdadeiro, de forma que o valor de p pode ser 
tanto verdadeiro quanto falso.
k) V(q) = F e V (p → q) = V
Resolução:
Observe que precisamos ter ao mesmo tempo a condicio-
nal verdadeira e o consequente falso. Poderíamos ter, pelo 
fato de a condicional ser verdadeira, V → V, F → F ou, ain-
da, F → V. Como o V(q) = F, ou seja, o consequente é falso, 
temos somente a alternativa F → F. Assim, V(p) = F.
4. Construa a tabela-verdade das proposições
a) ~p ˄ ~q
p q ~q ~p ~p ˄ ~q
V V F F F
V F V F F
F V F V F
F F V V V
b) p → ~q
p q ~q p → ~q
V V F F
V F V V
F V F V
32
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da Lógica
p q ~q p → ~q
F F V V
c) (p ˅ ~q) → (~p ˄ q)
p q ~q ~p p ˅ ~q (p ˅ ~q) → ~p
V V F F V F
V F V F V F
F V F V F V
F F V V V V
5. Considere a frase em linguagem corrente “Se você 
viajar amanhã, então não iremos ao clube ou não almo-
çaremos juntos”. Transforme-a em linguagem lógica e 
construa a sua tabela-verdade, para que se identifique 
quando essa frase será verdadeira e quando será falsa.
Resolução:
Consideremos as ideias básicas das proposições simples 
do nosso problema: 
p: Viajar hoje.
q: Ir ao clube.
r: Almoçar juntos.
Assim, a frase dada em linguagem lógica ficará: p → (~q ˅ ~r).
Repare que primeiramente precisamos compor as proposi-
ções simples em colunas e determinar o valor lógico de cada 
uma delas. Para não haver dúvidas, é importante que se faça 
isso passo a passo. Compomos, então, sete colunas, pois 
precisamos determinar o valor lógico de ~q, ~r. ~q ˅ ~r e, 
finalmente, p → (~q ˅ ~r).
33Proposições e conectivos lógicos
......................................................................................................................................................................................................................
Repare que a quarta coluna é a negação da segunda ( q 
e ~q), enquanto que a quinta é a negação da terceira. Na 
sexta coluna, estamos utilizando o conectivo “e” entre as 
colunas quatro e cinco. Lembramos que o “e” é verdadeiro 
quando pelo menos uma das afirmativas (proposições) for 
verdadeira. A sétima coluna é a final e representa a nossa 
frase, resultado da condicional e das colunas um e seis. A 
condicional será falsa somente quando o antecedente for 
verdadeiro e o consequente for falso. Do contrário, será 
verdadeira.
1a 
coluna
2a 
coluna
3a 
coluna
4a 
coluna
5a 
coluna
6a 
coluna 7
a coluna
p q r ~q ~r ~q ˅ ~r p → (~q ˅ ~r)
V V V F F F F
V V F F V V V
V F V V F V V
F V V F F F V
V F F V V V V
F V F F V V V
F F V V F V V
F F F V V V V
Então, pela tabela-verdade, podemos perceber que ela será 
falsa somente quando p, q e r forem verdadeiras.
34
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da Lógica
ANÁLISE LÓGICA POR MEIO DE TABELA-
VERDADE
Com o auxílio da tabela-verdade, podemos identificar quan-
do uma proposição, uma frase é sempre verdadeira, sem-
pre falsa ou por vezes verdadeira e por vezes falsa. Para 
isso, precisamos definir cada uma dessas situações em ter-
mos lógicos.
Tautologias
Pense na frase: “Vou ao cinema ou não vou ao cinema”. 
Essa frase é sempre verdadeira ou sempre falsa?
Dizemos que uma proposição composta é tautológica quan-
do na última coluna da sua tabela-verdade aparece somen-
te o valor lógico verdade (V), ou, ainda, toda proposição 
composta P (p, q, r, s...) cujo valor lógico é sempre verda-
de, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições 
simples componentes (p, q, r, s...). Isso é tautologia.
De forma simples, podemos dizer que tautologia é toda 
proposição cujo valor lógico é V, quaisquer que sejam os 
valores lógicos das proposições que a compõem.
Voltando à frase: “Vou ao cinema ou não vou ao cinema”, 
esta será sempre verdadeira. Observe que essa frase pode 
ser representada de forma lógica como a proposição com-
posta p ˅ ~p, cuja tabela-verdade é:
35Análise lógica por meio de tabela-verdade
......................................................................................................................................................................................................................
p ~q p ˅ ~p
V F V
F V V
Na última coluna da proposição composta p ˅ ~p observa-
mos que só aparece a letra V, ou seja, quaisquer que sejam 
os valores lógicos das proposições componentes, no caso,p e ~p, o valor lógico da proposição composta será sempre 
verdadeiro, o que configura ser a frase uma tautologia.
 
Dessa forma, quando afirmamos que uma proposição ou é 
verdadeira ou é falsa, estamos lidando com uma afirmação 
que é sempre verdadeira, afirmação esta conhecida como 
Princípio do Terceiro Excluído, como vimos anteriormente.
