20-Ondas_Sonoras

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II 
1 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE 
JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 18 – ONDAS II 
 
08. A velocidade do som em um certo metal é V. Em uma extremidade de um longo tubo deste 
metal, de comprimento L, se produz um som. Um ouvinte do outro lado do tubo ouve dois sons, 
um da onda que se propaga pelo tubo e outro da que se propaga pelo ar. (a) Se v é a velocidade 
do som no ar, que intervalo de tempo t ocorre entre os dois sons? (b) Supondo que t = 1,00 s e 
que o metal é o ferro, encontre o comprimento L. 
 (Pág. 157) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
(a) O ouvinte ouve dois sons devido à propagação do barulho metálico através do ar var e do metal 
vmet. O tempo decorrido para o som percorrer a distância L através do ar (tar) é: 
 ar
ar
L
t
v
= 
O tempo decorrido para o som percorrer a distância L através da barra metálica (tmet) é: 
 met
met
L
t
v
= 
O intervalo de tempo entre os dois sons vale: 
 
ar mett t t = − 
 
ar met
1 1
t L
v v
 
 = − 
 
 
(b) Se t = 1,00 s, o comprimento da barra será de: 
 
( )
( ) ( )ar met
1,00 s
364,016 m
1 1 1 1
343 m/s 5.941 m/s
t
L
v v

= = =
− −
 
 364 mL  
 
11. Uma pedra é jogada num poço. O som da pedra se chocando com a água é ouvido 3,0 s depois. 
Qual é a profundidade do poço? 
 (Pág. 158) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
vmet
var
L
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2 
 
O tempo t para ouvir o som do impacto após o lançamento corresponde à soma do tempo de queda 
livre da pedra tq e do tempo que o som leva para subir do fundo do poço até o ouvido do observador 
ts. 
 q st t t= + (1) 
O tempo de queda livre da pedra é obtido por meio da análise do movimento acelerado da pedra: 
 2
0 0
1
2
yy y v t gt− = − 
 2
1
0 0.
2
q qH t gt− = − 
 
2
q
H
t
g
= (2) 
O som sobe o poço com velocidade constante, que é a velocidade do som no ar vs: 
 
0y y vt= + 
 0 s sH v t= + 
 s
s
H
t
v
= (3) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
2
s
H H
t
g v
= + 
 
2 1
0
s
H H t
g v
+ − = 
Chamando-se H h= e H = h2, teremos: 
 2
1 2
0
s
h h t
v g
+ − = 
 
( ) ( )
( )2
2
1 2
3,00 s 0
343 m/s 9,81 m/s
h h+ − = 
Resolvendo-se a equação do segundo grau: 
 
1/2
1 161,254 mh = − 
 
1/2
2 6,3812 mh = 
A resposta coerente é obtida com h = h2: 
0
y
H
vs
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3 
 ( )
2
2 1/2
2 6,3812 m 40,7202 mH h= = = 
 40,7 mH  
Obs.: O uso de h1 resultaria em H  26 km, o que seria um absurdo devido ao curto tempo gasto 
para ouvir o som, que foi de 3,00 s. Outra coisa: o tempo ts  0,12 s representa cerca de 4% 
do tempo total t. 
 
17. (a) Uma onda senoidal longitudinal contínua é enviada através de determinada mola, por meio 
de uma fonte oscilante conectada a ela. A frequência da fonte é de 25 Hz e a distância entre 
pontos sucessivos da máxima expansão da mola é de 24 cm. Encontre a velocidade com que a 
onda se propaga na mola. (b) Se o deslocamento longitudinal máximo de uma partícula na mola 
é de 0,30 cm e a onda se move no sentido −x, escreva a equação da onda. Considere a fonte em 
x = 0 e o deslocamento nulo em x = 0 quando t = 0 também é zero. 
 (Pág. 158) 
Solução. 
(a) A velocidade de propagação da onda vale: 
 ( )( )10,24 m 25 sv f −= = 
 6,0 m/sv = 
(b) Uma onda longitudinal, s(x,t), que se propaga no sentido negativo de x possui a seguinte equação: 
 ( )( , ) senx t ms s kx t = + + 
A amplitude sm foi dada no enunciado (0,30 cm). O número de onda angular k vale: 
 
( )
2 2
0,2617 rad/cm 0,26 rad/cm
24 cm
k
 

= = =  
A frequência angular  vale: 
 ( )12 2 25 s 157,07 rad/s 160 rad/sf   −= = =  
O enunciado diz que em x = 0 e t = 0, s(0,0) = 0. Para que isso ocorra, devemos ter: 
 ( )(0,0) sen 0 0ms s k  = + + 
 ( )0 senms = 
 sen 0 = 
Ou seja,  = n, n = 0, 1, 2, etc. Tomando-se n =0,  = 0. Logo: 
 ( ) ( ) ( )( , ) 0,30 cm sen 0,26 rad/cm 160 rad/sx ts x t = +  
 
