ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO - R02

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
 
Professor M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTABLIDADE GLOBAL DAS 
ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II – NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira 
 
 
 
 
 
JUAZEIRO-BA, 2023 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
 
Professor M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 2 
1.0 – ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
1.1 – Considerações Iniciais 
Normalmente as estruturas de concreto armado são formadas por elementos 
prismáticos, ou seja, elementos com uma dimensão bem maior que as outras duas, e seção 
transversal constante. Os pilares associados às vigas formam os pórticos (planos ou 
tridimensionais) que resistem não só às ações verticais, mas também às ações horizontais. 
 As Figuras 1a e 1b mostram pórticos na configuração indeformada e deformada 
devido às ações horizontais, respectivamente. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1a e 1b – Pórticos na configuração indeformada (a) e deformada devido às ações 
horizontais (b). 
 
As ações horizontais podem gerar deslocamentos horizontais significativos na 
estrutura. Esses deslocamentos, quando associados às ações verticais vão gerar novos 
esforços na estrutura. Quando considerada a geometria deformada da estrutura surgem 
momentos fletores provocados pelas cargas verticais chamados de efeitos globais de 
segunda ordem, como mostra a Figura 2, que devem ser somados aos efeitos de primeira 
ordem (esforços na estrutura na configuração da geometria inicial indeformada). De acordo 
com a NBR 6118:2023 (Projeto de estruturas de concreto) os efeitos de segunda ordem 
podem ser desprezados sempre que não representarem um acréscimo superior a 10% dos 
esforços devidos aos efeitos de primeira ordem. 
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Figura 2 – Estrutura submetida aos efeitos de primeira e segunda ordem. 
 
1.2 – Subestruturas de Contraventamento 
Na montagem do arranjo estrutural a ser adotado, para melhorar o comportamento 
da estrutura com relação às ações horizontais, é interessante arranjar os elementos 
estruturais de modo a proporcionarem aumento de rigidez do sistema estrutural, em 
especial, nas direções mais críticas da ação do vento que incide sobre a estrutura. 
A NBR 6118:2023 traz a seguinte definição para contraventamento: “Por 
conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, 
devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços 
decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de 
contraventamento”. Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento 
são chamados elementos contraventados. 
Ainda segundo a NBR 6118:2023 as subestruturas de contraventamento podem ser 
de nós fixos ou de nós móveis, de acordo com as definições do item 15.4.2. 
Em estruturas mais altas ou esbeltas deve-se sempre que possível tomar as 
providências necessárias para garantir que ela possa ser considerada de nós fixos ou 
indeslocável, para isto pode ser necessário projetar elementos estruturais especiais. Os 
principais elementos estruturais que podem ser associados aos pórticos (constituindo as 
subestruturas de contraventamento) visando dar maior rigidez à estrutura são: caixas de 
elevador e escadas (núcleo rígido), pilares-parede, paredes estruturais e pórticos 
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entreliçados, como é ilustrado na Figura 3. A necessidade desses elementos depende 
basicamente da altura do edifício, da sua esbeltez e das cargas. 
 
 
 Figura 3 – Elementos de contraventamento (FUSCO, 1986). 
 
Edifícios baixos e leves podem dispensar os elementos especiais de 
contraventamento, pois a própria estrutura aporticada principal é suficiente para garantir a 
rigidez necessária (indeslocabilidade). Entretanto, deve-se ter uma atenção especial quando 
a estrutura é projetada em laje lisa (laje apoiada diretamente nos pilares sem capitéis) ou 
cogumelo (laje apoiada diretamente nos pilares com capitéis). Nesses casos, em virtude da 
ausência das vigas, não há a formação dos verdadeiros pórticos e a rigidez fica reduzida. 
Para esse tipo de esse tipo de estrutura, os esforços de ventos são absorvidos 
exclusivamente pelos pilares, considerando-os então ligados apenas por tirantes (a função 
da laje) que não transmitem os momentos fletores. 
 
