Apostila de Matemática 1 - Intensivo

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MÓDULO 1 
 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 
 
1. Conceito: 
 
As progressões aritméticas são sequencias onde a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o seu anterior 
é sempre a mesma. Assim, podemos dizer que para se alcançar o próximo termo na sequência sempre se soma um 
mesmo número, que chamamos de razão (utilizaremos a letra r para representar esse número). 
 
Exs.: (3, 7, 11, 15, ...) é uma P.A. de razão r = 4 
 (7, 4, 1, -2, ...) é uma P.A. de razão r= - 3 
 (6, 6, 6, 6, 6, ...) é uma P.A. de razão r = 0 
 
 
2. Cálculo da razão: 
 
Para se determinar se uma sequência é ou não uma progressão aritmética, deve-se mostrar que a diferença entre 
dois termos consecutivos (a razão) é sempre a mesma. Assim, para se calcular o valor da mesma, podemos subtrair 
de diferentes maneiras: 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 
 
Assim, para identificar a razão de uma progressão aritmética, teremos: 
 
r = an – an-1 
 
Onde n é um número natural, maior que 1. 
 
 
3. Classificação da P.A.: 
 
A P.A. será crescente quando a razão por positiva. 
Ex.: (2, 6, 10, 14, ...) é uma P.A. crescente de razão r = 4. 
 
A P.A. será decrescente quando a razão for negativa. 
Ex.: ( 12, 3, -6, -15, ...) é uma P.A. decrescente de razão r = =9. 
 
A P.A. será constante quando sua razão for nula, ou seja, igual a zero. 
Ex.: ( 7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. constante, visto que sua razão é r = 0. 
 
 
4. Fórmula do Termo Geral: 
 
Imagine que alguém conheça os primeiros termos e, consequentemente, a razão de uma progressão aritmética. 
Como essa pessoa poderia proceder para descobrir o valor de um termo mais distante do início? A ideia de ir 
somando razões repetidamente deve ser evitada, uma vez que demanda muito tempo do aluno. Desmembraremos 
os primeiros termos de uma P.A. para alcançar uma fórmula que nos permita calcular qualquer termo de uma 
progressão aritmética, conhecendo apenas o seu primeiro termo e a sua razão. Observe: 
 
a2 = a1 + 1.r 
a3 = a1 + 2.r 
a4 = a1 + 3.r 
a5 = a1 + 4.r 
 
 
 
2 
 
Perceba que qualquer termo de uma P.A. pode ser desmembrado em uma soma onde a primeira parcela é o primeiro 
termo da sequência e a segunda parcela é sempre um número multiplicado pela razão. Além disso, visualize que o 
número que multiplica a razão sempre é uma unidade menor que a ordem do termo que estamos querendo 
encontrar. Em outras palavras, para encontrar o segundo termo (termo 2), o número que multiplica a razão é 1 (uma 
unidade abaixo do 2); para encontrar o terceiro termo (termo 3), o número que multiplica a razão é 2 (uma unidade 
abaixo do 3); para encontrar o quarto termo (termo 4), o número que multiplica a razão é 3 (uma unidade abaixo do 
4) e assim sucessivamente. Por conta desse raciocínio, cria-se a fórmula do termo geral: 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
Ex.: Dada a P.A. (5, 9, 13, 17, ...), encontre o seu vigésimo terceiro termo. 
a23 = a1 + (23 – 1).4 
a23 = 5 + 22.4 
a23 = 5 + 88 = 93 
 
O vigésimo terceiro termo dessa progressão aritmética é 23. 
 
 
5. Notações Especiais: 
 
Usaremos as notações a seguir quando estivermos resolvendo uma questão e soubermos a soma da progressão 
aritmética. 
Para P.A. de 3 termos: (x – r, x, x + r), onde r é a razão. 
Para P.A. de 5 termos: (x – 2r, x – r, x, x + r, x, + 2r), onde r é a razão. 
Para P.A. de 4 termos: (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), onde 2r é a razão. 
Ex.: Em uma progressão aritmética crescente de 3 termos, a soma dos mesmos é 30 e o produto dos seus extremos 
é 75. Determine a razão dessa sequência. 
 
Dada a P.A. (x – r, x, x + r), começaremos pela soma dos 3 termos. 
 
x – r + x + x + r = 30 
3x = 30  x = 10 
Tendo agora a P.A. (10 – r, 10, 10 + r), utilizaremos o produto dos extremos. 
(10 – r).(10 + r) = 75 
100 – r² = 75 
r² = 25 
 
Como a P.A. é crescente, sua razão deve ser positiva. Por isso, r = 5. 
 
 
6. Propriedades importantes: 
 
Destacaremos duas propriedades importantes das progressões aritméticas. Inicialmente, visualize a seguinte P.A. de 
11 termos: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 39, 32) 
O termo central é, nesse caso, o sexto termo, visto que existem 5 termos anteriores a ele e 5 termos posteriores a 
ele. Perceba o que acontece quando somamos um par de termos equidistantes ao termo central: 
 
2 + 32 = 5 + 29 = 8 + 26 = 11 + 23 = 14 + 20 = 34 
 
Propriedade 1: A soma de dois termos equidistantes ao termo central de uma progressão aritmética é constante. 
Propriedade 2: O termo central de uma progressão aritmética com uma quantidade ímpar de termos será sempre a 
média aritmética entre dois termos equidistantes ao termo central. 
 
 
 
 
 
3 
 
7. Soma dos n primeiros termos da P.A.: 
 
Para se descobrir, por exemplo, a soma dos 20 primeiros termos de uma progressão aritmética, pode-se escrevê-los 
em uma lista e fazer, de fato, a soma. Porém, essa tarefa demandaria muito tempo do aluno, fato que evitaremos 
com a criação de uma fórmula para se calcular rapidamente a soma desejada. Observe: 
 
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an 
 
Lembre-se que: 
 
a1 + an = a2 + an-2 = a3 + an -3 = ... 
 
Assim, podemos perceber que, ao somarmos os termos de dois em dois (em duplas), encontraremos sempre o 
mesmo valor que encontramos em a1 + an. Por isso, em vez de somar todos os termos, podemos multiplicar a soma 
a1 + an pelo número de vezes em que ela se faz presente. Como mostramos acima, estávamos somando os termos 
de 2 em 2. Por isso, para uma P.A. de n, termos, a soma a1 + an aparecerá n/2 vezes. Dessa forma: 
 
Sn = 
(𝐚𝐚𝟏𝟏+ 𝐚𝐚𝐧𝐧).𝐧𝐧
𝟐𝟐
 
 
Ex.: Encontre a soma dos 25 primeiros termos da sequência ( -1, 1, 3, 5, ...) 
Inicialmente, calcularemos o valor do 25º termo, utilizando a fórmula do termo geral da P.A.: 
 
an = a1 + (n – 1).r 
a25 = a1 + 24.r 
a25 = -1 + 24.(2) = -1 + 48 = 47 
 
Faremos o cálculo da soma dos 25 primeiros termos da P.A. dada, utilizando a fórmula vista há pouco: 
 
S25 = 
(𝑎𝑎1+ 𝑎𝑎25).25
2
 = (−1+47.).25
2
 = (23).(25) = 575 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) (ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas 
seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse 
padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa 
empresa em julho do ano passado? 
 
a) 38.000 b) 40.500 c) 41.000 d) 42.000 e) 48.000 
 
 
2) (PUC/RJ) Considere a progressão aritmética (a1, a2, a3, ...) com a1+a5=9 e a2 + a3 = 8. Quanto vale a10? 
 
a) 1 b) 23/2 c) 12 d) 25/2 e) 1024 
 
 
3) (PUC/RJ) Os números a1 = 5x - 5, a2 = x + 14 e a3 = 6x - 3 estão em PA. A soma dos 3 números é igual a: 
 
a) 48 b) 54 c) 72 d) 125 e) 130 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
4) (UERJ) 
 
 
Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar um pouco de tempo, creditando que a munição 
do inimigo acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um dos 
demais, exatamente 3 segundos após ter falado o anterior, até que chegue ao número determinado pelo seu 
comandante. Assim, com sua estratégia, Eddie conseguirá ganhar um tempo, em segundos, igual a: 
 
a) 177 b) 188 c) 237 d) 240 
 
 
5) (UEL) Se a sequência (-8,a,22,b,52) é uma progressão aritmética, então o produto ab é igual a: 
 
a) 273 b) 259 c) 124 d) 42 e) 15 
 
 
6) (PUC/MG) Na sequência (1/2, 5/6, 7/6, 3/2,...), o termo de ordem 30 é: 
 
a) 29/2 b) 61/6 c) 21/2 d) 65/6 e) 67/6 
 
 
7) (FEI) Se a, 2a, a², b formam, nessa ordem, uma progressão aritmética estritamente crescente, então o valor de b é: 
 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 
 
 
8) (UECE) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) uma progressão aritmética. Se a2 + a5 = 8 e a8 = 7, então a3 + a7 é igual 
a: 
 
a) 8 b) 28/3 c) 10 d) 32/3 
 
 
9) (UEL) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo 
termo central é: 
 
a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57 
 
 
10) (FGV) Para todo n naturalnão nulo, sejam as sequências: 
 
(3, 5, 7, 9, ..., an, ...) 
(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...) 
(c1, c2, c3, ..., cn, ...) com cn = an + bn. 
 