18. A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação 
 ( ) ( ) ( )1 11,5 Pa sen 1,00 m 330 sp x t − −  = −  
Encontre (a) a amplitude da pressão, (b) a frequência, (c) o comprimento de onda e (d) a 
velocidade da onda. 
 (Pág. 158) 
Solução. 
(a) A equação geral de uma onda de pressão é: 
 ( )( , ) senx t mp p kx t  =  − + 
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Comparando-se esta expressão com a função de onda fornecida no enunciado, vemos que a 
amplitude de pressão vale: 
 1,5 Pamp = 
(b) A comparação entre as expressões acima revela que a frequência angular vale  = 330 rad/s. 
Logo, a frequência vale: 
 
( )330 rad/s
2 2
f

 
= = 
 165 Hzf = 
(c) O comprimento de onda vale: 
 
( )1
2 2
1,00 mk
 

−
= = 
 2,00 m = 
(d) A velocidade de propagação da onda é: 
 ( )( )12,00 m 165 sv f −= = 
 330 m/sv = 
 
19. Duas ondas sonoras, originárias de duas fontes diferentes e com a mesma frequência, 540 Hz, 
viajam à velocidade de 330 m/s. As fontes estão em fase. Qual a diferença entre as fases das 
ondas em um ponto que dista 4,40 m de uma fonte e 4,00 m da outra? As ondas se propagam na 
mesma direção. 
 (Pág. 158) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
Para ondas de mesma frequência, originadas de fontes sonoras em fase, vale a proporção: 
 
2
d
 

= 
Onde  é o comprimento de onda das ondas, d é a diferença entre as distâncias d1 e d2 medidas 
entre as fontes 1 e 2 e um dado ponto P e  é a diferença de fase entre as ondas observada no ponto 
P. Logo: 
 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 2d d d d f d d
v v
f
  


− − −
= = = 
P
d1
v
v
d2
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( ) ( ) ( )
( )
12 540 s 4,40 m 4,00 m
4,1126 rad
330 m/s


−  − 
= = 
 4,11 rad  
 
21. Na Fig. 18-25, dois alto-falantes, separados por uma distância de 2,00 m, estão em fase. 
Supondo que a amplitude dos sons dos dois seja, de modo aproximado, a mesma na posição do 
ouvinte, que está a 3,75 m diretamente à frente de um dos alto-falantes. (a) Para quais 
frequências audíveis (20 - 20.000 Hz) existe um sinal mínimo? (b) Para quais frequências o som 
fica ao máximo? 
 
 (Pág. 158) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
(a) O som chegará com sinal mínimo ao ouvinte quando a diferença entre os percursos AO e BO for 
igual a (n +1/2) , n = 0, 1, 2, etc. 
 
1
2
AO BOd d n 
 
− = + 
 
 
O
D
L
A B
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 ( )
1/ 2
2 2 1
2
v
D L L n
f
 
+ − = + 
 
 
 
( )
1/ 2
2 2
1
2
v
f n
D L L
 
= + 
  + −
 
 ( )1
1
686 s
2
f n −
 
= + 
 
 
Para que seja audível, a frequência da onda no ponto O deve ser 20 Hz  f  20 kHz. Logo: 
 n = 0 f = 343 Hz Audível 
 n = 1 f = 1.029 Hz Audível 
 ... ... ... 
 n = 28 f = 19.551 Hz Audível 
 n = 29 f = 20.237 Hz Inaudível 
Portanto, as frequências audíveis são dadas por: 
 ( )1
1
686 s
2
f n −
 
= + 
 
, 0  n  28. 
(b) O som chegará com sinal máximo ao ponto O quando: 
 
AO BOd d n− = , n = 0, 1, 2, etc. 
 ( )
1/ 2
2 2 vD L L n
f
+ − = 
 
( )
1/ 2
2 2
v
f n
D L L
=
+ −
 
 ( )1686 sf n −= 
Para que seja audível, a frequência da onda no ponto O deve ser 20 Hz  f  20 kHz. Logo: 
 n = 0 f = 0 Hz Não há onda 
 n = 1 f = 686 Hz Audível 
 ... ... ... 
 n = 29 f = 19.894 Hz Audível 
 n = 30 f = 20.580 Hz Inaudível 
Portanto, as frequências audíveis são dadas por: 
 ( )1686 sf n −= , 0  n  29. 
 
24. Uma onda sonora de comprimento de onda 40,0 cm entra no tubo mostrado na Fig. 18-26. Qual 
deve ser o menor raio r, de modo que um mínimo seja registrado pelo detector? 
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7 
 
 (Pág. 158) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
O ruído será mínimo no ponto B quando o nível de interferência entre as ondas que lá chegam for 
máximo, ou seja, quando as ondas que percorrem o caminho reto de A até B e as ondas que 
percorrem o caminho curvo chegarem a B com diferença de fase  igual a . Como no ponto A as 
ondas estão em fase e possuem a mesma frequência, vale a proporção: 
 
2
d
 

= 
Na expressão acima,  é o comprimento de onda das ondas, d é a diferença entre os comprimentos 
dos caminhos reto e curvo de A até B. Logo: 
 
