Cálculo Diferencial e Integral I

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Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 1) - 0,50 ponto(s) 
 
Segundo a agência controladora da qualidade do ar do estado de 
Minas Gerais, o nível de dióxido de nitrogênio, um gás marrom que 
prejudica a respiração, presente no ar, no mês de maio, em Belo 
Horizonte, é aproximado por , em que A(t) é 
medido em índice de poluentes tradicional e 't' é medido em horas, 
com t=0 correspondendo a 7 horas da manhã. 
 
 
Nesse contexto, qual é a derivada de ? 
 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
A (T) =2t (T-(4)4 + 4𝑇2(𝑇 − 4)3 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 2) - 0,50 ponto(s) 
 
Um engenheiro químico precisa obter as dimensões de uma lata 
cilíndrica de volume fixo “V”, de forma que a quantidade de material 
a ser utilizado para a sua fabricação seja a menor possível. Quais 
são essas dimensões? 
A) 
A lata cilíndrica, de volume fixo e área mínima, tem altura igual ao 
dobro do raio. 
B) 
A lata cilíndrica, de volume fixo e área máxima, tem altura igual ao 
raio 
C) 
A lata cilíndrica, de volume fixo e área máxima, tem altura igual à 
metade do raio 
D) 
A lata cilíndrica, de volume fixo e área máxima, tem altura igual ao 
triplo do raio 
E) 
A lata cilíndrica, de volume fixo e área máxima, tem altura igual ao 
dobro do raio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 3) - 0,50 ponto(s) 
 
Avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A população de uma pequena cidade, prevista para daqui 
a anos, é dada por 
 
 
 
Num futuro bem distante, a população da cidade, dada sempre 
por , não ultrapassará 1300 pessoas. 
 
 
 PORQUE 
 
 
II. Num futuro bem distante (ao longo do tempo), 
temos 
 
 
A respeito dessas asserções, assinale a opção CORRETA. 
A) 
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é 
uma proposição falsa. 
B) 
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é uma 
proposição verdadeira. 
C) 
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não 
é uma justificativa da primeira. 
D) 
As duas asserções são proposições falsas. 
E) 
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é 
uma justificativa da primeira. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 4) - 0,50 ponto(s) 
 
Em várias situações, é importante saber a taxa com que uma 
função está variando. A taxa de variação é dada pela derivada da 
função. Considere que a receita R, em reais, pela venda de um 
produto ao preço p, em reais seja 
 
A taxa de variação da receita, quando reais, é 
A) 
 reais/real 
B) 
 reais/real 
C) 
 reais/real 
D) 
 reais/real 
E) 
 reais/real 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 5) - 0,50 ponto(s) 
 
Para se conhecer a situação financeira de uma empresa, é 
importante saber o lucro que ela dá, mas também como este lucro 
está variando (se está aumentando ou diminuindo). A derivada da 
função lucro fornece esta taxa de variação. Considere que o 
lucro pela venda de unidades de um produto é dado 
por reais. Então, 
se unidades, pode-se afirmar que a taxa de variação 
do lucro é 
A) 
 reais/unidade 
B) 
 reais/unidade 
C) 
 reais/unidade 
D) 
 reais/unidade 
E) 
 reais/unidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 6) - 0,50 ponto(s) 
 
A velocidade com que uma planta cresce é descrita pela derivada 
de sua altura em relação ao tempo. Uma planta tem altura h em 
centímetros, dada em relação ao tempo t em semanas, 
por . No instante semanas, a velocidade com 
que a planta está crescendo é de 
A) 
+ 4 cm/semana. 
B) 
+ 2 cm/semana. 
C) 
+ 3 cm/semana. 
D) 
+ 1 cm/semana. 
E) 
+ 5 cm/semana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 7) - 0,50 ponto(s) 
 
Um copo de suco foi retirado da geladeira e colocado numa sala 
com temperatura constante de 20°C. 
 
A função 
fornece, aproximadamente, a temperatura do suco, em °C, em 
relação ao tempo, , em minutos, que ele se encontra na sala. 
 