Nessas condições, c20 é igual a: 
 
a) 25 b) 37 c) 101 d) 119 e) 149 
 
 
5 
 
 
11) (MACKENZIE) Sabendo que 3, 39 e 57 são termos de uma progressão aritmética crescente, então os possíveis 
valores naturais da razão r da progressão são em número de: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
 
12) (PUC/CAMPINAS) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de 
sua filha. Pretende começar com R$5,00 e aumentar R$5,00 por mês, ou seja, depositar R$10,00 no segundo 
mês, R$15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total 
depositada por ele será de 
 
a) R$150,00 b) R$250,00 c) R$400,00 d) R$520,00 e) R$600,00 
 
 
13) (UNIRIO) Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um 
especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo 
produto, todos os dias, da seguinte maneira: 
 
primeiro dia: 1,0 litro; 
segundo dia: 1,2 litros; 
terceiro dia: 1,4 litros; 
... e assim sucessivamente. 
 
Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o número de dias de duração deste tratamento 
nesta plantação foi de: 
 
a) 21 b) 22 c) 25 d) 27 e) 30 
 
 
14) (UFV) Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte 
forma: a mistura é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos 
intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que 
no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é: 
 
a) 1300 b) 1100 c) 1600 d) 900 e) 1200 
 
 
15) (MACKENZIE) As somas dos n primeiros termos das sequências aritméticas (8,12,...) e (17,19,...) são iguais. 
Então, n vale: 
 
a) 18 b) 16 c) 14 d) 10 e) 12 
 
 
16) (UEL) Considere a sequência (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11,...), cujos termos são os números inteiros positivos que não 
são múltiplos de 3. A soma dos quarenta primeiros termos dessa sequência é: 
 
a) 600 b) 900 c) 1200 d) 1400 e) 1800 
 
 
17) (CESGRANRIO) A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6 e terminando em 44, 
vale: 
 
a) 50 b) 40 c) 35 d) 25 e) 20 
 
 
 
6 
 
18) (UNESP) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo 
a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por 
diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é: 
 
a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840 
 
 
19) (UEL) Em um supermercado, as latas de certos produtos são expostas em pilhas, encostadas em uma parede, 
com 1 lata na primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na terceira e assim por diante. 
Observe na figura a seguir uma dessas pilhas, com 5 fileiras. 
 
 
 
 
Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60m de altura, com latas de 4cm de altura cada uma. Se as latas desse 
produto são embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita retirar do estoque: 
 
a) 9 caixas e não haverá sobra de latas. 
b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas. 
c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas. 
d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas. 
e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas. 
 
 
20) (PUC/PR) Dado o conjunto dos naturais de 1 a 100, isto é, C={1,2,3,...98,99,100}, encontrar a soma dos naturais 
que não são múltiplos de 3. 
 
a) 3267 b) 3367 c) 3418 d) 3067 e) 3167 
 
 
21) (UERJ) Leia com atenção a história em quadrinhos. 
 
 
 
Considere que o leão da história acima tenha repetido o convite por várias semanas. Na primeira, convidou a 
Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, 
sempre aumentando em 4 unidades o número de convites feitos na semana anterior. Imediatamente após ter 
sido feito o último dos 492 convites, o número de semanas já decorridas desde o primeiro convite era igual a: 
 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 
 
 
7 
 
22) (PUC/CAMPINAS) Um veículo parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, distante 500km. Na 1ª hora 
do trajeto ele percorre 20km, na 2ª hora 22,5km, na 3ª hora 25km e assim sucessivamente. Ao completar a 12ª 
hora do percurso, a distância esse veículo estará de B? 
 
a) 95 km b) 115 km c) 125 km d) 135 km e) 155 km 
 
 
23) (UNITAU) Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então 
podemos dizer que sua razão r é igual a: 
 
a) 2c b) c/3 c) a/4 d) b e) a - 2b 
 
 
24) (UEL) Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. 
O valor de n é: 
 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
 
25) (FATEC) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a sequência (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) seja uma 
progressão aritmética, tem-se a3 igual a: 
 
a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47 
 
 
26) (UERJ) Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em reais, 
dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010. 
 
 
 
A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida 
constante ao longo de um determinado período. Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal 
do depósito da empresa A será igual ao da empresa B. 
 
 
27) (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto 
em distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: 
 
– todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par inválidos; 
– o primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m, e assim sucessivamente cada salto 
válido aumentou sua medida em 3 cm; 
– o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22m. 
 
Calcule o valor de n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
28) (UERJ) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes 
empilhados, sendo sua base formada por dez cubos. 
 
 
 
Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e 
procedimento idêntico. 
 
 
29) (UERJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras: 
 
- antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, 
dizendo "cara" ou "coroa"; 
- quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao 
errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente; 
- em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla. Veja o quadro que ilustra o jogo: 
 
 
 
O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez 
vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro. Determine o número total de letras 
que foram escritas até o final do jogo. 
 
 
30) (FUVEST) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos. 
 
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? 
b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 3 nem de 5? 
 
 
31) (UNESP) Imagine os números inteiros não negativos formando a seguinte tabela: 
 
 
 
a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Por quê? 
b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê? 
 
 
9 
 
 
32) (UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável 
paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de 
castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um 
prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se 
tocam deve estar apoiado em uma cartahorizontal, 
excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma 
mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis. 
 
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número de cartas que ele vai utilizar. 
 
 
33) (UNB) No projeto urbanístico de uma cidade, o paisagista previu a urbanização do canteiro central de uma das 
avenidas, com o plantio de 63 mudas de Flamboyant, todas dispostas em linha reta e distantes 5 m uma da 
outra. No dia do plantio, o caminhão descarregou as mudas no início do canteiro central, no local onde seria 
plantada a primeira muda. Um jardineiro foi designado para executar o serviço. Para isso, partindo do lugar 
onde as mudas foram colocadas, ele pegou três mudas de cada vez, plantou-as nos locais designados, 
enfileirando-as uma após a outra. Calcule, em hectômetros, a distância total mínima percorrida pelo jardineiro 
após finalizar o trabalho. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
 
34) (UERJ) Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona. Um deles começará correndo 8 km 
no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e 
aumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A preparação será encerrada no dia em que eles percorrerem, 
em quilômetros, a mesma distância. 
Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos dois corredores durante todos os 
dias do período de preparação. 
 
 
35) (FUVEST) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A 
recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais 
moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes. 
 
a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.) 
b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas? 
 
 
36) (UFRJ) Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma plateia com 50 fichas, cada uma 
contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada 
uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do número da anterior com o da posterior. 
Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da décima sexta e da trigésima primeira 
ficha, obtendo como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da plateia, Mister MM adivinhou então o 
valor da última ficha. Determine você também este valor. 
 
 
37) (UFG) Um carpinteiro deseja construir uma escada para ser usada por eletricistas. O modelo está na figura 
abaixo. As travessas da escada são de madeira, seus comprimentos são decrescentes e estão em Progressão 
Aritmética. A primeira travessa mede 0,80m, e a última mede 0,40m. Sabendo-se que, para as travessas, o 
carpinteiro tem a sua disposição 13,2 metros lineares de madeira, e não havendo desperdício algum, quantas 
travessas conterá a escada? 
 
