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Modelagem e Controle de Sistemas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof.ª Dr.ª Claudia Barros dos Santos Revisão Textual: Prof. Esp. Claudio Pereira do Nascimento Funções de Transferência • Sistemas Submetidos a Distúrbios; • Representação de Sistemas no Espaço de Estados. · Eliminar todas as dúvidas relativas a simplificar um diagrama de blo- cos, escrevendo sua função de transferência de malha fechada. Além disso, vamos estudar a função de transferência de sistemas com per- turbação. Para finalizar, vamos verificar que existe outra maneira de representar sistemas, é a representação no espaço de estados. OBJETIVO DE APRENDIZADO Funções de Transferência Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional, siga algumas recomendações básicas: Assim: Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e horário fixos como seu “momento do estudo”; Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo; No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados; Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus- são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem. Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco! Evite se distrair com as redes sociais. Mantenha o foco! Evite se distrair com as redes sociais. Determine um horário fixo para estudar. Aproveite as indicações de Material Complementar. Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado. Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados. Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias! Isso amplia a aprendizagem. Seja original! Nunca plagie trabalhos. UNIDADE Funções de Transferência Sistemas Submetidos a Distúrbios Observe bem a imagem da figura abaixo, tem-se um diagrama de blocos com duas entradas, R(s) e D(s), onde D(s) é considerado um distúrbio ou uma perturbação a mais no sistema. Distúrbio D(s) G1(s) R(s) C(s) H(s) G2(s) Figura 1 Quando ocorre distúrbio num sistema linear e invariante no tempo, podemos analisar a saída em relação a cada entrada separadamente, visto que não haverá interferência de uma na outra. Ou seja, poderemos resolver a equação de saída, como CD(s) + CR(s), ou seja, a somatória de C(s) em relação ao distúrbio D(s) com C(s) em relação à entrada de referência R(s). Vamos escrever a função de transferência de malha fechada para o sistema com distúrbio da imagem acima. No entanto, nesse momento vamos utilizar uma técnica útil para escrever as equações de interesse. A técnica consiste em escrever sinais parciais ao longo do caminho. Observe a imagem do exercício, já com esses sinais redesenhados (no destaque vermelho): D G1 R C H G2 E M Figura 2 Vamos observar que embora não esteja na imagem acima, todas as funções são função de s, como mostra a imagem original do exercício. As equações de interesse serão as seguintes: C = G2 (D + G1E) Equação I 8 9 Não se esqueça que o nosso objetivo é encontrar C como função de R e C como função de D. Analisando a equação I, a pergunta é, o que é o sinal E? Po- demos escrever: E = R − M Equação II Por fim, podemos escrever que o sinal M será: M = HC Equação III Para organizar as nossas equações, vamos reescrever a Equação I, agora substituindo as incógnitas E e M, então teremos: C = G2{D + G1[R − (HC)]} Enfim, todas as incógnitas da equação acima são desejáveis na solução. Logo, vamos aplicar a propriedade distributiva e em seguida isolar a variável C(s): C = G2D + G2G1R – G2G1HC C(1+G1G2H) = G2D + G1G2R C G G G H D G G G G H R� � � � 2 1 2 1 2 1 21 1 Observe a solução na linha acima, considere um caso em que o produto G1G2 é muito maior que 1. A parcela que contém o termo D será muito próxima de zero e o efeito de distúrbio será suprimido. Logo, você já sabe que tipo de manipulação realizar no sistema para obter uma otimização. No entanto, essa manipulação tem limite, visto que, para o termo que contém R, a função C será dependente de 1/H, logo o produto G1G2 não terá mais efeito sobre