TEOREMA DE EULER

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CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
ANDRESSA IZABELLY MONTEIRO NUNES 
BRUNA MARIANA GOMES DOS SANTOS 
FABÍOLA LORENDA DE OLIVEIRA DAMASCENO 
LUCIANA DOS SANTOS RODRIGUES 
ROSIMARA DE ABREU REINALDO 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE EULER: Teoria dos Números 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Macapá – AP 
2019 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAPÁ – IFAP 
 
 
ANDRESSA IZABELLY MONTEIRO NUNES 
BRUNA MARIANA GOMES DOS SANTOS 
FABÍOLA LORENDA DE OLIVEIRA DAMASCENO 
LUCIANA DOS SANTOS RODRIGUES 
ROSIMARA DE ABREU REINALDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE EULER: Teoria dos Números 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Macapá – AP 
2019 
Trabalho avaliativo apresentado ao curso de 
Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia do Amapá – IFAP, 
campus Macapá como requisito avaliativo para a 
componente curricular Teoria dos Números. 
Adalso Costa da Silva – Professor responsável. 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 4 
1.1 SISTEMA REDUZIDO DE RESÍDUOS ................................................................... 4 
1.2 FUNÇÃO φ (phi) DE EULER.................................................................................... 4 
2 TEOREMA DE EULER ............................................................................................. 5 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 7 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 8 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
O presente trabalho expõe o Teorema de Euler aplicados em Teoria dos Números, 
bem como as propriedades de Sistemas Reduzidos de Resíduos e Função φ (phi) de Euler. 
O Teorema de Euler também é conhecido como Teorema de Fermat-Euler. 
Leonhard Euler (1707-1783) foi um brilhante matemático suíço do século XVIII, 
nascido na cidade de Basiléia, Euler deixou inúmeras contribuições não só para a 
Matemática, mas também para a Física, para a Química e para a Astronomia. 
O matemático viveu os últimos dezessete anos de sua vida com total 
comprometimento visual devido ao excesso de estudos, mesmo assim não parou de 
produzir seus artigos, sendo o matemático que mais publicou artigos, sendo considero até 
hoje o mais prolífero entre todos os matemáticos. 
O Teorema de Euler também nos fornece um teste de primalidade, para 
compreendê-lo, é necessário conhecer a Função φ (phi) de Euler, mas antes iniciemos 
definindo o que é um sistema reduzido de resíduos. 
1.1 SISTEMA REDUZIDO DE RESÍDUOS 
Um sistema reduzido de resíduos módulo n é um conjunto de φ(n) inteiros r1, r2, 
..., rφ(n), tais que cada elemento deste conjunto é relativamente primo com n, e se i ≠ j, 
então ri ≇ rj (mod m). 
Por exemplo, o conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, é um sistema completo de resíduos 
módulo 8 e {1, 3, 5, 7} é um sistema reduzido de resíduos módulo 8. Para se obter um 
sistema reduzido basta retirar os elementos do sistema completo que não são 
relativamente primos com n. 
1.2 FUNÇÃO φ (phi) DE EULER 
Entre seus inúmeros feitos, Euler definiu uma importante função, comumente 
denotada pela letra grega φ (phi), bastante utilizada em Teoria dos Números. 
Euler continuou a investigar as propriedades dos números, especificamente a 
distribuição dos números primos. Essa função, hoje intitulada como Função φ (phi) de 
Euler é também conhecida como Função Totiente de Euler, essa função associa a cada 
inteiro positivo n a quantidade de inteiros positivos menores do que n que são coprimos 
com n, isto é, a função φ (phi) mede a capacidade de quebra de um número, assim dado 
um número n, ele mostra quantos números inteiros são menores do que, ou igual a n, esses 
números inteiros não podem compartilhar qualquer fator comum com n. Para a 
apresentação do Teorema de Euler é necessário a da definição da função φ (phi) de Euler. 
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A função Totiente de Euler, φ(n), conta o número de inteiros, entre 1 e n, que 
sejam coprimos com n. Para n > 1, φ(n) corresponde a quantidade de números naturais 
não múltiplos de n que vão de 0 a n − 1. Se n = 1, então φ(1) = 1. 
Por definição, temos: φ(n) ≤ n − 1 para todo n ≥ 2, e, se n = p for primo, se tem 
que φ(p) = p − 1. (se p um primo, nenhum n ∈ ℕ entre 0 e p − 1 é múltiplo de p). 
Proposição: Sejam m, a, b, c ∈ ℤ com m > 1 e mdc (c, m) = 1. Se ac ≡ bc (mod m), então 
a ≡ b (mod m). 
Definição: O conjunto dos inteiros {r1, r2, ..., rs}, é um sistema completo de resíduos 
módulo n se: 
I. ri ≠ rj (mod m), para i ≠ j 
II. Para todo inteiro m existe um ri tal que m ≡ ri (mod m). 
Por exemplo, o conjunto {0, 1, 2, ..., n − 1} é um sistema completo de resíduos módulo 
n. 
Matematicamente: 
A função totiente é importante, principalmente porque fornece o tamanho do 
grupo multiplicativo de inteiros módulo n, mais precisamente, φ(n) é a cardinalidade do 
grupo de unidades do anel ℤ/n ℤ. Este fato, ao lado do teorema de Lagrange, fornece a 
prova do teorema de Euler. 
A função totiente possui esse nome graças ao matemático inglês James Joseph 
Sylvester, que gostava de inventar palavras novas e diferentes para as coisas com as quais 
lidava. 
2 TEOREMA DE EULER 
Essencialmente, a prova é a mesma que a feita do Teorema de Fermat. Aqui 
apenas será feita uma síntese. 
Primeiramente será considerado algumas definições apresentadas anteriormente 
para tornar tudo mais compacto e simples de entender. 
Definição: Definimos φ(n) como a quantidade de inteiros positivos menores ou iguais a 
n que são relativamente primos com n. 
Alguns exemplos imediatos seriam: 
φ(6) = 2, pois 1 e 5 são relativamente primos com 6, enquanto nenhum dos números 2, 3, 
4 e 6 é; 
φ(1) = 1, pois mdc (1,1) = 1; 
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φ(p)= p – 1, para todo número primo p, pois todos os números 1, 2, ..., p – 1, são 
relativamente primos com p, enquanto mdc (p,p) ≠ 1. 
Segundo passo, temos: 
Teorema de Fermat: Seja p um número primo e a um inteiro não múltiplo de p qualquer, 
então 
ap−1≡1(mod p) 
Teorema Euler: Seja n um inteiro positivo qualquer e a um inteiro relativamente primo 
com a, então 
aφ(n)≡1(mod n) 
 