1.3 – Estabilidade Estrutural 
A NBR 6118:2023, no item 15.4.1, classifica os efeitos de segunda ordem presentes 
nas estruturas de concreto em três tipos: efeitos de segunda ordem globais, locais e 
localizados. 
Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se 
horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são 
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chamados efeitos globais de segunda ordem. Nas barras de uma estrutura (como um lance 
de pilar, por exemplo), os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos 
locais de segunda ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes 
ao longo delas próprias. 
Em pilares-parede (simples ou compostos) pode-se ter uma região que apresenta não 
retilinidade maior do que a do eixo do pilar como um todo. Nessas regiões surgem efeitos 
de segunda ordem maiores, chamados de efeitos de segunda ordem localizados (ver Figura 
4). O efeito de segunda ordem localizado, além de aumentar nessa região a flexão 
longitudinal, aumenta também a flexão transversal, havendo a necessidade de aumentar os 
estribos nessas regiões. 
 
Figura 4 – Efeitos de segunda ordem localizados (NBR 6118:2023). 
 
 Na Figura 5 estão representadas as possibilidades de instabilidade que podem ser 
causadas por efeitos de instabilidade global e local. 
 
Figura 5 – Esquema estrutural de um edifício alto: (1) perspesctiva esquemática; (2) 
estrutura vertical indeformada; (3) edificação sujeita a instabilidade global; 
 (4) instabilidade local dos pilares centrais inferiores (CARVALHO, 2009). 
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A consideração dos efeitos de segunda ordem leva a uma não-linearidade entre as 
ações e deformações da estrutura, essa não linearidade, devido à sua origem, é chamada de 
não-linearidade geométrica. A fissuração e fluência do concreto conduzem a uma não-
linearidade (entre ações e deformações) chamada de não linearidade física. A NBR 
6118:2023 prescreve que no cálculo dos efeitos de segunda ordem, deve ser considerado o 
comportamento não-linear dos materiais. 
 
1.4 – Estabilidade Global 
Como o próprio nome evidencia, a estabilidade global de uma edificação refere-se à 
estrutura como um todo. Portanto, está relacionada aos efeitos de segunda ordem globais. 
A estabilidade de uma estrutura é inversamente proporcional à sua sensibilidade aos 
efeitos de segunda ordem. Em outras palavras, quanto mais estável for a estrutura, menores 
serão os efeitos de segunda ordem. Ou ainda, quanto maiores forem os efeitos de segunda 
ordem, menos estável será a estrutura. 
Para efeito de análise da estabilidade global da estrutura a NBR 6118:2023 define as 
estruturas como sendo de nós fixos ou de nós móveis, as quais são definidas da seguinte 
forma: 
 Estruturas de nós fixos: são aquelas em que os deslocamentos horizontais dos nós 
são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de segunda ordem são 
desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem). Nessas 
estruturas, basta considerar os efeitos locais elocalizados de segunda ordem; 
 Estruturas de nós móveis: são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são 
pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de segunda ordem são importantes 
(superiores a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem). Nessas estruturas 
devem ser considerados tanto os esforços de segunda ordem globais como os locais 
e localizados. 
 
Todavia, há estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes e que, não 
obstante, dispensam a consideração dos efeitos de segunda ordem por serem pequenas as 
forças normais e, portanto, pequenos os acréscimos dos deslocamentos produzidos por elas; 
isso pode acontecer, por exemplo, em postes e em certos pilares de galpões industriais. 
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Os conceitos de estruturas de nós fixos ou de nó móveis podem ser aplicados 
também às subestruturas de contraventamento. 
 O grande problema das estruturas deslocáveis está relacionado à instabilidade 
global, já que os deslocamentos horizontais nos vários pavimentos da edificação criam 
excentricidades crescentes da força normal nos pilares. Na Figura 6, apresentam-se duas 
situações distintas. 
 
Figura 6: Efeito da deslocabilidade horizontal e do contraventamento. 
 
A NBR 6118:2023 em seu item 15.4.4 define como elementos isolados os seguintes: 
 Os elementos estruturais isostáticos; 
 Os elementos contraventados; 
 Os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; 
 Os elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis desde que, aos 
 esforços nas extremidades, obtidos numa análise de primeira ordem, sejam 
 acrescentados os determinados por análise global de segunda ordem. 
 
 Para definir se uma estrutura pode ser classificada como de nós fixos ou nós móveis, 
e verificar a dispensa dos efeitos de segunda ordem, a NBR 6118:2023 a adota dois 
processos aproximados (apresentados nos itens 15.5.2 e 15.5.3, da norma): o parâmetro de 
instabilidade α e o coeficiente γz, definidos a seguir. 
 