Além de observar um outro princípio básico da lógica, o 
Princípio da Não Contradição, que nos diz que uma pro-
posição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
~(p ˄ ~p)
Contradições
Pense na frase: “Sou carioca e não sou carioca." Essa frase 
é sempre verdadeira ou sempre falsa? 
Dizemos que uma proposição composta é uma contradi-
ção quando na última coluna de sua tabela-verdade apa-
rece somente o valor lógico falso (F), ou ainda, toda pro-
posição composta P (p, q, r, s...) cujo valor lógico é sempre 
falso, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposi-
ções simples componentes (p, q, r, s...). Isso é contradição.
36
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da Lógica
De forma simples, podemos dizer que contradição é toda pro-
posição cujo valor lógico é sempre falso (F), quaisquer que 
sejam os valores lógicos das proposições que a compõem.
Voltando à frase: “Sou carioca e não sou carioca." Certamen-
te essa frase seria considerada uma contradição, já que não 
há como uma pessoa, ao mesmo tempo, ser e não ser cario-
ca. Essa frase pode ser representada de forma lógica como a 
proposição composta p ˄ ~p, cuja tabela-verdade é:
p ~p p ˄ ~p
V F V
F V F
Na última coluna da proposição composta p ˄ ~p observa-
mos que só aparece a letra F, ou seja, quaisquer que sejam 
os valores lógicos das proposições componentes, no caso 
p e ~p, o valor lógico da proposição composta será sempre 
falso, o que configura ser a frase uma contingência.
Observação: como uma tautologia é sempre verdadeira (V), 
a negação da tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma 
contradição, e vice-versa.
Contingências
Pense na frase: “Se vou ao cinema, então o sol aparecerá.” 
Essa frase é sempre verdadeira ou sempre falsa? 
Dizemos que uma proposição composta é uma contingên-
cia quando na última coluna de sua tabela-verdade figu-
ram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez, ou, 
ainda, contingência é toda proposição composta que não 
é tautologia nem é contradição.
37Análise lógica por meio de tabela-verdade
......................................................................................................................................................................................................................
Voltando à frase: “Se vou ao cinema, então o sol aparecerá.” 
Não há como afirmarmos que essa frase seja sempre verda-
deira ou sempre falsa. Ela pode ser representada de forma 
lógica como a proposição composta p → q, cuja tabela-ver-
dade é:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exercícios resolvidos
1. Construindo a tabela-verdade de cada uma das proposi-
ções compostas abaixo, determine se elas são tautologias, 
contradições ou contingências.
a) Se a empresa teve lucro e não teve lucro, então a empresa 
teve lucro ou foi à falência.
A princípio precisamos escrever a frase, dada em linguagem 
corrente, em linguagem lógica.
Ficamos com: (p ˄ ~p) → (p ˅ q)
p q ~p p ˄ ~p p ˅ q (p ˄ ~p) → (p ˅ q)
V V F F V V
V F F F V V
F V V F V V
F F V F F V
38
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da Lógica
Observe que na quarta coluna (p ˄ ~p) temos uma pro-
posição composta nossa conhecida: uma contradição. Esta 
será o antecedente da implicação (p ˄ ~p) → (p ˅ q) que de-
sejamos considerar. Assim, como o antecedente é sempre 
falso, teremos o valor lógico da implicação sempre verda-
deiro, o que configura a existência de uma tautologia. 
b) Não é o caso que o PIB cresceu e não cresceu. 
A princípio, precisamos escrever a frase, dada em lingua-
gem corrente, em linguagem lógica.
Ficamos com: ~(p ˄ ~p).
p ~q p ˄ ~q ~(p ˄ ~p)
V F F V
F V F V
Lembramos que o “e” será verdadeiro somente quando 
as duas proposições componentes o forem (terceira colu-
na). Temos na terceira coluna uma contradição conhecida 
p ˄ ~p. Na quarta coluna, negamos a contradição e obte-
mos, portanto, uma tautologia. 
c) O dólar subiu e, se a bolsa cair, então o dólar não subirá. 
A princípio, precisamos escrever a frase, dada em lingua-
gem corrente, em linguagem lógica.
Ficamos com p ˄ (q → ~p)
39Análise lógica por meio de tabela-verdade
......................................................................................................................................................................................................................
p q ~p q → ~p p ˄ (q → ~p)
V V F F F
V F F V V
F V V V F
F F V V F
Observe que, na quarta coluna, a condicional só será falsa 
quando, partindo de uma proposição verdadeira, chega-
mos a uma proposição falsa. Além disso, convém observar 
que o “e” (quinta coluna) será verdadeiro quando ambas as 
proposições o forem.
Na última coluna aparecem os valores lógicos V e F, por-
tanto, a proposição composta é dita contingência.
Neste capítulo, você estudou os fundamentos da Lógica 
Matemática.
Percebemos que, quando precisamos resolver um proble-
ma ou tomar uma decisão, é necessário desenvolver a ca-
pacidade de estruturação e organização do pensamento. O 
estudo do Raciocínio Lógico auxilia no desenvolvimento da 
capacidade crítica e do senso argumentativo.