 
 
 
10 
 
38) (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito 
esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: 
R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, 
ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, 
Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00. Justifique. 
 
 
39) (UFPE) Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao longo da mesma 
rodovia e entre estes quilômetros, pretende-se instalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontos 
adjacentes de instalação dos telefones estão situados a uma mesma distância, qual é esta distância, em 
quilômetros? 
 
 
40) (UFC) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor 
ângulo agudo deste triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
GABARITO 
 
1) C 
 
2) B 
 
3) B 
 
4) C 
 
5) B 
 
6) B 
 
7) E 
 
8) C 
 
9) C 
 
10) C 
 
11) E 
 
12) E 
 
13) A 
 
14) A 
 
15) D 
 
16) C 
 
17) D 
 
18) A 
 
19) E 
 
20) B 
 
21) B 
 
22) A 
 
23) B 
 
24) A 
 
25) B 
 
26) Fevereiro de 2011 
 
 
27) 13 saltos 
 
28) 5050 cubos 
 
29) 760 letras 
 
30) 
a) 132 
b) 1063 
 
31) 
a) 2ª linha 
b) 107ª coluna 
 
32) 2420 cartas 
 
33) 64 hm 
 
34) 385 km 
 
35) 
a) 4 moedas, pessoa B 
b) 176, 159 e 165 
 
36) 1 
 
37) 22 travessas 
 
38) R$ 165,00 
 
39) 18 km 
 
40) 3/4 
 
 
12 
 
 
MÓDULO 2 
 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
1. Conceito 
 
As progressões geométricas são sequencias onde a divisão entre cada termo (a partir do segundo) e o seu 
anterior resulta sempre no mesmo número. Assim, podemos dizer que para se alcançar o próximo termo na 
sequência sempre se multiplica o termo anterior por um mesmo número, que chamamos de razão (utilizaremos 
a letra q para representar esse número). 
 
Exs.: 
(3, 6, 12, 24, ...) é uma P.G. de razão q = 2 
 (32, 16, 8, 4, ...) é uma P.G. de razão q = 0,5 
 (6, 6, 6, 6, 6, ...) é uma P.G. de razão q = 1 
 (-2, 4, -8, 16, ...) é uma P.G de razão q = -2 
 
 
2. Cálculo da razão 
 
Para se determinar se uma sequência é ou não uma progressão geométrica, deve-se mostrar que a razão entre 
dois termos consecutivos (a razão q) é constante. Assim, para se calcular o valor da mesma, podemos efetuar 
divisões de diferentes maneiras: 
 
q = 𝑎𝑎2
𝑎𝑎1
 = 𝑎𝑎3
𝑎𝑎2
 = 𝑎𝑎4
𝑎𝑎3
 = ... 
 
Assim, para identificar a razão de uma progressão geométrica, teremos: 
 
q = 𝒂𝒂𝒏𝒏
𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏
 
Onde n é um número natural, maior que 1. 
 
 
3. Classificação da P.A. 
 
A P.G. será crescente em duas possibilidades: se o primeiro termo é positivo e a razão q é tal que q > 1 ou se o 
primeiro termo é negativo e a razão é um número q tal que 0 < q < 1. 
 
Exs.: 
(2, 6, 18, 54) é uma P.G. crescente de razão q = 3 
 (-32, -16, -8, -4, ...) é uma P.G. crescente de razão q = 0,5 
 
A P.G. será decrescente em duas possibilidades: se o primeiro termo é positivo e a razão q é tal que 0 < q < 1 ou 
se o primeiro termo é negativo e a razão q é tal que q > 1. 
 
Exs.: 
(10; 2; 0,4; 0,08; ...) é uma P.G. decrescente de razão q = 0,2 
 (-6, -12, -24, -48, ...) é uma p.G. decrescente de razão q = 2. 
 
A P.G. será constante quando sua razão for igual a 1. 
 
Ex.: ( 7, 7, 7, 7, ...) é uma P.G. constante, visto que sua razão é q = 1. 
A P.G. será oscilante ou alternada quando possuir uma razão negativa. 
 
Ex.: ( -1, 2, -4, 8, ...) é uma P.G. oscilante ou alternada de razão q = -2. 
 
 
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4. Fórmula do Termo Geral 
 
Da mesma forma que vimos quando estudamos as progressões geométricas, podemos facilmente encontrar um 
termo desejado nesse tipo de sequência. Na P.G., teremos raciocínio análogo. Vamos desmembrar a seguir os 
primeiros termos de uma P.G. para alcançar essa fórmula que nos permitirá encontrar qualquer termo de uma 
progressão geométrica, sabendo apenas quem é o seu primeiro termo e quem é a sua razão. 
 
a2 = a1.q1 
a3 = a1.q² 
a4 = a1 q³ 
a5 = a1 .q4 
 
Perceba que qualquer termo de uma P.G. pode ser desmembrado em um produto onde o primeiro fator é sempre 
o primeiro termo da sequência e o segundo fator é sempre uma potência de base q. Além disso, visualize que o 
expoente da potenciação é 1 quando queremos achar o termo 2; é 2 quando queremos achar o termo 3; é 3 
quando queremos encontrar o termo 4, etc. Em outras palavras: o expoente dessa potenciação é sempre um 
número uma unidade abaixo do termo que estamos procurando. Por conta desse raciocínio, cria-se a fórmula do 
termo geral: 
an = a1.qn -1 
 
Ex.: Dada a P.G. (0,25; 0,5; 1; 2; 4; ...), encontre o seu décimo terceiro termo. 
 
a13 = a1 .q12 
a13 = 0,25. 212 
a13 = 2-2.212= 210= 1024 
 
Odécimo terceiro termo dessa progressão aritmética é 1024. 
 
 
5. Notações Especiais 
 
Usaremos as notações a seguir quando estivermos resolvendo uma questão e soubermos o produto da 
progressão geométrica. 
 
Para P.G. de 3 termos: (x/q, x, x.q), onde q é a razão. 
Para P.G. de 5 termos: (x/q², x/q, x, x.q, x.q²), onde q é a razão. 
Para P.G. de 4 termos: (x/q³, x/q, x.q, x.q³), onde q² é a razão. 
 
Ex.: Em uma progressão geométrica decrescente de 3 termos, o produto dos mesmos é 64 e a soma dos seus 
extremos é 17. Determine a razão dessa sequência. 
Dada a P.A. (x/q, x, x.q), começaremos pelo produto dos 3 termos. 
 
(x/q).x.(x.q) = 64 
x³ = 64  x = 4 
 
Tendo agora a P.A. (4/q, 4, 4q), utilizaremos a soma dos extremos. 
 
(4/q) + 4q = 17 
4 + 4q² = 17 q 
4q² - 17q + 4 = 0 
q = −(−17)±√289−64
8
 = 17 ±15
8
 
 
Os valores encontrados para q são 4 e 1/4. As progressões geométricas encontradas, respectivamente em cada 
caso serão (1, 4, 16) ou (16, 4, 1) 
Como a P.G. é crescente, a razão será q = 1/4. 
 
14 
 
 
 
6. Propriedades importantes 
 
Destacaremos duas propriedades importantes das progressões geométricas. Inicialmente, observe a seguinte 
P.G. de 11 termos: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024). 
O termo central é, nesse caso, o sexto termo, visto que existem 5 termos anteriores a ele e 5 termos posteriores 
a ele. Perceba o que acontece quando multiplicamos um par de termos equidistantes ao termo central: 
 
1.1024 = 2.512 = 4.256 = 8.128 = 16.64 = 1024 
 
Propriedade 1: O produto de dois termos equidistantes ao termo central de uma progressão aritmética é constante. 
Propriedade 2: O termo central de uma progressão aritmética com uma quantidade ímpar de termos será sempre 
a média geométrica entre dois termos equidistantes ao termo central. Isso equivale a dizer que o quadrado do 
termo central é igual ao produto de dois termos equidistantes a esse termo central. 
 
