Aula 30 - Pêndulo e MHS

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Lição 30
Pêndulo Simples 
e MHS
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Pêndulo Simples
Galileu Galilei
(1564 – 1642)
Galileu usava a própria
pulsação para cronometrar
o tempo de oscilação.
Movimentos que se repetem com frequência
- Uma volta completa em 60 segundos
- 60 voltas em 1 hora
- Uma volta completa em 1 hora
- 24 voltas em 1 dia
- Uma volta completa em 12 horas
- 2 voltas em 1 dia
Período (T): tempo gasto em 1 volta (oscilação) completa.
Frequência (f): número de oscilações em 1 unidade de tempo.
𝑻 =
𝟏
𝒇
Pêndulo Simples
Posições extremas
O movimento de um Pêndulo Simples, é um movimento periódico constante.
 𝑣𝑚á𝑥
𝑣 = 0𝑣 = 0 𝑇 = 2𝜋
ℓ
𝑔
Amplitude
𝑇 = 2𝜋
ℓ
𝑔
ℓ ↑ 𝑇 ↑ ℓ ↓ 𝑇 ↓
𝑔 ↑ 𝑇 ↓ 𝑔 ↓ 𝑇 ↑
Pêndulo Simples
(UNIMONTES MG) A figura abaixo mostra um pêndulo, de massa m, que oscila livremente
após ter sido abandonado de uma posição em que o fio, de comprimento L1, fazia um ângulo
θ = 10° com a vertical. A frequência de oscilação é f1. Para que a frequência tenha um novo
valor f2 = 3f1, numa situação em que o pêndulo é colocado para oscilar em condições
semelhantes (mesmo ângulo θ), o comprimento L2 do fio deve ser igual a
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exercícios Aula 30 – Pêndulo Simples e
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Movimento Circular Uniforme (MCU)
𝜃: 𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 [𝑟𝑎𝑑]
𝜔: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]
𝜔 =
𝜃
∆𝑡
Linear x Angular
𝑣 = 𝜔𝑅1 volta completa 𝜔 =
2𝜋
𝑇
Movimento Harmônico Simples (MHS)
𝑥 = 𝐴 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0)
−𝟏 < 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 < +𝟏
𝑥 = 𝐴 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0)
Posição 
Inicial
𝜔 =
2𝜋
𝑇
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Exemplo: Se no sistema massa-mola abaixo a amplitude do movimento é igual a 10 
cm e frequência angular do movimento é 2𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
, sendo a fase inicial 𝜋, em quanto 
tempo o bloco atinge a posição final +A?
𝑣 = 0
𝑥 = +𝐴 = 1𝑚
Agora pense sempre na projeção do vetor velocidade sobre o eixo x...
1 volta completa em 1 
segundo 𝝎 = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔
O bloco vai e volta em 1 segundo.
Amplitude A = 1 m
𝑣′ < 𝑣
Agora pense sempre na projeção do vetor velocidade sobre o eixo x...
Temos um problema...
cos
𝜋
3
= 0,5 sen
𝜋
3
= 0,87
Movimento
Agora pense sempre na projeção do vetor sobre o eixo x...
𝑥 = 𝐴 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0)
𝑣 = −𝜔𝑅 ∙ sen(𝜔𝑡 + 𝜙0)
𝑣 = −𝜔𝐴 ∙ sen(𝜔𝑡 + 𝜙0)
Por comparação ...
Movimento
𝑣′ = 𝜔𝑅 ∙ sen(𝜔𝑡 + 𝜙0)
𝑣′ = 2𝜋 ∙ 1 ∙ sen(2𝜋 ∙
1
6
+ 0)
𝑣′ = 2𝜋 ∙ sen
𝜋
3
𝑣′ = 2𝜋 ∙
3
2
𝑣′ = + 3𝜋 m/s
???????
Agora pense sempre na projeção do vetor sobre o eixo x...
𝑣′ = −𝜔𝐴 ∙ sen(𝜔𝑡 + 𝜙0)
𝑣′ = −2𝜋 ∙ 1 ∙ sen(2𝜋 ∙ 0,5 + 0)
𝑣′ = −2𝜋 ∙ sen𝜋
𝑣′ = 0
zero
Agora pense sempre na projeção do vetor sobre o eixo x...
𝑣 = −𝜔𝐴 ∙ sen(𝜔𝑡 + 𝜙0)
𝑣 = −2𝜋 ∙ 1 ∙ sen(2𝜋 ∙ 0,75 + 0)
𝑣 = −2𝜋 ∙ sen
3𝜋
2
𝑣 = −2𝜋 ∙ (−1)
Movimento
𝑣 = 2𝜋 𝑚/𝑠
Máxima
Aceleração no MHS
Em qualquer posição... 𝑎
É CENTRIPETA!!!
 𝑎
 𝑎
 𝑎
𝑎′ = −𝜔2𝐴 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0)
Por que 𝒂 = 𝝎𝟐 ∙ 𝑨 ?
𝒓𝒂𝒅𝟐
𝒔𝟐
∙ 𝒎 =
𝒎
𝒔𝟐
Por que negativo?
Por causa do sentido do vetor.
 𝑎
Agora pense sempre na projeção do vetor aceleração sobre o eixo x...
 𝑎′
𝑎′ = −𝜔2𝐴 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0)
Movimento
𝝎 = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔 A = 1 m
𝒕 =
𝟒
𝟔
𝒔
𝑎′ = −(2𝜋)2∙ 1 ∙ cos(2𝜋 ∙
4
6
+ 0)
𝑎′ = −4𝜋2 ∙ cos
4𝜋
3
𝑎′ = −4𝜋2 ∙ (−0,5)
𝑎′ = +2𝜋2 𝑚/𝑠2