Quando o tempo é minutos, a função falha, pois o 
denominador se anula. Mas a temperatura ainda pode ser obtida 
pelo limite da função, com tendendo a . O cálculo desse limite 
indica que a temperatura do suco tende a 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 8) - 0,50 ponto(s) 
 
O tamanho da população de uma espécie de peixe em um conjunto 
de lagos depende da quantidade de cágados predadores. Em 
lagos onde não há cágados, são encontrados em média 100 
peixes; em lagos com 8 cágados, são encontrados em média 60 
peixes. Assumindo que a relação do número de peixes com o 
número de cágados é linear, qual é a equação que descreve o 
número de peixes em função do número de cágados? 
A) 
y=100 - 4x 
B) 
y=100 - 5x 
C) 
y=100 - 6x 
D) 
y=100 - 2x 
E) 
y=100 - x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 9) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma embalagem de pizza é feita a partir de um pedaço retangular 
de papelão medindo 20 cm por 40 cm. Para tanto, são cortados 
seis quadrados de igual tamanho, três ao longo de cada um dos 
lados longos do retângulo, sendo depois o papelão dobrado de 
maneira adequada para criar a embalagem (veja a figura abaixo); 
seja ”x” o comprimento de cada um dos lados dos seis quadrados. 
Para qual valor de x o volume da embalagem será máximo? 
 
 
A) 
8,0 
B) 
3,7 
C) 
25,0 
D) 
5,0 
E) 
7,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 10) - 0,50 ponto(s) 
 
A regra da cadeia nos diz como calcular a derivada de uma função 
composta. Uma função é composta se puder ser escrita como 
f(g(x)). Em outras palavras, é uma função dentro de outra função 
ou uma função de uma função. 
 
REGRA DA CADEIA. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-
differentiation-2-new/ab-3-1a/a/chain-rule-review> Acesso em: 19 
dez. 2018. 
 
De acordo com as informações apresentadas, a derivada da 
função composta y = (- 3x2 + 1)5 é dada por 
A) 
y’ = -30x(-3x2 + 1)4 
B) 
y’ = (-3x2 + 1)4 
C) 
y’ = -30x4 
D) 
y’ = 30(-3x2 + 1)4 
E) 
y’ = -30x(-3x2) 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 11) - 0,50 ponto(s) 
 
O lucro pela venda de unidades de um produto é dado 
por reais. 
 
A quantidade a ser vendida que gera o maior lucro possível é 
A) 
 unidades 
B) 
 unidades 
C) 
 unidades 
D) 
 unidades 
E) 
 unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 12) - 0,50 ponto(s) 
 
O gráfico da função do 2º grau é uma parábola. Quando a parábola 
tem a concavidade voltada para baixo, o seu vértice é o ponto de 
máximo (maior valor da função). Considere que o lucro de uma 
empresa seja reais, em que x é a 
quantidade vendida, em unidades. 
 
A quantidade a ser vendida que gera o maior lucro possível é 
A) 
 unidades 
B) 
 unidades 
C) 
 unidades 
D) 
 unidades 
E) 
 unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 13) - 0,50 ponto(s) 
 
O gráfico abaixo registra o reflorestamento de uma área em t=0 
(ano de 1996), t=1 (ano de 1997), t=2 (ano de 1998) e assim por 
diante. 
 
 
Admitindo-se constante a taxa de reflorestamento anual, qual é o 
ano em que o número de árvores plantadas atinge 46,5 mil? 
A) 
2024 
B) 
2022 
C) 
2023 
D) 
2025 
E) 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 14) - 0,50 ponto(s) 
 
O Brasil vem aumentando nos últimos anos sua dependência da 
exportação de matérias-primas. Em 2011, apenas seis grupos de 
produtos - minério de ferro, petróleo bruto, complexo de soja e 
carne, açúcar e café - representaram 47,1% do valor 
exportado. Esse aumento da dependência ganha contornos ainda 
mais preocupantes porque o maior comprador atual das matérias-
primas brasileiras passa por um momento de transição. Na 
semana passada, a China anunciou que vai perseguir uma meta 
de crescimento de 7,5%ao ano. (O Estado de S. Paulo, mar. 2012 
— com adaptações). 
 