 
7. Soma dos n primeiros termos da P.G. 
 
Para se descobrir, por exemplo, uma soma finita em uma progressão geométrica, nada impede que o aluno faça 
o cálculo na mão, criando a conta com os termos envolvidos e resolvendo-a. Esbarramos novamente em um 
problema que o aluno enfrenta em provas: o pouco tempo para resolvê-la. Por conta disso, criaremos uma 
fórmula para se calcular rapidamente a soma desejada. Observe: 
 
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an (equação I) 
Se multiplicarmos essa equação por q (a razão da P.G.), teremos: 
Sn.q = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ... + an+1 (equação II) 
 
Posteriormente, calculamos a diferença entre essas duas equações, encontrando: 
Sn.q – Sn = an+1 – a1 
Sn.(q – 1) = a1 + a1. qn 
Sn = 
𝒂𝒂𝟏𝟏.( 𝒒𝒒𝒏𝒏−𝟏𝟏)
(𝒒𝒒−𝟏𝟏)
 
 
Ex.: Encontre a soma dos 7 primeiros termos da sequência (1, 3, 9, 27, ...) 
Faremos o cálculo da soma dos 7 primeiros termos da P.G. dada, utilizando a fórmula vista há pouco: 
 
S7 = 
1.(37−1)
3−1
 = (2187−1)
2
 = 2186 : 2 = 1093 
 
8. Soma infinita da P.G. 
 
Imagine a seguinte situação: um inseto começa a comer uma barra de chocolate que possui comprimento de 1 
centímetro da seguinte maneira: no primeiro dia come metade da barra, no segundo dia come metade do que 
sobrou, no terceiro come metade do que sobrou e assim sucessivamente. Se esse processo pudesse continuar 
indefinidamente, o inseto continuaria seu processo alimentar infinitamente, comendo a barra toda. Nessa 
situação, temos uma progressão geométrica cuja razão está situada entre os valores -1 e 1. Esse tipo de soma 
pode ser calculado com uma fórmula. Para isso, ressaltamos que essa sequência é uma progressão geométrica 
convergente e que a demonstração dessa fórmula se dá a partir da utilização da fórmula anterior, utilizando 
como número de termos a ideia de infinitos termos. 
S∞ = 𝑎𝑎1.( 𝑞𝑞
∞−1)
(𝑞𝑞−1)
 
 
Lembramos que uma razão localizada entre -1 e 1, quando elevada a um número extremamente grande (como 
é o infinito), gera um número muito próximo ao zero. Dizemos, portanto, que essa potenciação tende a zero e, 
dessa forma: 
Slim = 
𝑎𝑎1.( 0 −1)
(𝑞𝑞−1)
 = − 𝑎𝑎1
𝑞𝑞−1
 
 
15 
 
 
Slim= 
 𝐚𝐚𝟏𝟏
𝟏𝟏−𝐪𝐪
 
 
Ex.: Calcule o valor x na equação x = 8 + 4 + 2 + 1 + ... 
Utilizando a fórmula que acaba de ser demonstrada, teremos: 
 
X = 8
1− 12
 = 81
2
 = 8.2 = 16 
 
 
EXERCÍCIOS OBJETIVOS 
 
1) (PUC) O terceiro e o sétimo termos de uma Progressão Geométrica valem, respetivamente, 10 e 18. O quinto 
termo dessa Progressão é: 
 
a) 14 b) √30 c) 2√7 d) 6√5 e) 30 
 
 
2) (CESGRANRIO) Desde 1992, certo instituto de pesquisa vem monitorando, no início de cada ano, o 
crescimento populacional de uma pequena cidade do interior do estado. Os itens a seguir mostram o 
resultado dos três primeiros anos, em milhares de habitantes. 
 
I. Ano de 1992, População(em milhares) = 25,6. 
II. Ano de 1993, População(em milhares) = 38,4. 
II. Ano de 1994, População(em milhares) = 57,6. 
 
Mantendo-se esta mesma progressão de crescimento, o número de habitantes dessa cidade, no início do ano 
2000, em milhares, será, aproximadamente, de: 
 
a) 204 b) 384 c) 576 d) 656 e) 728 
 
 
3) (UECE) Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b1 + b2 + b3 + b4 = 20, então b4 é igual a: 
 
a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 7/2 
 
 
4) (CESGRANRIO) O número de assinantes de um jornal de grande circulação no estado aumentou, nos quatro 
primeiros meses do ano, em progressão geométrica, segundo os dados de uma pesquisa constantes na tabela 
a seguir. 
 
Mês Janeiro Fevereiro Março Abril 
Número de assinantes 5000 6050 
 
Em relação ao mês de fevereiro, o número de assinantes desse jornal no mês de abril teve um aumento de: 
 
a) 1600 b) 1510 c) 1155 d) 1150 e) 1050 
 
 
5) (UNIRIO) O número que deve ser subtraído de 1, de 11/8 e de 31/16 para que os resultados formem uma 
P.G., nesta mesma ordem, é: 
 
a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16 
 
 
 
16 
 
 
6) (CESGRANRIO) Considere uma progressão geométrica de 5 termos e razão positiva, onde a soma do 
primeiro com o terceiro termo é 9/2 e o produto de seus termos é 1024. O produto dos três termos iniciais 
dessa progressão é igual a: 
 
a) 1/2 b) 1 c) 2√2 d) 4√2 e) 8√2 
 
 
7) (MACKENZIE) Na sequência geométrica (x², x, log x), de razão q, x é um número real e positivo. Então, log q vale: 
 
a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 1 / 2 
 
 
8) (UECE) Uma certa substância duplica seu volume a cada minuto. Às 9 horas uma pequena quantidade desta 
substância é colocada num recipiente e uma hora depois, isto é, às 10 horas, o recipiente estava 
completamente cheio. Nestas condições, a substância ocupava 1/4 da capacidade total do recipiente, às: 
 
a) 9h15min b) 9h 45min c) 9h 58min d) 9h 59min 
 
 
9) (UFRN) Um fazendeiro dividiu 30km² de suas terras entre seus 4 filhos, de idades distintas, de modo que as 
áreas dos terrenos recebidos pelos filhos estavam em progressão geométrica, de acordo com a idade, tendo 
recebido mais quem era mais velho. Ao filho mais novo coube um terreno com 2km²de área. O filho que tem 
idade imediatamente superior à do mais novo recebeu um terreno de área igual a: 
 
a) 10 km² b) 8 km² c) 4 km² d) 6 km² 
 
 
10) (UFPEL) Uma determinada planta aquática se reproduz intensamente. O número de indivíduos, em 
condições estáveis, é multiplicado por 3 a cada dia. Se, nas condições normais, iniciando com uma dessas 
plantas, são necessários 60 dias para preencher a superfície de um lago, iniciando com 3 das referidas 
plantas, a mesma superfície será preenchida no tempo de 
 
a) 31 dias b) 20 dias c) 57 dias d) 59 dias e) 30 dias 
 
11) (MACKENZIE) Se numa progressão geométrica de termos positivos o terceiro termo é igual à metade da 
razão, o produto dos três primeiros termos é igual a: 
 
a) 1/4 b) 4 c) 1/8 d) 8 e) 1/16 
 
 
12) (MACKENZIE) O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três 
números em progressão geométrica. A área total desse cubo é: 
 
a) 20 b) 48 c) 24 d) 18 e) 1213) (FATEC) Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes: 
 
1 ) perde-se a quantia X apostada; 2 ) recebe-se a quantia 2X. 
 
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 
2 centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por diante, apostando em cada vez o dobro do que havia 
apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia 
total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21ª jogada, tem-se que Q é igual a 
 
a) T/2 b) T c) 2T d) T-1 e) T+1 
 
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14) (FEI) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... Se a sua soma é 3280, então ela apresenta: 
 
a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos 
 
 
15) (PUC/PR) Em uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cuja soma é igual a 9 e a soma dos 
quadrados de todos os seus termos é 40,5, o seu 4° termo vale: 
 
a) 3/8 b) 1/27 c) 5/32 d) 2/9 e) 4/27 
 
 
16) (UNIRIO) Há exatamente um ano, José iniciou uma criação de coelhos e, durante este período, o número 
de coelhos duplicou a cada 3 meses. Hoje, preocupado com a falta de espaço para os coelhos, José vai 
vender parte dessa criação, de modo que penas a quantidade inicial fique com ele. Se N0 denota a 
quantidade inicial de coelhos, então a quantidade a ser vendida é 
 
a) 15 N0 b) 13 N0 c) 12 N0 d) 8 N0 e) 7 N0 
 
 
17) (UFMG) A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada 20 minutos. Em um experimento, 
colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1.000 bactérias por mililitro. No final do 
experimento, obteve-se um total de 4,096 x 106 bactérias por mililitro. Assim sendo, o tempo do 
experimento foi de 
 
a) 3 horas e 40 minutos 
b) 3 horas 
c) 3 horas e 20 minutos 
d) 4 horas 
 
 
18) (UFRN) Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. 
Aos 10 anos de idade, ele apresentou uma solução genial para somar os números inteiros de 1 a 100. A 
solução apresentada por Gauss foi 5050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como sugere a figura abaixo: 
 
Usando a ideia de Gauss como inspiração, responda: quanto vale o seguinte produto? 
 