o resultado. Representação de Sistemas no Espaço de Estados Com a necessidade de representar tarefas complexas com muita precisão, os sistemas têm cada vez mais possibilidades de ter múltiplas entradas e múltiplas saídas, tornando as variáveis mais complexas e com múltiplas dimensões. Daí a necessidade da representação do sistema no espaço de estados. Essa representação com múltiplas dimensões é feita por vetores. O significado de estado está relacionado ao menor conjunto de variáveis (variáveis de estado) que determina completamente o comportamento do sistema para t>t0. De modo que, as condições iniciais são essenciais para definir esse estado. 9 UNIDADE Funções de Transferência Assim, como o significado de variáveis de estado é o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado de um sistema dinâmico. São n variáveis, do tipo x1, x2, ..., xn necessárias para descrever o comportamento total de um sistema dinâmico. Essas variáveis são representadas por vetores. Vamos fazer uma breve introdução sobre essa representação, visto que, para compreensão total deste tema é necessário que o aluno conheças as transformadas de Laplace, tema da nossa próxima unidade de estudos. Nesse tipo de representação, estão presentes as variáveis de entrada, as variáveis de saída e as variáveis de estado. Leia com atenção a seguinte informação: Todo sistema dinâmico deve conter elementos que “memorizem” as variáveis de entrada para t > = t1, ou seja, dados iniciais conhecidos. Os integradores, num sistema de tempo contínuo, são capazes de memorizar essas variáveis, pois servem como dispositivos de memória, a saída desses integradores pode ser considerada como as variáveis que definem o estado interno desse sistema. Logo, as saídas desses integradores podem ser escolhidas como variáveis de estado de um sistema. O número de integradores no sistema é igual ao número de variáveis de estado. No geral, considere um sistema (invariante no tempo), onde existem múltiplas entradas ur (t) e múltiplas saídas ym(t), e, portanto, n integradores. As n saídas desses integradores podem ser definidas como variáveis de estado x1, x2, ..., xn (t). Para encontrar soluções para esse sistema, devemos nos perguntar, qual é a solução para uma integral? Você já tem a resposta em mente? Se sim, podemos escrever que o sistema será descrito por: x˙ 1 (t)=f1 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t) x˙ 2 (t)=f2 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t) . . . x˙ n (t)=fn (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t) As saídas do sistema são dadas por: y1 (t)=g1 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t) y2 (t)=g2 (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t) . . . ym (t)=gm (x1,x2,… ,xn; u1,u2,… ur;t) 10 11 E sendo cada uma das variáveis vetores, do tipo x f x u t�� � � x x x f x x x u u u t f x x n n r 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2, ( , , ) , ,... , ; , ,... ; , ,. e ... , ; , ,... ; , ,... , ; , ,... ; x u u u t f x x x u u u t n r n n r 1 2 1 2 1 2 � � � � y g u� � � � � � � � � � y t y t y t x t f x x x u u u t f n n r 1 2 1 1 2 1 2 e ( , , ) , ,... , ; , ,... ; 22 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x u u u t f x x x u u u n r n n r , ,... , ; , ,... ; , ,... , ; , ,... ; � � tt t u u ur� � � � �e u 1 2 x˙ (t) = f(x,u,t) e y(t) = g(x,u,t) Logo, as soluções são x˙ (t) = Ax˙ (t) + Bu(t) e y(t) = Cx(t) + Du(t) Para ilustrar com mais exatidão, observe o diagrama de blocos abaixo: A (t) D (t) B (t) C (t) y (t)x (t)u (t) x (t) ∫ dt Figura 3 A imagem acima mostra um diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contínuo, no espaço de estados. Agora, interprete-o de acordo com a análise teórica que fizemos. Durante a interpretação, olhe para o diagrama de blocos quantas vezes forem necessárias para compreender de onde vem as soluções propostas. Representação de Sistemas Dinâmicos na Forma do Espaço dos Estados: https://goo.gl/wqkoN6 Ex pl or Para