Dessa forma, praticamente metade dos produtos exportados pelo 
Brasil vem dos recursos naturais. Nesse contexto, após a 
modelagem matemática dessa situação, um grupo de engenheiros 
ambientais, chegou à conclusão de que a derivada da 
função , para x=2, equivale à 
porcentagem dos produtos primários (café, minério de ferro, etc.). 
 
Qual é essa porcentagem? 
A) 
41% 
B) 
36% 
C) 
43% 
D) 
45% 
E) 
50% 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 15) - 0,50 ponto(s) 
 
A regra da cadeia é uma técnica que permite o cálculo, de maneira 
simplificada, de derivadas de funções compostas, como a 
apresentada a seguir: 
 
 
Como o grau do polinônio presente na função é elevado, tentar 
desenvolvê-lo não é uma tarefa viável e, nestes casos, a aplicação 
da regra da cadeia torna-se indispensável. 
 
Nesse contexto, utilizando-se da regra da cadeia, escolha a 
alternativa que apresenta corretamente o resultado de 
 
A) 
. 
B) 
. 
C) 
. 
D) 
. 
E) 
. 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 16) - 0,50 ponto(s) 
 
A resistência do concreto aumenta com o tempo de cura. 
Considere que , em que R é a resistência ( em 
unidades apropriadas) e x o tempo de cura ( em dias), e que 
dia. As taxas de aumento da resistência do concreto em dia 
e em dias valem, respectivamente, 
A) 
 e 
B) 
 e 
C) 
 e 
D) 
 e 
E) 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 17) - 0,50 ponto(s) 
 
Um planeta orbita uma estrela segundo uma órbita elíptica, cuja 
equação da posição é: , na qual são 
constantes positivas, e é uma variável real (que nesse caso 
representa o tempo), em unidades apropriadas. A velocidade do 
planeta em um ponto qualquer da órbita é dada pela derivada da 
posição em relação ao tempo, sendo, portanto: 
A) 
 
 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
 
 
D) 
 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 18) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma subsidiária da Elektra Electronics fabrica uma calculadora de 
bolso programável. A gerência determinou que o custo diário (em 
dólares) para produzir essas calculadoras é dado por 
C(x)=0,0001x³-0,08x²+40x+5000, em que “x” é igual ao número de 
calculadoras produzidas. Determine a função custo marginal. 
A) 
C' (x)=0,0003x²-0,16x+40 
B) 
C' (x)=0,0001x²-0,8x+40 
C) 
C' (x)=0,0003x²-0,16x³+40 
D) 
C' (x)=0,0001x²-0,16x+40 
E) 
C' (x)=0,0003x³-0,16x²+40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 19) - 0,50 ponto(s) 
 
Um sapo, ao pular de uma vitória-régia para outra vitória–régia em 
busca de alimentar-se de um inseto, parte da origem (0,0), 
segundo um referencial dado. Ele percorre, através do seu pulo, 
uma trajetória parabólica que atinge uma altura máxima no ponto 
(2,4). Obtenha a equação da trajetória do sapo na busca da sua 
alimentação na outra vitória-régia: 
 
A) 
y=x²+4x 
B) 
y=-2x²-4x 
C) 
y=-x²+4x 
D) 
y=-2x²+4x 
E) 
y=-x²-4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Questão 20) - 0,50 ponto(s) 
 
O crescimento de uma planta é dado pela função f(x)=3,5x, na qual 
"x" representa o tempo em dias e "f(x)" representa a altura em 
centímetros. Qual a altura que esta planta irá alcançar no 10º dia? 
A) 
35 cm 
B) 
38 cm 
C) 
30 cm 
D) 
42 cm 
E) 
40 cm