1 × 2 × 4 × 8 × 16 × 32 × 64 × 128 
 
a) 4129 b) 4128 c) 1294 d) 1284 
 
 
19) (PUC/SP) A soma dos n primeiros termos da sequência (6, 36, 216, ...,6n,...) é 55.986. Nessas condições, 
considerando log2=0,30 e log3=0,48, o valor de log n é 
 
a) 0,78 b) 1,08 c) 1,26 d) 1,56 e) 1,68 
 
 
20) (UNITAU) A soma dos termos da sequência (1/2;1/3;2/9;4/27;...) é: 
 
a) 15 × 10-1 b) -3 × 10-1 c) 15 × 10-2 d) 5 × 10-1 e) 3/5 
 
18 
 
 
 
21) (UFRRJ) A sequência (x, 6, y, z, 162) é uma Progressão Geométrica. É correto afirmar que o produto de x 
por z vale: 
 
a) 36 b) 72 c) 108 d) 144 e) 180 
 
 
22) (PUC/RJ) Numa progressão geométrica a diferença entre o segundo e o primeiro termo é nove e a diferença 
entre o quinto e o quatro termo é 576. O primeiro termo da progressão é: 
 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 
 
 
23) (FGV/SP) Considere a progressão geométrica: (10,20,40,80,..). Para estimar o valor do 50° termo, um 
número enorme, Augusto teve a ideia de substituir 210 por 103, que são próximos. Segundo a estimativa de 
Augusto, o 50° termo dessa progressão é um número de quantos algarismos? 
 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 
 
 
24) (UERJ) Um vírus, formado por uma hélice simples de RNA contendo 51×103 bases nitrogenadas, sofreu o 
seguinte processo de manipulação em um experimento: 
 
- dois fragmentos de RNA, identificados como X e Y, contendo cada um 103 e 104 bases, respectivamente, 
foram retirados de seu genoma; 
- apenas um fragmento de RNA, contendo n bases, foi introduzido nele. 
 
Admita que o número total de bases, após a modificação, equivalia ao quinto termo de uma progressão 
geométrica, na qual o número de bases dos fragmentos X e Y correspondia, respectivamente, ao primeiro 
e ao terceiro termos dessa progressão. 
 
No experimento, a quantidade n de bases nitrogenadas contidas no fragmento introduzido no vírus foi igual a: 
 
a) 3 × 102 b) 5 × 103 c) 6 × 104 d) 4 × 105 
 
 
25) (UERJ) Para analisar o crescimento de uma bactéria, foram inoculadas 1×103 células a um determinado 
volume de meio de cultura apropriado. Em seguida, durante 10 horas, em intervalos de 1 hora, era medido 
o número total de bactérias nessa cultura. Os resultados da pesquisa estão mostrados no gráfico ao lado. 
 
Nesse gráfico, o tempo 0 corresponde ao momento do inóculo 
bacteriano. Observe que a quantidade de bactérias presentes no 
meio, medida a cada hora, segue uma progressão geométrica até 
5 horas, inclusive. 
 
O número de bactérias encontrado no meio de cultura 3 horas 
após o inóculo, expresso em milhares, é igual a: 
 
a) 16 
b) 27 
c) 64 
d) 105 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
EXERCÍCIOS DISCURSIVOS 
 
26) (PUC/RJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio que por sua vez tem 
sete anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais 
são as idades delas? 
 
 
27) (IME/RJ) A soma de três números que formam uma P.A. crescente é 36. Determine esses números, sabendo 
que se somarmos 6 unidades ao último, eles passam a constituir uma P.G. 
 
 
28) (UFRJ) z é um número complexo tal que z7 = 1, z≠1. Calcule: 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6. 
 
 
29) (UFRJ) A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1 cm, é constituída por uma infinidade 
de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados 
de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos 
quadrados de lado L/3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir. 
 
 
Calcule a área de F. Justifique. 
 
 
30) (UFRRJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. 
Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que 
uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as 
quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim 
se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se 
transformará em um fio contínuo de água? 
 
 
31) (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do 
produto de seus termos vale 36. 
 
Ache a razão da progressão. 
 
 
32) (UNICAMP) Começando com um cilindro de raio 1 e altura também 1, define-se o procedimento de colocar 
sobre um cilindro anterior um outro cilindro de igual altura e raio 2/3 do raio anterior. Embora a altura do 
sólido fictício resultante seja infinita, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo. 
 
 
33) (UNESP) Suponhamos que uma represa de área igual a 128km² tenha sido infestada por uma vegetação 
aquática. Suponhamos também que, por ocasião de um estudo sobre o problema, a área tomada pela 
vegetação fosse de 8km² e que esse estudo tivesse concluído que a taxa de aumento da área 
cumulativamente infestada era de 50% ao ano. Nessas condições: 
 
a) Qual seria a área infestada n anos depois do estudo, caso não se tomasse nenhuma providência? 
b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? (Use os 
valores aproximados log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.) 
 
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34) (UNESP) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma 
pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas 
quantas já houveram sido colocadas anteriormente. 
 
 
Determine, ao final de 9 dessas operações: 
 
a) quantas tábuas terá a pilha. 
b) a altura, em metros, da pilha.35) (UFPE) Quantas soluções a equação sen²x + [(sen4x)/2] + [(sen6x)/4] + ... = 2, cujo lado esquerdo consiste da 
soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo sen²x e razão (sen²x)/2, admite, 
no intervalo [0, 20π]? 
 
36) (UNICAMP) Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do 
terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores. 
 
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão. 
b) Supondo que o primeiro termo seja (1-√5)/2 e q>0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. 
 
 
37) (UNICAMP) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, 
o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as 
questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas 
últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule: 
 
a) O número total de questões da referida prova. 
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova. 
 
 
38) (FUVEST) Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1 e razão q², onde q é um número 
inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11=b17. Neste caso: 
 
a) Determine o primeiro termo b1 em função de q. 
b) Existe algum valor de n para o qual an = bn? 
c) Que condição n e x devem satisfazer para que an = bx? 
 
 
39) (UFV) Na sequência de quadrados representada nas figuras a seguir, cada novo quadrado tem seus vértices 
nos pontos médios do quadrado que o antecede. 
 
 
Se o perímetro do primeiro quadrado é P e supondo que essa sequência continue indefinidamente, calcule 
o perímetro: 
 
a) do terceiro quadrado. 
b) do n-ésimo quadrado. 
 
21 
 
 
 
40) (UERJ) Numa reserva florestal foram computados 3.645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de 
modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de 
coelhos infectados triplica. 
 
a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21° dia. 
b) Calcule o número mínimo de dias necessário para que toda a população de coelhos esteja infectada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
GABARITO 
 
1) D 
 
2) D 
 
3) A 
 
4) C 
 
5) C 
 
6) C 
 
7) B 
 
8) C 
 
9) C 
 
10) D 
 
11) C 
 
12) D 
 
13) E 
 
14) B 
 
15) D 
 
16) A 
 
17) D 
 
18) D 
 
19) A 
 
20) A 
 
21) C 
 
22) A 
 
23) B 
 
24) C 
 
25) B 
 
26) As idades são 49, 56 e 64 anos. 
 
27) Os termos da PA eram 6, 12 e 18. 
28) zero 
 
29) 1,5 cm² 
 
30) Aproximadamente 60 segundos. 
 
31) q=10 ou q=-10 
 
32) 1,8π u.v. 
 
