Matemática Básica13

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Introdução 
• Observe a seguinte sequência de figuras: 
25 
19 
13 
 
1 7 
É possível obter uma expressão que permita 
descobrir o número de cubos de qualquer figura 
dessa sequência? 
Figura (n) Nº de cubos 
1 1 + 6 x 0 = 1 
2 1 + 6 1 = 7 
 
3 1 + 6 2 = 13 4 
1 + 6 3 = 19 
5 1 + 6 4 = 25 
6 1 + 6 5 = 31 
… ... 
n 1 + 6 (n - 1) 
Obtemos a expressão: 1 + 6 (n - 1) = 6n - 5 que 
define a lei de formação dos cubos da figura 
 
Sequência representada por figuras
 
 1 3 6 10 15 
A sequência dos números (1, 3, 6, 10, 15, ...) é chamada de 
sequência dos números triangulares 
Você é capaz de identificar o 6° e o 8º número triangular dessa 
sequência? 
 
 6° termo = 21 8° termo = 36 
Qual a fórmula do termo geral dessa 
sequência? 
Sequência representada por figuras 
• Observe as figuras abaixo 
 1ª 2ª 3ª 4ª 
 
Essa sequência de figuras pode ser representada pela sequencia numérica: 
(1, 4, 9,16, ....) 
an = (n + 1)n 2 
 
Quantos quadradinhos deverá ter a figura do 6° e do 8° termo da figura? No 
6° = 36 e No 8° = 64 
Qual a lei que representa essa sequencia de figuras? 
 Sequência na era do computador
 
• As sequências de imagens que vocês observarão, 
são definidas por regras muito simples. Quando 
calculadas e desenhadas por computador, o 
an = n 2 
 
processo pode continuar indefinidamente, obtendo 
figuras belíssimas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medalha Fields 
Oficialmente conhecida como Medalha Internacional de 
Descobrimentos Proeminentes em Matemática, é um prêmio 
concedido a matemáticos com não mais de 40 anos de idade 
durante cada Congresso Internacional da União Internacional 
de Matemática (IMU), que acontece a cada quatro anos. 
O prêmio é a maior honraria que um matemático pode 
receber. 
A Medalha Fields e o Prêmio Abel é o "Prêmio Nobel dos 
matemáticos" 
 
(mas são diferentes quanto à restrição de idade, pois a 
Medalha Fields é um prêmio concedido somente a jovens 
matemáticos de até 40 anos de idade, enquanto o Prêmio 
Abel leva em conta o conjunto da obra do matemático). 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE SEQUÊNCIA 
É um conjunto ordenado de maneiras que cada 
elemento fica naturalmente ordenado. 
Exemplos: 
Sequência dos números de casas numa rua; 
Sequência das operações numa linha 
de montagem; 
Sequência do crescimento dos galhos 
de diversas espécies de plantas. 
Notação: 
 
Representação 
• Para se representar uma sequência, colocam-se os 
membros entre parênteses, separados por vírgulas 
(quando há números decimais na sequência, usa-se o 
ponto-e-vírgula). 
O primeiro termo é indicado por a1, o segundo por a2, o 
terceiro por a3, e assim por diante, o último termo da 
sequencia é indicado por an 
(a1, a2, a3, a4, ..., an) 
• Para indicar a sequência escreve-se (an): 
 
 n an 
 
 Ordem Termo da sequência 
➢ Quando uma sequência pode ser definida por 
uma expressão na variável n, essa expressão que 
gera a sequência chama-se termo geral da 
sucessão. 
No exemplo da lei que forma os cubos temos: an 
= 6n - 5 
 
Sequências definidas por recorrência 
• Quando são dados alguns dos primeiros termos, e 
os seguintes são obtidos através dos termos 
anteriores. 
Exemplo: Sucessão de Fibonacci 
(1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 
 
a1 1 
 
a2 1 
a3 an-1 an-2 n 2 
Problema dos coelhos: 
Um casal de coelhos adultos só começa a procriar dois 
meses depois do seu nascimento. Admitindo que em cada 
criação têm um casal de filhos, e, a partir desse momento 
todos os meses mais um casal, quantos coelhos haverá ao 
fim de um oito meses, e de um ano? 
 
