EXERCIICIO DE VIBRAÇÃO FORÇADA

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M a n u t e n ç ã o M e c â n i c aE n g e n h a r i a M e c â n i c a – E M
MECÂNICA VIBRATÓRIA 
A U L A D E
E X E R C Í C I O S D E A P L I C A Ç Ã O
Vibração Forçada
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
1ª Questão:
Um pequeno reboque e o barco possuem a massa total de 250 kg. O
reboque está apoiado em duas molas, cada uma com 10 kN/m e
desloca-se ao longo de uma estrada cuja superfície se pode
aproximar a uma curva senoidal com uma amplitude de 40 mm e um
comprimento de onda de 5 m. Determine (a) a velocidade para a qual
ocorre a ressonância e (b) a amplitude da vibração do reboque à
velocidade de 50 km/h.
Vibração Forçada – Não Amortecida
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1ª Questão – Solução:
1. Diagrama de Corpo Livre:
Vibração Forçada – Não Amortecida
m(x” − y”) = − k.x
mx" + k.x = ky”
X” + ω2x = − ω2Ym sen ωf t
ω2 = k/m 
ωf = 2π/T = 2π/(λ/v) = 2π.v/ λ
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1ª Questão – Solução:
A solução da equação diferencial é:
x(t) = Xm sen ωf t
onde a amplitude do movimento oscilatório é dada por:
Xm = Ym /1 − (ωf/ω)
2
(a) A ressonância ocorre quando a amplitude do movimento é
máxima, ou seja, quando
ω = ωf ⇒ (k/m)
1/2 = 2πv/λ ⇒ v = λ. (k/m)1/2 /2π
v = 5/ 2π. (2 x 10000/250)1/2≃ 7,12 m/s ≃ 25,62 km/h
(b) a amplitude da vibração do reboque à velocidade de 50 km/h.
Xm = Ym /1 − (ωf /ω)
2 = Ym / 1 – (2πv/λ)
2. m/k
Xm = - 0,014 m
Vibração Forçada – Não Amortecida
GRAESP
Realce
GRAESP
Realce
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2ª Questão
A massa de um sistema não amortecido está submetida a uma força
harmônica com amplitude de 445 N e com período T = 0,333 s. A
massa “m” tem um peso P = 10,85 N e o valor da constante de
rigidez da mola k = 4378 N/m. Determinar a amplitude do
deslocamento.
Vibração Forçada – Não Amortecida
m
k
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2ª Questão – Solução:
Por definição sabe-se que: T = 2π/ω onde:
ωd = 2π/T = 2π/0,333 = 18,87 rad/s.
A frequência natural do sistema (ω)
ω = (k/m)1/2 = (4378 x 9,81/10,85)1/2 = 62,92 rad/s
Com as frequências natural e excitada, podemos obter a razão entre
as frequências ( r ):
r = ωd / ω = 18,87/62,92 = 0,3
Vibração Forçada – Não Amortecida
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2ª Questão – Solução:
Com a razão entre as frequências (r), podemos calcular o fator de
amplificação (Q):
Q = 1/[(1 - r2)2 + (2ζr)2
como ζ = 0, pois o sistema é não amortecido, temos:
Q = 1/(1- r2) = 1/1 - 0,32 = 1,1
Usando a equação da amplitude do deslocamento:
temos,
X(ω) = F/k . Q(ω) = (445/4378).1.1 = 0,1117 m 
Vibração Forçada – Não Amortecida
( )
( )
kF
X
Q
/

=
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3ª Questão.
Uma máquina com 45 kg é montada em cima de um isolador não-
amortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez de
2.105 N/m em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32 Hz,
a amplitudes em regime permanente Xp é medida a partir de um
teste experimental e corresponde a 1,5 mm. Qual a magnitude da
força que excita esta máquina nesta velocidade?
Vibração Forçada – Não Amortecida
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3ª Questão – Solução:
A frequência natural deste sistema é calculada por:
A frequência de excitação em rad/s é calculada como ω=2𝛑f=2𝛑(32).
Com isto a razão entre frequências do sistema é calculada como:
r = ωd / ω = 2𝛑(32)/133,3 = 1,51
Como o sistema é montado em um isolador sem amortecimento (ζ= 0) 
com um r > 1 o fator de ampliação Q(ω) é calculado pela Equação de 
forma modificada:
Vibração Forçada – Não Amortecida
ω = ( k / m) 1 / 2 = [ 4 ( 2 x 10 5 ) / 45 ] = 133 ,3 rad / s
( )
( )
kF
X
Q
/