2
2
r r 
 
−
= 
 ( )2
2
r

= − 
 
( )
( )
( )
0,400 m
0,1751 m
2 2 2 2
r

 
= = =
− −
 
 0,175 mr  
 
33. Um certo alto-falante produz um som com frequência de 2.000 Hz e uma intensidade de 0,960 
mW/m2 à distância de 6,10 m. Supondo que não há reflexões e que o alto-falante emite 
igualmente em todas as direções. (a) Qual é a intensidade a 30,0 m? (b) Qual a amplitude de 
deslocamento a 6,10 m ? (c) Qual a amplitude de pressão a 6,10 m? 
 (Pág. 159) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
(a) A intensidade sonora é definida como a potência transmitida pela onda por unidade de área da 
frente de onda, que, no presente caso, é esférica. Para a onda que chega ao ponto 1 temos: 
 1 2
14
P
I
r
= 
BA
2r
r
Interferência
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Para a onda que chega ao ponto 2: 
 2 2
24
P
I
r
= 
Logo: 
 
2
2 1
2
1 2
I r
I r
= 
 
( )
( )
( )
22
2 21
2 1 22
2
6,10 m
0,960 mW/m 0,0396906 mW/m
30 m
r
I I
r
= = = 
 
2
2 39,7 W/mI  
(b) A intensidade I sonora depende do quadrado da amplitude de deslocamento sm de acordo com a 
seguinte relação: 
 2 2
1 1
1
2
mI v s = 
 
( )
( )
( )( ) ( )
3 2
71 1
1 2 22
3 1
2 0,960 10 W/m2 2
1,7115 10 m
2 1,21 kg/m 343 m/s 2 2.000 s
m
I I
s
v v f    
−
−
−

= = = =  
 
7
1 1,71 10 mms
−  
(c) A amplitude de pressão pm vale: 
 ( )1 1 12m m mp v s v f s   = = 
 ( )( ) ( )( )3 1 71 343 m/s 1,21 kg/m 2 2.000 s 1,7115 10 m 0,89266 Pamp  − − =  = 
 
1 0,893 Pamp  
 
38. Uma onda progride uniformemente em todas as direções, a partir de uma fonte puntiforme. (a) 
Justifique a seguinte expressão para o deslocamento y do meio a qualquer distância r da fonte: 
 ( )sen
Y
y k r vt
r
= − . 
Considere a velocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais 
são as dimensões da constante Y. 
 (Pág. 159) 
Solução. 
(a) No esquema abaixo, a uma distância r1 da fonte sonora F, a intensidade da onda é I1 e a área da 
frente de onda é A1. Pode-se afirmar que a potência transmitida P é a mesma para cada frente de 
onda. 
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Logo: 
 
21 PP = 
 
2211 AIAI = (1) 
Mas: 
 
222/1 myvI = (2) 
Ou seja: 
 
2
myI  
Substituindo-se (2) em (1) e simplificando-se: 
 2
2
21
2
1 AyAy mm = 
 
2
2
2
2
2
1
2
1 44 ryry mm  = 
 
2222
2
2
2
2
1
2
1 YCteryryry mmm ==== 
O termo constante foi arbitrariamente chamado de Y. A amplitude de deslocamento ym da onda 
sonora vale: 
 
r
Y
ym = (3) 
A equação geral de uma onda sonora progressiva, em termos de deslocamento é: 
 )sen(),(  +−= tkxyy mtx 
Considerando-se que a constante de fase  = 0 (arbitrário) e que a coordenada x é r: 
 )sen(),( tkryy mtr −= (4) 
Multiplicando-se e dividindo-se o argumento da função seno de (4) por k, o número de onda 
angular, e substituindo-se o valor de ym dado por (3): 
 )(sen),( vtrk
r
Y
y tr −= (5) 
Em (5), foi usada a identidade v = /k. 
(b) Como ym e r devem ter dimensão L, cuja unidade SI é o metro, a constante Y deverá ter 
dimensão L2. 
 
41. Você está parado a uma distância D de uma fonte que emite ondas sonoras, de forma igual, em 
todas as direções. Caminha 50,0 m em direção à fonte e observa que a intensidade das ondas foi 
F
r1
y
I1
r2
I2
A2
r
v
A
I
A1
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dobrada. Calcule a distância D. 
 (Pág. 159) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
A intensidade sonora I é definida como a potência transmitida P por unidade de área da frente de 
onda, que, neste problema, é esférica. A intensidade que chega ao observador 1 é: 
 1 2
14
P
I
D
= 
Para a onda que chega ao observador 2: 
 2 2
24
P
I
D
= 
Logo: 
 
2
2 1
2
1 2
I D
I D
= 
 
( )
2
1 1
2
1 1
2
50
I D
I D
=
−
 
 ( )
2 2
1 12 50 0D D− − = 
 
2
1 1200 5000 0D D− + = 
As raízes desta equação são: 
 
'
1 29,289 mD = 
 
''
1 170,711 mD = 
Como D1 tem que ser maior do que 50 m: 
 
1 171 mD  
 
43. Em um teste, um jato subsônico voa a uma altitude de 100 m. A intensidade do som no solo, 
quando o jato passa exatamente acima, é 150 dB. A que altitude o jato precisa voar para que o 
ruído no solo não ultrapasse 120 dB, o limite da sensação dolorosa? Ignore o tempo necessário 
para o som alcançar o chão. 
 (Pág. 159) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
I1 I2 = 2I1
D1
D250,0 m
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O nível sonoro  é definido como: 
 