Além disso, aprendemos que a Lógica Matemática es-
tuda e aprimora o raciocínio, desenvolvendo uma se- 
quência de pensamentos que permitem reconhecer contra-
dições, eliminando a probabilidade de ocorrência de erros.
Ainda neste capítulo, lidamos com ferramentas básicas 
para compreensão das linguagens coloquial, formal e de 
máquina, determinando valores lógicos de proposições 
40
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da Lógica
compostas com o auxílio das operações lógicas fundamen-
tais e da tabela-verdade, interpretando se é de uma Tauto-
logia, uma Contradição ou uma Contingência.
Sugestão de vídeo motivacional:
Ser ou não ser - Aristóteles e a Lógica.
Disponível em: <https://www.youtube.com/playlist?lis-
t=PL20E9CA0B90F3DF6E>. Acesso em: 15 jul. 2010.
41
......................................................................................................................................................................................................................
REFERÊNCIAS
ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemáti-
ca. 18. ed. São Paulo: Nobel, 2002.
CHAUÍ, Marilena. Introdução à história da filosofia: dos 
pré-socráticos a Aristóteles. v. 1. São Paulo: Brasiliense, 
1994.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de ma-
temática elementar: conjuntos e funções. v. 1. 8. ed. São 
Paulo: Atual, 2009. (Coleção).
MACHADO, Nílson José. Lógica? É lógico! São Paulo: Sci-
pione, 2000. 
ROSEN, Keneth H. Matemática discreta e suas aplicações. 
6. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2009.
SULLIVAN, Michael. Matemática finita: uma abordagem 
aplicada. 11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. Disponível em: 
<http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/>. Acesso em: 8 
nov. 2010.
......................................................................................................................................................................................................................
4243Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 2 
ESTRUTURAS LÓGICAS
Este capítulo trata das estruturas lógicas. A princípio es-
tudaremos as implicações e a equivalência lógicas, identi-
ficando quando duas proposições compostas são equiva-
lentes ou quando uma implica logicamente a outra. Com 
o auxílio da noção de equivalência lógica, trataremos da 
negação de proposições e, a seguir, utilizaremos o artifício 
dos diagramas lógicos para resolver problemas, inclusive 
com proposições que envolvem quantificadores. Final-
mente, estudaremos a lógica de argumentação. A ideia é 
analisar e concluir uma estrutura lógica como válida ou 
inválida.
44
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
EQUIVALÊNCIA LÓGICA E NEGAÇÃO DE 
PROPOSIÇÕES
Implicações lógicas
Dizemos que uma proposição P implica logicamente uma 
proposição Q se Q é verdadeira todas as vezes que P é 
verdadeira, ou, ainda, necessariamente, quando P for ver-
dadeira, temos que Q é verdadeira também. Não é neces-
sário observar o que ocorre quando P for falso. Podemos 
utilizar a expressão “implica logicamente” ou simples-
mente “implica”.
Notação: P ⇒ Q.
Propriedades da implicação lógica
Propriedade reflexiva: P ⇒ P.
Essa propriedade é válida, observe a tabela-verdade abaixo. 
Quando a primeira proposição composta P é verdadeira, te-
mos que a segunda proposição composta também é. Assim, 
podemos dizer que P implica P.
P P
V V
F F
Propriedade transitiva: se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R.
45Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
Como temos que P ⇒ Q, sabemos, pela definição de impli-
cação lógica, que sempre que P for verdadeira, Q também 
o será.
Temos também que Q ⇒ R, ou seja, sempre que Q for ver-
dadeira, temos que R o será.
Dessa forma, sempre que P for verdadeira, Q será e R também.
Assim, P ⇒ R. 
1) Considere a frase: "Os bancos funcionaram e o dólar caiu on-
tem implicam que os bancos funcionaram ou o dólar caiu ontem." 
A partir do fato "Os bancos funcionaram e o dólar caiu ontem" 
podemos concluir que os bancos funcionaram ou o dólar caiu 
ontem? 
O que precisamos verificar é se p ˄ q implica logicamente p ˅ q. 
 Simbolicamente: p ˄ q ⇒ p ˅ q.
p q p ˄ q p ˅ q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Observe que, sempre que p ˄ q é verdadeiro, p ˅ q também 
será. Dessa forma, temos que p ˄ q implica logicamente p 
˅ q, ou, ainda, p ˄ q ⇒ p ˅ q. 
46
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Tautologias e implicação lógica
Estabeleceremos uma relação entre o conceito de implica-
ção lógica e as tautologias e condicionais por meio de um 
teorema.
Teorema: a proposição p implica logicamente a proposi-
ção q, ou seja, p ⇒ q se e somente se a condicional p → q 
é tautológica.
Note que, para uma condicional ser falsa, teríamos que 
partir de uma proposição verdadeira e chegar em uma 
proposição falsa. Dessa forma, nosso problema residi-
ria aí. Por esse motivo, quando precisamos mostrar que 
p ⇒ q, sob à luz do teorema, e tentando identificar uma 
ligação entre este e a definição, é coerente verificar qual o 
comportamento da proposição q quando p é verdadeira. 
