Matematica

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SUMÁRIO 
 
 
 
PARTE I – MATEMÁTICA 
 1. Números inteiros e racionais... ...... ...................................................................7 
 O conjunto dos números inteiros (Z). . .............................................................8 
 Operações com números inteiros... ... ..............................................................10 
 O conjunto dos números racionais (Q) ............................................................12 
 Operações com os números racionais.. . .........................................................13 
 2. Números e grandezas proporcionais... ...........................................................20 
 Razão e proporção... ................ ..........................................................................21 
 Divisão proporcional... ............ ..........................................................................24 
 Regra de três simples... ........... .........................................................................26 
 3. Porcentagem.......................... .............................................................................33 
 Juros simples e compostos... ........ ...................................................................40 
 Descontos... ....................... ................................................................................52 
 4. Equações e Inequações de 1º 2º graus. .. ........................................................59 
 Equação do 1º grau... .............. ..........................................................................60 
 Equação do 2º grau... .............. ..........................................................................61 
 Inequações de 1º grau... ............ ........................................................................64 
 Conjunto dos números reais (R)... .. ................................................................66 
 Intervalos numéricos... ............. .........................................................................67 
 Inequações de 2º grau... ............ ........................................................................68 
 5. Sistema Internacional de Medidas (SI) ... .........................................................72 
 Medidas de comprimento... ........... ....................................................................73 
 Medidas de superfície... ........... .........................................................................77 
 Medidas de volume... ............... .........................................................................79 
 Medidas de capacidade... ........... ......................................................................80 
 Medidas de tempo... ................. ..........................................................................81 
 
PARTE II – RACIOCÍNIO LÓGIGO 
 1. Noções básicas de lógica... ......... ....................................................................86 
 Conectivos... ....................... ................................................................................88 
 Negação... ......................... .................................................................................92 
 Tautologia e contradições... ....... ......................................................................93 
 2. Situações – problema envolvendo estru tura lógica... ...................................9 5 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 Conjunto dos números inteiros (Z) 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos 
números naturais, o conjunto dos números não positivos e o zero. Este 
conjunto é denotado pela letra Z. Este conjunto pode ser escrito por: 
 Z = {... -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...} 
 
 
 
 
 
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta 
numérica, conforme mostra o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
- 3 < - 2, (lê-se: menos três 
é menor que menos dois); 
 
 - 1 > - 2, (lê-se: menos um 
é maior que menos dois); 
 
O oposto de – 2 é 2 e vice 
versa; 
 
O oposto de +5 é 5 e vice 
versa. 
 
 
 
 
 
Igual maior ou menor? 
Por convenção na reta numérica os números são associados em ordem 
crescente, da esquerda para direita. 
• Um número é menor que qualquer outro representado à sua 
direita. 
• Um número é maior que qualquer outro representada à sua 
esquerda. 
Módulo de um número inteiro é a distancia da representação do número 
na reta até o zero. Indica-se o módulo de um número pelo símbolo . 
2 2− = , (lê-se: módulo de – 2 é 2 ), 2 2= , (lê-se: módulo de 2 é 2 ). 
– 2 é 2 são números diferentes, mas possuem o mesmo módulo, porque 
estão à mesma distância do zero. Eles são chamados simétricos ou 
opostos. 
Todo número natural é inteiro, dizemos que 
o conjunto IN é subconjunto de Z. 
 
Temos também outros subconjuntos de Z: 
Z* = Z-{0} 
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} 
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} 
 
Observe que Z+=IN. 
 
 9 
 
 
Exemplos: 
 
1. O gráfico mostra o resultado de uma partida de um jogo com 4 
participantes. Escreva os nomes dos participantes em ordem crescente 
de pontos. 
 
Números acima de zero são positivos (maiores que zero); 
Números abaixo de zero são negativos (menores que zero); 
Zeca, Clara, Marta e João estão na ordem crescente de pontos 
 
2. Desenhe um termômetro e marque ao lado as temperaturas registradas 
nas seguintes cidades: 
 
 
 Sugestão para a resposta: Faça uma linha vertical e 
coloque os números em ordem crescente 
de baixo para cima 
 
 
 
 
 
 
3. Associe V para as afirmações verdadeiras, F para as afirmações falsas: 
a) – 4 é maior que seu oposto ( F ), o oposto de – 4 é 4, logo – 4 < 4; 
b) – 9 é maior que o seu módulo ( F ), 9 9− = , logo – 9 < 9; 
c) 5 é menor que o oposto de – 8 ( V ), o oposto de – 8 é 8, logo 5 < 8; 
 
d) – 1500 é maior que o oposto de 2000 ( V ), o oposto de 2000 é – 2000, 
logo – 1500 > 2000. 
 
 
 
4. Represente com um número inteiro as seguintes situações: 
a) Ganhar 9 reais; +9 
b) Perder 20 pontos; - 20 
c) Subir 5 degraus; + 5 
d) Nascer em 600 anos antes de Cristo; - 600 
e) Atrasar 25 minutos. – 25 
 
 
 
 
Paris - 2 °C 
São Paulo 27 °C 
Rio de Janeiro 34 °C 
Nova York - 5 °C 
Campos do Jordão 11 °C 
34 °C 
27 
11 
 0 
- 2 
- 5 
 10 
 Operações com números inteiros (Z) 
 
 
Soma de números inteiros 
 
 
Regra dos sinais na soma: 
 
• Sinais Iguais : Somam-se os números prevalecendo o sinal. 
 
• Sinais Diferentes : Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do 
maior número em módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Clara tem 600 reais em sua conta bancária e faz, sucessivamente, 
as seguintes movimentações: 
 
• Retira R$ 73 
• Deposita R$ 19 
• Retira R$ 467 
• Retira R$ 125 
 
O saldo de Clara fica positivo ou negativo depois dessas movimentações? Em 
quanto? 
 
Resposta: as retiradas são representadas por números negativos e os 
depósitos por números positivos. 
 
600 – 73 +19 – 467 – 125 = 
= 600 + 19 – 73 – 467 – 125 = 
= 619 – 665 = 
= – 46 
O saldo de Clara fica negativo em R$ 46. 
 
 
 
 
 
(+3) + (+4) = (+7) 
(-3) + (-4) = (-7) 
(+8) + (-5) = (+3) 
(-8) + (+5) = (-3) 
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser 
dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nuncapode ser dispensado. Exemplos: 
(a) - 3 + 3 = 0 
(b) + 6 + 3 = 9 
(c) + 5 - 1 = 4 
 11 
Multiplicação de números inteiros 
 
Regra dos sinais para a multiplicação: 
 
• O produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo . 
 
• O produto de dois números de 
sinais diferentes é um número 
negativo . 
 
• Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à 
seguinte regra de Sinais 
 
 
 
Divisão de números inteiros 
 
 
Regra dos sinais para a divisão: 
A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às 
mesmas regras vistas para a multiplicação. 
Potenciação de números inteiros 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores 
iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. 
an = a × a × a × a × ... × a, a é multiplicado por a n vezes 
Exemplos: (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8, (-5)² = (-5) x (-5) = 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(+1) × (+1) = (+1) 
(+1) × (-1) = (-1) 
(-1) × (+1) = (-1) 
(-1) × (-1) = (+1) 
 
Você sabe por que (+). ( - ) = ( - ) ? 
 
 12 
 
 Conjunto dos números racionais 
 
 
 
 Por definição, número racional é todo número que pode ser expresso como 
quociente de dois inteiros, isto é, 
 ; , , 0
a
Q x x a Z b
b
 = = ∈ ≠ 
 
 
Os números 4; -3; ;
5
3
;
3
2 − 0.16; 1,2333... são racionais. Note que todo número 
inteiro é racional, isto é, Z ⊂ Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conjunto Z é subconjunto do conjunto Q 
 Outros subconjuntos de Q: 
• Q* é o conjunto dos números racionais 
diferentes de zero; 
• Q+ é o conjunto dos números racionais 
positivos e o zero; 
• Q- é o conjunto dos números racionais, 
negativos e o zero; 
• Q+* é o conjunto dos números racionais e 
positivos; 
• Q-* é o conjunto dos números racionais 
negativos. 
 
 
O número 0 é racional. De fato, zero pode ser escrito como o 
quociente inteiro zero por um inteiro diferente de zero. 
 13 
 
 Operações com números racionais 
 
 Adição e Subtração 
 
 Para simplificar a escrita, 
transformamos a adição e subtração 
em somas algébricas. Eliminamos os 
parênteses e escrevemos os números 
um ao lado do outro, da mesma forma 
como fazemos com os números 
inteiros. 
 
 Exemplo 1: Qual é a soma: 
 
 
17 5
24 6
17 5 17 5 17 20 3 1
24 6 24 6 24 24 24 8
   + −   
   
   + − = − = − = − =   
   
 
 
 
 
 
Multiplicação e divisão 
 
 Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por 
numerador, e denominador por denominador. 
 
 
7 4 28
9 5 45
 ⋅ − = − 
 
 
 
 Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo 
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: 
 
3 5 3 6 18 9
8 6 8 5 40 20
÷ = ⋅ = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o produto de duas frações é igual a 1, 
essas frações são inversas uma da outra. 
 
1
5
 é a inversa de 5 
8
3
 é a inversa de 
3
8
 
 14 
Potenciação e radiciação 
 
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado 
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, 
conforme os exemplos abaixo: 
 
 
2 2
2
4
2 2
3 3 9
5 5 25
1 1
2 16
2 3 9
3 2 4
81 81 9
4 24
−
  = = 
 
 − = 
 
   = =   
   
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção: 
Que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par 
é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado 
a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal. 
 Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a 
elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ 
pode ser lida como: "a elevado ao cubo". 
Raiz quadrada de um número inteiro a b= porque 
2b a= , a Z∈ . Todo número ao quadrado é positivo. Logo, não 
existem raízes quadradas de números negativos pertencentes a Z. 
25 5= porque 25 25= 
 
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, 
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. 
 
 
Para resolvermos uma expressão numérica, efetuamos as operações 
obedecendo à seguinte ordem: 
 
Expressões sem parênteses 
1º Potenciação e radiciação, na ordem em que aparecem; 
2º Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem; 
3º Adição e subtração, na ordem em que aparecem; 
 
Expressões com parênteses, colchetes ou chaves. 
1º Calculamos o que estiver em parênteses; 
2º Calculamos o que estiver em colchetes; 
 3º Calculamos o que estiver entre chaves 
 15 
 
 
 
Exercícios de expressões numéricas 
 
 
1. Calcule o valor das seguintes 
expressões: 
 
a) 14 – (7 – 6) + (8 – 5) R: 16 
b) – 10 – (- 7 + 4 – 6) R: – 1 
c) 18 – (- 12 + 3 – 7 – 4) – 1R:37 
 
 
2. Calcule o valor das seguintes 
expressões: 
 
a) 20 – {- 2 + [1 + (+ 9 – 5) – 2] + 15 – 9} 
R:13 
 
b) – 30 – {- 4 – [- 8 + (- 6 + 12 – 2) + 2]} 
R: - 28 
 
 
3. Calcule: 
 
a) 1,6 + 3,15 R: 4,75 
b) 1,6 – 3,15 R: - 1,55 
c) – 1,6 – 3,15R: - 4,75 
 
 
4. (ESC.TEC.FED-SP) Simplificando a 
expressão 











 −










 −+ 1
3
2
:3:2
5
1
1 , 
temos:R: letra c 
a) 
12
5
 c) 
5
6− 
b) 
21
20
 d) 
15
13− 
 
 
5. (FGV-SP) A expressão 
3
1
2
−
 
 
 
+
5
1
2
−
 
 
 
é 
igual a:R: letra a 
a) 40 
b) 
40
1
 
c) -40 
d) 
8
1
2
−
 
 
 
 
 
6. (MACK-SP) A expressão 
( )
2
1
5
1
3
3
2
3²5
2
0
2
++





+−−
−
 é igual a: 
 
R: letra d 
a) 
17
3150
 c) – 90 
b) 
3150
17
 d) 
73
1530
 
 
7. (Cesgranrio) Calcule o valor da 
expressão 
7 2
0,333... 2
2 3
 + − + 
 
 
R: 
7
6
 
8. O valor da expressão 




 +⋅
4
1
3
1
7
3
é: 
a) 
2
1
 b) 
8
1
 c) 
4
1
 d) 
19
10
 
 
R: letra a 
9. (PUC-SP) O valor da expressão 
( )
3
)2(9
)4(510








−+
−−+−
é: 
 
a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 
 
R: - 1 
 
 
 Espaço reservado para seus registros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 Resolução de problemas 
 
 
1. Um submarino encontra-se a –228 
m de profundidade. Depois de 
algum tempo está a –184 m. O 
submarino subiu ou desceu? 
Escreva uma adição algébrica que 
resulte na posição atual do 
submarino. 
 
2. (TRT 4ª REGIÃO 2006) Um 
armário tem 4 prateleiras. Do total 
de processos que um auxiliar 
judiciário deveria arquivar nesse 
armário, sabe-se que: 1/5 foi 
colocado na primeira prateleira, 1/6 
na segunda, 3/8 na terceira e os 62 
processos restantes na quarta. 
Assim sendo, o total de processos 
arquivados era. 
A. 240 
B. 210 
C. 204 
D. 120 
E. 105 
 
3. Uma secretária deveria telefonar 
para todos os clientes de sua 
empresa. Pela manhã, ela fez 1/3 
dos telefonemas; à tarde, 
conseguiu fazer 3/5 dos restantes. 
Que fração do serviço ainda 
precisa ser feita? 
4. Um reservatório é alimentado por 
duas torneiras A e B: a primeira 
possui uma vazão de 38 litros por 
minuto e a segunda 47 litros por 
minuto. A saída da água dá-se 
através de um orifício que deixa 
passar 21 litros por minuto. 
Deixando abertas as duas torneiras 
e a saída da água, o reservatório 
se enche em 680 minutos. Qual o 
volume do reservatório? 
 
 
Cálculos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
5. Pedro saiu de casa e fez compras 
em quatro lojas, cada uma num 
bairro diferente. Em cada uma 
gastou a metade do que possuía e 
a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de 
estacionamento. Se no final ainda 
tinha R$ 8,00, que quantia tinha 
Pedroao sair de casa? 
 