0
10log
I
I
 = 
Na equação acima, I é a intensidade sonora e I0 é o nível sonoro correspondente ao limiar da 
audição humana, que é de 10−12 W/m2. Resolvendo-se para I: 
 
/10
010I I
= 
Para 1 = 150 dB, I1 = 103 W/m2 e 2 = 120 dB, I2 = 1 W/m2. A intensidadesonora é definida como: 
 
24
P
I
r
= 
Na equação acima, P é a potência média da fonte sonora e r é a distância da fonte onde a 
intensidade é I. No ponto 1, temos: 
 1 2
14
P
I
r
= 
No ponto 2: 
 2 2
24
P
I
r
= 
Logo: 
 
2
2 1
2
1 2
I r
I r
= 
 1
2 1
2
3.162,27 m
I
r r
I
= = 
 
2 3,16 kmr  
 
45. A Fig. 18-28 mostra um interferômetro acústico, cheio de ar, usado para demonstrar a 
interferência de ondas sonoras. S é um diafragma; D é um detector de som, como nosso ouvido 
ou um microfone. O comprimento SBD pode ser variado, enquanto o comprimento SAD é fixo. 
Em D, a onda sonora vindo de SBD interfere com a vinda de SAD. A intensidade do som em D 
tem um valor mínimo de 100 unidades em uma certa posição de B e cresce, de maneira 
contínua, até um valor máximo de 900 unidades quando B é deslocado de 1,65 cm. Encontre (a) 
1 2
r1
r2
1 2
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12 
a frequência do som emitido pela fonte e (b) a razão que a amplitude da onda de SAD tem com a 
amplitude da onda de SBD em D. (c) Como podem essas ondas terem diferentes amplitudes, se 
foram originadas pela mesma fonte S? 
 
 (Pág. 159) 
Solução. 
A condição para que a interferência observada em D varie de destrutiva para construtiva é: 
 ( )2
2
SBD SADd d

− = 
O membro esquerdo foi multiplicado por 2 pelo fato de ao movimentar B de uma unidade de 
distância para a direita, o comprimento do caminho SBD aumenta de duas unidades. 
 ( )2
2
SBD SAD
v
d d
f
− = 
 
( )
( )
( )
343 m/s
5.196,96 Hz
4 4 0,0165 mSBD SAD
v
f
d d
= = =
−
 
 5,20 kHzf  
(b) Seja Imax e Imin as intensidades sonoras máxima e mínima observadas em D. 
 2 2
max max
1
2
I v s = 
 2 2
min min
1
2
I v s = 
Logo: 
 
2
max max
2
min min
I s
I s
= (1) 
O enunciado diz que Imax = 900 unidades e Imax = 100 unidades. Além disso, podemos afirmar que 
smax é a soma das amplitudes de deslocamento das ondas que percorrem o caminho SAD e SBD 
(sSAD e sSBD). 
 
max SAD SBDs s s= + (2) 
De forma similar: 
 
min SAD SBDs s s= − (3) 
Substituindo-se (2) e (3) em (1): 
 
( )
( )
2
max
2
min
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9
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SAD SBD
SAD SBD
s sI
I s s
+
= = =
−
 
 3SAD SBD
SAD SBD
s s
s s
+
=
−
 
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
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13 
Logo: 
 2SAD SBDs s= 
(c) A amplitude diminui por causa das perdas por atrito viscoso do gás com as paredes da tubulação. 
A onda que percorre o maior caminho apresenta maior perda e, consequentemente, apresenta menor 
amplitude final. 
 
46. Dois alto-falantes, F1 e F2, estão a 7,0 m um do outro e oscilam em fase, cada um emitindo som 
na frequência de 200 Hz, de modo uniforme, em todas as direções. F1 emite uma potência de 
1,2 x 10−3 W e F2 a 1,8 x 10−
3 W. Seja um ponto P, que está a 4,0 m de F1 e 3,0 de F2. (a) Como 
as fases das duas ondas passando por P se relacionam? (b) Qual a intensidade do som em P com 
F1 e F2 ligadas? (c) Qual a intensidade do som em P, se F1 está desligado (F2 ligado)? (d) Qual 
a intensidade do som em P, se F2 está desligado (F1 ligado)? 
 (Pág. 160) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
(a) Como as ondas emitidas pelas fontes F1 e F2 estão em fase e possuem a mesma frequência, vale 
a proporção: 
 
2
d
 

=

 
Na expressão acima,  é o comprimento de onda das ondas, d é a diferença entre os comprimentos 
dos caminhos das fontes até o ponto P. Logo: 
 
( ) ( )1 2 1 2
2 2 2
P P P Pd d d dd
f
v v
f
   

− −
 = = = 
 
( ) ( )
( )
( )
4,0 m 3,0 m
2 200 Hz 3,6636 rad
343 m/s
 
 −  = = 
 3,7 rad  
(b) A intensidade do som de F1 em P I1P é: 
 
( )
( )
3
6 21
1 22
1
1,2 10 W
5,9683 10 W/m
4 4 4,0 m
P
P
P
I
r 
−
−

= = =  
Na equação acima, 1P é a potência média da fonte sonora F1 e r1P é a distância da fonte F1 onde a 
intensidade é I1P. De forma semelhante: 
 