ilustrar, nosso primeiro exemplo virá de um sistema mecânico. Caso você não compreenda alguma equação proposta neste exemplo, lembre-se que a solução de problemas mecânicos, no geral, advém da aplicação da 2ª Lei de Newton. Ex pl or 11 UNIDADE Funções de Transferência m u(t) y(t) b k Figura 4 Vamos iniciar a análise: u t → ( ) é uma força externa que desequilibra (ou provoca) o sistema e y t → ( ) é a saída do sistema. Se recorrermos a segunda lei de Newton, ou Lei da dinâmica para o sistema acima, sabemos que a força resultante em uma mola (representada no sistema por k) é ky, assim como a força resultante em uma massa (representada no sistema por m) é kÿ. Já em um elemento de viscosidade (representado no sistema por b), a força será by˙ . Portanto, a equação que soluciona este sistema pode ser escrita por: mÿ + by˙ + ky = u Equação IV Observe que este resultado representa um sistema de 2ª ordem, logo, esse sistema contém dois integradores. Sejam x1(t) = y(t) e x2(t) = y˙ (t) as variáveis de estado; então: x˙ 1 = x2 (visto que, x1(t) = y(t)) E x˙ 2 = ÿ2 Ora, são dois integradores, duas variáveis de estado (já a temos, nas duas linhas acima). Vamos resolver este sistema utilizando a Equação IV. mÿ + my˙ + ky = u ÿ m by ky m u� � �� � �1 1 12 13 Sendo assim, vamos reescrever a equação acima em função das variáveis de estado x1 e x2: x m kx bx m u2 1 2 1 1 � � �� � � A equação de estado será dada por: x x k m b m x x m u1 2 1 2 0 1 0 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (Equação de Estado) E y x x � � �� � � � � �1 0 1 2 (Equação de Saída) Com este resultado, ainda poderemos compreender o formato padrão desse sistema. Conforme citamos acima, na teoria, x˙ (t) = Ax˙ (t) + Bu(t) e y(t) = Cx(t) + Du(t) Então, podemos dizer que A � � � � � � � � � � � 0 1 k m b m , B � � � � � � � � � 0 1 m , C = [1 0] e D = 0. Este sistema pode ser ilustrado com o seguinte diagrama de blocos: u m 1 x2x2 x1=y m b ∫ ∫ m k Figura 5 Pode-se afirmar que existe relação entre equações no espaço de estado e função de transferência, no entanto, para estabelecê-la é necessário que o aluno esteja a par das transformadas de Laplace, nosso objeto de estudo da próxima Unidade. E por que conhecer as transformadas de Laplace nos será tão útil? Você deve ter notado que no primeiro tema desta unidade exploramos um sistema submetido a um distúrbio qualquer D(s), note D é função de uma variável complexa s. A trans- formada de Laplace, assim como a antitransformada nos darão habilidades para 13 UNIDADE Funções de Transferência transformar uma função definida numa variável complexa s, para uma variável mais usual como o tempo t, por exemplo, e vice-versa. Felizmente existe um software que auxilia o engenheiro na transformação da função de transferência para o espaço de estados ou o inverso, o Matlab, ampla- mente utilizado em projetos de sistemas e na solução de problemas. Representação de Sistemas no Espaço de Estados: https://goo.gl/y3qjcp Ex pl or 14 15 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade: Livros Física I: Mecânica Física I: Mecânica. Young & Freedman et al. 14. ed, - São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016. Vídeos Erro em estado estacionário: Referência e Distúrbio (ELT009, ELT013) https://youtu.be/HrPDM78H3Hk Leitura Introdução os Sistemas de Controle Indicação de páginas: 1 a 22. https://goo.gl/7dNX8D Representação de Sistemas Dinâmicos na Forma do Espaço dos Estados https://goo.gl/2sF5iu Apontamentos de MATLAB Control System Toolbox Recomendação: Capítulo 1 e 2. https://goo.gl/BGjYCf 15 UNIDADE Funções de Transferência Referências OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Pren- tice Hall, 2010. KUO, B. C. Automatic Control Systems. 2. ed. Englewood Cliffs: Prentice- -Hall International, 1982. PHILLIPS, C. L.; HARBOR, R. D. Sistemas de Controle e Realimentação. v. 1. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1996. 16
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