=
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3ª Questão – Solução:
Rearranjando a equação acima, obtém-se o valor da amplitude da
força de excitação deste sistema:
F = ( X P . k ) / Q(ω)
F = (0,0015).(8 x 105)/0,781 = 1,54 x 103 N
Vibração Forçada – Não Amortecida
Q(ω) = ( X P . k ) / F = 1 / [ ( 1 - r
2 ) 2 + ( 2 ζ r ) 2
Q(ω) = = 1 / [ ( 1 - r 2 ) = 1 / 1 – ( 1 ,51 ) 2 = 0 ,781
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4ª Questão
Uma máquina com 120 kg é montada no meio de uma viga
simplesmente suportada com comprimento L = 1,5 m, modulo de
elasticidade E = 200 x 109 N/m2 e momento de inércia de área I = 1,53
x 106 m4. Um teste de vibrações é feito nesta máquina quando esta é
excitada por uma força harmônica com magnitude de 2000 N para
diferentes velocidades de rotação da máquina. Todas as medições
experimentais das amplitudes de vibração Xp, em função das
velocidades de rotação, são gravadas e constata-se analisando estes
resultados que a maior amplitude corresponde a 2,5 mm. Com esta
informação estime o coeficiente de amortecimento do sistema.
Vibração Forçada – Amortecida
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4ª Questão – Solução:
Primeiro passo é calcular a rigidez da viga, que para esta condição de
contorno (simplesmente suportada) é definida como:
Com a rigidez calculada é possível se calcular a frequência natural ω
do sistema:
Como a informação conhecida é a máxima amplitude de vibração em
regime permanente medida experimentalmente Xmax = 0,0025 m pode-
se calcular o fator de ampliação máximo Qmax pela equação:
Vibração Forçada – Amortecida
k = 48EI/L3 = 48(200 x 109)(1,53 x 10-6)/(1,5)3 = 4,35 x 106 N/m
ω = (k/m)1/2 = (4,35 x 106/120)1/2 = 190,4 rad/s
Qmax(ω) = (XP .k)/F = (0,0025)(4,35x10
6)/2000 = 5,44
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4ª Questão – Solução:
Com o valor de Qmax calculado, a equação:
pode ser rearranjada:
que é uma equação quadrática em 2 cuja raízes são dadas por:
Substituindo Qmax = 5,44 e notando que o sinal positivo em + leva a
um fator de amortecimento maior do que 1/(2)1/2, tem-se então que
ζ=0,092. Ou seja apenas uma das raízes da equação acima é
significativa fisicamente.
Vibração Forçada – Amortecida
Qmax(ω) = 1/ 2ζ(1 – ζ
2)1/2
ζ4 - ζ2 + (1/4 Q2max) = 0
ζ = [1/2.(1 + (1 – (1/ Q2max ))
1/2]
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5ª Questão
Encontre a resposta do sistema de torção da
figura a seguir no qual tem-se uma mola
com constante de rigidez de torção kt = 2000
Nm/rad, um amortecedor de torção constante
ct = 20 Nms/rad, uma massa com momento
de inércia de massa J = 10 kg.m2. Na massa
esta aplicado um torque, em N.m, dado por T
= 20senωt+10sen2 ωt onde ω = 20 rad/s.
Vibração Forçada – Amortecida
kt
J
T
ct
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5ª Questão – Solução:
A frequência natural de torção ω pode ser obtida da expressão:
ω = (k/J)1/2 = (2000/10) 1/2 = 14,14 rad/s.
A relação de amortecimento de torção pode ser obtida pela expressão:
ζ = c/2Jω = 20/2 x 10 x 14,14 = 0,0707
Logo, trata-se de um movimento subamortecido.
Da expressão do torque, vê-se que o mesmo é dado por uma soma de
duas funções senoidais em que a velocidade angular da primeira
função ω1 = ω enquanto que a velocidade angular da segunda função é
ω2 = 2ω. Aplicando o principio de superposição dos efeitos, a resposta
permanente do sistema será dada pela soma das respostas
permanentes a cadaum dos torques componentes.
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5ª Questão – Solução:
a) Obtenção da resposta permanente ao torque com frequência
circular ω1
r1 = ω1/ω = 20/14,14 = 1,414
A amplitude angular estática θ1 = T1/kt = 20/2000 = 0,01 rad.
A amplitude XT1
da resposta pode ser obtida pela expressão:
XT1
= θ1/[(1 – r1²)² + (2ζ r1)²]¹/²
XT1
= 0,01/[(1-1,414²)² + (2 x 0,0707 x 1,414)²]¹/²
XT1
= 9,81 x 10-3 rad.
A relação de amortecimento a torção é dada por:
tgϕT1 = 2ζr1/1 – (r1)² = 2 x 0,0707 x 1,414/1 – 1,414² = -0,2
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5ª Questão – Solução:
De onde temos:
ϕT1 = -11,31° ou ϕT1 = (180 – 11,31) = 168,69°.
Das duas soluções sabe-se que como r1 > 1 deve-se ter 90°< ϕT1 <180°
o que implica em:
ϕT1 = 168,69° = 2,944 rad
Finalmente, a resposta correspondente será dada pela equação:
θ1 = XT1
sen(ω1t - ϕT1) = 9,81 x 10
-3 sen(20t – 2,944)
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5ª Questão – Solução:
b) Obtenção da resposta permanente ao torque com frequência
circular ω2
r2 = ω2/ω = 2x20/14,14 = 2,828
A amplitude angular estática θ2 = T2/kt = 10/2000 = 0,005 rad.
A amplitude XT1
da resposta pode ser obtida pela expressão:
XT1
= θ2/[(1 – r2²)² + (2ζ r2)²]¹/²
XT1
= 0,005/[(1-2,828²)² + (2 x 0,0707 x 2,828)²
XT1
= 7,13 x 10-4 rad
A relação de amortecimento a torção é dada por:
tgϕT2 = 2ζr2/1 – (r2)² = 2 x 0,0707 x 2,828/1 – 2,828² = -0,0571
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5ª Questão – Solução:
De onde temos:
ϕT2 = -3,271° ou ϕT2 = (180 – 3,271) = 176,73°.
Das duas soluções sabe-se que como r2 > 1 deve-se ter 90°< ϕT2 <180°
o que implica em:
ϕT2 = 176,73° = 3,084 rad
Finalmente, a resposta correspondente será dada pela equação:
θ2 = XT2
sen(ω2t – ϕT2) = 7,13 x 10
-4 sen(40t – 3,084)
c) A obtenção da resposta permanente geral é: θ = θ1 + θ2
θ = 9,81 x 10-3 sen(20t – 2,944) + 7,13 x 10-4 sen(40t – 3,084)
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