ANOVA e teste F

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Planejamento 
Experimental I
Profª. Drª. Heloisa Helena Medeiros
FEA/ITEC/UFPA
heloisa@ufpa.br
 Análise de variância (Analysis of Variance - ANOVA);
 É um método para testar dois ou mais tratamentos
para determinar se a sua amostra média poderia ter sido
obtido a partir de populações com a mesma média real.
Isto é feito estimando o número de variações dentro de
tratamentos e comparando-a com a variação entre os
tratamentos.
 O objetivo principal da análise de variância é comparar
a variação devida aos tratamentos com a variação devida
ao acaso ou resíduo. Para realizá-la é preciso proceder a
uma série de cálculos.
 Se os tratamentos são iguais (a partir de populações
com a mesma média) – amostras são do mesmo
tamanho, a variação dentro de cada tratamento será
aproximadamente a mesma que a diferença entre os
tratamentos.
 Se os tratamentos vêm de populações com diferentes
meios, a variação entre os tratamentos será inflado.
 A "variação dentro" e a "entre variância" são
comparados usando a estatística F, que é uma medida
da variabilidade nos desvios estimados da mesma
maneira que a estatística t é uma medida da
variabilidade nos meios de estimativa.
Variância Dentro dos Grupos (Sd)
Supondo-se que todos os grupos têm a mesma
variância da população, podemos reunir as variâncias k
amostras para estimar a variância dentro do grupo
Ou
Onde N = n1 + n2 + ... + nk
Variância Entre Grupos (Se)
A variância entre grupos é calculado utilizando as 
médias dos grupos e da média global onde a média 
global é dada por:
Onde a média global é dada por:
Em que:
SQ entre é a “soma de quadrados” entre os grupos e é numerador de
sE
2, ou seja, SQ entre =
SQ dentro é a “soma de quadrados” dentro dos grupos e é numerador
de sD
2, ou seja, SQ dentro =
Note que QM entre = sE
2 e QM dentro = sD
2.
Tabela da Análise de Variância
EXEMPLO
A variância dentro dos grupos
Se reduzirmos a duas variâncias podemos aplicar o teste F
A variância entre grupos
Para testar as hipóteses é utilizada a estatística F com
(k – 1) graus de liberdade no numerador e k(r – 1)
graus de liberdade no denominador.
Se Fcalc > F,GL1,GL2 REJEITA-SE H0 e conclui-se que
existe pelo menos uma média que difere de outra.
Se Fcalc > Ftab, rejeitar H0
Neste caso dizemos que existem diferenças
estatisticamente significativas entre as médias
Se Fcalc < Ftab, não rejeitar H0
Quando isso ocorre, dizemos que não existem
evidências estatísticas de que as médias sejam
diferentes.
O numerador é a raiz quadrada da média da
variância “entre grupos", que tem ν1 graus de
liberdade
Um valor F com estes graus de liberdade é designado por
Fv1,v2,α onde α é o ponto percentual superior a que o
teste está a ser feito.
O denominador é sempre a estimativa da
variância de erro randômico puro , neste caso, a
variação "dentro dos grupo", que tem ν2 graus de
liberdade
Graus de liberdade
• O teste será feito ao nível de 5% com o grau de
liberdade 1 = k - 1 = 3 - 1 = 2 e 2 = N - K = 12 - 3 =
9. O valor relevante é F2,9,0.05 = 4,26.
• O índice calculado para o nosso experimento, F =
52/6 = 8,67 é maior que F2,9,0.05 = 4,26, então
podemos concluir que este fornece elementos
suficientes para concluir o intervalo de confiança de
95% de que as médias dos três grupos não são
iguais.
Suponha que um pesquisador conduziu um experimento
inteiramente ao acaso e obteve um conjunto de dados que se
pressupõe que sejam normalmente distribuídos e que
possuam homocedasticidade (mesma 2). O interesse do
pesquisador é avaliar se existe uma diferença significativa
entre os tratamentos T1, T2 e T3. Através de procedimento
ANOVA utilizando um nível de significância de 5% você diria
que existe diferença significativa entre as amostras ou não?
T1 T2 T3
3 11 16
5 10 21
4 12 17
EXEMPLO 1
Dez medidas de concentração
de chumbo(μg/L) de amostras
idênticas em cinco
laboratórios
Os dados mostrados na Tabela abaixo foram obtidos através da divisão de
uma grande quantidade de material preparado em 50 alíquotas iguais e
possuindo analise de cinco laboratórios diferentes em cada 10 amostras
selecionadas aleatoriamente. Pelo projeto do experimento, não há diferença
real na concentração de amostras, mas os laboratórios têm produzido
diferentes médias e variâncias diferentes. Aqui vamos usar uma ANOVA one-
way, que se concentra em comparar a variação dentro de laboratórios com a
variação entre laboratórios. A análise é de sentido único, porque há um fator
(laboratórios) para ser avaliado.
EXEMPLO 2
EXEMPLO 3