Considerando as proposições compostas P: (p → p ˄ q) e Q: 
(p ˄ q). Podemos afirmar que Q ⇒ P ou P ⇒ Q?
p q p ˄ q p → p ˄ q
V V V V
V F F F
F V F V
F F F V
Pensando em termos de Q ⇒ P:
p q Q: p ˄ q P: p → p ˄ q
V V V V
V F F F
F V F V
F F F V
47Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
De fato, podemos dizer que Q ⇒ P, pois sempre que Q é verda-
deira, temos que P também é. 
Pensando em termos de P ⇒ Q:
p q Q: p ˄ q P: p → p ˄ q
V V V V
V F F F
F V F V
F F F V
Observamos que não se pode dizer que P ⇒ Q, já que nas duas 
últimas linhas temos P verdadeira e Q falsa. 
Regras de inferência
De acordo com o Dicionário Michaelis, obtemos o signifi-
cado do verbo inferir e do seu substantivo derivado infe-
rência:
inferir
in.fe.rir
(latim inferre) vtd Deduzir por meio de raciocínio, tirar por 
conclusão ou consequência: pela letra inferiu logo quem 
lhe escrevera. Infira-o o leitor da seguinte história. Conju-
ga-se como aderir.
inferência
in.fe.rên.cia
sf (inferir+ência) 1 Ato ou efeito de inferir. 2 Consequên-
cia, dedução, ilação, indução.
Podemos dizer que Regras de Inferência são aquelas re-
gras, princípios ou normas que podemos ter como con-
48
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
sequência, conclusão, diante de determinadas condições. 
Vejamos algumas Regras de Inferência mais utilizadas:
1. Regra da adição: p ⇒ p ˅ q
Exemplo: O BNDES aumentou a taxa de juros. Isso 
implica que o BNDES aumentou a taxa de juros ou 
reduziu o financiamento.
2. Regra da simplificação: p ˄ q ⇒ p
Exemplo: O BNDES aumentou a taxa de juros ou re-
duziu o financiamento. Isso implica que o BNDES au-
mentou a taxa de juros.
3. Modus ponens: p ˄ (p > q) ⇒ q
Exemplo: Se o BNDES aumentar a taxa de juros, en-
tão haverá redução dos financiamentos. É fato que 
o BNDES aumentou a taxa de juros. Isso implica que 
haverá redução dos financiamentos.
4. Modus tollens: ~q ˄ (p > q) ⇒ ~p
Exemplo: Se o BNDES aumentar a taxa de juros, en-
tão haverá redução dos financiamentos. É fato que 
não houve redução dos financiamentos. Isso implica 
que o BNDES não aumentou a taxa de juros.
5. Silogismo hipotético: (p → q) ˄ (q → r) ⇒ (p → r)
Exemplo: Se o BNDES aumentar a taxa de juros, en-
tão haverá redução dos financiamentos e, se houver 
redução dos financiamentos, então o banco partici-
pará de poucos projetos. Isso implica que, se o BN-
DES aumentar a taxa de juros, então o banco partici-
pará de poucos projetos. 
49Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
6. Silogismo disjuntivo: (p ˅ q) ˄ ~p ⇒ q
Exemplo: O BNDES aumentará a taxa de juros ou re-
duzirá os financiamentos. É fato que o BNDES não 
aumentou a taxa de juros. Isso implica que o BNDES 
reduzirá os financiamentos.
As provas das Regras de Inferência
Provaremos cada uma das Regras de Inferência de duas 
formas: pela definição e utilizando o teorema.
Adição: p ⇒ p ˅ q
Pela definição: sempre que p é verdadeira, temos que 
p ˅ q também é.
p q p ˅ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Pelo teorema: precisamos provar que a condicional 
p > p ˅ q é uma tautologia.
p q p ˅ q p → p ˅ q
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
50
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Simplificação: p ˄ q ⇒ p
Peladefinição: sempre que p ˄ q é verdadeira, temos que 
p também é.
p q p ˄ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Pelo teorema: precisamos provar que a condicional 
p ˄ q → p é uma tautologia.
p q p ˄ q p ˄ p → q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Modus ponens: p ˄ (p > q) ⇒ q
Pela definição: sempre que p ˄ (p → q) é verdadeira, temos 
que q também é.
p q p → q p ˄ (p → q)
V V V V
V F F F
F V V F
F F V F
51Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
Pelo teorema: precisamos provar que a condicional 
p ˄ (p → q) → q é uma tautologia.
p ~q p ˄ ~q ~(p ˄ ~p) p ˄ (p → q) → q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Modus tollens: ~q ˄ (p → q) ⇒ ~p
Pela definição: Sempre que ~q ˄ (p → q) é verdadeira, te-
mos que ~p também é. 
p q ~q p → q ~q ˄ (p → q) ~p
V V F V F F
V F V F F F
F V F V F V
F F V V V V
Pelo teorema: precisamos provar que a condicional ~q ˄ (p 
→ q) → ~p é uma tautologia.
p q ~q p → q ~q ˄ (p → q) ~p ~q ˄ (p → q) → ~p
V V F V F F V
V F V F F F V
F V F V F V V
F F V V V V V
52
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Silogismo hipotético: (p → q) ˄ (q → r) ⇒ (p → r)
Pela definição: sempre que (p → q) ˄ (q → r) é verdadeira, 
temos que (p → r) também é. 
p ~q p ˄ ~q ~(p ˄ ~p)
V F F V
F V F V
Pelo teorema: precisamos provar que a condicional 
(p → q) ˄ (q → r) > (p → r) é uma tautologia.