 
Quantos casais de coelhos serão gerados em 8 meses, e em 
um ano, começando com um único casal jovem 
 
 
Observe a sequência de casais de coelhos em cada mês (1, 
1, 2, 3, 5,.....) 
1 ° mês 2 ° mês 3 ° mês 4 ° mês 
5 ° mês 
 
Sequência crescente 
• Analisando novamente o gráfico da sucessão an = 6n - 5: 
Os termos vão assumindo 
valores cada vez maiores, 
com o aumento da ordem n: 
Cada termo an+1 é superior 
ao anterior an, ou seja, 
an+1 > an , n 
• Consideremos a 
sequência de figuras 
seguinte: 
( a n ) é CRESCENTE 
n 
a n 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 ... 
 
 
Os números representam as medidas das áreas dos quadrados 
Esta sequência é DECRESCENTE 
Sucessões limitadas 
• Exemplo: Losangos e retângulos 
(4 , 1, 1/4, 1/16, 1/64, ...) 
 
 
• Cada figura, exceto a primeira, se obtém unindo os pontos 
médios dos lados da figura anterior. 
• Cada figura tem metade da área da anterior. 
Na sequência das áreas a1, a2 , a3 , ... se tem: 
an 1 an , n 
• Sabendo a área da primeira figura (a1), podemos saber 
qualquer termo da sequência. 
 
Seja, por exemplo, a1 = 12 cm2, temos então, em cm2: 
a2 = 6, a3 = 3, a4 = 1,5, a5 = 0,75 , ... 
0 < an 12 , n 
A sequência (an) diz-se LIMITADA. 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
(PA) 
Progressões 
• Exemplo: O treino do André 
 
O André todas as manhãs faz ginástica. Um dos exercícios é a 
corrida. Durante a primeira semana ele corre 500 m, e resolveu 
aumentar 50 metros todas as semanas. 
Qual a distância que André percorrerá na 7ª semana? 
E na 20ª? 
a1= 500, a2 = 500 + 50 = 550, a3 = 550 + 50 = 600, ... 
Designando por n o número de semanas e por an a distancia 
percorrida temos: (500, 550, 600, 650, ...) 
a1 50
0 
an an 1 50 , n > 1 
 
an+1 - an = 50 , n 
A diferença entre cada termo e o anterior é constante e igual a 50. 
Diz-se que (an) é uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA. 
• De um modo geral: 
A sequência (an) é uma progressão aritmética se 
an+1 - an = r , n , 
sendo r a razão da progressão aritmética. 
Progressão aritmética (PA) 
Definição 
Consideremos a sequência (500, 550, 600, 650, 700, 750,...). 
 
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre 
qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 
550 - 500 = 600 - 550 = 650 - 600 = 700 - 650 = 750 - 700 = 50 
Sequências como esta são denominadas progressões 
aritméticas (PA). 
A diferença constante é chamada de razão da progressão e 
costuma ser representada por r. 
Na PA dada temos r = 50. 
Podemos, então, dizer que: 
Progressão aritmética é a sequência numérica 
onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos 
somando uma constante chamada razão. 
 
São exemplos de PA: 
(5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 
(12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 
(2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 
Notação 
PA (a1, a2, a3, a4, ...., an) 
Onde: 
• a1= primeiro termo 
• r = razão 
 
• n = número de termos (se for uma PA finita ) 
• an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo 
Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) 
a1 = 5 r = 4 n = 6 
an = a6 = 25 
 Fórmula doTermo Geral 
• Uma PA de razão r pode ser escrita assim: 
• PA (a1, a2, a3, a4, ..., an -1, an) 
• Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de 
uma outra forma: 
 
• PA (a1, a2, a3, a4, ..., an -1 ,an) 
• PA (a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, a1 + 4r, ..., a1 + (n - 1)r) 
Portanto, o termo geral será: 
an = a1 + (n - 1)r, para n N* 
Soma dos Termos de uma PA finita 
• Consideremos a sequência (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 
20). 
• Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se 
queira calcular a soma dos termos dessa sequência, isto é, 
a soma dos 10 termos da PA (2, 4, 6, 8, ..., 18, 20). 
 
• Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2 + 4 
+ 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110. 
 Soma de termos da PA 
• Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? 
• Manualmente seriamuito demorado. Por isso precisamos de 
um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. 
Na PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe que: 
Para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o 
primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 
vezes. Assim podemos escrever: 
 
 
Termo geral de uma PA de razão r 
an = a1 + (n - 1).r , n 
Soma dos n primeiros termos de uma PA 
a 
2 
1 
n 
a a S n n 
 
S 1 an .n 
, n 
n 2 
 
 
 
JOGANDO COM A PA 
Objetivos: estruturar sequências na forma de uma PA, onde exista: 
- uma razão (r) 
- um 1º termo (a1) 
- o número de termos (n) 
- o último termo da sequência (an). 
O número de termos será fixo em todos os jogos, pois equivale ao 
número de cartas, seis. 
Diante disso, para a confecção do jogo será utilizado: tesoura; régua; 
lápis; pincel atômico ou caneta; papel cartão ou cartolina da cor 
desejada. 
O número de participantes do jogo pode variar entre 3 a 5, a critério do 
professor e da disponibilidade da sala. 
 
Seguiremos os seguintes passos para a confecção do material a ser 
utilizado durante o jogo: 
• Primeiro passo: Riscamos no papel cartão ou cartolina retângulos 6 cm 
x 8 cm, que serão as cartas. 
• Segundo passo: Enumeramos as cartas de 1 a 30, duas vezes, 
totalizando 60 cartas. 
• Terceiro passo: Recortamos os retângulos. 
• Quarto passo: Depois de pronto, embaralhamos e iniciamos o jogo. 
• O desenvolvimento do jogo “Jogando com a PA” acontece da seguinte 
forma: 
• Um dos jogadores distribui seis cartas a cada participante, uma a uma. 
• De acordo com as cartas em mãos, cada jogador raciocina de maneira 
lógica, e define qual será a razão de sua sequência. Essa razão deve 
variar de dois a cinco, impreterivelmente. Essa razão pode ser 
 
modificada de acordo com a estratégia do jogador e o andamento do 
jogo. A razão escolhida deve ser mantida sobre sigilo. 
• O jogador à direita de quem distribuiu as cartas, pega uma carta e 
descarta outra que não é compatível à sua sequência. 
• As cartas descartadas só podem ser adquiridas pelo jogador à direita 
do descartante. 
• Esse movimento continua até o final do jogo, em sentido antihorário. 
• O jogador que errar a sequência ou os termos da PA sai do jogo e os 
outros participantes continuam. 
• Caso as cartas acabem sem nenhum dos participantes ter completado 
sua sequência, todas as cartas que foram descartadas serão 
embaralhadas e adquiridas novamente até uma sequência ser 
completada. 
 
• Será considerado vencedor do jogo, quem completar primeiro sua 
sequência, com a razão escolhida, e falar aos outros participantes qual 
é a razão, e os termos, a1, an e n. 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1. Dada a PA (-19, -15, -11, ...), calcule o seu enésimo termo. 
2. Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x + 1, 3x) seja 
uma PA. Escreva a PA e dê o valor da razão. 
3. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Quantos 
termos tem a PA? 
4. Qual a soma dos termos da PA (-16, ___, -12, ___, ..., 84)? 
5. Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em PA. 
Determine o termo do meio dessa sequência. 
6. Qual é o vigésimo termo da PA (2, 8, ...)? 
 
7. Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual a razão 
da PA obtida? 
8. Três números estão em PA; o produto deles é 66 e a soma é 18. 
Calcule os três números, e escreva as PA. 
9. No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de 
uma montadora está em PA crescente. Em janeiro, a produção 
foi de 18.000 carros, e em junho, de 78.000 carros. Qual foi a 
produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril 
e maio? 
n = 6 meses (j, f, m, a, m, j) an 
= 78000; a1 = 18000; r = ? 
an = a1 + (n - 1)r 
 
78000 = 18000 + (6 - 1)r 
r = 12000 
Só fazer a soma para achar a produção mensal 
(18000, 30000, 42000, 54000, 66000, 78000) 
10. O jardim de uma praça pública possui 60 roseiras plantadas 
ao lado de um caminho reto e separadas a uma distância de um 
metro uma da outra. Para regá-las, o jardineiro enche um regador 
em uma torneira que também está ao lado do caminho e a 15 
metros antes da primeira roseira. A cada viagem, ele rega três 
roseiras. Começando e terminando na torneira, qual a distância 
total que ele terá de caminhar até regar todas as roseiras? 
 15 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 
___________1___2_____3_____4______5_____6________ 
1° viagem: 15 + 2*2 = 34 m 
2° viagem: 15 + 5*2 = 40 m 
 
