Relatório Transitórios de Circuitos de 2ª Ordem

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Tecnologia e Ciências 
Faculdade de Engenharia 
Laboratório de Circuitos Elétricos I 
Turma 1 
 
Aluno: Renan Larrieu de Abreu Mourão 
Matrícula: 201810061211 
 
Relatório 8 
Transitórios de Circuitos de 2ª Ordem 
AVALIAÇÃO 
PADRONIZAÇÃO E 
APRESENTAÇÃO 
VALOR:1,0 
CLAREZA E LINGUAGEM 
ADEQUADA 
VALOR:1,0 
TRABALHO 
RELATÓRIO/SIMULAÇÃO 
VALOR:2,5 
MEDIÇÕES EFETUADAS VALOR:2,5 
TABELAS E GRÁFICOS VALOR:1,0 
COMPARAÇÃO DOS 
RESULTADOS 
VALOR:1,0 
CONCLUSÕES VALOR:1,0 
 
 
Professor: João Colucci Fragozo 
Data da Experiência: 26/11/2020 
Data de Entrega do Relatório: 03/12/2020 
 
 
 
 
 
1. Introdução Teórica 
 Os circuitos de segunda ordem são circuitos elétricos que 
possuem dois elementos armazenadores de energia. Estes 
circuitos são formados pela associação de um ou mais 
resistores e de dois elementos armazenadores de energia, os 
quais podem ser de tipos diferentes ou simplesmente não 
(desde que não possam ser reduzidos a um só elemento 
equivalente). Entre as várias possibilidades de circuitos de 
segunda ordem, alguns exemplos são constituídos por: 
1. Dois capacitores; 
2. Dois indutores; 
3. Um resistor, um capacitor e um indutor associados em 
série; 
4. Um resistor, um capacitor e um indutor associados em 
paralelo, entre outros. 
 
 Com isso, ressalta-se que na configuração RLC série, 
tem-se: 
 
 Evidencia-se que a corrente que circula por cada 
elemento é a mesma, pois estão ligados em série. No entanto, 
a tensão de cada um deles é diferente. Com isso, 
 
 
 
 
 
2. Objetivo 
 Este experimento tem o objetivo de familiarização com 
circuitos de segunda ordem, bem como circuitos contendo dois 
elementos armazenadores de energia. Com isso, objetiva-se 
entender as respostas de amortecimento geradas na saída a 
partir da variação dos parâmetros de entrada. 
 
 
 
 
 
 
3. Memorial de Cálculo 
 
 
Circuito RLC série 
 
 Partindo da LKT, temos: 
 
𝒗𝑪(𝒕) + 𝒗𝑹(𝒕)+𝒗 𝑳(𝒕) = 𝑽𝒊𝒏(𝒕) 
 
Sabe-se que a entrada é uma função degrau de tensão: 
 
𝑽𝒊𝒏(𝒕) = 𝑽𝒐 · 𝒖−𝟏(𝒕) 
 
 Uma vez que busca-se formar uma equação diferencial 
ordinária contendo somente 𝒗𝒄(𝒕), com isso, como todos os 
elementos do circuito estão em série, sabe-se que a corrente 
𝒊(𝒕) é a mesma para todos eles, com isso, usa-se a corrente 
do capacitor, para isso precisa-se seguir com o seguinte 
processo. Dado que a tensão do capacitor é dada por: 
 
𝒗𝒄(𝒕) =
𝒒
𝑪
 
 
Derivando os dois lados da equação, obtém-se: 
 
𝒊(𝒕) = 𝑪
𝒅𝒗𝒄(𝒕)
𝒅𝒕
 
Substitui-se 𝒊(𝒕) na equação abaixo produzida pela LKT do 
circuito RLC em série: 
 
𝑽𝒊𝒏(𝒕) = 𝑹𝒊(𝒕) − 𝒗𝒄(𝒕) − 𝒗𝑳(𝒕) 
 
Com isso, chega-se na EDO: 
 
𝒅𝟐𝒗𝒄(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
+
𝑹
𝑳
𝒅𝒗𝒄(𝒕)
𝒅𝒕
+
𝟏
𝑳𝑪
𝒗𝒄(𝒕) =
𝟏
𝑳𝑪
𝒅𝑽𝒊𝒏(𝒕)
𝒅𝒕
 
 
 
 
 
 
 
Comparando-se com a equação de segunda ordem: 
𝒅𝟐𝒗𝒄(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
+ 𝟐𝒂 ·
𝒅𝒗𝒄(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝝎𝒐
𝟐 · 𝒗𝒄(𝒕) = 𝒇(𝒕) 
 
Com isso, sabe-se que: 
𝒂 =
𝑹
𝟐𝑳
 
𝝎𝒐 =
𝟏
√𝑳𝑪
 
 Dado: 
𝑳 = 𝟏𝑯 
𝑪 = 𝟏𝒏𝑭 
𝝎𝒐 = 𝟑𝟏. 𝟔𝟔𝟐𝒌𝑯𝒛 
𝜺 =
𝒂
𝝎𝒐
= 𝟏𝟓. 𝟖𝟏 · 𝟏𝟎−𝟑 
𝒘𝒅 = 𝒘𝒐√𝟏 − 𝜺
𝟐 = 𝟑𝟏. 𝟓𝟕𝒌𝑯𝒛 
 
4. Procedimentos Experimentais 
Circuito RLC 
 
4.1) Alimentamos o circuito com a fonte de 5V como é visto na 
imagem. 
 
 
 
 
 
4.2.a) Obtemos o sistema subamortecido para 𝑹 <
𝟔𝟑. 𝟐𝟒𝟓𝒌Ω: 
 
 
 
 
Saída 
 Observa-se que a tensão no capacitor tende a tensão de 
entrada. 
 