 
 
6. O preço de uma corrida de táxi é 
igual a R$2,50 ("bandeirada"), mais 
R$0,10 por cada 100 metros 
rodados. Tenho apenas R$10,00 
no bolso. Logo tenho dinheiro para 
uma corrida de até: 
 A) 2,5 k B) 5,0 km 
 C) 7,5 km 
 D) 10,0 km E) 12,5 km 
 
7. Uma empresa de telefonia celular 
oferece planos mensais de 60 
minutos a um custo mensal de R$ 
52,00, ou seja, você pode falar 
durante 60 minutos no seu telefone 
celular e paga por isso exatamente 
R$ 52,00. Para o excedente, é 
cobrada uma tarifa de R$ 1,20 
cada minuto. A mesma tarifa por 
minuto excedente é cobrada no 
plano de 100 minutos, oferecido a 
um custo mensal de R$ 87,00. Um 
usuário optou pelo plano de 60 
minutos e no primeiro mês ele falou 
durante 140 minutos. Se ele tivesse 
optado pelo plano de 100 minutos, 
quantos reais ele teria 
economizado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
8. O gráfico a seguir apresenta 
informações sobre o impacto 
causado por 4 tipos de monocultura 
ao solo. Para cada tipo de 
monocultura, o gráfico mostra a 
quantidade de água, em litros, e a 
de nutrientes (nitrogênio, fósforo e 
potássio), em quilogramas, 
consumidos por hectare para a 
produção de 1kg de grãos de soja 
ou 1kg de milho ou 1kg de açúcar 
ou 1kg de madeira de eucalipto. 
Sobre essas monoculturas, pode-
se afirmar que: 
água nutrientes
soja milho eucaliptocana-de-
açucar
0
500
1000
1500
2000
 
A) O eucalipto precisa de cerca de 
1/3 da massa de nutrientes 
necessários de que a cana-de-
açúcar precisa para se 
desenvolver. 
B) O eucalipto é a que mais seca e 
empobrece o solo, causando 
desequilíbrio ambiental. 
C) O milho precisa do dobro do 
volume de água de que precisa a 
soja. 
 
 
Espaço reservado para seus registros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 Subiu 44m 
2 A 
3 1/ 15 
4 680x64 = 43520 litros 
5 R$ 160,00 
6 C 
7 R$ 13,00 
8 A 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
 Razão e proporção 
 
Grandeza 
È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a 
variação de um, como conseqüência o outro varia também. 
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por 
exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos 
lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. 
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo 
maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir 
em seu percurso realizado. 
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um 
determinado tempo depende do número de operários empregados e 
trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir. 
 
Razão 
Desta forma, considere um carro qualquer com 3m de comprimento e um 
carro de kart com 2 m de comprimento. Para se fazer a comparação entre as 
medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Logo: 
3
1,5
2
= (Nota-se que o carro de corrida é 1,5 x maior que o tamanho do carro 
de kart). 
 Uma razão pode ser representada 
também da seguinte forma , 0
a
b
b
≠ . 
Na definição acima os termos são: 
a = chamado de antecedente 
b = chamado de conseqüente 
Exemplo: a razão de 9 para 12 é 
A palavra razão tem origem latina 
“latim” e tem como significado 
“dividir, divisão”. 
 
 Importante! 
 
 1. Lê-se: nove está para doze 
sendo que o 1 º número é 
antecedente e 2º número é 
conseqüente. 
2. Quando o antecedente de uma 
razão for igual ao conseqüente de 
outra, ou vice-versa, dizemos que 
formam duas razões inversas. Ex: 
c/d e d/c 
 
 22 
9 3
12 4
= 
Proporção – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas 
razões. 
 
3 6
2 4
= 
 Obs.: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da 
proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes 
e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de 
uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extremos. 
 
Propriedade Fundamental da proporção 
 Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos 
extremos. 
3 6
2 4
= , 3 4=6 2⋅ ⋅ , lê-se: 3 está para 2 assim como 6 está para 4. 
Exemplos: 
1. A razão entre 0,20 e 2 é : 
 
0, 20 10 1
0,10
2 100 10
= = = (1 está para 10) 
 
2. A razão entre 
1
3
 e 
4
7
 é: 
 
1
1 7 73
4 3 4 12
7
= ⋅ = 
3. A razão entre 6 e 
1
4
 é: 
 
6 4 24
6
1 1 1
4
= ⋅ = 
 
 
 
 23 
4. Se 
7 x
=
8 40
, calcule o valor de x. 
 
8 7.40
8 280
280
8
35
x
x
x
x
⋅ =
=
=
=
 
 
 5. A área de um retângulo é de 150m² e a razão da largura para o 
comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas. 
 Resolução 
a = largura, b = comprimento 
A = a.b (fórmula da área do retângulo) 
2
2
2
150,
2 2
,3 2 ,
3 3
150
2
150
3
2 150 3
2 450
450
2
225
15
150
15 150
150
15
10
A a b
a b
a b a
b
ab
b
b
b
b
b
b
b
ab
a
a
a
= ⋅ =
= = =
=
⋅ =
= ⋅
=
=
=
=
=
=
=
= 
As medidas do retângulo são: base igual a 10 e altu ra igual a 15. 
 
 
 Divisão proporcional 
 24 
 
 
Grandeza Diretamente Proporcional 
È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que 
são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação 
ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido. 
 Exemplos: 
1. 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então 
ela pagará “02 y”. 
2. Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se 
ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o 
preço unitário de R$ 0,10. 
 Grandeza Inversamente Proporcional 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de 
uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, 
porém, em sentido e direção contrários. 
Exemplo: Velocidade e tempo. 
Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros 
em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará 
apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. 
 
Aplicações de Grandezas Proporcionais 
 
1. Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de 
um bingo. Observe a tabela e responda: 
 
a. Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 
para o prêmio de R$150.000,00? 
Resposta: 3
4
 
b. Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 
acertadores e 4 acertadores? 
Número de acertadores Prêmio 
3 R$ 200.000,00 
4 R$ 150.000,00 
 25 
Resposta: 4
3
 
c. O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais? 
Resposta: Inversamente proporcionais 
 
 
2. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 
72, 128. Determine os números x e y. 
Resposta 
32
40 72 128
32
40 128
128 32 40
128 1280
1280
10
128
18
x y
x
x
x
x
y
= =
=
= ⋅
=
= =
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
 Regra de Três Simples 
 
 
 
 
Regra de três simples 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que 
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, 
determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
Passos utilizados numa regra de três simples 
· Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em 
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. 
· Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
· Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
1. Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo 
tecido? 
 
 
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o 
metro dotecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. 
 
 
8 156
12 x
= 
Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. 
A quantia a ser paga é de R$234,00. 
REGRA DE TRÊS 
Consta na história da matemática que os 
gregos e os romanos conhecessem as 
proporções, porém não chegaram a aplicá-las 
na resolução de problemas. 
Na idade média, os árabes revelaram ao 
mundo a regra de três. Nos século XIII, o 
italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios 
dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o 
nome de Regra de Três Números Conhecidos. 
 27 
 
2. Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a 
velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o 
mesmo percurso? 
 
 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a 
velocidade o tempo diminui na razão inversa. Resolução: 
60
80 4
x= 
 
O tempo a ser gasto é 3 horas. 
 
 
 Resolução de problemas 
 
 
1. (ESAF) Um homem dá um salto 
de 0,4m para cima, ao mesmo 
tempo em que uma pulga dá um 
pulo de 400mm. A razão entre os 
saltos é: 
a) 2 
b) 1 
c) 3 
d) ½ 
e) 4 
2. (B.B) Uma empresa possui 
atualmente 2.100 funcionários. Se 
a relação entre o número de 
efetivos e contratados é de 5 por 
2, quantos são os efetivos? 
a) 600 
b) 1.000 
c) 1.500 
d) 1.600 
e) 1.800 
 
3. (FURNAS) A razão entre as idades 
de um pai e seu filho é de 5/2. Se 
o pai tinha 21 anos quando o filho 
nasceu, qual é a idade do filho? 
a) 14 
b) 16 
c) 24 
d) 28 
e) 35 
 
4. (ESAF) A soma das idades de um 
pai, de um filho e de um neto é de 
105 anos. Sabendo-se que a idade 
do pai está para 8, assim como a o 
filho está para 5 e do neto está 
para 2, a idade, em anos, de cada 
um é, respectivamente: 
a) 66, 29 e 10 
b) 62, 31 e 12 
c) 56, 37 e 12 
d) 56, 35 e 14 
e) 58, 38 e 9 
 
5. 10. (B.B) Se dois capitais estão 
entre si na razão de 8 para 3 e o 
 28 
maior deles excede o menor em $ 
25.000,00, então a soma desses 
capitais é de: 
a) $ 75.000,00 
b) $ 65.000,00 
c) $ 40.000,00 
d) $ 60.000,00 
e) $ 55.000,00 
 
6. (T.R.F) Em duas caixas d’água há 
6.600 litros de água. Determine as 
capacidades das caixas em litros, 
sabendo que as suas capacidades 
estão , entre si, como três está 
para cinco. 
a) 3.125 e 3.475 
b) 4.200 e 2.400 
c) 4.225 e 2.375 
d) 4.125 e 2.475 
 
7. (CPTeorema) Determine a quarta 
proporcional entre os números 4, 7 
e 12. 
 
8. (CPTeorema) Com a definição de 
razão, fração e divisão, pode-se 
afirmar que: 
a) razão = fração = divisão 
b) razão = fração divisão 
c) razão fração = divisão 
d) razão fração divisão 
 
9. (T.F.R.) Uma estrada está 
representada por 15 cm em um 
mapa de escala 1/20.000. O 
comprimento real dessa estrada é: 
a) 3 km 
b) 30 km 
c) 300 m 
d) 3.000 cm 
e) 30.000 dam 
 
10. (UNICAMP) Na planta de um 
edifício em construção, cuja escala 
é 1:50, as dimensões de uma sala 
retangular são 10cm e 8cm. 
Calcular a área real da sala 
projetada. 
a) 40cm2 
b) 20m2 
c) 8m2 
d) 4m2 
 
11. Determine os antecedentes de 
uma proporção cujos 
conseqüentes são 6 e 8, sabendo 
que a soma dos quatro termos é 
84. 
 
12. A miniatura de um automóvel foi 
construída na escala de 1 :40. Se 
a roda do automóvel tem raio de 
48 cm, qual o diâmetro de cada 
roda da miniatura? 
 
13. (CFS) Um segmento de 17,1 m é 
representado num desenho em 
escala 1:90. O tamanho do 
segmento desenhado é: 
a) 9 m 
b) 9 cm 
c) 19 m 
d) 19 cm 
e) 19 dm 
 
14. (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m 
de comprimento é representado, 
em escala por um modelo de 3 cm 
de comprimento. Determine a 
altura do modelo que representa, 
na mesma escala uma casa de 
3,75 m de altura. 
 
15. Em uma maquete de um estádio 
de futebol, uma torre de 
iluminação de altura 18 metros é 
representada por um palito de 3,6 
centímetros de comprimento. Qual 
foi a escala utilizada? 
 
16. Um mapa foi construído na escala 
de 1: 250.000. Observando a 
posição de duas cidades que, no 
mapa, distam 8 cm, podemos dizer 
que na realidade a distância entre 
as duas cidades, em quilômetros, 
é aproximadamente igual a: 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
 29 
d) 16 
e) 20 
 
17. Um mapa rodoviário foi feito 
utilizando uma escala de 1 : 1 
00000. Se neste mapa uma cidade 
A dista 40 cm de uma outra cidade 
B, qual a distância real entre essas 
cidades? 
 
18. Qual a escala em que foi 
construída a planta de uma casa, 
sabendo-se que uma porta de 
altura de 2,4 m é representada por 
uma de 0,6 cm de altura? 
 
19. (CFS) Na proporção (x – 1) : (4x -
1) :: 5 : 2 ,o valor de x é um 
número: 
a) maior que dois 
b) inteiro menor que dois 
c) fracionário, não inteiro e maior 
que dois 
d) dois 
e) fracionário, não inteiro e menor 
que dois 
 
20. (CFS) A idade de um pai, somada 
com a de seu filho, dá 45 anos. 
Sabendo-se que a idade do filho 
está para a idade do pai assim 
como 1 está para 4, podemos 
dizer que as idades são: 
a) 9 anos e 36 anos 
b) 8 anos e 32 anos 
c) 8 anos e 37 anos 
d) 6 anos e 39 anos 
 
21. (CFS) Os preços de duas peças 
de fazenda estão entre si como 7 
para 8. Sabendo-se que o triplo do 
preço de uma delas menos o 
dobro do preço da outra vale $ 
50,00, os preços dessas peças 
são: 
a) $ 60,00 e $ 70,00 
b) $ 80,00 e $ 90,00 
c) $ 70,00 e $ 80,00 
d) $ 30,00 e $ 40,00 
e) $ 50,00 e $ 60,00 
 
22. (CFC-2007) Para fazer um 
desenho animado, uma equipe de 
desenhistas usou 
aproximadamente 500 km de folha 
de papel. Sabendo que cada folha 
era quadrada e tinha 32 cm de 
comprimento, o número de folhas 
utilizadas, aproximadamente, em 
milhão, foi: 
a) 1,8. 
b) 1,6. 
c) 1,2. 
d) 0,9. 
 
23. (CFC-2008) A razão entre os lados 
homólogos de dois triângulos é 
5/2. Se os lados do menor medem 
3 cm, 5 cm e 6 cm, os do maior 
triângulo, em cm, medem : 
a) 7,5; 12,5 e 15. 
b) 7,5; 10 e 12. 
c) 7; 12 e 15,5. 
d) 7; 12,5 e 15. 
 
24. (CFC-2008) Para que os números 
racionais 2y; 7; 4,2 e 3,5 formem 
nessa ordem uma proporção, o 
valor de y deve ser 
a) 4,2. 
b) 3,8. 
c) 3,2 
d) 2,8 
 
25. (CFC-2008) A razão entre o 
complemento e o suplemento de 
um ângulo é 2/7. Esse ângulo 
mede 
a) 28°. 
b) 32°. 
c) 43°. 
d) 54°. 
 
