gabarito-AP1-2017-2

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GABARITO 
AP1 – Introdução à Mecânica Quântica – 2017/2 
Instituto de Física da UFRJ 
Curso de Licenciatura em Física - CEDERJ 
 
1. (2,5 pontos) 
 
Ver problema 2, pag. 69, aula 6. 
 
2. (2,5 pontos) 
(a) (1,6 pontos) Posição: ( ) tiekxxtxx ω−=Ψ cos),( ; Momento linear: ( ) tiekxkitx
x
i ω−=Ψ
∂
∂
− sen),( !! ; Energia: 
( ) tiekxtx
t
i ωω −=Ψ
∂
∂ cos),( !! ; Energia cinética: ( ) tiekx
m
ktx
xm
ω−=Ψ
∂
∂
− cos
2
),(
2
22
2
22 !!
. 
 
(b) (0,9 pontos) Posição: Não; Momento linear: Não; Energia: Sim, com autovalor ω! ; Energia cinética: Sim, com 
autovalor 
m
k
2
22!
. 
 
 
3. (2,5 pontos) 
(a) (0,5 pontos) ( ) ( )
L
ALdxkxdxkx
L
L
L
L
21
2
AsenAsenA 2
2/
2/
22
2/
2/
22 =⇒=== ∫∫
−−
 
(b) (0,7 pts) ( ) ( ) ( ) ( ) 0cos2
2/
2/
2/
2/
2
=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−>=< ∫∫
−−
dxkxkxsen
L
kidxkxsen
dx
dikxsenAp
L
L
L
L
!
! . A função de onda 
ψ(x)=Asen(kx) pode ser escrita como uma combinação linear de ondas planas propagantes para a direita e para a esquerda 
com igual amplitude: 
i
eeAx
ikxikx
2
)(
−−
=ψ . 
(c) (0,8 pts) ( ) ( )
m
kdxkxsen
dx
d
m
kxsenA
m
p L
L 222
222/
2/
2
22
2
2 !!
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= ∫
−
 
(d) (0,5 pontos) De acordo com o item (b), há 50% de partículas propagando-se para a esquerda e 50% para a direita. 
 
 
4. (2,5 pontos) 
 
(a) (1,0 pt) Resolvendo a equação de Schrödinger com as condições de contorno adequadas, obtemos: 
Região x < 0: ikxikx BeAex −+=)(ψ , com 2
2
!
mEk = ; Região x > 0: xCex κψ −=)( , com ( )20
2
!
EVm −
=κ . 
(b) (1,0 pt) Impondo-se as condições de continuidade da função de onda e de sua derivada na origem, e após um pouco de 
manipulação algébrica, chegamos no resultado 
22 BA = , de modo que o coeficiente de reflexão é igual a 1, e então o 
coeficiente de transmissão é nulo. 
(c) (0,5 pt)