3° viagem: 15 + 8*2 = 46 m 
A cada três rosas: a1 = 34 e r = 6 
an = a1 + (n - 1).r a20 = 34 + 
(20 - 1) . 6 = 148 m 
Sn = (a1 + an)n / 2 = (34 + 148).20 / 2 = 182.20 / 2 = 1820 m 
 
 
ENEM 
Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários 
quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, 
como mostra a figura. 
Lado do quadrado = n Lado 
anterior será = n - 1 Logo, a 
área: 
A = n² – (n - 1)² 
A = n² – (n² – 2n + 1) 
A = 2n - 1 
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo 
quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 3 cm 
e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de 
cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do 
quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi representada por An. 
Para n ≥ 2, o valor da diferença an - an-1, em centímetro quadrado, é igual a 
 
 
a) 2n – 1 b) 2n + 1 c) - 2n + 1 d) (n - 1)2 e) n2 - 1 
ENEM 
Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos 
alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa 
turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do 
grupo A deveriam bater palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam 
bater palmas a cada 3 s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 
4 s. 
O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas 
quando ele registrou 1 s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro 
registrar 60 s. 
Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que 
os três grupos bateram palmas simultaneamente. 
Qual é o termo geral da sequência anotada? 
a) 12 n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5 
 
 
b) 24 n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 2 
c) 12 (n - 1), com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 6 . 
d) 12 (n - 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5. 
e) 24 (n - 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 3. 
Intervalo entre as palmas simultâneas: mmc (2, 3, 4) = 12 
As palmas iniciaram em 1 segundo com intervalo de repetição 
de 12 segundos => PA (1, 13, 25, 37, 49) 
Apenas com n entre 1 e 5, pois com n = 6 passaria de 60 s. 
A lei de formação da PA: an = 1 + (n - 1).12 
ENEM 
O padrão internacional ISO 216 define os tamanhos de papel utilizados em 
quase todos os países. O formato-base é uma folha retangular de papel 
chamada de A0, cujas dimensões estão na razão 1:√2. A partir de então, 
 
 
dobra-se a folha ao meio, sempre no lado maior, definindo os demais 
formatos, conforme o número da dobradura. Por exemplo, A1 é a folha A0 
dobrada ao meio uma vez, A2 é a folha A0 dobrada ao meio duas vezes, e 
assim sucessivamente, conforme figura. 
 
Um tamanho de papel bastante comum em escritórios brasileiros é o A4, 
cujas dimensões são 21,0 cm por 29,7 cm. 
Quais são as dimensões, em centímetros, da folha A0? 
a) 21,0 x 118,8 
b) 84,0 x 29,7 
c) 84,0 x 118,8 
d) 168,0 x 237,6 
e) 336,0 x 475,2 
Percebemos que a cada tipo de folha, 
dobra-se o maior comprimento ao meio, 
deixando a largura de mesmo tamanho. 
Então, para voltarmos um tipo de folha, 
basta dobrar o menor comprimento e não 
mexer na largura. 
 
 
a4 = 21 x 29,7 a3 = 29, 7 x 42 a2 = 42 x 59,4 a1 = 59,4 x 84 a0 = 84 x 118,8. 
ENEM 
Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da 
seguinte maneira: no primeiro dia,pedalará 60 km; no segundo dia, a 
mesma distância do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma distância 
do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a 
mesma distância do dia anterior mais r km. No último dia, ele deverá 
percorrer 180 km, completando o treinamento com um total de 1 560 km. 
 
 
A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km, é a) 
3. 
b) 7. 
c) 10. 
d) 13. 
e) 20. 
ENEM 
Para 
um 
principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento 
diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a 
partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, 
preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. 
Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km 
 
 
de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do 
treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados. 
Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por 
quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem 
desse plano de treino diário? 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 12 
e) 13 
 
 
 
 
ENEM 
As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma 
determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento 
constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em 
toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo 
com essa projeção. 
 