26. (CPTeorema) A razão entre o 
número de vagas para Cabo da 
Aeronáutica 2009 e o número de 
candidatos inscritos na 
especialidade de administração é 
de 2/29 . Sabendo-se que o total 
 30 
de inscritos foi de 493, quantas 
vagas há para o cargo: 
a) 30 
b) 31 
c) 32 
d) 33 
e) 34 
 
27. (CFS) Os números 4, 8, 6 e 11 
formarão, nesta ordem, uma 
proporção, se forem somados a 
um número: 
a) par 
b) ímpar 
c) primo 
d) divisor de 10 
e) múltiplo de 7 
 
28. (CPTeorema) Determine a terceira 
proporcional entre os números 7 e 
21, sendo 21 a média geométrica. 
 
29. Ao longo dos 3.000 km do 
percurso de um rali, um 
competidor usou os quatro pneus 
e mais o estepe de seu carro. Se 
todos os cinco pneus rodaram a 
mesma quilometragem, o número 
de quilômetros que cada um deles 
percorreu foi: 
a)600 
b)750 
c)1.200 
d)1.500 
e) 2.400 
 
30. Uma operadora de telefone celular 
cobra uma tarifa de R$ 0,40 por 
minuto de ligação e uma de 
telefone fixo, R$ 0,16 pelo pulso 
de 4 minutos. Comparando-se os 
dois valores, conclui- se que a 
razão entre a tarifa do celular e a 
do fixo é: 
a)8 
b)10 
c)15 
d) 29 
 
31. O produto de três números é 648. 
Sendo esses números 
proporcionais a 2, 3 e 4, sua soma 
é igual a: 
a)30 
b)27 
c)18 
d) 9 
 
32. Um determinado trabalho é feito 
por João em 9 dias, por José em 
12 e por Pedro em 18. O número 
de dias que os três juntos 
gastariam para executar esse 
trabalho é: 
a)4 
b)6 
c)7 
d) 8 
 
33. Para encher um recipiente de 5 
litros, uma torneira gasta 12 
segundos. Uma segunda torneira 
gasta 18 segundos para encher o 
mesmo recipiente. Nestas 
condições, para encher um tanque 
de 1000 litros, usando as duas 
torneiras ao mesmo tempo, serão 
necessários:a)20minutos. 
b)24minutos. 
c)33minutos. 
d)50minutos. 
e) 83 minutos. 
 
34. Roberto é arquiteto recém-
formado e trabalha no 
Departamento de Obras e Projetos 
de uma Prefeitura. Ele construiu 
uma maquete de uma praça da 
cidade na escala 1:20. Um 
sobrado de 7 m de altura, 
representado na maquete é em 
cm: 
a)350 
b)200 
c)35 
d)20 
e) 0,20 
 31 
 
35. Se 6 litros de suco forem 
misturados com água, na 
proporção de duas partes de suco 
para quatro de água, a quantidade 
de refresco obtida, em litros, será 
igual a: 
a)18 
b)24 
c)30 
d) 36 
 
36. Uma verba de R$ 2.700.000,00 
deve ser dividida entre os 
municípios A, B e C em partes 
proporcionais ao número de 
matrículas no Ensino Fundamental 
de cada um deles. O número de 
alunos matriculados de A é o 
dobro do número de alunos 
matriculados de B que, por sua 
vez, tem o triplo do número de 
matrículas de C. Com base 
nessas informações, pode-se 
afirmar que o município A deverá 
receber, em milhares de reais, 
uma quantia igual a: 
a)270 
b)810 
c)1270 
d) 1620 
 
37. O proprietário de um carro 
bicombustível verificou que 
percorria a mesma distância 
gastando 60 litros de álcool ou 42 
litros de gasolina. Concluiu, então, 
que só seria vantajoso abastecer o 
veículo com gasolina quando a 
razão entre o preço do litro do 
álcool e o preço do litro da 
gasolina fosse: 
a)menor que 0,4. 
b)maior que 0,4 e menor que 0,5. 
c)maior que 0,5 e menor que 0,6. 
d)maior que 0,6 e menor que 0,7. 
e) maior que 0,7. 
 
38. (CFO-93) Se uma vela de 36 cm de 
altura, diminui 1,8 mm por minuto, 
quanto tempo levará para se consumir? 
a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36 min 
d) 3h 20 min e) 3h 18min 
39. (SESD-94) 30 operários deveriam 
fazer um serviço em 40 dias. 13 dias 
após o início das obras, 15 operários 
deixaram o serviço. Em quantos dias 
ficará pronto o restante da obra? 
a) 53 b) 54 
c) 56 d) 58 
 40. (FESP-96) Doze operários, em 90 
dias, trabalhando 8 horas por dia, 
fazem 36m de certo tecido. Podemos 
afirmar que, para fazer 12m do mesmo 
tecido, com o dobro da largura, 15 
operários, trabalhando 6 horas por dia 
levarão: 
a) 90 dias b) 80 dias c) 12 dias 
d) 36 dias e) 64 dias 
 41. (Colégio Naval) Vinte operários 
constróem um muro em 45 dias, 
trabalhando 6 horas por dia. Quantos 
operários serão necessários para 
construir a terça parte desse muro em 
15 dias, trabalhando 8 horas por dia? 
a) 10 b) 20 c) 15 
c) 30 e) 6 
 
 42. (EPCAr) Um trem com a 
velocidade de 45km/h, percorre certa 
distância em três horas e meia. Nas 
mesmas condições e com a velocidade 
de 60km/h, quanto tempo gastará para 
percorrer a mesma distância? 
a) 
2h30min18s 
b) 2h37min8s 
c) 
2h37min30s 
 32 
d) 
2h30min30s 
e) 
2h29min28s 
 
 
 43. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 
12 dias montando 16 máquinas, então, 
nas mesmas condições, 15 homens 
montam 50 máquinas em: 
a) 18 dias b) 3 dias c) 20 dias 
d) 6 dias e) 16 dias 
 
 44. (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 
barracões em 30 dias, trabalhando 6 
horas por dia. O número de horas por 
dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros 
para fazerem 10 barracões em 20 dias 
é: 
a) 8 b) 9 c) 10 
d) 12 e) 15 
 45. (UFMG) Ao reformar-se o assoalho 
de uma sala, suas 49 tábuas corridas 
foram substituídas por tacos. As tábuas 
medem 3 m de comprimento por 15 cm 
de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. 
O número de tacos necessários para 
essa substituição foi: 
a) 1.029 b) 1.050 c) 1.470 
d) 1.500 e) 1.874 
 46. (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e 
15 seg a cada hora. No final de um dia 
ele atrasará: 
a) 24 min b) 30 min c) 32 min 
d) 36 min e) 50 min 
 
Gabarito 
1) B 2) C 3) A 4) D 5) E 6) 
D 7) 21 8) D 9) A 10) B 11) 
30 e 40 12) 2,4 cm 13) D 14) 
2,5 cm 15) 1:500 16) E 17) 
40km 18) 1:400 19) E 20) A 
21) C 22) B 23) A 24) A 25) 
D 26) E 27) A 28) 63 29) E 
30) B 31) B 32) A 33) B 34) 
C 35) A 36) D 37) E 38) D 
39) B 40) E 41) C 42) C 43) C 
44) D 45) C 46) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
 
 Porcentagem 
 
 
No nosso dia a dia nos deparamos com expressões que refletem acréscimos 
ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 
100 unidades. Veja algumas situações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razão centesimal ou percentual 
Toda a razão que tem como conseqüente ou denominador o número 100 é 
chamada de razão centesimal ou percentual. Veja abaixo: 
7 16 125 210
, , ,
100 100 100 100
 
Uma razão centesimal também pode ser representada de outras maneiras. 
 
Veja abaixo: 
 
A gasolina teve um aumento de 20%. 
Significa que em cada R$1,00 houve 
um acréscimo de R$20,00. 
 
O cliente recebeu um desconto de 
10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$1,00 foi 
dado um desconto de R$10,00. 
 
 
Os óleos parafínicos são os que 
apresentam um teor de resinas e 
asfaltenos entre 5 e 15 %. Ou seja, 
em cada 1 ml de óleo há entre 5 e 
15 de resina e asfaltenos. 
 35 
 
Os resultados 7%, 16% e 125% foram obtidos através da divisão dos 
numeradores pelos denominadores. 
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais . 
 
 
 
Considere o seguinte problema: 
Os óleos parafínicos são excelentes para a produção de querosene de aviação 
(QAV), diesel, lubrificantes e parafinas. Apresentam um teor de resinas e 
asfaltenos1 entre 5 e 15 % em cada litro. Em um recipiente de 20 litros, qual o 
valor estimado para 12% de resinas presentes na mistura? 
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (12%) sobre 
a quantidade de óleo do recipiente. 
 
 
 
Portanto, em 20 litros de óleo há 2,4 de resinas, que representam a 
porcentagem procurada. 
 Logo, porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um 
determinado valor. 
 Exemplos: 
• Calcular 10% de 300. 
 
 
 
 
 
1 Os asfaltenos são produtos oriundos do petróleo que apresentam estruturas moleculares complexas que 
tendem a formar agregados que floculam e precipitam de acordo com as condições físico-químicas do 
meio que se encontram. 
Você sabe resolver 
problemas com 
porcentagem? Vamos ver 
alguns? 
 
litros
1 2 2 41 2 2 41 2 2 41 2 2 41 2 % d e 2 0 = . 2 0 = = 2 , 41 2 % d e 2 0 = . 2 0 = = 2 , 41 2 % d e 2 0 = . 2 0 = = 2 , 41 2 % d e 2 0 = . 2 0 = = 2 , 4
1 0 0 1 01 0 0 1 01 0 0 1 01 0 0 1 0 
 
10
10% 300 . 300 30
100
de = =
 
 36 
 
• Calcular 25% de 200 kg. 
 
 
 
• Calcular 5% de 
3
4
 
 
 
 
• Quantos por cento 35 representa de 700? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de resoluções de problemas: 
 
1. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, 
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador 
fez? 
SOLUÇÃO: 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 
2. Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por 
R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? 
SOLUÇÃO: 
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou 
em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00. 
3 5 3 15 3
5 % de = . = = = 0, 0375
4 100 4 400 80
 
25
25% 200 . 200 25. 2 50
100
de = = =
35 é x% de 700. Mas quanto é x? Precisamos encontrar 
uma fração equivalente a 
35
700
 cujo denominador seja 
100. Para isso, basta dividir ambos os termos da fração 
acima por 7. Ou seja, 
35 : 7 5
5%
700 : 7 100
= = 
 37 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
3) No almoxarifado de uma loja de calçados, 32% do estoque são de sapatos 
infantil. Os outros 1700 pares restantes, são sandálias de adulto.Quantos 
calçados há no almoxarifado dessa loja. 
SOLUÇÃO: 
O total de calçados corresponde a 100%, ou seja, 32% infantil e x% adulto.Assim, 100% - 32% = 68%. Portanto, os 1700 pares de calçados correspondem a 68% do total. 
Logo, aplicando os conhecimentos de regra de três simples, temos: 
1700 68% 
Y 100% 
 Y = 
1700 .100
2500
68
= 
2500 pares de calçados 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
Um outro exemplo é quando, 
há um acréscimo de 10% a 
ser dado em um determinado 
valor. Nesse caso, podemos 
calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 
1,10, que é o fator de 
multiplicação. Se o acréscimo 
for de 20%, multiplicamos por 
1,20, e assim por diante. Veja 
a tabela 
 
 38 
 Veja a tabela 
 
 
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00 
 
 
 Resolução de problemas 
 
1. Quanto é 30% de R$ 420,00? 
 
 2. Na lanchonete, um sanduíche que 
custava R$ 2,80 teve seu preço 
aumentado em 25%. Esse sanduíche 
passou a custar: 
 
3. Sabendo que 104 alunos de uma 
escola correspondem a 20% do total, 
Quantos alunos têm a escola? 
4. 121 é quanto por cento de 550? 
 
5. Numa eleição com 2 candidatos, 
votaram 3850 eleitores. O candidato A 
obteve 1032 votos e B obteve 2048 
votos. Qual foi a porcentagem de votos 
nulos ou em branco? 
 
6. O cafezinho vendido na rede Café 
Expresso aumentou de R$ 1,60 para 
R$ 1,70. Esse aumento, em termos 
percentuais, foi de aproximadamente: 
 
7. Se 35% de todo o meu dinheiro 
correspondem a R$ 105, quanto 
possuo no total? 
 
8. O preço de um artigo em promoção 
sofreu um desconto de 20%. 
Terminada a promoção, foi aumentado 
em 20%. Seu preço atual é: 
A) igual ao inicial 
B) 98% do inicial 
C) 96% do inicial 
D) 92% do inicial 
E) 90% do inicial 
 
9. Assinale a sentença verdadeira: 
A) 6% = 0,6 
B) 13% = 1,3 
C) 140% = 1,4 
D) 20,5% = 0,0205 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 39 
 
10. Uma TV LCD foi comprada por R$ 
6.000,00 e vendida meses depois por 
R$ 5.160,00. Determine a porcentagem 
de prejuízo nessa venda. 
 
11. Em um concurso havia 15000 
homens e 10000 mulheres. Sabe-se 
que 55% dos homens e 60% das 
mulheres foram aprovados. Do total de 
candidatos, quanto por cento foram 
reprovados? 
12. Qual o valor de uma fatura pela 
qual se pagou R$ 1.900,00, sabendo-
se que o vendedor concordou em fazer 
um abatimento de 5%? 
13. ( Cesgranrio/BB – 1999) Um 
automóvel foi comprado por R$ 
20.000,00 e sofreu desvalorização de 
20% ao ano. O seu valor, em reais, 
após 3 anos será: 
A) R$ 10.240,00 
B) R$ 8.192,00 
C) R$ 6.553,60 
D) R$ 5.242,88 
E) R$ 4.194,30 
14. Rosane digitou 
1
5
das páginas de 
um material para estudos e Dilcléia 
digitou 
1
4
do número de páginas 
restantes. A porcentagem de X páginas 
que deixaram de ser digitadas é de : 
A) 20% 
B) 25% 
C) 45% 
D) 50% 
E) 60% 
 
Gabarito 
1 126 8 C 
2 R$3,50 9 C 
3 520 10 14% 
4 22% 11 42% 
5 20% 12 R$2000 
6 6,25% 13 A 
7 300 14 E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
 Juros simples e compostos 
 
JUROS SIMPLES 
 
 O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas 
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão 
novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial 
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. O regime de Juros 
Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. 
Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o 
regime de juros compostos. 
A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é: 
 
 
 
Sendo que: 
J = juros c = capital i = taxa de juros t =número de 
períodos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J = c . i . t 
 
ATENÇÃO: a taxa deve ser sempre 
compatível com a unidade de tempo 
considerada. Por exemplo, se a taxa for 
de 4%a.m., para um prazo de 60 dias 
adotaremos t = 2 (2 meses). 
 