Note que o Teorema de Fermat é o caso particular do Teorema de Euler quando n 
é um número primo. 
Agora vejamos a prova dos dois Teoremas: 
Prova: Primeiro utiliza-se a informação de que φ(n) é a quantidade de inteiros positivos 
menores ou iguais a n e primos com n. Para isso, vamos considerar o conjunto 
A= {a1, a2, ..., aφ(n)} A = {a1, a2, ..., a
φ(n)} 
Desses inteiros, observa-se que se dois deles deixam o mesmo resto na divisão por 
n, teríamos dois números distintos 1 ≤ x, y ≤ n, deixando o mesmo resto por n, o que é 
claramente impossível. Agora tem-se a seguinte observação: Se ai,aj são elementos 
distintos de A, então 
aai ≢ aaj (mod n) 
De fato, como n é primo com a então 
n |aai−aaj ⇒ n| ai−aj 
Contradição com o resultado anterior. Para finalizar, é necessário olhar os restos 
que aa1, aa2, ..., aaφ(n) deixam por n. Como visto, todos esses restos são distintos, além 
disso, conclui-se, como 
mdc(n,a)=mdc(n,ai)=1 
Para cada i =1, 2, ..., φ(n), cada um dos restos que esses números deixam são 
relativamente primos com n. Mas cabe lembrar que, por definição, existem exatamente 
φ(n) restos que são primos com n, que são exatamente os restos que aparecem em A. 
A conclusão é que o conjunto dos restos de aa1, aa2, ..., aaφ(n), por n é exatamente 
o conjunto A. Nota-se que a palavra "conjunto" é bem importante, pois a ordem que esses 
restos desaparecem é desconhecida, sabe-se apenas qual é o seu conjunto, sabe-se que o 
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produto dos restos é o resto dos produtos, então temos que o resto que a1, a2...aφ(n) deixa 
por n é o mesmo de aa1, aa2, ..., aaφ(n) = a
φ(n)a1, a2, ..., aφ(n). Em outras palavras: 
aφ(n)a1, a2, ..., aφ(n).≡ a1,a2, ..., aφ(n) (mod n) 
Mas como mdc (a1, a2, ..., aφ(n), n) =1, podemos "cancelar" o produto a1, a2, ..., aφ(n) 
e obter 
aφ(n) ≡ 1(modn) 
Como desejado. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Pode-se observar o poder do Teorema de Euler, em conjunto com a função 
Totiente de Euler, para mostrar, entre outras questões, propriedades relativas a 
divisibilidade e resolver exercícios sobre o cálculo de resíduos, sem a necessidade de 
efetuar as divisões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
A. Hefez. Aritmética. Coleção PROFMAT, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de 
Janeiro: SBM, 2014. 
 
BERLINGOFF, W. P.; GOUVEA, F. Q. A matemática através dos tempos. São Paulo: 
Editora Blucher, 2008. 
 
Castro, Jânio Kléo Sousa. Teoria dos números: Licenciatura em matemática. 
Fortaleza: UAB/IFCE, 2010. 112p. J. P. de O. Santos. Introdução a Teoria dos Números. 
Coleção Matemática Universitária: IMPA, 1998. 
 
MARTINEZ, Fabio Brochero; et al. Teoria dos números: um passeio com primos e 
outros números familiares pelo mundo inteiro. 2ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. 
 
S. C. Coutinho. Números inteiros e criptografia RSA. Coleção Computação e 
Matemática, SBM e IMPA (2000).