2a_Lista_de_Exercicios_vibracoes_mecanicas_Bismark_2012_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
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2a Lista de Exercícios de Vibrações de Sistemas Mecânicos – 2012.1 
 
1) Dado o sistema mecânico da figura abaixo, determinar as frequências naturais e os modos 
naturais de vibração e esboçar os dois modos naturais de vibração. 
Dados: M = 2 kg; m = 1 kg; k1 = 10 N/m; k2 = 40 N/m. 
 
 
 
 
Resp.: 
ω1 = 2,6818 rad/s; ω2 = 5,2733 rad/s 
r1 = 3,5615; r2 = -0,5615 
2) A figura abaixo apresenta um modelo simplificado de um automóvel, no qual são 
considerados apenas 2 GDL: translação vertical da massa m2 (chassis e carroceria) e 
translação vertical da massa m1 (massas das rodas e eixos). Determinar as duas frequências 
naturais do movimento. Dados numéricos: 
m1 = 180 kg; m2 = 670 kg; 2k1 = 538 N/mm; 2k2 = 45,5 N/mm 
 
 
 
 
 
Resp.: 
75,5 ciclos/min; 
544 ciclos/min. 
3) Um automóvel de massa m1 = 1750 kg traciona um trailer de massa m2 = 3800 kg através 
de uma barra de tração de rigidez k = 175 N/mm. Achar as frequências naturais e os modos 
naturais de vibração do sistema. Fazer um esboço desses últimos. O que esse sistema 
apresenta de notável? 
 
 
 
 
 
Resp.: 0; 1,92 Hz 
 
4) Faça um modelo simplificado representativo para o sistema motor-bomba mostrado na 
figura abaixo. 
 
 
5) Por que é vantajoso estudar os sistemas com 2 GDL antes de partir para o estudo de 
sistemas com n GDL? 
 
6) O que são coordenadas naturais (ou normais, ou principais)? Qual a vantagem em utilizá-
las? 
 
7) O que é um modo natural (ou normal, ou principal) de vibração? 
 
8) Quantas frequências naturais e quantos modos naturais de vibração possui um sistema com 
n GDL? 
 
9) Se forem dadas condições iniciais adequadas, o sistema vibrará em uma de suas 
frequências naturais de vibração. O que acontecerá se forem dadas ao sistema condições 
iniciais arbitrárias? 
 
10) Quantas situações de risco de ressonância existem se um sistema com 3 GDL for 
submetido a um forçamento harmônico monofreqüencia? E se o forçamento for periódico e 
desenvolvido em série de Fourier com termos senoidais até a 3a harmônica? 
 
11) Qual o efeito de uma restrição mecânica sobre a quantidade de GDL de um sistema 
mecânico? 
 
12) O que é uma equação de restrição? 
 
13) Quais são os vários tipos de acoplamento em sistemas multidimensionais? Como se pode 
identificá-los a partir do modelo matemático? 
 
14) Em que pode influir a escolha de diferentes pares de coordenadas generalizadas? 
 
15) Descreva o procedimento clássico para determinar as frequências naturais e os modos de 
vibração de um sistema com 2 GDL. 
 
16) Qual o significado físico da fração modal r? 
 
 
 3/4
17) O que são vetores modais? 
 
18) Qual o significa físico de um nó no gráfico dos modos naturais de vibração? 
 
19) O que caracteriza um sistema semidefinido? 
 
20) O que é um neutralizador dinâmico de vibrações? 
 
21) Observe o sistema da figura abaixo. Quando são aplicados torques iguais e opostos aos 
dois rotores e rapidamente removidos, o sistema entra em vibração de torção livres. Sendo Ө1 
e Ө2 os ângulos de rotação dos rotores de momentos de inércia de massa J1 e J2, 
respectivamente, aplicando-se as condições de equilíbrio dinâmico para torque, encontra-se as 
seguintes equações diferenciais de movimento: 
⎩
⎨
⎧
=++
=++
0)(
0)(
1222
2111
θθθ
θθθ
KJ
KJ
&&
&&
 , onde K é a rigidez torcional do eixo. 
Para movimentos harmônicos de Ө1 e Ө2, da forma )(1 φωθ += tAsen e )(2 φωθ += tBsen , 
substituindo-se os valores de Ө1 e Ө2 e suas derivadas nas equações do movimento obtém-se: 
⎩
⎨
⎧
=+−++
=+++−
0)()()(
0)()()(
2
2
2
1
φωωφω
φωφωω
tBsenJKtKAsen
tKBsentAsenJK
 
Eliminando-se )( φω +tsen das equações acima, fica-se com o seguinte sistema de equações 
lineares em A e B: 
⎩
⎨
⎧
=−+
=+−
0)(
0)(
2
2
2
1
ω
ω
JKKA
KBAJK
 
Sabendo que a solução onde A=B=0, simplesmente define a posição de equilíbrio do sistema, 
determine as freqüências naturais do sistema. 
 
 
 
22) Determine as equações do movimento do sistema mostrado na figura abaixo. Mostre as 
matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema. 
 
 4/4
 
23) Resolva o exercício 22 utilizando o Matlab. 
 
Bibliografia de Referência 
 
[1]. RIPPER NETO, A. P. Vibrações Mecânicas. Editora e-papers. Rio de Janeiro 2007. 
[2]. ALMEIDA, Márcio Tadeu de. Vibrações mecânicas para engenheiros. 2. ed. São 
Paulo: Edgard Blücher, 1990. 
[3]. MEIROVITCH, Leonard. Fundamentals of vibrations. Boston: McGraw-Hill, 2001. 
[4]. ARATO JUNIOR, Adyles. Manutenção preditiva: usando análise de vibrações. 
Barueri: Manole, 2004. 
[5]. KELLY, S. Graham. Theory and problems of mechanical vibrations. New York: 
McGraw-Hill, 1996. 
[6]. RAO, Singirisu. Vibrações Mecânicas, Pearson – Prentice Hall, 4ª ed – São Paulo, 2008. 
[7]. KELLY, S. Graham. Theory and problems of mechanical vibrations. New York: 
McGraw-Hill, 1996. 
[8]. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenheiros. São Paulo: Prentice Hall, 
2005.