Consideremos P: (p → q) ˄ (q → r) e Q: (p → r).
p q r p → q q → r (p → q) ˄ (q → r) p → r P → Q
V V V V V V V V
V F F F V F F V
F V F V F F V V
V V F V F F F V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V V F V F F F V
F F F V V V V V
Silogismo disjuntivo: (p ˅ q) ˄ ~p ⇒ q
Pela definição: sempre que (p ˅ q) ˄ ~p é verdadeira, temos 
que q também é.
Pelo teorema: precisamos provar que a condicional 
(p ˅ q) ˄ ~p → q é uma tautologia.
p ~q p ˄ ~q ~(p ˄ ~p)
V F F V
F V F V
53Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
Equivalência lógica
Dizemos que uma proposição P(p, q, r...) é logicamente 
equivalente ou simplesmente equivalente a uma proposi-
ção Q (p, q, r...), se as tabelas-verdade de ambas as propo-
sições forem iguais.
Notação: P(p, q, r...) ⇔ Q(p, q, r...).
Assim como fizemos com o conceito de implicação lógica e 
tautologias, podemos também relacionar as equivalências 
e as tautologias.
As proposições P e Q são equivalentes se e somente se 
P ↔ Q é uma tautologia.
Se as duas proposições forem ambas tautológicas ou am-
bas contradições, então são equivalentes.
Equivalências notáveis
Comutativas
p ˄ q ⇔ q ˄ p
p ˅ q ⇔ q ˅ p
p q p ˄ q q ˄ p
V V V V
V F F F
F V F F
F F F F
54
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
p q p ˅ q q ˅ p
V V V V
V F V V
F V V V
F F F F
Associativas
(p ˄ q) ˄ r ⇔ p ˄ (q ˄ r)
(p ˅ q) ˅ r ⇔ p ˅ (q ˅ r)
p q r p ˄ q (p ˄ q) ˄ r q ˄ r p ˄ (q ˄ r)
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F F F F
F V V F F V F
V F F F F F F
F F V F F F F
F V F F F F F
F F F F F F F
p q r p ˅ q (p ˅ q) ˅ r q ˅ r p ˅ (q ˅ r)
V V V V V V V
V V F V V V V
V F V V V V V
F V V V V V V
V F F V V F V
F F V F V V V
F V F V V V V
F F F F F F F
55Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
Idempotentes
p ˄ p ⇔ p
p ˅ p ⇔ p
p p ˄ q
V V
F F
p p ˅ q
V V
F F
Absorções
p ˄ (p ˅ q) ⇔ p
p ˅ (p ˄ q) ⇔ p
p q p ˅ q p ˄ (p ˅ q)
V V V V
V F V V
F V V F
F F F F
p q p ˄ q p ˅ (p ˄ q)
V V V V
V F F V
F V F F
F F F F
56
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Distributivas
p ˄ (q ˅ r) ⇔ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
p q r q ˅ r p ˄ (q ˅ r) p ˄ q p ˄ r (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
F V V V F F F F
V F F F F F F F
F F V V F F F F
F V F V F F F F
F F F F F F F F
p q r q ˄ r p ˅ (q ˄ r) p ˅ q p ˅ r (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V F V V V V
F V V V V V V V
V F F F V V V V
F F V F F F V F
F V F F F V F F
F F F F F F F F
Leis de Morgan
~( p ˄ q) ⇔ ~p ˅ ~q
~( p ˅ q) ⇔ ~p ˄ ~q
p q p ˅ q ~(p ˅ q) ~p ~q ~p ˄ ~q
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
57Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
p q p ˄ q ~(p ˄ q) ~p ~q ~p ˅ ~q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
Definições de Implicação
p → q ⇔ ~p ˅ q
p → q ⇔ ~(p ˄ ~q)
p q p → q ~p ~p ˅ q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
p q p → q ~q p ˄ ~q ~(p ˄ ~q)
V V V F F V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V F V
Definições de Bicondicional
p ↔ q ⇔ (p → q) ˄ (q → p)
p ↔ q ⇔ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)
p q p → q q → p (p → q) ˄ (q → p) p ↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
58
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
p q ~p ~p ˅ q ~q ~q ˅ p (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p) p → q
V V F V F V V V
V F F F V V F F
F V V V F F F F
F F V V V V V V
Negação
~(~p) ⇔ p
p ~p ~(~p)
V F V
V F V
F V F
F V F
Contraposição
p → q ⇔ ~q → ~p
p q p → q ~q ~p ~q → ~p
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
Exercício resolvido
(CESGRANRIO/2009 - FUNASA – Agente Administrativo)
Se Marcos levanta cedo, então Júlia não perde a hora. É 
possível sempre garantir que:
a) Se Marcos não levanta cedo, então Júlia perde a hora.
b) Se Marcos não levanta cedo, então Júlia não perde a 
hora.
59Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
c) Se Júlia perde a hora, então Marcos levantou cedo. 
d) Se Júlia perde a hora, então Marcos não levantou cedo.
e) Se Júlia não perde a hora, então Marcos levantou cedo.
Resolução:
Utilizaremos a contraposição: 
p → q ⇔ ~q → ~p
Se Júlia perde a hora, então Marcos não levanta cedo. 
Proposições associadas a uma condicional
Considerando a condicional p → q, chamamos proposições 
associadas a p → q as três seguintes proposições condicio-
nais: recíproca, contrária e contrapositiva, a saber:
1. Recíproca de p → q: q → p
2. Contrária de p → q: ~p → ~q
3. Contrapositiva de p → q: ~q → ~p
Se considerarmos a frase: “Se o dólar cair, então viajaremos nas 
férias”, identificamos a condicional representativa da frase como 
sendo p → q, considerando p: “o dólar cair” e q: “viajaremos nas 
férias”. Podemos determinar, a partir daí, as condicionais associa-
das e expressá-las sob a forma de frases.
Condicional p → q Se odólar cair, então 
viajaremos nas férias.
Recíproca q → p Se viajamos nas férias, 
então o dólar caiu. 
60
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Contrária ~p → ~q Se o dólar não cair, então 
não viajaremos nas férias.
Contrapositiva ~q → ~p Se não viajamos nas férias, 
então o dólar não caiu.
Exercício resolvido
Considere a frase: “Se o tempo ficar bom, então iremos à 
piscina” e sua condicional representativa p → q, com p: 
“tempo ficar bom” e q: “iremos à piscina”.
Determine as condicionais associadas à condicional p → q 
(recíproca, contrária e contrapositiva) e expresse-as sob a 
forma de frases.
Resolução: 
Condicional p → q Se o tempo ficar bom, en-
tão iremos à piscina.
Recíproca q → p Se fomos à piscina, en-
tão o tempo ficou bom.
Contrária ~p → ~q Se o tempo não ficar bom, 
então não iremos à piscina.
Contrapositiva ~q → ~p Se não fomos à piscina, então 
o tempo não ficou bom.
Das três proposições associadas à condicional, somente 
uma é equivalente à condicional dada. Podemos verificar 
isso construindo a tabela-verdade.
61Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
Condicional Contra-positiva
Recí-
proca
Con-
trária
p q p → q ~q ~p ~q → ~p q → p ~p → ~q
V V V F F V V V
V F F V F F V V
F V V F V V F F
F F V V V V V V
Assim, percebemos que a proposição equivalente à condi-
cional é a contrapositiva.
Nos exemplos dados, temos que:
• "Se o dólar cair, então viajaremos nas férias" é 
equivalente a "Se não viajamos nas férias, então o 
dólar não caiu".
• "Se o tempo ficar bom, então iremos à piscina" é 
equivalente a "Se não fomos à piscina, então o tempo 
não ficou bom".
As negações
• Negação do “e” (Leis de Morgan): ~(p ˄ q) ⇔ ~p ˅ ~q
• Negação do “ou” (Leis de Morgan): ~(p ˅ q) ⇔ ~p ˄ ~q
• Negação da condicional: p → q ⇔ p ˄ ~q
• Negação do bicondicional: p ↔ q ⇔ (p ˄ ~q) ˄ (q ˄ ~p)
62
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Exercícios resolvidos
1. (ESAF-2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou 
Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália. 
b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital 
da Inglaterra. 
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capi-
tal da Inglaterra.
d) Paris não é a capital da Inglaterra. 
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da 
Inglaterra.
Resolução:
Queremos negar um “ou”. Utilizaremos uma das leis de 
Morgan.
~(p ˅ q) ⇔ ~p ˄ ~q
Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
2. (ESAF-FISCAL DO TRABALHO) A negação da afirmação 
condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:
a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. 
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. 
c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. 
e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
63Equivalência lógica e negação de proposições
......................................................................................................................................................................................................................
Resolução:
A negação da condicional é 
p → q ⇔ p ˄ ~q
Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
64
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
DIAGRAMA LÓGICO
Sentenças abertas e conjunto verdade
Chamamos uma sentença de sentença aberta em A uma 
expressão p(x) de tal forma que p(a) é falsa ou verdadeira 
para todo a∈A. Nesse caso, o conjunto A é dito conjunto 
universo, universo ou domínio.
Em outras palavras, p(x) é uma sentença aberta em A se 
e somente se p(x) é uma proposição (e que, por ser uma 
proposição, podemos atribuir os valores V ou F), quando 
substituímos a variável x por qualquer elemento a do con-
junto A.