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no 
período de 2012 a 2021 será de 
a) 497,25. PA (50,25; 51,50; 52,75; 54,00) S₁₀= (50,25 + 61,50).5 
b) 500,85. a1= 50,25 S₁₀= (111,75).5 
 
 
c) 502,87. r = 51,50 – 50,25 = 1,25 S₁₀= 558,75 toneladas 
d) 558,75. Em 2021 teremos: 
e) 563,25. a10 = 50,25 + (10 - 1).1,25 = 61,50 
ENEM 
O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O 
início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se 
estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade 
magnética do Sol têm sido registrados. 
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de 
número 
(1755, 1766, 1777, …) 
a) 32. a1 = 1755 
b) 34. r = 11 
c) 33. O ciclo de atividade magnética do sol, estará no ano de 2101, 
 ENEM 
 
d) 35. assim devemos calcular o n: 
a 
e) 31. 2101 =n = a1 1755 + (n + (n – 1) . r– 1) . 11 
2101 = 1755 + 11n – 11 
11n = 357 
n = 32,45 
Isso significa que o ano de 2101 está compreendido no 32º ciclo. 
Um jovem lança uma bola de borracha para observar sua trajetória e 
altura h (em metros) atingida ao longo de um certo intervalo de tempo 
t (em segundos). Nesse intervalo, a bola quica no chão algumas vezes, 
perdendo altura progressivamente. Parte de sua trajetória está descrita 
na figura a seguir. 
 
 
 
Em suas observações, quantas vezes o jovem pôde constatar que a 
bola atingiu a marca de 35 metros? 
a) Nenhuma. A bola atingiu 35 m em quatro pontos mostrados pela 
b) Uma vez. interseção de sua trajetória com a reta h = 35. 
c) Duas vezes. No ponto assinalado como dúvida, o jovem não pode afirmar 
d) Quatro vezes. com certeza que a bola atingiu 35 m. 
e) Cinco vezes. 
 ENEM 
 
Atualmente existem muitos aplicativos de fazendas virtuais que, apesar 
de críticas, possuem uma enorme quantidade de usuários. Embora 
apresentem algumas diferenças de funcionamento, as fazendas 
virtuais possuem a mesma concepção: cada vez que o usuário cuida 
de sua fazenda ou da de seus amigos, ganha pontos, e, quanto mais 
pontos acumula, maior é seu nível de experiência. 
Em um aplicativo de fazenda virtual, o usuário precisa de 1 000 pontos 
para atingir o nível 1. Acumulando mais 1 200 pontos, atinge o nível 2; 
acumulando mais 1 400 pontos, atinge o nível 3 e assim por diante, 
sempre com esse padrão. 
Um usuário que está no nível 15 de experiência acumulou 
a) 3 800 pontos. an = a1 + (n - 1)*r Sn = ((a1 + an)*n) / 2 
b) 
15 200 pontos. 
an = 1000 + (15 - 1)*200 Sn = ((1000 + 3800)*15) / 2 
 
 
c) d) 3235 200000 pontospontos.. an = 1000 + 2800 Sn = 36000 
pontos 
e) 36 000 pontos. an = 3800 
Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou 
tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta 
progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde 
física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto 
investimento financeiro. 
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 
quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir 
do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa 
atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida 
em um mesmo dia de treino. 
 ENEM 
 
Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento 
estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que 
esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente, 
a) 12 dias. b) 13 dias. c) 14 dias. d) 15 dias. e) 16 dias. 
an = a1 + (n – 1) . R 
10000 = 3000 + (n - 1)500 
10000 - 3000 = 500 n – 500 
 
 
7000 + 500 = 500 n 
500 n = 7500 n = 
15 
 
 
ENEM 
O trabalho em empresas de festas exige dos profissionais conhecimentos de 
diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas 
empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas 
que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal. 
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, 
que terá, no total, 150 linhas. 
 
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta: 
FUNCIONÁRIO I: aproximadamente 200 estrelas. 
FUNCIONÁRIO II: aproximadamente 6 000 estrelas. 
FUNCIONÁRIO III: aproximadamente 12 000 estrelas. 
FUNCIONÁRIO IV: aproximadamente 22 500 estrelas. FUNCIONÁRIO 
V: aproximadamente 22 800 estrelas. 
 
 
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas 
necessária? 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
ENEM 
Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas 
brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência 
conforme mostrada no esquema a seguir. 
 
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma 
propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a 
soma de qualquer linha posterior às já construídas. 
 
 
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência 
de caixas empilhadas por Ronaldo? 
a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285