 41 
 Exemplos: 
1- Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. 
pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que 
pagarei serão: 
 C = R$1.000,00 J = c . i . t 
 i = 8% a m = 0,08 → J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
 t = 2 m J = R$ 160,00 
2- Qual é o capital que rende R$ 6.270,00 de juros, à taxa de 55% ao ano, 
durante 3 anos? 
C = ? J = c . i . t 
J = 6.270 6.270 = C . 0,55 . 3 
i = 55% a.a = 0,55 → 1,65 c = 6.270 
t = 3 anos C = 
6.270
1,65
 = 3.800 
 C = R$ 3.800 ,00 
 
 Portanto, em 3 anos o capital de R$ 3.800,00 rende de juros R$ 6.270,00. 
 
3- Qual o tempo necessário para que o juro simples seja de 
12
5
de um capital 
aplicado a uma taxa de 20% ao mês? 
DICA Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5. 
J = c. i . t 
20
12 = 5 . .
100
100
12
100
12
t
t
t meses
=
=
 
 
4- Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00, 
comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 
5% ao mês (a.m). Quanto ele pagará de juros? 
Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos: 
1º) Em um mês, os juros são de: 
5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00 
 
 
 42 
2º) Como o prazo é de 3 meses o comerciante deverá pagar: 
J = 3 x 30,00 = 90,00 
 
Assim ao final dos 3 meses o comerciante deverá pagar: 
600,00 + 90,00 = 690,00 
 
O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado de montante. 
Ao somarmos os juros ao valor principal (capital) temos o MONTANTE. 
 
 
 
MONTANTE = CAPITAL + (capital x taxa de juros x tempo) 
 
 M = C + J 
 
 
 
5- Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% 
a.a. durante 145 dias. 
SOLUÇÃO: 
Devemos expressar a taxa i e o período t na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Dividimos 
145 dias por 360 dias, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 
360 dias. 
M = C . ( 1 + i. t ) 
 
 M = 70.000 (1 + 
10,5 145
.
100 360
) = 70.000. ( 1 + 
105 145
.
1000 360
) 
M = 70.000. ( 1 + 
15.225
360.000
) = 70.000 . (
360.000 15.225
360.000 360.000
+ ) = 
M = 70.000 . 
375.225
360.000
 = 7 . 
375.225
36
 
M= 
2.626.575
36
 = 72.960,42 
M = R$ 72.960,42 
 
 
MONTANTE = CAPITAL + JUROS 
 
M = C. ( 1 + i .t) 
 43 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 
36% a.a., durante 125 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 
de juros simples em 75 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.(dia) 
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, 
dias, poderemos calcular diretamente: 
J = c.i.t 
J = 40.000 . 0,001.125 = 5.000,00 
J = R$ 5.000,00 
SOLUÇÃO: 
Observe que expressamos a taxa i e o período t em relação à mesma unidade de tempo, 
ou seja, meses. 
Sabemos que: J = c.i.t ou seja: 3.500 = c . (1,2/100).(75/30) 
3.500 = c. 0,012 . 2,5 � 3.500 = 0,03 c � c = 
3.500
0,03
 = R$ 116.666,67 
 
 44 
3 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão 
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Por quanto tempo um capitalde $11.500,00 foi aplicado para que 
rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de 
mercado é de 4,5% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
O objetivo é dobrar o capital, então: M = 2.C 
i = 150/100 = 1,5 a.a 
M = c. (1 + i.t) 
2c = c. (1 + 1,5.t) 
2 = 1 + 1,5 t 
 t = 
1
1,5
= 
10 2
0,6666...
15 3
= = ano 
t = 0,6666 . 12 meses = 8 meses 
 
t = 8 meses 
 
SOLUÇÃO: 
J = C.i.t 
 
1.725 = 11.500. (4,5/100).t 
1.725 = 11.500 . 0,045.t 
t = 
1.725
512,5
 = 3,36 
t = 3,36 meses = 3 meses + 0,6 de um mês = 3 meses + 3/5 de um mês 
t = 3 meses e 18 3 meses e 18 3 meses e 18 3 meses e 18 dias dias dias dias 
 
 45 
 JUROS COMPOSTOS 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e 
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados 
a cada período são incorporados ao principal (capital) para o cálculo dos juros 
do período seguinte. Da capitalização simples, já sabemos que o rendimento 
se dá de forma proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No 
regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma 
exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital, 
formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período 
seguinte. 
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação 
rende juros. 
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros 
capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma 
capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a 
capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente. 
 
 
 
VEJA O EXEMPLO ABAIXO: 
 
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, 
contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a 
aplicação inicial vai render 5 vezes. 
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos: 
 
1º período: 
 
% R$ 
100 1.000 
102 M 
M = R$ 1.020,00 
(nova base de cálculo para 
o período seguinte) 
 
PERÍODOS CAPITAL MONTANTE 
2º R$ 1.020,00 ⋅ 1,02 = R$ 1.040,40 
3º: R$ 1.040,40 ⋅ 1,02 = R$ 1.061,21 
4º R$ 1.061,21 ⋅ 1,02 = R$ 1.082,43 
5º R$ 1.082,43 ⋅ 1,02 = R$ 1.104,08 
 
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. 
 
 46 
No cálculo, fizemos o seguinte: 
R$ 1.000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 
= R$ 1.000 ⋅ (1,02)5 
= R$ 1.000 ⋅ 1,10408 
= R$ 1.104,08 
 
 
 
Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com 
calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras. 
 
O cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na 
qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e t é a quantidade de 
capitalizações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando o cálculo composto com o cálculo simples, observe: 
 
 
CAPITAL JUROS 
SIMPLES 
MONTANTE 
R$1.000,00⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.020,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.040,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.060,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.080,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.100,00 
 
Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. 
 
Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros 
compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o 
rendimento composto passa a superar o simples. 
M = C . (1 + i)t 
 47 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1- Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros 
compostos, durante 1 ano, à taxa de 4% ao mês. 
SOLUÇÃO: 
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 
capitalizações. 
C = R$ 6.000,00 
i = 4% = 0,04 
t = 12 
 Usando a fórmula M = C.(1+i)t, obtemos: 
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 
capitalizações. 
 
M = 600 ⋅ (1 + 0,04)12 ⇒ M = 600 ⋅ (1,04)12 
 M = 600 ⋅ 1,60103 
M = R$ 960,62 
 
2- O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. 
Qual o valor dos juros compostos produzidos? 
 
SOLUÇÃO: 
C = R$ 500 
i = 5% = 0,05 
n = 8 (as capitalizações são mensais) 
M = C ⋅ (1 + i)t ⇒ M = 500 ⋅ (1,05)8 ⇒ M = R$ 738,73 
 
O valor dos juros será: J = M - C 
J = 738,73 – 500 
J = R$ 238,73 
 
 
 
 
 
LEMBRE que a taxa i 
tem que ser expressa na 
mesma medida de tempo 
t, ou seja, taxa de juros 
ao mês para t meses. 
Para calcularmos 
apenas os juros basta 
diminuir o principal do 
montante ao final do 
período: 
 J = M - C 
 48 
3- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de 
juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? 
 
SOLUÇÃO: 
M = R$ 477,62 
i = 3% = 0,03 
n = 6 (as capitalizações são trimestrais) 
M = C ⋅ (1 + i)t 
477,62 = C ⋅ (1,03)6 
C = 
19405,1
62,477
 
C = R$ 400,00 
 
4- Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos de 28% ao ano 
capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 12 meses, o 
montante será de quanto? 
SOLUÇÃO: 
Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital está sujeito 
à capitalização anual, por causa da convenção de juros postecipados (considera-se que a 
formação dos juros é apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano. 
Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre. 
Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês. 
 
Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula: 
M = C (1 + i)t 
Onde: M = montante; C = capital; i = taxa de juros e t = prazo. 
Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo. 
Substituindo teremos: M = 200 (1+0,07)t 
Observe que o prazo t = 12 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir 
ao mesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos 
considerar o período trimestral. 
 
 
 
 49 
Período trimestral 
Neste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se: 
12 meses __________ t trimestres 
3 meses __________ 1 trimestre 
logo t = 4 trimestres. Assim, temos que : 
M = 2.000 (1+0,07)4 = R$ 2.621,60 � M = R$ 2.621,60 
 
 
 
 
 Resolução de Problemas 
1. Qual o montante acumulado a partir 
da aplicação de R$2.895,00 a 3,5% 
ao mês durante 3 anos e meio? 
 
 
2. Investindo-se mensalmente 
$150,00 durante 6 anos e um 
trimestre, a 6% ao mês, qual o 
valor acumulado ao final do 
período? 
 
 
3. Um capital de R$ 20.000,00 foi 
investido num regime de juros 
compostos, durante 18 meses, 
numa aplicação que rende 2% ao 
mês. Calcule o montante no final 
do período. 
 
 
4. Qual o capital que precisa ser 
investido durante 5 anos, à uma 
taxa de juros compostos de 10% ao 
ano, para se obter um montante de 
R$ 1.0000,00 ao final do período? 
5. Quanto deveremos depositar 
trimestralmente numa conta que 
rende 6% ao trimestre, para termos 
R$ 2.2800,00 ao final de 105 
meses? 
 
6. Uma dívida de R$ 1.000,00 deve 
ser quitada em 12 parcelas 
mensais, à taxa de juros de 3% ao 
mês. Determine o valor de cada 
prestação. 
 
7. Investindo-se mensalmente R$ 
150,00 durante 6 anos e um 
trimestre, a 6% ao mês, qual o 
valor acumulado ao final desse 
período? 
Resposta: 
 
 
Agora é com 
você!! 
 50 
8. (FCC/CEF/1998) Um capital de R$ 
2.500,00 esteve aplicado à taxa 
mensal de 2%, num regime de 
capitalização composta. Após um 
período de 2 meses, os juros 
resultantes dessa aplicação serão 
de: 
R$ 98,00 
R$ 101,00 
R$ 110,00 
R$ 114,00 
R$ 121,00 
 
 
9. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/199
9)Desconsiderando-se os aspectos 
tributários, uma aplicação 
financeira de R$ 100.000,00, com 
rendimento mensal contratado de 
2% ao mês, no sistema de juros 
compostoscom capitalização 
mensal, terá, depois de três meses, 
o valor final para resgate igual a: 
R$ 104.040,00 
R$ 106.000,00 
R$ 106.120,80 
 R$ 108.000,00 
R$ 108.243,22 
 
10. Um capital C aplicado a juros 
compostos à taxa de 5% ao mês 
durante 3 meses resultou um 
montante de R$ 9.261,00. Encontre 
o valor desse capital. 
R$ 8.000,00 
R$ 5.500,00 
R$ 6.000,00 
R$ 7.000,00 
R$ 8.360,00 
11. João tomou emprestado 
R$20.000,00 de Carlos para pagá-
lo após 2 anos. A taxa acertada de 
juros simples foi de 30% a.a. . 
Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 
meses antes do vencimento da 
dívida, João quisesse resgatá-la e 
se nesta época o dinheiro valesse 
25% a.a. ? 
 
12. Determinar o montante 
correspondente a uma aplicação de 
R$ 450.000,00 por 225 dias, à taxa 
de 5,6% ao mês (5,6% a.m.). 
 
13. Determinar o capital necessário 
para produzir um montante de R$ 
798.000,00 no final de um ano e 
meio, aplicado a uma taxa de 15% 
ao trimestre (15% a.t.). 
 
 
14. Obteve-se um empréstimo de R$ 
10.000,00, para ser liquidado por 
R$ 14.675,00 no final de 8 meses e 
meio. Qual a taxa de juros anual 
cobrada nessa operação? 
 
15. Um capital C foi aplicado a juros 
simples de 15% ao bimestre (15% 
a.b.), por um prazo de 5 meses e 
13 dias e, após este período, o 
investidor recebeu R$ 10.280,38. 
Qual o valor C do capital aplicado? 
 
16. Um capital de R$ 5.380,00 aplicado 
por 3 meses e 18 dias, rendeu R$ 
1.839,96 de juros simples ao final 
do período. Qual a taxa mensal de 
juros simples? 
 
 51 
17. Que capital aplicado a 3% ao 
bimestre (3% a.b.), por um prazo 
de 75 dias, proporcionou um 
montante de R$ 650.000,00? 
 
18. A que taxa mensal o capital de R$ 
38.000,00 produzirá o montante de 
R$ 70.300,00 em 10 anos? 
 
19. Por quanto tempo um capital de R$ 
11.500,00 foi aplicado para que 
rendesse R$ 1.725,00 de juros, 
sabendo-se que a taxa de juros de 
mercado é de 4,5% a.m.? 
 
20. Um empréstimo de R$ 8.000,00 
rendeu juros de R$ 2.520,00 ao 
final de 7 meses. Qual a taxa de 
juros do empréstimo? 
 
Gabarito 
1) R$ 1.2277,70 
2) R$1.98200,00 
3) R$ 2.8564,92 
4) R$ 6.209,21 
5) R$ 203,00 
6) R$ 100,50 
7) R$1.98200,00 
8) B 
9) C 
10) A 
11) R$ 28.444,44 
12) R$ 639.000,00 
13) 420.000,00 
14) 66% a.a 
15) R$ 7.304,00 
16) 9,5% a.m 
17) 626.506,02 
18) 8,5% a.a 
19) 3 meses e 10 dias 
20) 4,5% a.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
 Descontos 
 
Operação de Desconto: o que é? 
 
 
 
 
 
 
 
É esta a nossa situação: aqui nós pretendemos saber o quanto representa hoje 
um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, queremos 
agora “retroceder” no tempo com determinado valor monetário, e descobrir o 
quanto este valerá no dia de hoje, ou numa 
outra data anterior àquela do seu vencimento. 
 Observemos que, como estamos “retrocedendo” no tempo, ou seja, como 
estamos recuando na linha do tempo, o valor de “desconhecido” será, 
necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00. 
 
 
 
 
 
 
 Em suma, Desconto é apenas isso: transportar um valor monetário de uma 
data futura para uma data anterior. 
 