A sentença x - 7 = 3 é aberta na variável x. Se substituímos a 
variável x pelo valor 10, por exemplo, essa sentença (10 - 7 = 3) 
se torna verdadeira, enquanto que, se substituirmos a variável x 
por 0 (0 - 7 ≠ 3), a sentença se torna falsa. 
Ao conjunto de todos os elementos a∈A, de tal forma que 
p(a) é uma proposição verdadeira, chamamos de conjunto 
verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A.
Notação do conjunto verdade: V
p
={x/x ∈ A ˄ p(x)}.
Considere a proposição aberta p(x) : 2x > 6 no conjunto univer-
so dos naturais.
65Diagrama lógico
......................................................................................................................................................................................................................
Todos os elementos que satisfazem a essa proposição serão os 
elementos naturais que satisfazem a inequação 2x > 6:
2x > 6
x > 3
{4, 5, 6, 7…}
Observamos que podemos construir proposições, ou seja, 
criar sentenças as quais podemos determinar seu valor 
lógico verdadeiro ou falso a partir de uma dada sentença 
aberta P, atribuindo-se valores às variáveis livres de P. Essa 
não é a única forma de se transformar sentenças abertas 
em proposições. Podemos utilizar os quantificadores. Estes 
são capazes de fornecer informações a respeito da “quanti-
dade” de elementos, quantificando as variáveis livres.
Quantificador universal
Quando todos os elementos do conjunto universo A sa-
tisfizerem a p(x), dizemos que, para todo elemento x de 
A, p(x) é verdadeira. Uma outra maneira de dizermos isso 
é: qualquer que seja o elemento x pertencente a A, p(x) é 
verdadeira.
Simbologia do quantificador universal: ∀ 
Utilizamos, assim, o quantificador universal quando que-
remos nos referir a todos os elementos de um conjunto.
Notações: (∀x ∈ A) p(x), ∀x, p(x).
Considere o conjunto universo A={2, 4, 6, 8} e a propriedade 
p(x) = x é par.
66
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Observe que, se utilizarmos o quantificador universal ∀, temos 
(∀x∈A)(x é par), transformando a sentença aberta x é par em 
uma sentença fechada, uma proposição, a qual podemos atri-
buir o seu valor lógico. No caso, essa proposição é verdadeira. 
O quantificador universal ∀ efetiva uma operação lógica que 
transforma a sentença aberta p(x), que não possui valor ló-
gico (a menos que se atribua um valor à variável x) em uma 
proposição, e esta pode assumir valor verdadeiro ou falso. 
Quantificador existencial
Quando o conjunto verdade não é vazio, então um elemen-
to, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença aberta 
p(x). Nesse caso, podemos afirmar que existe pelo menos 
um x∈A tal que p(x) é verdadeira ou, para algum x∈A, p(x) 
é verdadeira, ou, ainda, existe x∈A tal que p(x). 
Simbologia do quantificador existencial: ∃
Notamos, assim, que o quantificador existencial faz refe-
rência a pelo menos um elemento pertencente ao conjunto.
Notações: (∃x ∈ A) p(x), ∃x, p(x)
Considere o conjunto universo A={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e a proprie-
dade p(x) = x é par.
Observe que, se utilizarmos o quantificador universal ∃, temos 
(∃x ∈ A)(x é par), transformando a sentença aberta x é par em 
uma sentença fechada, uma proposição,a qual podemos atri-
buir o seu valor lógico. No caso, essa proposição é verdadeira. 
Na verdade, existem quatro elementos que satisfazem a pro-
priedade de ser par.
67Diagrama lógico
......................................................................................................................................................................................................................
O quantificador universal ∃ efetiva uma operação lógica que 
transforma a sentença aberta p(x), que não possui valor ló-
gico (a menos que se atribua um valor à variável x) em uma 
proposição, e esta pode assumir valor verdadeiro ou falso.
Quantificador de existência e unicidade
Quando temos o caso de que existe um e um só tal que 
p(x), temos o quantificador de existência e unicidade.
Notação: (∃!x ∈ A) p(x)
Considere o conjunto universo A={3, 5, 6, 7} e a proprieda-
de p(x) = x é par.
Observe que, se utilizarmos o quantificador de existência e 
unicidade ∃!, temos (∃!x ∈ A) (x é par), transformando a sen-
tença aberta x é par em uma sentença fechada, uma propo-
sição, a qual podemos atribuir o seu valor lógico. No caso, 
essa proposição é verdadeira. Na verdade, existe somente 
um elemento que satisfaz a propriedade de ser par: o seis.
Negação de quantificadores
Observe a frase em linguagem corrente: “Todas as opera-
doras cortarão a internet móvel ao final da franquia.”
Se quiséssemos negar essa frase, ficaríamos com “Nem to-
das as operadoras cortarão a internet móvel ao final da 
franquia”, ou, ainda, “Existem operadoras que não corta-
rão a internet móvel ao final da franquia”.
Pensando em termos de estrutura, essa frase possui um 
quantificador universal (∀). Transformando-a em lingua-
gem lógica, podemos escrever ∀x, p(x).