33) 
a) 8.(1,5)n b) 7 anos 
 
34) 
a) 256 tábuas b) 1,28m 
 
35) 20 soluções 
 
36) 
a) (1 + √5)/2 ou (1 - √5)/2 
b) -1 - √5 
 
37) 
a) 8 questões 
b) 127,5 minutos 
 
38) 
a) b1=q4 
b) Sim, n=5 
c) 2n – x = 5 
 
39) 
a) a3=P/2 
b) an=P/√2𝑛𝑛−1 
 
40) 
a) 405 coelhos 
b) 31 dias 
 
 
 
 
23 
 
MÓDULO 3 
 
EXERCÍCIOS DE PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
1) (FUVEST) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, √11 − 𝑎𝑎. O 
quarto termo desta P.A. é: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
 
2) (UEL) Uma progressão aritmética de n termos tem razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os 
de ordem par formarão uma progressão 
 
a) aritmética de razão 2 
b) aritmética de razão 6 
c) aritmética de razão 9 
d) geométrica de razão 3 
e) geométrica de razão 6 
 
 
3) (PUC/SP) Seja f a função de Z em Z definida por f(x) é igual a: 
 
�2𝑥𝑥 − 1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 é 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝0, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 é í𝑚𝑚𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝 
 
Nessas condições, a soma f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(999) + f(1000) é igual a 
 
a) 50.150 b) 100.500 c) 250.500 d) 500.500 e) 1.005.000 
 
 
4) (UFRS) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$500,00 e saldou-o pagando, ao final de cada mês, R$100,00 
mais 6% de juros sobre a dívida restante. A sucessão dada pelas parcelas de pagamento da dívida é uma: 
 
a) progressão geométrica de razão -0,06 
b) progressão geométrica de razão -6 
c) progressão geométrica de razão -100 
d) progressão aritmética de razão -6 
e) progressão aritmética de razão -100 
 
 
5) (MACKENZIE) Na sequência numérica (4, 7, a3, a4, a…, ...), sabe-se que as diferenças bn=an+1 - an, n≥1, formam 
uma progressão aritmética de razão 2. Então a15 é igual a: 
 
a) 172 b) 186 c) 200 d) 214 e) 228 
 
 
 
 
6) (FUVEST) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo 
ABC, cujos vértices são A = (-a,0), B = (0,b) e C = (c,0), é igual a b, então o valor de b é: 
 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 
 
 
 
 
 
24 
 
7) (ITA) O valor de n que torna a sequência (2 + 3n, - 5n, 1 - 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo: 
 
a) [-2, -1] b) [-1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3] 
 
 
8) (UFRN) A direção de uma escola decidiu enfeitar o pátio com bandeiras coloridas. As bandeiras foram colocadas 
em linha reta, na seguinte ordem: 1 bandeira vermelha, 1 azul, 2 vermelhas, 2 azuis, 3 vermelhas, 3 azuis, e 
assim por diante. Depois de colocadas exatamente 100 bandeiras, o número das de cor azul era: 
 
a) 55 b) 60 c) 50 d) 45 
 
 
9) (UNESP) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de 
sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês 
e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a 
produção de A a partir de: 
 
a) março b) maio c) julho d) setembro e) novembro 
 
 
10) (PUC/MG) Se e.e².e³ ... en = e210, o valor de n é: 
 
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 
 
 
11) (FEI) Um trabalho escolar de 150 páginas deverá ser impresso em uma impressora que apresenta os seguintes 
problemas: nas páginas 6, 12, 18, ... (múltiplos de 6) o cartucho de tinta amarela falha e nas páginas 8, 16, 24, 
... (múltiplos de 8) falha o cartucho de tinta azul. Supondo-se que em todas as páginas do trabalho sejam 
necessárias as cores amarela e azul, quantas páginas serão impressas sem essas falhas? 
 
a) 105 b) 107 c) 113 d) 116 e) 120 
 
 
12) (UFPI) Se em uma progressão aritmética de razão positiva o produto dos três primeiros termos é 384 e a soma 
é 24, então o quarto termo é: 
 
a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 
 
 
13) (UFAL) As idades de três pessoas são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 
5. Se daqui a 3 anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa época, a soma das três 
idades será: 
 
a) 36 anos b) 38 anos c) 42 anos d) 45 anos e) 48 anos 
 
 
14) (MACKENZIE) Numa progressão aritmética de 100 termos, a3=10 e a98=90. A soma de todos os termos é: 
 
a) 10000 b) 9000 c) 4500 d) 5000 e) 7500 
 
 
15) (UFES) Para que a soma dos n primeiros termos da Progressão Geométrica 3,6,12,24,... seja um número 
compreendido entre 50.000 e 100.000, devemos tornar n igual a 
 
 
 
 
25 
 
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12 
 
 
16) (UNIRIO) Um sociólogo que estuda, há anos, a população de uma favela do Rio de Janeiro, chegou à conclusão 
de que a população dobra anualmente, devido aos problemas sociais e de migração interna. Sabendo-se que, 
em 1997, essa população era de 520 habitantes, e que a condição geográfica do local só suporta um máximo 
de 10.000 habitantes, essa mesma população deverá ser removida, no máximo, no ano de: 
 
a) 1999 b) 2000 c) 2001 d) 2002 e) 2003 
 
 
17) (PUC/CAMPINAS) Uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.), cujos termos são 
inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma razão. Se o quinto termo da P.A. é 11 e a diferença entre o 
segundo termo da P.G. e o segundo termo da P.A. é 1, então o quinto termoda P.G. é 
 
a) 243 b) 162 c) 95 d) 48 e) 32 
 
 
18) (MACKENZIE) As sequências (x, 2y - x, 3y) e (x, y, 3x + y - 1), de termos não nulos, são, respectivamente, 
aritmética e geométricas. Então, 3x + y vale: 
 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
 
19) (FATEC) Se, em uma progressão geométrica, x é o primeiro termo, y é o termo de ordem 2n+1, e z é o termo 
de ordem 3n+1, então é verdade que: 
 
a) z³ = yx² b) x³ = yz² c) x³ = zy² d) y³ = xz² e) y³ = zx² 
 
 
 
20) (PUC/SP) O terceiro e o sétimo termos de uma progressão geométrica valem, respetivamente, 10 e 18. O quinto 
termo dessa progressão é: 
 
a) 14 b) √30 c) 2√7 d) 6√5 e) 30 
 
 
21) (UECE) Seja (t1, t2, t3, t4, t5) uma progressão geométrica de termos positivos. Se t1.t2.t3.t4.t5=610, então 
(t3+4)/(t3-4) é igual a: 
 
a) 5/4 b) 3/2 c) 7/4 d) 2 
 
 
22) (UFES) A figura a seguir representa o gráfico da função y=2x, x ≤ 0, e os primeiros elementos de uma sequência 
infinita de retângulos. A soma das áreas de todos os retângulos dessa sequência infinita é: 
 
 
 
 
26 
 
 
 
Dado: (ua=unidade de área) 
 
a) 1/2 ua b) 1 ua c) 3/2 ua d) 2 ua e) maior que 2 ua 
 
 
23) (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros 
é 24. Nessa progressão a razão é: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
24) (PUC) De acordo com a disposição dos números abaixo, 
 
 
 
A soma dos elementos da décima linha vale: 
 
a) 2066 b) 5130 c) 10330 d) 20570 e) 20660 
 
25) (UFRGS) Numa progressão aritmética de razão 1/2, o primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nesta 
ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é: 
 
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 
 
 
26) (UERJ) Considere a sequência de matrizes (A1, A2, A3, ...), todas quadradas de ordem 4, respectivamente iguais 
a: 
 
 
 
Sabendo que o elemento aij = 75432 é da matriz An, determine os valores de n, i e j. 
 
 
 
 
27 
 
 
27) (UFPE) Quantos números existem entre 1995 e 2312 (inclusive) que são divisíveis por 4 e não são divisíveis por 
200? 
 
 
28) (UFC) Considere a sequência (an), na qual o produto a1 . a2 . ... . an = 2n . n! 
Determine a soma a1 + a2 + ... + a8. 
 
 
29) (UNIRIO) Considere uma progressão aritmética de 4 elementos cujo primeiro elemento é log23. Sabendo-se 
que a soma destes elementos é log25184, determine a razão desta sequência. 
 
 
30) (UFF) Determine o terceiro termo negativo da sequência 198, 187, 176, ... 
 
 
31) (UFPR) Considere um conjunto de circunferências cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a 
progressão aritmética 20, 21, 22, 23, ... , 150. 
 