Elementos de uma Operação de Desconto: 
� Valor Nominal (N): 
Significa o nosso valor monetário, devido numa data futura. Normalmente, o 
valor nominal figura nas questões como sendo uma obrigação (uma dívida, ou 
coisa parecida) que tem que ser paga numa data posterior à de hoje. 
 
 
 
“Suponhamos que eu tenho uma 
dívida, no valor de R$ 5.000,00, 
que tem que ser paga daqui a três 
meses, mas pretendo antecipar o 
pagamento dessa dívida e pagá-la 
hoje.” 
 
Porque estará sofrendo 
uma operação 
financeira a qual 
chamaremos de 
DESCONTO. 
E por que o valor 
desconhecido (x) 
será um valor 
menor que o da 
dívida? 
 
 53 
 
� Valor Atual (A): 
Também chamado de “Valor Líquido” ou “Valor Descontado”. Significa o quanto 
representa o Valor Nominal, quando “projetado”para uma data anterior! É o 
quanto pagaremos hoje por aquele nosso título! Por isso recebe esse nome de 
Valor Atual. Porque atual é hoje! 
 
 
 
. 
 
� Desconto (d): 
Se eu devia uma quantia qualquer, a ser paga numa data futura, e resolvo 
antecipar o pagamento desse valor, já sei que irei pagar hoje um valor menor 
do que o que era devido. 
Essa diferença entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que 
pagarei hoje (em função da antecipação do pagamento) é exatamente o que 
chamaremos de Desconto. 
 
 
Utilizaremos a fórmula: 
 
Outras formas que a equação acima pode assumir são as seguintes: 
 
 e 
 
 
 
� Tempo de Antecipação (t): 
Sabemos que na operação de desconto estamos na verdade “projetando” um 
valor monetário para uma data anterior. Então, “t”será, numa questão de 
desconto, a distância de tempo entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Se o 
Valor Nominal representar uma dívida que seria paga numa data futura, e 
pretendemos pagá-la hoje, então “t” será o “tempo de 
antecipação” do pagamento daquela obrigação. 
Simplesmente isso! 
 
 
� Taxa (i): 
Este elemento já é nosso velho conhecido. É ela, a Taxa, a responsável por 
realizar a “mágica” da Matemática Financeira. É ela quem faz com que os 
valores monetários nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo! E é 
também ela que faz com que uma quantia vencível (devida) 
numa data futura diminua de valor, caso venha a ser projetada para uma data 
anterior. 
Da mesma forma que vimos no assunto de Juros, também aqui no Desconto 
teremos taxas no Regime Simples. 
d = N – A 
N = d + A A = N – d 
O Valor Atual será necessariamente menor que o Valor 
Nominal, uma vez que, na linha do tempo, está sempre 
numa data anterior. 
 54 
Daí, continua valendo aquela nossa primeira preocupação: descobrir em qual 
dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando nossa operação de 
desconto! 
 
� Se a taxa é simples , estaremos numa questão de Desconto Simples . 
� Se é composta , estaremos numa questão de Desconto Composto , 
caso este, que não veremos nesse curso. 
 
Quando se lê uma questão de desconto, antes de iniciarmos a sua resolução, 
temos, impreterivelmente, que descobrir duas coisas: 
 
� Qual o regime desta operação de desconto? Simples ou Composto? Ou 
seja, estamos numa questão de Desconto Simples ou de Desconto 
Composto( não veremos esse caso)? 
 
� Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta operação de desconto? É 
o Desconto por Dentro, ou o Desconto por Fora? 
Somente após respondidas estas duas perguntas, é que estaremos aptos a 
iniciar a resolução da questão. Nunca antes! 
 
Aprenderemos a identificar e a resolver as questões de Desconto Simples , 
nas duas modalidades (por dentro e por fora). 
 
 
 
 
 Sabemos que o Valor Atual é sinônimo de Valor Líquido . E o líquido fica 
onde? Fica 
dentro da garrafa. Logo, o líquido fica dentro! E líquido é o Atual. 
E o nome da garrafa, fica onde? Por fora! Assim, por fora é o Valor Nominal. 
 
 
Veja o resumo no esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO POR DENTRO OU RACIONAL ���� 100% É O VALOR LÍQUIDO 
DESCONTO POR FORA OU COMERCIAL ���� 100% É O VALOR NOMINAL 
Uma forma de 
memorizar isso é 
pensando numa garrafa 
 55 
� O Desconto Comercial [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a 
juros simples, produzido pelo valor nominal [N] do título no período de 
tempo correspondente e a taxa fixada é: 
 
 
 
 
 
Onde: Dc = Desconto comercial; N = valor nominal; i = Taxa de desconto [i ÷ 
100], t = prazo. 
 
 
� Desconto Racional [Dr] ou por dentro, é o equivalente a juros simples, 
produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo 
correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. Um título no valor de R$ 14.000,00 foi descontado num banco 3 meses antes 
do vencimento, 
a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. 
a) Calcule o desconto; 
b) Calcule o valor líquido recebido pelo empresa.[Valor Atual – VA] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dc = N . i . t 
. .. .. .. .====
1 .1 .1 .1 .
 
SOLUÇÃO: a) Dc = N. i. t 
 A = N - d 
 Dc = 14.000 . [(3,5/100) . 3] b) Ac = N - dc 
N: 14.000 Dc = 14.000 . [0,035 . 3] Ac = 14000 - 1470 
i: 3,5% a.m. Dc = 14.000 . 0,105 Ac = 12.530,00 
t: 3 meses. Dc = 1.470,00 
 
 56 
2. Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a R$ 
90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 
30% a.a.. 
a) Qual o desconto comercial; 
b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 8.000,00, foi descontada num 
banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 
2,50% a.m.. 
a) Qual o desconto comercial; 
b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = N - d 
SOLUÇÃO: 
Dc = N. i. t Dc = 90.000 x {[(30/100)/360] x 40} Ac = N - dc 
N: 90.000 Dc = 90.000 x {[0,30/360] x 40} Ac = 90000 - 3000 
i: 30% a.a. Dc = 90.000 x 0,000833333 x 40 Ac = 87.000,00 
t: 40 dias. Dc = 90.000 x 0,033333333 
 Dc = 3.000,00 
 
 
SOLUÇÃO: A = N - d 
Dc = N. i. t Dc = 8000 x [(2,50/100) x 2] b) Ac = N - dc 
N: 8000 Dc = 8000 x [0,025 x 2} Ac = 8000 - 400 
i: 2,5% a.a. Dc = 8000 x 0,05 Ac = 7.600,00 
t: 2 meses. Dc = 400,00 
 
 
 57 
4. Uma dívida de R$ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu 
vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza 
no contrato é de 30% a.a.? 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução de problemas: 
 
 
1- Determinar o desconto racional em cada 
uma das hipóteses abaixo, adotando-se o 
ano comercial. 
 Valor Nominal 
Taxa de Juros 
Prazo de Antecipação 
a) R$ 12.000,00 
 
27,30% a.a. 
7 meses 
b) R$ 4.200,00 
 
18,0% a.a. 
120 dias 
c) R$ 7.400,00 
 
33,0% a.a. 
34 dias 
d) R $ 3.700,00 
21,0% a.a. 
5 meses e 20 dias 
 
RESPOSTAS: 
a) Dr = 1.648,48 
b) Dr = 237, 74 
c) Dr = 223,66 
d) Dr = 333,81 
 
2- Considere um título cujo valor nominal 
seja $10.000,00. Calcule o desconto 
racional a ser concedido para um resgate 
do título 3 meses antes da data de 
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% 
a.m. R. R$1304,35 
 
 
 
 SOLUÇÃO: N: 13.500 t: 3 meses i: 30% a.a. Dr = ? 
 
 
1 0 0 0 , 0 1 21 0 0 0 , 0 1 21 0 0 0 , 0 1 21 0 0 0 , 0 1 2==== ====
1 1 0 , 0 1 21 1 0 , 0 1 21 1 0 , 0 1 21 1 0 , 0 1 2
1 0 0 0 , 0 2 1 0 0 0 , 01 0 0 0 , 0 2 1 0 0 0 , 01 0 0 0 , 0 2 1 0 0 0 , 01 0 0 0 , 0 2 1 0 0 0 , 0==== ====
1 0 , 0 2 1 0 , 01 0 , 0 2 1 0 , 01 0 , 0 2 1 0 , 01 0 , 0 2 1 0 , 0
1 0 0 0 , 0 1 0 1 2 , 01 0 0 0 , 0 1 0 1 2 , 01 0 0 0 , 0 1 0 1 2 , 01 0 0 0 , 0 1 0 1 2 , 0==== ====
1 0 , 0 1 , 01 0 , 0 1 , 01 0 , 0 1 , 01 0 , 0 1 , 0
= 4 1 , 4= 4 1 , 4= 4 1 , 4= 4 1 , 4
 
 
R$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida. 
 
 58 
3- Considere um título cujo valor nominal 
seja $10.000,00. Calcule o desconto 
comercial a ser concedido para um resgate 
do título 3 meses antes da data de 
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% 
a.m. R. R$1500,00 
 
4- (Fiscal - MS-2000) Uma empresa 
descontou em um banco uma duplicata de 
R$2.000,00 dois meses e meio antes do 
seu vencimento, a uma taxa de desconto 
comercial de 4% a. m. O valor líquido a 
recebido é de: R. A 
A) R$ 1.800,00 
B) R$ 1.600,00 
C) R$ 1.300,00 
D) R$ 1.200,00 
E) R$ 1.500,00 
 
5- (AFRF - 2003) Um título sofre um 
desconto comercial de R$9810,00 três 
meses antes do seu vencimento a uma taxa 
de desconto simples de 3% ao mês.Indique 
qual seria o desconto à mesma taxa se o 
desconto fosse simples e racional. R. E 
a) R$ 9810,00 
b) R$ 9521,34 
c) R$ 9500,00 
d) R$ 9200,00 
e) R$ 9000,00 
 
6- Um título de R$ 5.000,00 vai ser 
descontado 60 dias antes do vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% 
a.m. pede-se calcular o desconto comercial 
e o valor descontado. 
Resposta: desconto = R$ 300,00 e valor 
descontado ou valor líquido = R$ 
4.700,00 
7- Determine o valor nominal de um título 
que, descontado comercialmente, 60 dias 
antes do vencimento e à taxa de 12% ao 
mês, resultou um valor descontado de R$ 
608,00. R. R$ 800,00 
8- Qual o prazo de antecipação de um título 
que descontado racionalmente, à taxa de 
juros de 8% a. m. produziu um desconto 
equivalente a 1/6 do seu valor nominal? R. 
2 meses e 15 dias 
9- Calcule o desconto por dentro sofrido por 
uma duplicata de R$ 8.320,00, descontada 
à taxa de 6% a.a., 8 meses antes do seu 
vencimento. R. R$ 320,00 
10- A que taxa anual, um título de R$ 
2.000,00, em 6 meses, dá R$ 400,00 de 
desconto por fora? R. 40% a.a. 
 
 
 
Espaço reservado para observações 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
 Equação do 1º Grau 
 
Forma: ax + b = 0, onde a e b são números reais com a ≠ 0 
 
Importante: 
 
• Quando a equação resultar em 
 
0x = b 
Onde b é um número real, diferente de zero, a equação não tem solução. 
 
• Quando a equação resultar em 
 
0x = 0 
 
Qualquer valor de x real satisfaz a equação. 
 
Contextualizando: Os táxis da cidade onde João Vitor reside, cobram R$ 1,20 
por quilômetro rodado mais R$ 3,50 pela corrida, a conhecida “bandeirada”. 
João Vitor foi de táxi da sua casa até a escola e pagou um total de R$ 8,30. A 
distância que o táxi percorreu de sua casa até a escola foi de: 
 
Formulação Matemática: 1,20 x + 3,50 = 8,30 
 
Exemplos de problemas: 
 
1. A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Qual é o 
produto desses três números. 
 
2. Um reservatório contém combustível até 2/5 de sua capacidade 
total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual é a 
capacidade total desse reservatório? 
 
3. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida 
entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, 
recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após 
Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que 
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da 
herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de 
ouro que Ana recebeu foi: 
 
4. (EMBRAPA 94) Conta-se que, certa vez, um bêbado entrou em 
uma igreja e prometeu contribuir com R$ 300,00 para os pobres 
se Santo Antônio duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso. O 
milagre aconteceu e o bêbado colocou R$ 300,00 na caixa de 
esmolas. E gostou tanto que prometeu dar mais R$ 300,00 se o 
Santo, outra vez, multiplicasse por dois o dinheiro que ele tinha 
no bolso. Novamente o milagre aconteceu, mas quando o bêbado 
 61 
colocou os R$ 300,00 na caixa de esmolas, percebeu que ficara 
sem dinheiro algum. O dinheiro que o bêbado entrou na igreja foi: 
 
 
5. (TRE 2002 CE) Do total de X funcionários de uma repartição 
pública que fazem a condução de veículos automotivos, sabe-se que 
1/5 efetuam o transporte de materiais e equipamentos e 2/3 do 
número restante, o transporte de pessoas. Se os demais 12 
funcionários estão temporariamente afastados de suas funções, 
então X é igual a. 
a) 90 
b) 75 
c) 60 
d) 50 
e) 45 
 
 
 Equação do 2º Grau 
 
Forma: ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais com a ≠ 0. 
 
Para resolvê-la usaremos a formula de Báskara. 
 
2 20 4
2
b
ax bx c x onde b ac
a
− ± ∆+ + = ⇒ = ∆ = − 
Conforme o valor do discriminante ∆ existem três possibilidades quanto á 
natureza da equação dada. 
0
0
0 1
Existem duas raizes reais e desiguais
Existem duas raizes reais eiguais
Existem duas raizes complexasda formaα β
∆ > →

∆ = →
∆ < → ± −
 
Quando ocorre a última possibilidade é costume dizer-se que não existem 
raízes reais, pois, de fato, elas não são reais já que não existe, no conjunto dos 
números reais, a quando a < 0. 
 
 
 
 
 
 
 62 
 
 
Vejamos algumas destas propriedades. 
 
1. Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois 
membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira. 
 