1.4.1 – Parâmetro de Instabilidade α (NBR 6118/2023 – item 15.5.2) 
 Uma estrutura reticulada pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu 
parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1, conforme as seguintes expressões: 
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ccs
k
tot IE
N
H (1) 
n1,02,01  para 3n 
6,01  para 4n 
 
 Onde: 
 n é o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um 
nível pouco deslocável do subsolo; 
 Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível 
pouco deslocável do subsolo; 
 Nk é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível 
considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico; 
 EcsIc representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção 
considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares 
de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão 
EcsIc de um pilar equivalente de seção constante. 
 
 O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais 
de edifícios. Pode ser adotado para associações de pilares-parede e para pórticos associados 
a pilares-parede. Ele pode ser aumentado para α1 = 0,7 no caso de contraventamento 
constituído exclusivamente por pilares-parede e deve ser reduzido para α1 = 0,5 quando só 
houver pórticos. 
 De acordo com a NBR 6118/2023 (item 8.2.8) o módulo de elasticidade inicial pode 
ser estimado a partir das seguintes expressões: 
 para concreto com fck < 50 MPa (2) 
3
1
3 25,1
10
1015,2 




  ck
Eci
f
E  para concretos com fck > 50 MPa (3) 
Os valores de Eci e fck são dados em megapascal (MPa). Os valores de αE dependem 
do tipo de agregado graúdo utilizado na produção do concreto, sendo: 
 αE = 1,2 para basalto e diabásio; 
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 αE = 1,0 para granito e gnaisse; 
 αE = 0,9 para calcário; 
 αE = 0,7 para arenito. 
 
O módulo de deformação secante pode ser estimado a partir da expressão: 
ciiCS EE   (4) 
 
Sendo: 
0,1
80
2,08,0  ck
i
f (5) 
 
 De acordo com a NBR 6118/2023, a rigidez do pilar equivalente deve ser 
determinada da seguinte forma: 
 Calcular-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do 
carregamento horizontal (geralmente utilizando um software de análise linear); 
 Calcular-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base 
e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento 
horizontal, sofra o mesmo deslocamento no topo (que pode ser calculado utilizando 
a equação da linha elástica de um elemento engastado numa extremidade e livre na 
outra). 
 A Figura 7 ilustra o esquema estrutural para determinação da rigidez equivalente. 
 
Figura 7: Deslocamento do topo do pilar com rigidez equivalente ao pórtico. 
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 Após determinar através de análise linear o deslocamento do pórtico, submetido a 
uma carga horizontal F, e sabendo que o deslocamento do topo do pilar, obtido através da 
equação da linha elástica, é dado por: 
 
pilar
pilar EI
HF
)(3
3


 (6) 
 
 Igualando os dois deslocamentos pórticopilar  , obtém-se a seguinte expressão 
para rigidez equivalente do pilar: 
 
pórtico
pilar
HF
EI



3
)(
3
 (7) 
 
1.4.2 – Coeficiente γz (NBR 6118/2023 – item 15.5.3) 
 O coeficiente γz é um parâmetro que avalia a importância dos esforços de segunda 
ordem global. Essa avaliação, válida apenas para estruturas reticuladas de no mínimo 
quatro andares, é efetuada a partir dos resultados obtidos em uma análise linear de primeira 
ordem, adotando-se a não-linearidade física aproximada no cálculo dos valores de rigidez 
(dados no item 15.7.3 da norma). O valor de γz para cada combinação de carregamento é 
dado pela seguinte expressão: 
 
dtot
dtot
z
M
M
,,1
,1
1


 (8) 
 
 Onde 
 M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as 
forças horizontais da combinação de carregamento considerada, com seus valores 
de cálculo, em relação à base da estrutura; 
 Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na 
combinação de carregamento considerada, com seus valores de cálculo, pelos 
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deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da 
análise de primeira ordem. 
 
 Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição de γz < 1,1. 
 Valores coerentes de γz são números pouco maiores do que 1 (um). Valores 
superiores a 1,5 revelam que a estrutura é instável e impraticável, já valores inferiores a 1 
(um), ou mesmo negativos, são incoerentes e indicam que a estrutura é totalmente instável 
ou que houve algum erro durante o cálculo ou análise estrutural. 
 Para valores coerentes de γz, isto é, um pouco superiores a unidade, de forma 
aproximada pode-se relacionar a parte decimal do número obtido à magnitude dos efeitos 
globais de segunda ordem na estrutura. Por exemplo: 
 γz ≈ 1,0 (os efeitos de segunda ordem são praticamente inexistentes); 
 γz = 1,15 (os efeitos de segunda ordem são aproximadamente 15% dos efeitos de 
primeira ordem). 
 Para o cálculo do momento de tombamento e do momento de segunda ordem, 
devem se empregados os esforços no estado limite último. Para edifíciosde uso residencial 
submetido às ações permanentes (peso próprio da estrutura, alvenarias e revestimentos) e às 
ações variáveis (carga de utilização e vento), temos as seguintes combinações últimas de 
carregamentos: 
 1a Combinação: Considerando a carga de utilização como sendo a ação variável 
principal e o vento como ação variável secundária (multiplica as ações do vento pelo fator 
ψ0): 








n
i
ivif
n
i
hifqifgif
dtot
dtot
hH
PP
M
M
1
0
1
0
,,1
,
)(


 
 Onde: 
 (tabela 11.1 e tabela 11.2 da NBR 6118:2023). 
 
 Com isso a expressão acima resulta em: 
 
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







n
i
ivi
n
i
hiqigi
dtot
dtot
hH
PP
M
M
1
1
,,1
,
84,0
84,0)(4,1 
 
 








n
i
ivi
n
i
hiqigi
dtot
dtot
hH
PP
M
M
1
1
,,1
,
)(4,1 
 (9) 
 
 Onde: 
 i é o número do andar considerado; 
 n é o número total de andares do edifício; 
 Pgi resultante vertical da carga permanente no andar i; 
 Pqi resultante vertical da ação variável de utilização no andar i; 
 γf é coeficiente de majoração das cargas no estado limite último (ELU); 
 ψ0 é o fator de redução da combinação para o ELU para as ações varáveis 
secundárias. A favor da segurança pode ser tomado igual à unidade; 
 δhi é o deslocamento horizontal na direção considerada do andar i; 
 Hvi é a ação do vento resultante no andar i; 
 hi é a distância do andar i até a base do prédio ou do seu ponto de engastamento. 
 
 2a Combinação: Considerando a carga de utilização como sendo a ação variável 
secundária e o vento como ação variável principal (multiplica as ações da carga de 
utilização pelo fator ψ0): 








n
i
ivif
n
i
hifqifgif
dtot
dtot
hH
PP
M
M
1
1
0
,,1
,
)(


 
 Onde: 
 (tabela 11.1 e tabela 11.2 da NBR 6118:2023). 
 
 Com isso a expressão acima resulta em: 
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







n
i
ivi
n
i
hiqigi
dtot
dtot
hH
PP
M
M
1
1
,,1
,
4,1
4,1)7,04,1( 
 
 








n
i
ivi
n
i
hiqigi
dtot
dtot
hH
PP
M
M
1
1
,,1
,
)7,04,1( 
 (10) 
 
 Das duas combinações de carregamento mostradas, percebe-se que a expressão (9) 
apresenta uma situação mais desfavorável que a expressão (10), como isso o vento deve ser 
considerado como ação variável secundária (expressão 9) no cálculo do coeficiente γz. 
 
1.5 – Análise de Estruturas de Nós Fixos 
 Nas estruturas de nós fixos, de acordo com o item 15.6 da NBR 6118:2023, o 
cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como 
barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde 
se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 
primeira ordem. 
 A análise dos efeitos locais de segunda ordem será feita de acordo com o que é 
apresentado no item 15.8 da norma, que trata da análise de elementos isolados e será 
abordada no estudo de pilares. 
 Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O 
fato de uma estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a 
consideração dos esforços globais de segunda ordem. 
 
1.6 – Análise de Estruturas de Nós Móveis 
 Na análise estrutural de estruturas de nós móveis (item 15.7 da NBR 6118:2023), 
devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos da não-linearidade geométrica e da 
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não-linearidade física e, portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente 
considerados os efeitos globais e locais de segunda ordem. 
 