68
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
A negação, em termos lógicos, fica, então: ∃x(~p(x)).
Negação de proposição com quantificador universal:
~(∀x, p(x)) ⇔ ∃x(~p(x))
Negação de proposição com quantificador existencial:
~(∃x, p(x)) ⇔ ∀x(~p(x))
Exercício resolvido
1. (CESGRANRIO-TJ-RO-2008) A negação de “Nenhum 
rondoniense é casado” é:
a) Há pelo menos um rondoniense casado. 
b) Alguns casados são rondonienses. 
c) Todos os rondonienses são casados. 
d) Todos os casados são rondonienses. 
e) Todos os rondonienses são solteiros.
Resolução:
A frase “Nenhum rondoniense é casado” pode ser escrita 
também como “Não existe rondoniense que seja casado”.
Transformando a frase, dada em linguagem corrente, em 
linguagem lógica, temos: ~∃x,p(x)
Negando, temos que ~(~∃x, p(x) que equivale a ∃x, p(x).
Portanto, existe pelo menos um rondoniense que é casado. 
69Diagrama lógico
......................................................................................................................................................................................................................
Diagramas lógicos
Um diagrama lógico é uma representação gráfica, um es-
quema, que procura representar a(s) relação(ões) que exis-
te(m) entre as partes componentes de uma proposição.
Ao utilizar um diagrama lógico para representar uma es-
trutura lógica, sombrearemos somente as regiões nas quais 
o resultado da tabela-verdade da estrutura representada 
for verdadeiro.
Chamamos de Universo de Discurso (U) o conjunto de tudo 
o que admitimos como possível em um determinado con-
texto e o representamos pela região interna de um retân-
gulo, análogo ao que se faz em Teoria de Conjuntos, com 
o Conjunto Universo.
Qualquer proposição possível (A) será um subconjunto do 
universo de discurso e será indicada por uma região deli-
mitada dentro do universo de discurso.
U
A
70
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Diremos que uma proposição será verdadeira em qualquer 
ponto dentro de sua região e será falsa em todos os demais 
pontos do universo de discurso.
Com um conjunto A:
U
A é falsa
A é verdadeira
A
Com os conjuntos A e B:
U
A verdadeira 
e B falsa
A e B falsas
A e B 
verda-
deiras
B verdadeira 
e A falsa
A B
71Diagrama lógico
......................................................................................................................................................................................................................
Diagramas das operações lógicas
Negação (não)
A região da negação de A será o conjunto complementar 
de A: Ᾱ.
U
A
Ā
Conjunção (e)
A região da conjunção A ˄ B será a interseção do conjunto 
A com o conjunto B: A ∩ B.
U
A B
72
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
Disjunção (ou)
A região da disjunção A ˅ B será a união do conjunto A 
com o conjunto B: A ∪ B.
U
A B
Condicional (se... então)
A região da condicional A → B só não será verdadeira quan-
do a região de A for verdadeira e a de B for falsa.
U
A B
Se A estiver contido em B, não teremos região sombreada, pois 
não há como a região de A ser verdadeira e a de B ser falsa.
73Diagrama lógico
......................................................................................................................................................................................................................
U
A
B
Diagramas lógicos envolvendo quantificadores
Utilizamos os diagramas como representação gráfica de 
proposições relacionadas a questões que envolvem os ter-
mos “todo”, “algum” e “nenhum”.
Utilizaremos os diagramas de Venn-Euler para resolver al-
guns problemas.
Vamos diagramar alguns problemas que envolvem os 
quantificadores. Problemas do tipo:
• Todo A é B: o conjunto A é um subconjunto do B, 
ou seja, A está contido em B.
A
A = BB
74
......................................................................................................................................................................................................................
Estruturas lógicas
• Nenhum A é B: os conjuntos A e B não têm ele-
mentos comuns, ou seja, a interseção é vazia.
A B
• Algum A é B: pelo menos um elemento de A é 
comum ao elemento de B, ou seja, há pelo menos um 
elemento na interseção.
A B
Exercícios resolvidos
1. Sabe-se que todo cavalo é um animal. Logo, é somente 
correto afirmar que:
a) Todo animal é cavalo. 
b) Nem todo cavalo é animal. 
c) Nenhum animal é cavalo.
d) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
e) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
75Diagrama lógico
......................................................................................................................................................................................................................
Resolução:
Podemos desenhar o diagrama da seguinte forma:
Animal
Cavalo
Analisaremos, então, as alternativas dadas:
a) Todo animal é cavalo.
Pelo diagrama, observamos que há uma parte em que há 
animais que não são cavalos. Ou seja, nem todo animal é 
cavalo. Essa afirmativa é falsa.
Animal
Cavalo
b) Nem todo cavalo é animal.
Essa afirmativa é justamente a negativa da frase dada. 
Considerando a frase dada como verdadeira, essa alterna-
tiva será falsa.
c) Nenhum animal é cavalo.
Pelo diagrama, percebemos que algum animal é cavalo, 
logo essa afirmativa não se pode afirmar.
d) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
76
......................................................................................................................................................................................................................