( )
( )
3
5 22
2 22
2
1,8 10 W
1,5915 10 W/m
4 4 3,0 m
P
P
P
I
r 
−
−

= = =  
P
d1P d2P
F1 F2
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Logo, a intensidade total em P vale: 
 ( ) ( )6 2 5 2 5 21 2 5,9683 10 W/m 1,5915 10 W/m 2,1883 10 W/mP PI I I − − −= + =  +  =  
 5 22,2 10 W/mI −  
(c) De acordo com o item (b), se F1estiver desligado, teremos: 
 
5 2
2 1,6 10 W/mPI
−  
(d) De forma semelhante, se F2estiver desligado, teremos: 
 
6 2
1 6,0 10 W/mPI
−  
 
54. Um tubo de um órgão A, com as duas extremidades abertas, tem uma frequência fundamental de 
300 Hz. O terceiro harmônico do órgão B, com uma extremidade aberta, tem a mesma 
frequência que o segundo harmônico do A. Qual o comprimento (a) do tubo do órgão A e (b) do 
B. 
 (Pág. 160) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
(a) A formação de ondas sonoras estacionárias em um tubo de comprimento L com ambas as 
extremidades abertas dá-se nas seguintes frequências: 
 
2
n
nv
f
L
= , n = 1, 2, 3, etc. 
Na expressão acima, v é a velocidade do som no ar. Considerando-se o primeiro harmônico do tubo 
A: 
 
1
1.
2
A
A
v
f
L
= (1) 
 
( )
( )1
1
343 m/s
0,57166 m
2 2 300 s
A
A
v
L
f −
= = = 
 0,572 mAL  
(b) Segundo o enunciado do problema: 
 
3 2B A
f f= (2) 
Mas: 
fA1 fA2
LA
LB
fB3
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2 1
2. 1.
2 2
2 2
A A
A A
v v
f f
L L
= = = (3) 
Para um tubo com apenas uma de suas extremidades aberta, a formação de ondas sonoras 
estacionárias dá-se nas seguintes frequências: 
 
4
n
nv
f
L
= , n = 1, 3, 5, etc. (há somente harmônicos ímpares) 
Considerando-se o terceiro harmônico do tubo B, temos: 
 
3
3.
4
B
B
v
f
L
= (4) 
Substituindo-se (3) e (4) em (2): 
 
1
3
2
4
A
B
v
f
L
= 
Substituindo-se (1) na expressão acima: 
 
3
2
4 2B A
v v
L L
= 
 
( )3 0,57166 m3
0,42875 m
4 4
A
B
L
L = = = 
 0,429 mBL  
 
55. O nível de água em um tubo vertical de vidro com 1,00 m de comprimento pode ser ajustado em 
qualquer posição. Um diapasão vibrando a 686 Hz é colocado junto à extremidade aberta do 
tubo. Em quais posições da água irá haver ressonância? 
 (Pág. 160) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
No tubo esquematizado acima, que possui apenas uma de suas extremidades fechada, haverá 
formação de ondas sonoras estacionárias quando: 
H3
f
L
Espaço para formação 
de ondas estacionárias
f
H1
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4
H n

= , n = 1, 3, 5, etc e H  L. 
Como v = f: 
 
( )
( )1
343 m/s
0,125
4 4 686 s
nnv
H n
f −
= = = 
Para: n = 1 H1 = 0,125 m 
 n = 3 H3 = 0,375 m 
 n = 5 H5 = 0,625 m 
 n = 7 H7 = 0,875 m 
Estas são as posições do nível da água que satisfazem às condições do problema. 
Para: n = 9 H1 = 1,125m 
A formação do 9º harmônico não é possível, pois exigiria uma profundidade do nível da água H  
L. 
 
59. A menor frequência com que um poço com lados verticais e água no fundo entra em ressonância 
é 7,00 Hz. O ar no poço tem uma densidade de 1,10 kg/m3 e um módulo de elasticidade 
volumar de 1,33 × 105 Pa. Qual a profundidade do poço? 
 (Pág. 160) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
O poço funciona como um tubo com apenas uma das extremidades aberta. Nesse tipo de tubo, 
haverá formação de ondas sonoras estacionárias nas seguintes frequências: 
 
4
n
nv
f
L
= , n = 1, 3, 5, etc. (há somente harmônicos ímpares) 
A frequência do primeiro harmônico é: 
 
1
1.
4 4
v v
f
L L
= = 
Mas a velocidade do som no ar vale: 
 
B
v

= 
Logo: 
 
( )
( )
( )
5
1 3
1
1,33 10 Pa1 1
12, 4185 m
4 4 7,00 s 1,10 kg/m
B
L
f  −

= = = 
L
f1
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 12,4 mL  
 
60. Uma palma no palco de um anfiteatro (Fig. 18-31) produz ondas sonoras que se dispersam em 
uma arquibancada com degraus de largura L = 0,75 m. O som retorna ao palco como uma série 
de pulsos periódicos, um de cada degrau; os pulsos soam juntos como uma nota. A que 
frequência os pulsos retornarão (isto é, qual a frequência da nota recebida? 
 