 
 
Conseqüência. 
Observemos a equação: X + 2 = 3 
Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos: 
X + 2 = 3 ⇔ x + 2 – 2 = 3 – 2, assim: 
X+2 = 3 ⇔ x=1 
2. Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade 
por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
Conseqüência. 
Observemos a equação: -2x = 6 
Dividindo por -2 os dois membros da igualdade, temos: 
 
2 6
2 6
2 2
x
x
−− = ⇔ =
− −
 , assim: 
 2 6 3x x− = ⇔ = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b a c b c
ou
a b a c b c
= ⇔ + = +
= ⇔ − = −
 
a b a c b c
ou
a b
a b
c c
= ⇔ ⋅ = ⋅
= ⇔ =
 
Atenção! 
 
Na resolução das equações podemos nos valer 
de algumas operações e transformá-las em 
equações equivalentes, isto é, que apresentam 
o mesmo conjunto solução no mesmo universo. 
 
 63 
 Resolução de problemas 
 
 
1. As idades de duas 
pessoas há 8 anos estavam na 
razão de 8 para 11; agora 
estão na razão de 4 para 5. 
Qual é a idade da mais velha 
atualmente? 
2. Sabendo-se que o número x 
representa o valor de 2-(-3+5 )-
[-1+ (-3+4 ) -(-2-6), quanto vale: 
 
a. o dobro do número x ? 
b. o quadrado do número 
x? 
 
3. Duas pessoas, A e B, disputam 
100 partidas de um certo 
jogo.Cada vez que A vence 
uma partida recebe 20 reais de 
B e cada vez que B vence, 
recebe 30 reais de A. se A 
vencer 51 partidas, ele terá 
lucro ou prejuízo? De quantos 
reais? 
 
4. Qual é o valor numérico da 
expressão a³ - 3a²x², quando a 
= 10 e x = 2? 
 
 
5. A cada quilômetro rodado, um 
carro consome 0,12 litros de 
combustível. Quantos litros 
esse carro vai consumir, se 
percorrer 82,5 km? 
 
6. Em um terreno retangular, o 
comprimento tem 10 metros a 
mais que a largura. Se 
representarmos pela letra x o 
número de metros da largura, o 
comprimento será 
representado por x+10. Se o 
triplo da largura é igual ao 
dobro do comprimento, escreva 
uma equação que represente 
esse fato. 
 
 
7. O campeonato de Fórmula 1 
terminou com o campeão 
levando 7 pontos de vantagem 
sobre o vice-campeão.Se os 
dois juntos, campeão e 
vice,somaram 173 pontos no 
final da temporada, quantos 
pontos cada um marcou nessa 
temporada? 
 
8. Com 22 livros de 3 cm e 7 cm 
de espessura formou-se uma 
pilha de 106 cm de 
altura.Quantos livros de cada 
espessura foram colocados? 
 
9. (OLIMPÍADA DE 
MATEMÁTICA-SP) Uma classe 
quis dar a uma professora um 
presente que custava R$ 
720,00. Calculou-se a quantia 
que cada aluno deveria dar. 
Porém, cinco alunos de outra 
classe quiseram participar da 
compra do presente, e com 
isso, coube a cada um R$ 2,00 
a menos na quantia 
anteriormente combinada. 
Quantos alunos havia na 
classe? 
 
 
10. (PUC-SP) Um terreno 
retangular de área 875m² tem o 
comprimento excedendo em 10 
metros a largura. Quais são as 
dimensões do terreno? 
Assinale a equação que 
representa o problema acima: 
 
a. x² + 10x-875 = 0 b) 
x² +10x+875 = 0 c) 
x² - 10x+875 = 0 
 
 d) x² + 875x-10 = 0 
 
 64 
 
11. (U.C. SALVADOR-BA) Um 
professor dispunha de 144 
doces para dividir igualmente 
entre os alunos de sua classe. 
Como no dia da distribuição 
faltaram 12 alunos, ele dividiu 
os 144 doces igualmente entre 
os presentes, cabendo a cada 
aluno 1 doce a mais. O número 
de alunos presentes no dia da 
distribuição era: 
a) 36 b) 40 c) 42 d) 48 
 
12. Um norte-americano, fazendo 
turismo numa pequena cidade 
da Amazônia, entrou numa loja 
e comprou alguns pacotes de 
guaraná em pó, gastando R$ 
90,00. No dia seguinte, ele 
voltou a loja, mas cada pacote 
já custava R$ 2,00 a mais que 
no dia anterior. Dessa vez ele 
gastou R$ 70,00. No total o 
americano comprou 80 pacotes 
de guaraná. Quantos ele 
comprou no primeiro dia? E no 
segundo? 
 
 
 
 Inequação do 1º Grau 
 
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau 
que pode ser escrita numa das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
Exemplos: 
 
-2x + 7 > 0 
x - 10 ≤ 0 
2x + 5 ≤ 0 
12 - x < 0 
 
Resolvendo uma inequação de 1° grau 
 
Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° g rau é isolarmos a 
incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos: 
 
Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0. 
 
Solução: 
-2x > -7 
Multiplicando por (-1) 
 
2x < 7 
x < 7/2 
 
 65 
Portanto a solução da inequação é x < 7/2. 
 
Exemplo 2: Resolva a inequação 2x - 6 < 0. 
 
Solução: 
2x < 6 
x < 6/2 
x < 3 
Portanto a solução da inequação e x < 3 
 
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal 
de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimen to: 
 
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero; 
2. Localiza-se a raiz no eixo x; 
3. Estuda-se o sinal conforme o caso. 
 
Exemplo 1: 
-2x + 7 > 0 
-2x + 7 = 0 
x = 7/2 
 
 
 
Exemplo 2: 
2x – 6 < 0 
2x - 6 = 0 
x = 3 
 
 
 
 
Exemplo 2: Quais os valores de x na desigualdade x – 3 ≤ 2x +5 < x +1 
responder 
 66 
 
 Conjunto dos números reais (IR) 
 
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos 
o conjunto dos números reais como: 
 
 
IR=Q ∪∪∪∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional} 
 
 
 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
 
 Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos 
números reais . Como subconjuntos importantes de IR temos: 
 IR* = IR-{0} 
 IR+ = conjunto dos números reais não negativos 
IR_ = conjunto dos números reais não positivos 
 
 
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: 
� Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... 
 
� Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos relembrar os números 
reais e intervalos para 
entendermos inequações do 2º 
grau? 
 67 
 Intervalos reais 
 
Intervalos finitos 
Com as convenções seguintes podemos definir os conceitos de intervalo. 
(a,b) = {x R: a < x < b} 
[a,b] = {x R: a < x < b} 
(a,b] = {x R: a < x < b} 
[a,b) = {x R: a < x < b} 
Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com 
extremidades finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e 
um círculo preenchido onde vale a igualdade. 
 
Intervalos infinitos 
 
Consideremos inf = infinito . Define-se o intervalo (a,+inf) como o conjunto de 
todos os números reais maiores do que a, isto é: 
(a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a) = {x R: x < a} 
 
e também os intervalos: 
[a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a] = {x R: x < a} 
 
e uma notação comum é: 
R = (-inf, +inf) 
 
 
 
 
 
 68 
 Inequações do 2º grau 
 
 Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do 
sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < . 
Exemplos: 
1) 2 3 2 0x x− + > 
Resolução: 
2 3 2 0x x− + > 
' 1, '' 2x x= = 
Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos 
fazer um esboço do gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre. 
 
 Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2 
Resposta: { x R| x<1 ou x>2}∈ 
 
 
 
 69 
Inequações simultâneas 
 Exemplo: Calcule o conjunto solução da inequação 21 < x 2x +1 < 0− 
 Resolução: 
2
2
2
2
2
) 2 1 1
) 2 1 0
( ) :
2 1 1
2 0
' 0, '' 2
( ) :2 1 0
' '' 1
i x x
ii x x
resolvendo i
x x
x x
x x
resolvendo ii
x x
x x
− + >
− + <
− + >
− >
= =
− + <
= =
 
 Determinado x’ e x’’ , fazer o estudo do sinal para cada função. 
 
i) x<0 ou x>2 ii) x diferente de 1. 
 Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2. 
Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado. 
 
 
 70 
Resposta: { | 0 2}x R x ou x∈ < > 
 
 Resolução de exercícios 
 
 
1. ( CESGRANRIO ) O conjunto solução da 
inequação x2 - 3x - 10 < 0 é: 
a. (- °° , - 2) 
b. (- °° , - 2) (5, °°) 
c. (- 2, 5) X 
d. (0, 3) 
e. (3, 10) 
 
2. (PUC - MG) - A solução da inequação x2 
x é o intervalo real: 
a. (- °° , - 11] 
b. [- 1, °° ) 
c. [-1, 0 ] 
d. [-1, 1 ] 
e. [ 0, 1 ) X 
 
 3. (UEL - PR) - O conjunto dos valores 
reais de x, que tornam verdadeira a 
sentença 2x2 - x < 1, é: 
a. {x IR /-1/2 < x < 1} X 
b. {x IR / x > 1 ou x < -1/2 } 
c. {x IR / x < 1 } 
d. {x IR / 1/2 < x < 1} 
e. {x IR / x < -1/2 } 
 
4.( CESGRANRIO ) - As soluções de x2 - 2x 
< 0 são os valores de x pertencentes ao 
conjunto: 
a. ( 0, 2 ) X 
b. (- ºº, 0 ) 
c. (2, ºº ) 
d. (- ºº , 0 ) (2, ºº ) 
e. ( 0, ºº ) 
 5. (UNESP) - O conjunto-solução da 
inequação (x - 2)2 < 2x - 1, considerando 
como universo o conjunto IR, está definido 
por: 
a) 1 < x < 5 X 
b) 3 < x < 5 
c) 2 < x < 4 
d) 1 < x < 4 
e) 2 < x < 5 
 
6. (UFSE) - O trinômio y = x2 + 2kx + 4k 
admitirá duas raízes reais e distintas se, e 
somente se: 
a. k > 4 
b. k > 0 e k 4 
c. k < 0 ou k > 4 X 
d. k 0 e k 4 
e. 0 < k < 4 
 
7. (CESGRANRIO) A menor solução inteira 
de x2 - 2x - 35 < 0 é: 
 71 
 
a. -5 
b. -4 X 
c. -3 
d. -2 
e. -1 
 
8. ( UFSC ) A equação 2x2 - px + 8 = 0 tem 
raízes reais e distintas para p satisfazendo 
as condições: 
 
a. p 8 ou p -8 
b. -8 p 8 
c. p 8 ou p > 8 
d. p < -8 ou p 8 
e. p < -8 ou p > 8 X 
 
9. ( PUC - SP ) Os valores de m R, para 
os quais o trinômio y = ( m - 1 ) x2 + mx + 1 
tem dois zeros reais e distintos, são: 
 
a. m 1 e m 2; X 
b. 1 m 2; 
c. m 1; 
d. m 2; 
e. m = 2 
 
 10. ( FATEC - SP ) Os valores de k, k Z , 
para que os quais a equação kx2 + 9 = kx -3 
não admite solução real, pertence ao 
intervalo: 
 
a. (-ºº, -10 ) 
b. ( -10, -5 ) 
c. ( -2, 0 ) 
d. ( 0, 48 ) X 
e. ( 48, 100 ) 
 
Espaço reservado para observações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 73 
• Medidas de comprimento 
 
Sistema Métrico Decimal 
 
A história nos mostra que desde tempos muito antigos os povos foram criando 
suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-
padrão. Com o desenvolvimento do comércio foi ficando cada vez mais difícil a 
troca de informações e as negociações entre os povos, devido a tantas 
medidas diferentes. Foi necessário que se adotasse um padrão de medida 
único para cada grandeza. 
À época da Revolução francesa, em 1791, representantes de vários países 
reuniram-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgiu 
então o sistema métrico decimal. 
 
Metro 
A origem da palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". 
Inicialmente foi estabelecido que a medida do metro seria a décima 
milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que 
passa por Paris. 
No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do Metro 
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus 
múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: 
quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro: 
Múltiplos Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto 
os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que 
se exige precisão, utilizamos: 
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m 
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz 
em um ano): 
Ano-luz = 9,5 · 1012 km 
 74 
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema 
métrico decimal. São utilizadas em países de língua inglesa. Observe as 
conversões abaixo: 
 
Pé = 30,48 cm 
Polegada = 2,54 cm 
Jarda = 91,44 cm 
Milha terrestre = 1.609 m 
Milha marítima = 1.852 m 
 
Observe que: 
1 pé = 12 polegadas 
1 jarda = 3 pés 
 
LEITURA DAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
Com a ajuda do quadro de unidades, podemos efetuar a leitura das medidas de 
comprimento. Acompanhe a seqüência para lermos a seguinte medida: 15,048 
m. 
1º) Escrever o quadro de unidades: 
km hm dam m dm cm mm 
 
2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da 
parte inteira sob a sua respectiva medida. 
km hm dam m dm cm mm 
 1 5 0 4 8 
 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último 
algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último 
algarismo da mesma. 
Portanto, lemos: 15 metros e 48 milímetros 
Outros exemplos: 
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 
82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete 
centímetros". 
0,003 m lê-se "três milímetros". 
 
 75 
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES 
 
 Observe as seguintes transformações: 
Transforme 16,584hm em m. 
km hm dam m dm cm mm 
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 
100 (10 x 10). 
16,584 x 100 = 1.658,4 
Ou seja, 
16,584hm = 1.658,4m 
 
Medidas e comprimento 
PERÍMETRO DE UM POLÍGONO 
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus 
lados. 
Perímetro do retângulo 
 
 b - base ou comprimento 
 h - altura ou largura 
 Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) 
 
 
 
 
 
 
 
 76 
Perímetro dos polígonos regulares 
 
 
Triângulo eqüilátero 
 
Quadrado 
P = l+ l + l 
P = 3 · l 
P = l + l + l+ l 
P = 4 · l 
 
 
Pentágono 
 
 
Hexágono 
 
P = l + l + l + l + l 
P = 5 · 
P = l + l + l + l + l + l 
P = 6 · l 
l - medida do lado do polígono regular 
 P - perímetro do polígono regular 
 Para um polígono de n lados, temos: 
P = n · l 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo-se o comprimento de uma circunferência (C) pela 
medida do seu diâmetro (D), encontra-se sempre um valor 
aproximadamente igual a 3,14. 
 
Este número, 3,141592... Corresponde em matemática à letra 
grega ¶ (que se lê "pi"), Costuma-se considerar = 3,14. 
 