 
 
 
 
4.2.b) Obtemos o sistema criticamente para 𝑹 = 𝟔𝟑. 𝟐𝟒𝟓𝒌Ω: 
 
 
 
 
Saída 
 
 
 
 
 
 
4.2.c) Obtemos o sistema criticamente amortecido para 𝑹 >
𝟔𝟑. 𝟐𝟒𝟓𝒌Ω: 
 
 
 
 
Saída 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3) 𝑅 = 63.245𝑘Ω 
4.4-I) para 𝑅 = 1𝑘Ω obtém-se 𝑀𝑝 = 4.66𝑉 
 
4.4-II) Mendindo-se no gráfico, obtém-se 𝑻𝒅 = 𝟐𝟎𝟎𝒖𝑺 
4.4-III) Medindo a distância de 0 até o instante em que ocorre o 
primeiro pico, obtém-se 𝒕𝒑 = 𝟏𝟎𝟎𝒖𝑺 
4.4-IV) A oscilação tende ao valor de entrada 𝑽 = 𝟓𝑽 
4.4-V) Neste caso em que a frequência utilizada é de 60Hz, o 
regime permanente acontece em 𝑻 = 𝟏𝟔. 𝟔𝟕𝒎𝑺 
4.4-VI) Item desconsiderado!! 
 
 
 
 
 
 
4.4-VII) Item desconsiderado!!! 
4.4-VIII) 
𝒘𝒅 = 𝒘𝒐√𝟏 − 𝜺
𝟐 = 𝟑𝟏. 𝟓𝟗𝒌𝑯𝒛 
 
𝑲 = −
𝒘𝒐
𝒘𝒅
= −
𝟏
√𝟏 − 𝜺𝟐
= −
𝟏
√𝟏 − (𝟏𝟓. 𝟖𝟐𝟐 · 𝟏𝟎−𝟑)𝟐
= −𝟏. 𝟎𝟖𝟗 
 
𝝓 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
𝒘𝒅
𝜺 · 𝒘𝒐
= 𝟖𝟗° 
4.4-IX) O aumento da resistência implica num aumento da 
constante alpha, 𝒂 =
𝐑
𝟐𝐋
 que por sua vez implica em uma diminuição 
de 𝐰𝐝. 
 Dessa forma, podemos observar que menor 𝐰𝐝, maior será o 
valor de intervalo de tempo 𝒕𝒑que é a diferença entre os instantes 
de tensão no início da curva de carga do capacitor e o instante do 
primeiro pico na curva do capacitor. 
 
 
 
 
 
 Além disso, também é possível visualizar que quanto maior 𝒂, 
menor será então o intervalo de tempo 𝐓𝐝 que corresponde a 
diferença de instantes do primeiro pico ao segundo pico da onda de 
tensão 𝐯𝐂(𝐭) representada no gráfico. 
 Esses dois fenômenos apontados acontecem porque a 
resistência 𝑹 é inversamente proporcional à constante 𝐰𝐝 que por 
sua vez é inversamente proporcional às constantes 𝐓𝐝 e 𝐭𝐩. 
 Com isso, obtemos que 𝑹 é diretamente proporcional a 𝐓𝐝 e 
𝐭𝐩, então ao aumentar a resistência, aumentamos este intervalo, e 
ao diminuí-la, diminuímos este intervalo. 
 
 
 
 
 
 
5. Conclusões 
 Analisa-se que as condições de sub-amortecimento, 
amortecimento crítico e super-amortecimento foram verificadas 
com êxito, pois obteve-se convergência entre valores teóricos 
e simulados. Dessa forma, ressalta-se que para a frequência 
utilizada de 60Hz, tem-se duas situações de amortecimento 
para cada período de onda da entrada. 
 Além disso, evidencia-se que ao analisar com mais 
profundidade cada tipo de amortecimento, visualiza-se que no 
Circuito Subamortecido a forma de onda de uma senóide 
decrescente. Isso acontece, porque as soluções da equação 
diferencial ordinária (EDO) para esse circuito resultam em 
números complexos com parte reais negativas. Com isso, a 
tensão sobre o capacitor, varia de maneira senoidal 
decrescente até que, em um instante 𝑡, a exponencial negativa 
acabe com a oscilação. 
 Além disso, analisa-se o Circuito Criticamente 
Amortecido. Ao observar a forma de onda no capacitor, pode-
se ver que a tensão atinge o valor da tensão de entrada, através 
de uma exponencial. A causa para esse fato é que as raízes da 
EDO nesse circuito, são reais, negativas e idênticas, sendo 
assim, o potencial do capacitor varia de acordo com duas 
exponenciais negativas de mesmo valor, porém uma é 
multiplicada pelo tempo. Com isso, a onda atinge o patamar de 
entrada em um tempo relativamente pequeno. 
 Finalmente, analisa-se o Circuito Superamortecido. A 
solução da EDO para esse tipo de circuito são duas raízes 
reais, negativas e diferentes. Dessa maneira, o sinal de tensão 
do capacitor varia de acordo com a soma de duas exponenciais 
negativas. Por isso, como pode ser visto no gráfico, o potencial 
do capacitor aproxima-se ao valor da tensão da fonte, porém 
nunca atinge tal valor. 
 
 
 
 
 
 
6. Referências Bibliográficas 
1) Charles M. Close - Circuitos Lineares LTC - 2ª Edição 
2) Documento de experiência 8 de laboratório de circuitos 1 
3) Boylestad, Robert L. Introdução à Análise de 
Circuitos. 12ª Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
4) https://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_eletr%C3%B4nico 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_eletr%C3%B4nico