Prova de Cálculo Diferencial e Integral II

Prévia do material em texto

Instituto de Matemática e Estatística - UERJ
1a Prova de Cálculo Diferencial e Integral II
1. [2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(a) O teorema fundamental do cálculo implica que
∫ 1
0
f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) dx = f (1)g(1) − f (0)g(0).
(b) A integral
∫ 2
1
ln(1x ) dx é positiva.
(c) ddx
∫ x2
0
√
1 + t dt = x2
√
1 + x2.
(d)
∫ b
a
f (x) dx +
∫ a
b
f (x) dx =
∫ a
a
f (x) dx.
(e) Se f (x, y) = x3 + xy, então f (2x,−3x2) = x3.
(f) A função f (x, y) = ln(x + y) satisfaz à equação da onda ∂
2 f
∂x2 =
∂2 f
∂y2 .
(g) As curvas de nível da função f (x, y) = 2y + 3x2 + 5 são parábolas.
(h)
∫ 1
−1
f (x) dx =
∫ 1
−1
f (−x) dx.
2. [1.5 pt] Calcule a integral definida
∫ 1
0
√
x
x + 1
dx.
3. [1.5 pt] Use o critério da convergência para determinar se
∫ ∞
1
1
x + ex
dx é convergente ou divergente.
4. [1 pt] Descreva e esboce o domínio da função f (x, y) =
√
y2 + x2 − 1 +
√
4 − x2 − y2.
5. [1 pt] calcule o limite lim
(x,y)→(1,−1)
xy + 1
x + y
(a) ao longo da curva y = −x2
(b) ao longo da curva y = −x3
6. [1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R2. Justifique a resposta.
(a) z =
sen(xy)
x2 + y2
(b) z =
sen(xy − 1)
x2 + y2 + 1
(c) z =
sen(xy + 1)
x2 + y2 − 1
7. [1 pt] A fiqura é o gráfico de qual das funções se-
guintes. Justifique a resposta.
(a) f (x, y) =
√
x2 + y2 − 1
(b) f (x, y) = 1 −
√
x2 + y2
(c) f (x, y) =
√
x2 + y2 + 1
−2
0
2
−2
0
2
−2
0
xy
8. [1 pt] Determine a derivada partial
∂3
∂z∂y∂x
ex
2+yz.