 77 
• Medidas de superfície 
 
Introdução 
 
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a 
nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: 
• Qual a área desta sala? 
• Qual a área desse apartamento? 
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir 
essa piscina? 
• Qual a área dessa quadra de futebol de salão? 
• Qual a área pintada dessa parede? 
Superfície e área 
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida 
dessa grandeza, portanto, um número. 
Metro Quadrado 
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado e 
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um 
quadrado com 1 metro de lado. 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilômetros 
quadrado 
hectômetro 
quadrado 
decâmetro 
quadrado 
metro 
quadrado 
decímetro 
quadrado 
centímetro 
quadrado 
milímetro 
quadrado 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2 
 
O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o 
dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies. 
 Exemplos: 
 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 12, 56 
 Lê-se“12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna 
dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 
 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 1 78, 30 
 Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 
 78 
 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 0, 91 70 
 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. 
 
Medidas Agrárias 
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, 
plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are 
(a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). 
Unidade 
agrária 
hectare (ha) are (a) centiare (ca) 
 Equivalência 
de valor 
100a 1a 0,01a 
Lembre-se: 
1 ha = 1hm 2 
1a = 1 dam 2 
1ca = 1m 2 
Transformação de unidades 
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de 
superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior : 
 
 Observe as seguintes transformações: 
• transformar 2,36 m2 em mm2. 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita ) devemos multiplicar por 1.000.000 
(100x100x100). 
 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2 
 
• transformar 580,2 dam2 em km2. 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda ) devemos dividir por 10.000 
(100x100). 
 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 79 
 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 
 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 
 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 
 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2) 
 
• Medidas de volume 
 
Introdução 
Freqüentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três 
dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas 
tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. 
Metro cúbico 
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico . O metro cúbico 
(m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de 
aresta. 
 
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilômetro 
cúbico 
hectômetro 
cúbico 
decâmetro 
cúbico metro cúbico 
decímetro 
cúbico 
centímetro 
cúbico 
milímetro 
cúbico 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m
3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3 
 Leitura das medidas de volume 
A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às 
medidas lineares. Devemos utilizar, porém, três algarismos em cada unidade 
no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). 
Exemplos. 
• Leia a seguinte medida: 75,84m3 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 75, 840 
 Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". 
 
 
 
 
 80 
• Leia a medida: 0,0064dm3 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 0, 006 400 
 Lê-se "6400 centímetros cúbicos". 
 
 
 
• Medidas de capacidade 
 
 A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal 
quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. 
Capacidade é o volume interno de um recipiente. 
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. 
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 
 1l = 1dm 3 
 
 Múltiplos e submúltiplos do litro 
 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro 
kl hl dal l dl cl ml 
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
Relações 
1l = 1dm3 
1ml = 1cm3 
1kl = 1m3 
 Leitura das medidas de capacidade 
• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal 
kl hl dal l dl cl ml 
 2, 4 7 8 
 Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". 
 81 
 
Transformação de unidades 
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, 
devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a 
unidade imediatamente inferior . 
 
 Observe a seguinte transformação: 
• transformar 3,19 l para ml. 
kl hl dal l dl cl ml 
Para transformar l para ml (três posições à direita ) devemos multiplicar por 
1.000 (10x10x10). 
3,19 x 1.000 = 3.190 ml 
 
 Pratique! Tente resolver esses exercícios: 
 1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl) 
 2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 
 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 
 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l) 
 
• Medidas de tempo 
 
 
Unidade Símbolo Equivalência 
Segundo s 
Minuto min 1 min = 60s 
Hora h 1h = 3600s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 82 
 Resoluções de Problemas 
 
 
1. Calcule quantos metros estão 
contidos em: 
3
2
)108
)10
)3000
)10
a km
b cm
c mm
d mm−
 
 
 
2. Transforme em quilômetros: 
 
)36000
)3600
)5160000
)5800000000
a m
b m
c cm
d mm
 
 
3. A espessura de uma folha de papel é 
de 0,05mm. Seiscentas mil folhas 
iguais a essa foram empilhadas até 
atingirem uma altura. Calcule em 
metros essa altura. 
 
 
4. Sabendo que a distância entre a 
Terra e a Lua é de 384 000 km, 
aproximadamente, e que entre a 
Terra e o Sol é de 150 000 000 km, 
aproximadamente, quantas vezes a 
primeira distância está contida na 
segunda? 
 
 
 
5. Calcule quantos gramas estão 
contidos em: 
 
5
)75
)0,8
)10
a kg
b mg
c kg−
 
 
 
 
6. Calcule o número de segundos de: 
 
a) 1 minuto 
 
b) 1 hora 
 
c) 1 dia 
 
d) 1 mês 
 
 
 
7. Qual é duração de um espetáculo 
teatral que se inicia às 19h 20min 10s 
e termina às 22h 12min 15s? 
 
 
 
8. Uma dona de casa curiosa teve a 
idéia de descobrir a massa de um 
grão de feijão. Utilizando uma balança 
descobriu que a massa de 1000 grãos 
era de 0,57 kg. Descreva de que 
maneira, com esses dados, ela pode 
obter a massa do grão de feijão em 
miligramas. 
 
 
9. (Fuvest-SP) No estádio do Morumbi 
120 000 torcedores assistem a um 
jogo.Através de cada uma das 6 
saídas disponíveis podem passar 
1000 pessoas por minuto. Qual o 
tempo mínimo necessário para 
esvaziar o estádio? 
 
 
 
 83 
10. (Unifor-CE) Considerando que cada 
aula dura 50min, o intervalo de tempo 
de duas aulas seguidas, expresso em 
segundos, é de: 
 
 
2
3
3
3
3
)3,0 10
)3,0 10
)3,6 10
)6,0 10
)7,2 10
a
b
c
d
e
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
 
 
11. (Vunesp-SP) O intervalo de tempo de 
2,4 min equivale, no Sistema 
Internacional de Unidades (SI), a: 
 
a) 24s 
b) 124s 
c) 144sX 
d) 160s 
e) 240s 
 
12. Um fenômeno tem início no instante 
t1= 9h 14min 30s e termina no 
instante t2 = 11h 35min 20s. 
Determine a duração do intervalo de 
tempo em que ocorreu o fenômeno. 
13. Quantos centímetros há em 2Km? 
a) 2 000 
b) 20 000 
c) 200 000 X 
d) 2 000 000 
 
14. Um intervalo de tempo de 0,7h 
corresponde a : 
a) 7 minutos 
b) 42minutos X 
c) 70 minutos 
d) 1 hora e 10 minutos 
15. Determine a sentença falsa : 
a) 2,5m = 250cm 
b) 2,5m = 2 500mm 
c) 3,45Km = 345m X 
d) 3,45Km = 345 000cm 
16. Cada bolacha recheada pesa 0,01 
Kg. Essas bolachas são embaladas 
em pacotes de 20, que são 
agrupadas em caixas com 100 
pacotes. Quantos quilos têm cada 
caixa? 
a) 2 
b) 8 
c) 10 
d) 20 X 
17. Uma cesta pequena de morango pesa 
0,35 Kg. Um feirante leva, para 
vender, 800 dessas cestas. A quantos 
quilogramas isso corresponde? 
a) 280 X 
b) 70 
c) 28 
d) 7 
18. Uma área de 2 m2 eqüivale a quantos 
centímetros quadrados? 
a) 20 cm2 
b) 200 cm2 
c) 2 000 cm2 
d) 20 000 cm2 X 
 84 
19. Uma área de 3 Km2 eqüivale a 
quantos metros quadrados? 
a) 3 000 000 m2 X 
b) 300 000 m2 
c) 30 000 m2 
d) 3 000 m2 
20. Um sítio é retangular e tem 600 m de 
comprimento e 200 m de largura.Sabendo que l hectare é igual a 10 
000 m2, conclui-se que a área do sítio 
é de : 
a) 1,2 hectare 
b) 120 hectares 
c) 12 hectares X 
d) 1 200 hectares 
 
21. Uma caixa da água com a forma de 
bloco retangular, com dimensões de 1 m 
pôr 1,20 m pôr 0,80 m, tem uma 
capacidade de: 
a) 9,6 L 
b) 96 L 
c) 960 L X 
d) 9 600 L 
e) 96 000 L 
 
22. Você já sabe 1 L é a quantidade de 
líquido que cabe numa caneca como a que 
está na figura. Daí, devemos concluir que: 
a) 1 L = 10 cm3 
b) 1 L = 1 dm3 X 
c) 1 L = 100cm3 
d) 1 L = 3dm3 
 
23. Uma garrafa contém 450 ml de suco. 
Juntando esse suco com 1l de água, 
obtivemos 12 copos de refresco. Quantos 
mililitros de refresco contêm cada copo, 
aproximadamente? 
a) 150 ml 
b) 140 ml 
c) 130 ml 
d) 120 ml X 
 
24. Um aquário tem a forma de um bloco 
retangular, com 30 cm de comprimento, 20 
cm de largura e 20 cm de altura. Estando 
cheio até a boca, quantos litros de água o 
aquário vai conter? 
a) 6 L 
b) 9 L 
c) 12 L X 
d) 14 L 
 
 
 85 
 
Espaço reservado para seus registros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 87 
 
 Noções básicas de lógica 
 
 
 
 
 
 
 
Os dois princípios fundamentais 
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , 
não havendo outra alternativa. 
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo 
verdadeira e falsa. 
Proposição 
 
 Proposição ou sentença é toda oração declarativa que pode ser classificada de 
verdadeira ou falsa 
Toda proposição é uma frase, mas nem toda frase é uma proposição, uma frase é uma 
proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou 
Verdadeiro (V). 
1. Frases que não são proposições 
o Pare! 
o Quer uma xícara de café? 
o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 
2. Frases que são proposições 
o A lua é o único satélite do planeta terra (V) 
o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) 
o O numero 712 é ímpar (F) 
o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 
 
 
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da 
demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, 
sobretudo através das idéias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da 
Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar 
proposições e suas inter-relações. 
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por 
alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. 
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas 
também conhecidas como proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios 
fundamentais 
 88 
 
� Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) 
para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras 
( 1 ou V ). 
� As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, ... 
 
Símbolos utilizados na Lógica Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conectivos 
Operações lógicas 
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos 
∧ , ∨ , → e ↔ , dando origem ao que conhecemos como proposições 
compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples, poderemos então 
formar as seguintes proposições compostas: 
p∧ q , p∨ q , p→ q , p↔ q 
∼∼∼∼ não 
∧ e 
∨ ou 
→ se ... então 
↔↔↔↔ se e somente se 
| tal que 
⇒⇒⇒⇒ implica 
⇔⇔⇔⇔ equivalente 
∃∃∃∃ existe 
∃∃∃∃ |||| existe um e somente um 
∀∀∀∀ qualquer que seja 
 89 
(Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior). 
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme 
veremos a seguir: 
� Conjunção (ou implicação): p∧ q (lê-se "p e q " ) 
� Disjunção: p∨ q (lê-se "p ou q ") 
� Condicional: p→ q (lê-se "se p então q " ) 
� Bi-condicional (ou equivalência): p↔ q ( "p se e somente se q") 
 
TABELA VERDADE . 
p q p∧∧∧∧ q p∨∨∨∨ q p→→→→ q p↔↔↔↔ q 
V V V V V V 
V F F V F F 
F V F V V F 
F F F F V V 
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: 
• a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são 
verdadeiras. 
• a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. 
• a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é 
verdadeira e a segunda falsa. 
• a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem 
valores lógicos iguais. 
Ex.: Dadas as proposições simples: 
 
p: O Sol não é uma estrela (F) 
 
q: 3 + 5 = 8 (V ) 
 
Temos: 
p∧ q tem valor lógico F 
p∨ q tem valor lógico V 
p→ q tem valor lógico V 
p↔ q tem valor lógico F 
Assim, a proposição composta 
 90 
 "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" 
 É logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do 
contexto da frase! 
Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V 
valor lógico falso = 0 ou F 
 
 Condicional (ou implicação) 
Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as 
regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou 
seja: 
a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. 
A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas. 
A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos. 
Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de 
modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas: 
p q p→→→→ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise: 
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos 
conduza a outra proposição q, consideraremos que p→ q é verdadeira. 
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima: 
1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de 
uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p→ q é 
verdadeira. 
2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma 
proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, 
p→ q é falsa. 
3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através 
de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de 
entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: 
Sejam as proposições: 
 91 
p: 10 = 5 (valor lógico F) 
q: 15 = 15 (valor lógico V) 
 
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p 
(falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 
5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e 
portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um 
raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p→ q é verdadeira 
4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através 
de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos: 
Sejam as proposições: 
p: 10 = 5 (valor lógico F) 
q: 19 = 9 (valor lógico F) 
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p 
FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, 
subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora 
membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 
= 9, que é a proposição q dada. Logo, p→ q é verdadeira (V). 
Exemplos: 
1. Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual 
o valor lógico da proposição composta r: (p∧ ∼ q) → q ? 
Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: 
p = V , q = F e ~q = V . 
r: (V ∧ V) → F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V → F e 
portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0. 
2. Qual das afirmações abaixo é falsa? 
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4. 
b) a soma de dois números paresé um número par e 72 = 49. 
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. 
d) se 102 = 100 então todo número inteiro é natural. 
e) 2 = 32 - 7 ou a Terra é plana. 
Solução: Analisando os valores lógicos das proposições 
simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, 
concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, 
uma vez que 102 = 100 é V e "todo número inteiro é 
natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, 
mas não é natural) . Portanto, temos V → F , que sabemos 
ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima). 
 