 (Pág. 161) 
Solução. 
Observe o esquema a seguir: 
 
 
A pessoa bate palmas apenas uma vez, ou seja, emite um pulso sonoro. Os números 1, 2, 3, etc. 
representam instantes de tempo consecutivos e indicam a posição do pulso emitido e suas reflexões 
nos degraus. Cada reflexão está separada por uma distância 2L, que corresponde ao comprimento de 
onda da onda recebida de volta pela pessoa. A velocidade v da onda pode ser definida em termos 
do comprimento de onda  e do período T por: 
 v
T

= 
Logo: 
 
2L
T
v v

= = 
A frequência da onda refletida vale: 
 
( )
( )
343 m/s1
228,666 Hz
2 2 0,75 m
v
f
T L
= = = = 
 230 Hzf  
 
L
1
2
3
4
3
4
4
2L
v
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18 
65. Uma corda A de um violino está frouxa. Quatro batimentos por segundo são ouvidos, quando a 
corda é tocada junto a um diapasão, cuja frequência corresponde à nota A (440 Hz). Qual o 
período da oscilação da corda do violino? 
 (Pág. 161) 
Solução. 
Sejam fC a frequência da onda na corda do violino, fA a frequência da nota A e fbat a frequência dos 
batimentos. 
 bat 4 HzA Cf f f= − = 
Logo: 
 ( ) ( )4 Hz 440 Hz 4 HzC Af f=  =  
Dois valores são possíveis para fC: 
 
1
444 HzCf = 
 
2
436 HzCf = 
Como foi dito que a corda está frouxa em relação ao ponto de afinação, fC é menor do que 440 Hz, 
ou seja: 
 436 HzCf = 
Devemos lembrar que: 
 
1
C
v
f

  
= = 
Logo, uma tensão pequena na corda torna pequena a frequência de vibração f. Uma vez definida a 
frequência, o período T será: 
 
( )
1 1
0,0022935 s
436 HzC
T
f
= = = 
 2,29 msT  
 
66. Você tem quatro diapasões. O que tem a frequência mais baixa oscila a 500 Hz. Oscilando dois 
diapasões, ao mesmo tempo, as seguintes frequências serão ouvidas: 1, 2, 3, 5, 7 e 8 Hz. Quais 
as possíveis frequências dos outros três diapasões? 
 (Pág. 161) 
Solução. 
Para quem não conhece, um diapasão é um instrumento metálico (figura abaixo) capaz de vibrar 
numa frequência bem definida, como, por exemplo, a da nota musical lá, que é de 440 Hz. 
 
Sejam f1, f2, f3 e f4 as frequências dos diapasões, sendo que f1 = 500 Hz é a menor das frequências. A 
frequência dos batimentos é dada por fbat = |fA − fB|, em que fA e fB são duas frequências quaisquer. 
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Como todas as combinações de batimentos foram produzidas (12, 13, 14, 23, 24, 34) e três delas são 
com f1, que é a menor delas, deduz-se que os três batimentos de maior frequência foram produzidos 
com f1. Logo: 
 
bat 4 1 8 Hzf f f= − =  4 508 Hzf = 
 
bat 3 1 7 Hzf f f= − =  3 507 Hzf = 
 
bat 2 1 5 Hzf f f= − =  2 505 Hzf = 
As outras frequências de batimentos observadas foram: 
 
4 3 1 Hzf f− = 
 
4 2 3 Hzf f− = 
 
3 2 2 Hzf f− = 
 
67. Duas cordas de piano idênticas têm uma frequência fundamental de 600 Hz, quando tocadas sob 
um mesma tensão. Que aumento fracionário na tensão de uma corda irá levar à ocorrência de 6 
batimentos, quando as cordas oscilarem juntas? 
 (Pág. 161) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
Ao aumentar a tensão numa corda sem aumentar seu comprimento, o comprimento de onda do 
harmônico fundamental não varia, mas a frequência vai aumentar de f1 para f2: 
 
bat 2 1 6 Hzf f f= − = 
 ( ) ( ) ( )2 1 6 Hz 600 Hz 6 Hz 606 Hzf f= + = + = 
Sabemos que: 
 1 1
1
1v
f

  
= = 
Vamos definir 2 = a1, em que a é uma constante adimensional. 
 2 2 1
2
1 1v a
f
 
    
= = = 
Logo: 
 
1
2
1 1
1
1
a
f
a
f a

 

 
= = 
f v1 1, , 
1
f v2 2, , 
2
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20 
 
( )
( )
22
2
22
1
606 Hz
1,0201
600 Hz
f
a
f
= = = 
Portanto, o aumento fracional da tensão foi de 0,0201  0,02. 
 
69. Uma fonte F gera ondas circulares na superfície de um lago (as ondas são mostradas na Fig. 18-
32). A velocidade das ondas é de 5,5 m/s e a distância de crista a crista de 2,3 m. Você está em 
um pequeno bote, se dirigindo diretamente para F com velocidade constante de 3,3 m/s em 
relação à costa. Qual a frequência das ondas que você observa? 
 