1.6.1 – Análise não-linear com segunda ordem 
 De acordo com o item 15.7.2 da NBR 6118:2023, uma solução aproximada para a 
determinação dos esforços globais de segunda ordem consiste na avaliação dos esforços 
finais (primeira ordem mais os de segunda ordem) a partir da majoração adicional dos 
esforços horizontais (para a combinação de carregamento considerada) por 0,95γz. Esse 
processo só é válido para γz ≤ 1,3. 
 
1.6.2 – Consideração aproximada da não-linearidade física 
 Segundo o item 15.7.3 da NBR 6118:2023, para a análise dos esforços globais de 
segunda ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, pode ser 
considerada a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos 
elementos estruturais os valores seguintes: 
 Lajes: (E∙I)sec = 0,3∙Eci∙Ic 
 Vigas: (E∙I)sec = 0,4∙Eci∙Ic para A’s ≠ As e (E∙I)sec = 0,5∙Eci∙Ic para A’s = As 
 Pilares: (E∙I)sec = 0,8∙Eci∙Ic 
 
 onde: 
 Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, 
as mesas colaborantes. 
 
 Os valores de rigidez adotados são aproximados e não podem ser usados para 
avaliar esforços locais de seguunda ordem, mesmo com uma discretização maior da 
modelagem. 
 
1.7 – Consideração da Imperfeição Geométrica 
 As estruturas reticuladas, mesmo quando descarregadas, apresentam imperfeições 
geométricas no eixo dos seus elementos e elas devem ser consideradas na verificação do 
estado limite último. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições 
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globais e imperfeições locais. No caso, maior interesse é em relação às imperfeições 
globais, pois essas podem comprometer a estabilidade das edificações. 
 
1.7.1 – Imperfeições globais (NBR 6118/2023 item 11.3.3.4.1) 
 Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve 
ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 8. O 
deslocamento máximo (δmáx) no topo do edifício é dado por: 
 
Hamáx   (11) 
 
 Onde: 
 
2
11
1
n
a

 e 
H

100
1
1 (12) 
 
 Onde: 
 H é a altura total da edificação, em metros; 
 n é o número de pilares que contribuem para o efeito do desaprumo global e 
associados à altura H adotada. 
 
 
Figura 8: Imperfeições geométricas globais. 
 
 Nas expressões anteriores devem ser obedecidos os seguintes valores limites para 
θ1: 
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 θ1,mín = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 
 θ1,máx = 1/200. 
 
Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo, considerar θa = θ1. 
Para pilares isolados em balanço, deve-se adotar θ1 = 1/200. 
A consideração das ações de vento e desaprumo deve ser realizada de acordo com as 
seguintes possibilidades: 
 Quando 30% da ação do vento for maior que a ação do desaprumo, considera-se 
somente a ação do vento. 
 Quando a ação do vento for inferior a 30% da ação do desaprumo, considera-se 
somente o desaprumo respeitando a consideração de θ1mín, conforme definido 
anteriormente. 
 Nos demais casos, combina-se a ação do vento e desaprumo, sem necessidade da 
consideração do θ1mín. Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações 
atuando na mesma direção e sentido como equivalentes a uma ação do vento, 
portanto como carga variável, artificialmente amplificada para cobrir a 
superposição. 
 
A comparação pode ser feita com os momentos totais na base da construção e em 
cada direção e sentido da aplicação da ação do vento, com desaprumo calculado com θa, 
sem a consideração do θ1mín. 
O desaprumo não precisa ser considerado para os Estados Limites de Serviço. 
 
1.7.2 – Imperfeições locais (NBR 6118/2023 item 11.3.3.42) 
 As imperfeições geométricas locais, como o próprio nome evidencia,referem-se a 
um ponto específico da estrutura. Por exemplo, um desvio geométrico num lance de pilar 
que gera esforços adicionais devido à presença simultânea da carga vertical. 
 Segundo a NBR 6118:2014, no caso de elementos que ligam pilares contraventados 
a pilares de contraventamento, usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração 
decorrente do desaprumo do pilar contraventado, Figura 9-a. 
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 No caso de dimensionamento ou verificação de um lance de pilar, deve ser 
considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar, Figuras 9-b 
e 9-c, respectivamente. 
 Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilineidade ao 
longo do lance de pilar seja suficiente. 
 
 Figura 9: Imperfeições geométricas locais (NBR 6118:2023).