 92 
 
 O Modificador Negação 
Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p .(Lê-se “não p " ). 
 Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V ) 
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F ) 
 
 Leis complementares 
~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação) 
p ∧ ~p = (F) 
p ∨ ~p = (V) 
~(V) = (F) 
~(F) =(V) 
 
Negação da condicional 
 
~(p→ q) = p∧ ~q 
Tabela1: Tabela 2: 
 
 
 
 
p q ~q p∧∧∧∧ ~q 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
p q p→→→→ q ~(p→→→→ q) 
V V V F 
V F F V 
F V V F 
F F V F 
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou 
seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p 
 93 
Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que 
elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F , o que 
significa que ~(p→ q) = p∧ ~q . 
Exemplos: 
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? 
Resposta. "Eu não estudo ou não aprendo". 
2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" 
? 
 "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". 
3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ? 
"Eu estudo e não aprendo" 
 
 Tautologias e Contradições 
Considere a proposição composta s: (p∧ q) → (p∨ q) onde p e q são 
proposições simples 
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s : 
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: 
p q p∧∧∧∧ q p∨∨∨∨ q (p∧∧∧∧ q) →→→→ (p∨∨∨∨ q) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples 
p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos 
então que s é uma TAUTOLOGIA. 
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é 
um planeta 
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), 
podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra 
é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é 
uma proposição logicamente verdadeira. 
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição 
composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma 
CONTRADIÇÃO. 
 94 
 
 
Exemplo.: A proposição composta t: p ∧ ~p é uma contradição, senão vejamos: 
p ~p p∧∧∧∧ ~p 
V F F 
F V F 
NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a 
sua tabela verdade possuirá 2n linhas. 
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p∧ q) ∨ r 
Teremos: 
p q r (p∧∧∧∧ q) (p∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ r 
V V V V V 
V V F V V 
V F V F V 
V F F F F 
F V V F V 
F V F F F 
F F V F V 
F F F F F 
Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição. 
Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá 
verificá-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: 
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as 
seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS: 
1) (p∧ q) → p 
2) p → (p∨ q) 
3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus 
ponens") 
4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus 
tollens") 
 95 
Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas 
acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última 
coluna da tabela verdade teremos V V V V. 
NOTAS: 
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. 
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação 
de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição. 
 
 Situações – Problema de raciocínio lógico 
 
1. Classificar em verdadeira ou 
falsa cada uma das 
proposições: 
 
2 2
)2 1 1 5 7 3 4
)2 4 ( 2) 4
)5 7 1 10 3 3 9
)6 2 6 2 0
3 2
) 3 7 2 5
5 7
a
b
c
d
e
− = → + = ⋅
= ↔ − =
+ ⋅ = → ⋅ =
≤ ↔ − ≥
< → ⋅ = ⋅
 
2. (UFBA) A proposição 
p q q r∨ → ∧� é verdadeira, 
se: 
a) p e q são verdadeiras 
e r, falsa 
b) p e q são falsas e r, 
verdadeira 
c) p e r são falsas e q, 
verdadeira 
d) p, q e r são 
verdadeiras x 
e) p, q e r são falsas 
 
3. Quando João estava 
passeando com seu cachorro, 
encontrou o filho do marido da 
filha única de sua sogra. Qual 
é o parentesco dele com João? 
4. Que número falta nesta 
seqüência? 
1 3 9 __ 81 243 
 
5. Qual dos provérbios abaixo se 
liga melhor com o significado 
da frase "Nem tudo que reluz é 
ouro"? 
a. De grão em grão a galinha 
enche o papo 
b. Deus ajuda quem cedo 
madruga 
c. Quem vê cara não vê 
coração 
d. Há uma luz no fundo do 
túnel 
e. Mais vale um pássaro na 
mão que dois voando 
6. Outro dia, encontrei uma 
pessoa amiga minha que eu 
não via havia cinco anos e que 
é piloto de provas; 
entrementes tinha se casado e 
acabara de realizar uma volta 
ao mundo em balão. Junto 
estava uma garotinha de uns 2 
anos de idade. "Como é o 
nome dela?", perguntei-lhe. "É 
o mesmo da mãe dela", falou a 
pessoa. "Oi, Suzana", eu disse 
 96 
à garota. Como foi que 
descobri o nome dela? 
7. Quantos blocos há nesta 
construção? 
 
 
8. Abaixo estão as letras 
misturadas do nome de um 
objeto comum. Que objeto é 
esse? 
R R R R F G I A E E O D 
 
9. Se Dora tem 10 anos, 
Margarida tem 20 e Tim e Zé 
têm ambos 5, mas Marta tem 
10, quantos anos tem 
Rosinha? 
 
10. Se hoje é segunda-feira, qual 
é o dia depois do dia antes do 
dia antes de amanhã? 
 
11. Qual das seguintes palavras é 
menos parecida com as 
demais? 
a. Casa 
b. Palácio 
c. Caverna 
d. Mansão 
e. Estábulo 
f. Canil 
 
12. Por quantos noves você passa 
quando conta de 1 a 100? 
 
13. Complete a analogia com uma 
das palavras abaixo: o 
rabanete está para a batata 
assim como o pêssego está 
para... 
a. O morango 
b. A maçã 
c. O amendoim 
d. O tomate 
e. A uva 
 
14. Ana tem o mesmo número de 
irmãs que tem de irmãos, mas 
seu irmão Carlos tem duas 
vezes mais irmãs que irmãos. 
Quantos meninos e quantas 
meninas existem nessa 
família? 
 
15. Que letra se seguiria 
logicamente a esta série? 
J, F, M, A, M, J, ? 
a. M 
b. J 
c. E 
d. R 
 
16. Qual é a árvore que contém 
todas as vogais, A E I O U 
(não nessa ordem)? 
 
 97 
17. Abaixo se vê um triângulo 
dobrado. Qual dos diagramas 
mostra o triângulo como ele 
seria caso fosse desdobrado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. A seguinte frase é um provérbio 
bastante comum, escrito de uma 
forma complicada. Diga qual é ele 
"As pessoas que residem dentro de 
construções vítreas fariam muito 
bem se evitassem atirar objetos 
pesados" 
 
19. O espião foi facilmente 
capturado. A sua mensagem era 
tão simples que o capitão 
imediatamente se deu conta de sua 
importância. Aqui está ela. Na 
verdade, o que diz? 
ALICE: TITO ALERTA CÉLULAS 
ACERCA RAZÃO DE ENORME 
MOVIMENTAÇÃO ALIADOS, 
DEVIDO REBENTAMENTO UMA 
GRANADA. AVISE DORITA 
AGORA 
 
20. Todas as vogais foram retiradas 
desta frase e as letras restantes, 
agrupadas em grupos de três. Que 
frase é esta? 
QMN RRS CNP TSC 
 
21. Uma certa regra foi seguida nos 
quadrados numéricos abaixo. 
Descubra qual é e preencha o 
ponto de interrogação com o 
númerocorreto (a regra aplica-se 
vertical e horizontalmente) 
 
 
 
 
 
 
 22. Qual dos desenhos marcados 
com letra completa melhor a 
seqüência abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 4 6 
6 1 ? 
4 4 1 
15 3 5 
5 1 5 
3 3 1 
 98 
GABARITO 
Raciocínio lógico parte 1 
1. 
)
)
)
)
)
a V V V
b V V V
c F V V
d F V F
e F F V
→ =
↔ =
→ =
↔ =
→ =
 
2. letra d 
3. É seu filho. Desenhe um quadradinho e escreva nele "João". Noutro 
escreva "sogra"; num terceiro, "filha única", que tem de ser a mulher de 
João. Depois faça outro para o filho, que obviamente também tem de 
ser o filho de João 
4. Vinte e sete. Cada número tem três vezes o valor do número 
precedente 
5. (c) Uma questão de conhecimentos gerais 
6. O piloto de provas é minha amiga Suzana. Você partiu do princípio 
de que todos os pilotos de provas são do sexo masculino? 
7. Dez. No canto de trás, a pilha é de três, embora você só veja o de 
cima. A segunda fila é de dois, com um bloco escondido segurando 
cada um. 
8. REFRIGERADOR 
9. Rosinha tem 15 anos, seguindo um raciocínio que dá cinco pontos a 
cada sílaba de cada nome 
10. É hoje mesmo, segunda-feira 
11. (c) Caverna. Todas as outras são construções feitas pelo homem 
12. Vinte 
13. (b) A maçã. Ambos são frutas que crescem nas árvores, do mesmo 
modo que o rabanete e a batata são legumes que crescem debaixo da 
terra 
14. Quatro meninas e três meninos 
15. (b) J. As letras são as iniciais dos meses do ano 
16. Sequóia (as respostas nogueira, cajueiro, eucalipto, cacaueiro, 
salgueiro e juazeiro também valem) 
17. (d) Você aqui só precisa procurar o anel branco num lado e o 
triângulo com três bolas no outro 
18. Quem tem telhado de vidro não deve jogar pedras 
19. ATACAR DE MADRUGADA. O capitão pegou a primeira letra de 
cada palavra. Com elas, montou a frase 
20. QUEM NÃO ARRISCA NÃO PETISCA 
21. Seis. O primeiro número de cada linha é dividido pelo segundo para 
se obter o terceiro 
22. (d) A figura de fora gira no sentido dos ponteiros do relógio, de 
quarto em quarto; a linha move-se do lado esquerdo para o lado direito 
e de volta novamente; a figura menor gira no sentido contrário ao dos 
ponteiros do relógio, de quarto em quarto 
 
 
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Raciocínio lógico parte II 
1. Sabe-se que existe pelo menos um A 
que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. 
Segue-se, portanto, necessariamente que: 
 a) todo C é B 
 b) todo C é A 
 c) algum A é C 
 d) nada que não seja C é A 
 
 
 
2. Se o jardim não é florido, então o gato 
mia. Se o jardim é florido, então o 
passarinho não canta. Ora, o passarinho 
canta. Logo: 
 a) o jardim é florido e o gato mia 
 b) o jardim é florido e o gato não mia 
 c) o jardim não é florido e o gato mia 
 d) o jardim não é florido e o gato não mia 
 
 
 
3. Assinale a alternativa que substitui 
corretamente a interrogação na seguinte 
seqüência numérica: 6 11 ? 27 
 a) 15 
 b) 13 
 c) 18 
 d) 57 
 
4. Considere verdadeira a declaração: 
"Todo prudentino conhece a cidade de 
Presidente Prudente". 
Com base nessa declaração, assinale a 
opção que corresponde a uma 
argumentação correta. 
 a) Ana não conhece Presidente Prudente, 
portanto não é prudentina. 
 b) Bruna conhece Presidente Prudente, 
portanto não é prudentina. 
 c) Cláudia conhece Presidente Prudente, 
portanto é prudentina. 
 d) Dora não é prudentina, portanto não 
conhece Presidente Prudente. 
 
 
5. Caso Antonio seja mais alto que o 
Atanásio e Maurício seja mais baixo que o 
Antonio, mas não seja o mais baixo dos 
três, podemos concluir que Atanásio é o 
mais baixo dos três. Diante da conclusão 
apresentada, podemos afirmar que ela é: 
 a) Necessariamente verdadeira. 
 b) Verdadeira, mas não necessariamente. 
 c) Necessariamente falsa. 
 d) Falsa, mas não necessariamente. 
 
6. Considere como verdadeiras as 
seguintes hipóteses. 
 
1. Todo felino é um quadrúpede. 
2. Todo quadrúpede é um anfíbio. 
3. Nenhum mamífero é anfíbio 
4. O gato Miau é um mamífero. 
5. O gato Miau é uma onça. 
 
Tendo apenas essas cinco hipóteses como 
premissas, assinale alternativa que se 
segue logicamente como conclusão. 
 a) Algum felino não é anfíbio. 
 b) Todo felino é mamífero. 
 c) Nem toda onça é um felino. 
 d) O gato Miau é um felino. 
 
7. Dividindo x em três partes tais que a 
terceira seja a quarta parte da segunda, e a 
segunda seja a terça parte da primeira, 
obteremos os três números, tais que o 
dobro do primeiro menos três vezes o 
segundo, mais oito vezes a terceira parte, 
resultará em 80. Qual é o valor de x? 
 a) 68. 
 b) 48. 
 c) 58. 
 d) 98. 
 
8. 2 melancias custam o mesmo que 9 
laranjas mais 6 bananas; além disso, meia 
dúzia de bananas custa a metade de uma 
melancia. Portanto, o preço pago por uma 
dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas 
é igual ao preço de: 
 a) 3 melancias 
 b) 4 melancias 
 c) 6 melancias 
 d) 5 melancias 
 
 100 
 
9. Em uma pequena comunidade, sabe-se 
que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns 
professores são ricos". Assim, pode-se 
afirmar, corretamente, que nesta 
comunidade: 
 a) alguns filósofos são professores 
 b) alguns professores são filósofos 
 c) nenhum filósofo é professor 
 d) alguns professores não são filósofos 
10. Madalena tinha vários biscoitos. Depois 
de comer um, deu metade do que restou 
para a irmã. Depois de comer outro 
biscoito, deu a metade do que restou ao 
irmão. Agora só lhe restam cinco biscoitos. 
Quantos biscoitos ela tinha inicialmente? 
 
a) 11 b) 22 
c) 23 d) 45 
 
11. Num concurso de saltos, Otávio foi, 
simultaneamente, o 13º melhor e o 13º pior. 
Quantas pessoas estavam na competição? 
 
a)13 b) 25 
c) 26 d) 27 
 
12. Se algumas vacas tiverem chifres, e 
todos os porcos comerem animais com 
chifres, qual das seguintes afirmações pode 
ser verdadeira: 
 
a)Todas as vacas seriam comidas por 
porcos. 
b) Todos os porcos seriam comidos por 
vacas. 
c)Algumas vacas seriam comidas por 
porcos. 
d) Nenhuma das anteriores. 
13. Os cães verdes são animais 
verdadeiros. 
Todos os animais verdadeiros precisam de 
comida. 
Portanto: 
a) O meu cão é verde porque precisa de 
comida. 
b) Cães, todos verdes, precisam de comida. 
 
c) Certos cães verdes não precisam de 
comida. 
d) Alguns cães verdes não são animais 
verdadeiros. 
 
14.Qual o próximo número da seqüência 
abaixo? 
 
1, 2, 4, 7, 11,... 
 
 
15. Três amigas encontram-se em uma 
festa. O vestido de uma delas é azul,o de 
outra é preto, e o da outra é branco. Elas 
calçam pares de sapatos destas mesmas 
três cores, mas somente Ana está com 
vestido e sapatos de mesma cor. Nem o 
vestido nem os sapatos de Júlia são 
brancos. Marisa está com sapatos azuis. 
Desse modo: 
 
 a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é 
preto. 
 b) o vestido de Júlia é branco e seus 
sapatos são pretos. 
 c) os sapatos de Júlia são pretos e os de 
Ana são brancos. 
 d) os sapatos de Ana são pretos e o 
vestido de Marisa é branco. 
 
 
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Gabarito 
Raciocínio lógico 
Parte II 
1 c 11 b 
2 c 12 c 
3 c 13 b 
4 a 14 16 
5 a 15 c 
6 c 
7 a 
8 a 
9 d 
10 c