 (Pág. 161) 
Solução. 
Trata-se de um sistema em que uma fonte sonora em repouso gera ondas que são recebidas por um 
detector em movimento, que se aproxima da fonte. A frequência f’ percebida pelo detector será: 
 
( ) ( )
( )
'
5,5 m/s 3,3 m/s
3,8260 Hz
0 2,3 m
D D D D
F
v v v v v v v vv v
f f
v v v v  
+ + + +
= = = = = =
+
 
 ' 3,8 Hzf  
 
71. Um apito usado para chamar cães tem uma frequência de 30 kHz. O cão, entretanto, o ignora. O 
dono do cão, que não pode escutar frequências acima de 20 kHz, decide usar o efeito Doppler 
para descobrir se o apito funciona de maneira adequada. Pede a um amigo que sopre o apito no 
interior de um carro em movimento, enquanto ele permanece parado ouvindo. (a) Qual precisa 
ser a velocidade do carro e qual a direção para que o dono do cão escute o apito a 20 kHz (se ele 
estiver funcionando)? O experimento em questão é prático? (b) Refaça para uma frequência do 
apito igual a 22 kHz, em vez de 30 kHz. 
 (Pág. 161) 
Solução. 
(a) Para ouvir o apito de 30 kHz, o carro (fonte sonora) deverá afastar-se do observador (detector 
em repouso) com velocidade vF: 
 
' 0D
F F
v v v
f f f
v v v v
 +
= =
+
 
 ( )
( )
( )'
30 kHz
1 343 m/s 1 171,5 m/s 617,4 km/s
20 kHz
F
f
v v
f
  
= − = − = =  
    
 
 617 km/sFv  
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Esta é uma velocidade muito alta para ser desenvolvida por um carro e, portanto, o experimento não 
poderia ser executado. 
(b) Se o apito emitir frequência de 22 kHz, a velocidade do carro deverá ser: 
 ( )
( )
( )'
22 kHz
1 343 m/s 1 34,3 m/s 123,48 km/s
20 kHz
F
f
v v
f
  
= − = − = =  
    
 
 123 km/sFv  
Agora sim, é possível executar o experimento. 
 
72. O ruído de 16.000 Hz das turbinas de um avião, deslocando-se a 200 m/s, é ouvido com que 
frequência pelo piloto de um segundo avião, tentando ultrapassar o primeiro a uma velocidade 
de 250 m/s? 
 (Pág. 161) 
Solução. 
O avião que segue à frente é uma fonte sonora que se afasta do detector (avião de trás), que se 
aproxima da fonte. A frequência f’ percebida pelo detector é: 
 ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
343 m/s 250 m/s
16.000 Hz 17.473,2965 Hz
343 m/s 200 m/s
D D
F F
v v v v
f f f
v v v v
+ +
= = = =
+ +
 
 ' 17.500 Hzf  
 
73. Uma ambulância tocando sua sirene a 1.600 Hz ultrapassa um ciclista, que estava pedalando a 
8,00 ft/s. Depois da ambulância ultrapassá-lo, o ciclista escuta a sirene a 1.590 Hz. Qual a 
velocidade da ambulância? 
 (Pág. 161) 
Solução. 
A equação geral do efeito Doppler é: 
 
' D
F
v v
f f
v v

= 
Neste problema, a sirene da ambulância é a fonte (F) e o ciclista é o detector (D). Além disso, a 
fonte e o detector estão em movimento, sendo que o detector tenta aproximar-se da fonte, que se 
afasta do detector. Neste caso, a frequência percebida pelo detector será: 
 
' D
F
v v
f f
v v
+
=
+
 
 ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )'
1.600 Hz
1.125 ft/s 8,00 ft/s 1.125 ft/s 15,1257 ft/s
1.590 Hz
F D
f
v v v v
f
 = + − = + − =  
 15,1 ft/sFv  
 
82. A Fig. 18-33 mostra um transmissor e um receptor de ondas contidos em um único instrumento. 
Ele é usado para medir a velocidade u de um objeto (idealizado por uma lâmina lisa) que se 
move diretamente na direção do instrumento, analisando as ondas refletidas no alvo. (a) Mostre 
que a frequência f, das ondas refletidas ao receptor, se relaciona com a frequência f, por 
 r s
v u
f f
v u
+ 
=  
− 
 
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onde v é a velocidade das ondas. (b) Em muitas situações práticas, u  v. Neste caso, mostre 
que a situação acima se torna 
 
2r s
s
f f u
f v
−
 
 
 (Pág. 162) 
Solução. 
(a) Inicialmente, a fonte emite ondas de frequência fs em direção à lâmina, que se aproxima da 
fonte. A lâmina perceberá uma frequência f’ vindo em sua direção, sendo que: 
 '
0
s s
v u v u
f f f
v v
+ +
= =
+
 (1) 
As ondas de frequência f’ são refletidas pela lâmina, agora uma fonte sonora em movimento, que 
emite ondas com frequência f”: 
 '' ' '
0v v
f f f
v u v u
+
= =
− −
 (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 ''
s s
v u v v u
f f f
v v u v u
+ +
= =
− −
 
Como o detector está em repouso, as ondas emitidas pela lâmina (f”) serão percebidas pelo detector 
(fr) sem alteração. Ou seja: 
 ''
r s
v u
f f f
v u
+
= =
−
 