A respeito dessas circunferências, é correto afirmar: 
 
(01) O total de circunferências é 130. 
(02) O comprimento da maior dessas circunferências é 15 vezes o comprimento da menor. 
(04) As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em milímetros, da menor para a maior, formam uma 
progressão aritmética de razão 2. 
(08) A soma dos comprimentos de todas as circunferências, em centímetros, é 2227π. 
 
Soma ( ) 
 
 
32) (UFPE) Seja S a soma dos naturais menores ou iguais a 1.000 que são produto de dois naturais pares. Indique a 
soma dos dígitos de S. 
 
 
33) (UFRRJ) Em uma biblioteca arrumaram-se os livros em uma prateleira de 12 linhas e 25 colunas. Para distribuir 
melhor os volumes, considerou-se o critério peso, representado pela expressão P=i.j+150 gramas, sendo i a 
linha e j a coluna onde está localizado o livro. 
Mas devido a um temporal, em que a água inundou a biblioteca através da janela, foi necessário retirar os 
volumes da última linha (próxima ao chão) e da última coluna (próxima à janela) para que não fossem 
destruídos. 
 
Qual o peso total dos livros removidos devido a enchente? 
 
 
34) (PUC/RJ) Numa progressão geométrica de sete termos, o primeiro termo é 8, e o produto dos sete termos é 1. 
Sendo 8k o segundo termo, encontre k. 
 
 
35) (UFRRJ) O motorista de um automóvel, dirigindo-se para a Universidade Rural, avistou um quebra-molas a 50 
metros de distância. Imediatamente começou a frear. Após o início da freada, o veículo percorreu 30 metros 
no primeiro segundo e, a cada segundo seguinte, percorreu 1/5 da distância percorrida no segundo anterior, 
até parar. A que distância do quebra-molas o veículo parou? 
 
 
 
 
 
28 
 
36) (UFSC) Sejam (an) uma progressão geométrica e (bn) uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da 
progressão geométrica (an). 
Sabendo que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 calcule a soma b1 + b2 + .... + b7. 
 
 
37) (UNESP) O limite da soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente ilimitada cujo primeiro 
termo é q e cuja razão é q, vale 7 vezes o limite da soma dos cubos dos termos dessa mesma progressão 
geométrica. Calcule os valores possíveis de q. 
 
 
38) (UERJ) Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, 
obedecendo à disposição apresentada no desenho: uma moeda no centro e as 
demais formando camadas tangentes. 
 
Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, 
em reais, do total de moedas usadas nessa arrumação. 
 
 
 
39) (UFPA) Determine a razão da P.G., cujos termos satisfazem as relações a1 + a3 + a5 = 5 e a2 + a4 +a6 = 10. 
 
 
40) (UDESC) Numa Progressão Aritmética de termos diferentes e positivos, o 1º termo, o 5º termo e o 21º termo 
formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Encontre a razão desta PG, justificando seus cálculos 
intermediários. 
GABARITO 
 
1) B 
 
2) B 
 
3) D 
 
4) D 
 
5) E 
 
6) E 
 
7) B 
 
8) D 
 
9) D 
 
10) C 
 
11) C 
 
12) E 
 
13) D 
 
14) D 
 
15) B 
 
16) C 
 
17) D 
 
18) A 
 
19) D 
 
20) D 
 
21) A 
 
22) B 
 
23) C 
 
 
24) C 
 
25) E 
 
26) n= 4715; i = 3; j = 1 
 
27) 78 
 
 
 
29 
 
 
28) 72 
 
29) 1 
 
30) -33 
 
31) 12 
 
32) 13 
 
33) 1950 g 
 
34) k=1/2 
 
35) 12, 5 metros 
 
36) 35 
 
37) q = 1/2 
 
38) R$63,10 
 
39) q = 2 
 
40) 4 
 
 
 
30 
 
MÓDULO 4 
 
EXERCÍCIOS DE PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
1) (UFPE) Um professor resolveu presentear seus cinco melhores alunos com livros de valores equivalentes a 
quantias diferentes. Os valores dos livros recebidos pelos alunos devem estar em progressão aritmética e a 
soma dos três valores maiores deve ser cinco vezes o total recebido pelos outros dois. Se cada um deve 
receber um livro de valor equivalente a uma quantidade inteira de reais, qual a menor quantia (positiva) que 
o professor vai desembolsar na compra dos livros? 
 
a) R$ 90,00 b) R$ 100,00 c) R$ 110,00 d) R$ 120,00 e) R$ 130,00 
 
 
2) (MACKENZIE) Se a sequência (2, 1/2, 4, 1/4, 6, 1/8, ....) é formada por termos de uma progressão aritmética 
alternados com os termos de uma progressão geométrica, então o produto do vigésimo pelo trigésimo 
primeiro termo dessa sequência é: 
 
a) 210 b) 1/28 c) 2 d) 1/220 e) 1/25 
 
 
3) (MACKENZIE) A quantidade de números naturais ímpares compreendidos entre 10 e 100, não divisíveis por 
3 e nem por 11, é: 
 
a) 25 b) 28 c) 26 d) 24 e) 27 
 
 
4) (UFRRJ) Dez minutos após acender uma lâmpada, ela começou a piscar a cada três minutos. Tem-se a 
previsão de que após 100 piscadas, seguidas, a lâmpada queima. Supondo que esta previsão esteja correta e 
que a lâmpada não foi desligada após ser acessa, pode-se afirmar que a lâmpada queimou após: 
 
a) 200 minutos do acendimento 
b) 10 horas e 21 minutos do acendimento 
c) 3 horas e 17 minutos do acendimento 
d) 4 horas e 31 minutos do acendimento 
e) 5 horas e 7 minutos do acendimento 
 
 
5) (UNIRIO) Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro-negro, o professor havia escrito 
os números naturais ímpares da seguinte maneira: 
 
 
 
O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima linha. 
Somando os números dessa linha, ele encontrou: 
 
a) 800 b) 900 c) 1000 d) 1100 e) 1200 
 
 
 
31 
 
6) (PUC/MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa caminha na pista de 670 metros que contornacerta praça. 
A cada dia, ela percorre sempre uma volta a mais do que no dia anterior. Se, após andar cinco dias, ela tiver 
percorrido um total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em torno da 
praça. O valor de x é: 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 
 
 
7) (CESGRANRIO) Os estrangeiros continuam longe do Brasil: 
 
 
 
Enquanto no mundo o número de turistas cresce, no Brasil ele diminui. Essa é uma das conclusões do relatório 
da Organização Mundial de Turismo, divulgado recentemente. 
(Revista Veja, 05 nov. 2003) 
 
Se as variações anuais no número de turistas estrangeiros apresentadas no gráfico acima formassem uma 
Progressão Aritmética, o número de turistas estrangeiros que visitariam o Brasil em 2003, em milhões, seria 
igual a: 
 
a) 1,2 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,9 e) 3,2 
 
 
8) (ITA) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem 
uma progressão aritmética de razão igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede, em graus: 
 
a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160 
 
 
9) (FUVEST) Sejam a e b números reais tais que: 
 
(I) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA; 
(II) 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG. 
 
Então o valor de a é: 
 
a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3 
 
 
10) (PUC/PR) Um balão viaja a uma altitude de cruzeiro de 6.600 m. Para atingir esta altitude, ele ascende 1.000 
m na primeira hora e, em cada hora seguinte, sobe uma altura 50 m menor que a anterior. Quantas horas 
leva o balonista para atingir a altitude de voo? 
 
a) 112 horas b) 33 horas c) 8 horas d) 20 horas e) 21 horas 
 
 
 
 
 
32 
 
11) (PUC/PR) Considere a sucessão dos números naturais múltiplos de 7 escrita sem separar os algarismos a 
seguir: 7142128354249... 
Qual o valor absoluto do algarismo que ocupa nesta sucessão o 76º lugar? 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
 
12) (MACKENZIE) As medidas dos ângulos assinalados na figura a seguir formam uma progressão aritmética. 
Então, necessariamente, um deles sempre mede: 
 
 
 
a) 108° b) 104° c) 100° d) 86° e) 72° 
 
 
13) (UFRS) As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual 
o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6? 
 
a) 12√2 b) 18 c) 20√2 d) 24 e) 30 
 
 
14) (UEL) O número 625 pode ser escrito como uma soma de cinco números inteiros ímpares e consecutivos. 
Nessas condições, uma das parcelas dessa soma é um número: 
 
a) menor que 120 
b) maior que 130 
c) quadrado perfeito 
d) divisível por 9 
e) múltiplo de 15 
 
 
15) (FUVEST) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 
4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo 
termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro 
termo das progressões é: 
 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 
 
16) (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo 
dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale: 
 
a) 3,0 b) 1,0 c) 1,5 d) -1,5 e) -3,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
17) (UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de 
coelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a 
quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação de 
coelhos a ser vendida é: 
 
a) 75% b) 80% c) 83,333% d) 87,5%e) 90% 
 
 
18) (IBMEC/RJ) Uma sequência de 5 (cinco) números inteiros é tal que: 
 
- Os extremos são iguais a 4; 
 - Os três primeiros termos estão em progressão geométrica e os três últimos em progressão aritmética; 
 - A soma desses cinco números é igual a 26. 
 
 É correto afirmar que a soma dos números em progressão geométrica é igual a: 
 
a) – 8 
b) – 2 
c) 8 
d) 12 
e) 16 
 
 
19) (UFV/MG) A superfície de certa folha vegetal aumenta 50% de semana em semana. Ao final de 5 semanas 
de controle, foi medida sua superfície e obteve-se 30 cm². A superfície atingirá exatamente 60 cm²: 
 
a) somente após a 10ª semana d) entre a 6ª e a 7ª semana 
b) entre a 9ª e a 10ª semana e) precisamente na 10ª semana 
c) entre a 7ª e a 8ª semana 
 
 
20) (UDESC) Sejam x, y, z números reais tais que a sequência (x, 1, y, 1/4, z) forma, nesta ordem, uma progressão 
aritmética, então o valor da soma x + y + z é: 
 
a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8 
 
 
21) (ENEM) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas 
numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir. 
 
 
 
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa 
propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa 
propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? 
 
a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285 
 
 
 
 
 
34 
 
22) (ENEM) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para 
montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada 
figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das 
figuras está representada a seguir: 
 
 
 
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? 
 
a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 c) C = 4Q – 1 d) C = Q + 3 e) C = 4Q – 2 
 
 
23) (UDESC, 2011) Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno 
permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria 
contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A 
diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam 
sarampo no: 
 
a) 9º dia b) 10º dia c) 8º dia d) 5º dia e) 6º dia 
 
 
24) (UFF 2010) Com o objetivo de criticar os processos infinitos utilizados em demonstrações matemáticas de 
sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos 
paradoxos mais famosos do mundo matemático. 
 
 
 
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da 
seguinte maneira: 
 
“Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes 
mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga 
corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a 
tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse 
milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr 
para sempre, sem alcançá-la.” 
 
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a: 
 
 
 
 
 
 
35 
 
É correto afirmar que: 
 
a) d = ∞ b) d=11,11 c) d=91/9 d) d= 12 e) 100/9 
 
 
25) (UFSM) Uma fábrica vendia 12 camisetas por mês para certa rede de academias desde janeiro de um 
determinado ano. Devido ao verão, essa venda foi triplicada a cada mês, começando em setembro e 
aumentando até dezembro. O total de camisetas vendidas nesse quadrimestre e a média de vendas, por 
mês, durante o ano, foram, respectivamente: 
 
a) 1536 e 128 
b) 1440 e 128 
c) 1440 e 84 
d) 480 e 84 
e) 480 e 48 
 
 
26) (UEPA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante 
em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar 
a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. 
Quanto esse cliente pagou de entradana aquisição desse carro? 
 
 
27) (UERJ) Observe a tabela de Pitágoras. 
 
 
 
Calcule a soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha. 
 
 
28) (FUVEST) 
 
a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000? 
b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? 
 
 
29) (UFG) Um tecido com 1 mm de espessura produzido continuamente por uma máquina é enrolado em um 
tubo cilíndrico com 10 cm de diâmetro. Nessas condições, expresse o comprimento total de tecido, em 
centímetros, enrolado no tubo em função do número de voltas dadas pelo tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
30) (UERJ) 
 
 
A figura acima apresenta 25 retângulos. Observe que quatro desses retângulos contêm números e um deles, 
a letra n. Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números inteiros positivos, de modo que, em 
cada linha e em cada coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco termos. 
 
Calcule: 
a) a soma dos elementos da quarta linha da figura; 
b) o número que deve ser escrito no lugar de n. 
 
 
31) (UNICAMP) A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as frequências de 87,9 a 107,9 
MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com frequências vizinhas. A cada emissora, 
identificada por sua frequência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 200. Desta 
forma, à emissora cuja frequência é de 87,9 MHz corresponde o canal 200; à seguinte, cuja frequência é de 
88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se: 
 
a) Quantas emissoras FM podem funcionar (na mesma região), respeitando-se o intervalo de frequências 
permitido pela ANATEL? Qual o número do canal com maior frequência? 
b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitárias. Qual a frequência do 
canal 285, supondo que todas as frequências possíveis são utilizadas? 
 
 
32) (UFF) A soma dos n primeiros termos da sequência de números reais a1, a2, ..., an, ... é n²/3, para todo 
inteiro positivo n. 
 
a) Verifique se a sequência é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética ou nenhuma das 
duas. Justifique sua resposta. 
b) Calcule o milésimo termo da sequência. 
33) (UFRJ) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o 
determinante da matriz: 
 
 
34) (UFG) Em uma gincana, 20 caixinhas estão distribuídas ao longo de uma pista retilínea, distantes 4 metros 
uma da outra. Um competidor, que se encontra a 5 metros da primeira caixinha, conforme a figura abaixo, 
deve correr até esta primeira caixinha, pegar um objeto e retornar ao local de partida. Em seguida, ele vai 
até a segunda caixinha, retira um objeto e retorna ao ponto de partida, e assim sucessivamente, até atingir 
a vigésima caixinha. 
 
 
 
37 
 
 
 
Quantos metros esse competidor deverá percorrer para realizar a prova? 
 
 
35) (UFG) A figura abaixo representa uma sequência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo 
perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, 
respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das 
alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente. Calcule as razões 
dessas progressões aritméticas. 
 
 
36) (UNESP) Um ângulo de 69°20' é dividido em dois ao meio. A seguir, um dos ângulos obtidos também é 
dividido em dois ao meio. E assim por diante. Se este processo é interrompido quando se obtém um ângulo 
1°5', determinar o número de divisões efetuadas. 
 
 
37) (UFBA) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do 
terceiro. Determine o quinto termo da progressão. 
 
 
38) (UFOP) Considere a sequência de figuras, na qual a área do primeiro quadrado é S. 
 
 
 
Qual é a soma de todas as áreas sombreadas da sequência? 
39) (UFF) Numa progressão geométrica (P.G.) decrescente o primeiro termo é um número real positivo e cada 
termo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da soma dos dois termos imediatamente anteriores. 
 
Determine a razão dessa P.G. 
 
 
40) (UFAL) Numa progressão aritmética crescente, cujo primeiro termo é 2, os termos a1, a4 e a10 estão em 
progressão geométrica. Determine a razão dessa progressão aritmética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
GABARITO 
 
1) A 
 
2) E 
 
3) E 
 
4) E 
 
5) C 
 
6) B 
 
7) C 
 
8) E 
 
9) E 
 
10) C 
 
11) C 
 
12) A 
 
13) D 
 
14) D 
 
15) D 
 
16) D 
 
17) D 
 
18) D 
 
19) D 
 
20) C 
 
21) D 
 
22) B 
 
23) B 
 
 
24) E 
 
25) B 
 
26) R$8.500,00 
 
27) 2520 
 
28) 
a) 100 
b) 140 
 
29) C(n) = 0,1π.n² + 9,9πn; onde n é o número 
de voltas dadas pelo tubo. 
 
30) 
a) 375 
b) 105 
 
31) 
a) 101; canal 300 
b) 104,9 MHz 
 
32) 
a) PA 
b) 1999/3 
 
33) zero 
 
34) 1720 metros. 
 
35) a=0,8 e b=-0,8 
 
36) 6 
 
37) a5 = 12 
 
38) 2S 
 
39) q = 1/2 
 
40) r = 2/3 
 
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