(b) De (1), temos: 
 '
s
v
f f
v u
=
+
 
De (2), temos: 
 '
r
v
f f
v u
=
−
 
Agora vamos dividir fr − fs por fs: 
 ( )
' '
'
1 1r s
s
v v
f f
f f v v v uv u v u v u
vf v u v u v v u v u
f
v u
−
− +   − += = − = − +   
− + − +   
+
 
 
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2r s
s
v u v u v u v uf f u
v u
f v u v u v u v u
+ − − + − −−
= + = =
− + − −
 
Como u  v: 
 
2r s
s
f f u
f v
−
 
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83. Um detector de movimento, em repouso, envia ondas sonoras de 0,150 MHz na direção de um 
caminhão que se aproxima a 45,0 m/s. Qual a frequência das ondas refletidas de volta ao 
detector? 
 (Pág. 162) 
Solução. 
A situação é semelhante à tratada no Probl. 82P, item (a). Portanto, a expressão: 
 
r s
v u
f f
v u
+
=
−
 
é aplicável. Logo: 
 ( )
( ) ( )
( ) ( )
343 m/s 45,0 m/s
0,150 MHz 0,19530 MHz
343 m/s 45,0 m/s
rf
+
= =
−
 
 0,195 MHzrf  
 
85. Uma sirene emitindo um som à frequência de 1000 Hz se distancia de você, em direção a um 
muro, à velocidade de 10 m/s. Considere a velocidade do som no ar como 330 m/s. (a) Qual a 
frequência do som que você escuta vindo diretamente da sirene? (b) Qual a frequência do som 
que escuta refletido pelo muro? (c) Qual a frequência dos batimentos entre os dois sons? Ela é 
perceptível (para isto, deve ser menor do que 20 Hz)? 
 (Pág. 162) 
Solução. 
(a) A ambulância é uma fonte sonora (F) que se afasta de um detector (D) em repouso. A frequência 
f’ percebida pelo detector é: 
 ( )
( )
( ) ( )
'
0
330 m/s 0
1.000 Hz 970,5882 Hz
330 m/s 10 m/s
D
F
v v
f f
v v
++
= = =
+ +
 
 ' 971 Hzf  
(b) Neste caso, a ambulância é uma fonte sonora que se aproxima de um detector em repouso. A 
frequência f’ percebida pelo detector (muro) e que não será alterada na reflexão (o detector está em 
repouso) é: 
 ( )
( )
( ) ( )
''
0
330 m/s 0
1.000 Hz 1.031,25 Hz
330 m/s 10 m/s
D
F
v v
f f
v v
++
= = =
− −
 
 '' 1,030 Hzf  
(c) A frequência dos batimentos entre f’ e f “ é: 
 ( ) ( )'' 'bat 1.031,25 Hz 970,5882 Hz 60,6617 Hzf f f= − = − = 
 
bat 60,7 Hzf  
 
87. Um submarino francês e um americano se movem, um na direção do outro, durante manobras 
em águas paradas no Atlântico Norte (Fig. 18-34). A velocidade do submarino francês é 50 
km/h e a do americano, 70 km/h. O primeiro manda um sinal de sonar (onda sonora na água) a 
1.000 Hz. As ondas do sonar viajam a 5.470 km/h. (a) Qual a frequência do sinal detectado pelo 
submarino americano? (b) Que frequência é detectada pelo submarino francês, no sinal que é 
recebido de volta, após refletir no outro? 
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Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II 
24 
 
 (Pág. 162) 
Solução. 
(a) O submarino francês é a fonte sonora e o norte-americano é o detector, sendo a fonte e o 
detector aproximam-se um do outro. O movimento de ambos favorece o aumento da frequência f’ 
percebida pelo submarino americano: 
 ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
5.470 m/s 70,0 m/s
1.000 Hz 1.022,1402 Hz
5.470 m/s 50,0 m/s
D
F
v v
f f
v v
++
= = =
− −
 
 ' 1.020 Hzf  
(b) A única diferença em relação ao item (a) é que agora o submarino americano passa a ser a fonte 
sonora, emitindo ondas com frequência f’. O submarino francês percebera uma frequência f”: 
 ( )
( ) ( )
( ) ( )
'' '
5.470 m/s 50,0 m/s
1.022,1402 Hz 1.044,8544 Hz
5.470 m/s 70,0 m/s
D
F
v v
f f
v v
++
= = =
− −
 
 '' 1.040 Hzf  
 
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Ondas Sonoras 
25 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 20 – ONDAS SONORAS 
 
21. Encontre a densidade de energia de uma onda sonora a 4,82 km de um sistema de alarme 
nuclear de 5,2 kW, supondo que as ondas sejam esféricas e a propagação isotrópica e sem 
absorção pela atmosfera. 
 (Pág. 139) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 
v0
L
P
x x
 
A densidade de energia é definidapor: 
 
V
E
= 
 (1) 
A energia (E) que se propaga através de uma onda que tem a forma de uma casca esférica de 
espessura constante x é: 
 tPE = (2) 
onde P é a potência da fonte sonora e t é o tempo que leva para que a casca esférica seja formada. 
O tempo t depende da velocidade da onda sonora, v0. 
 
0v
x
t

= (3) 
Substituindo-se (3) em (2): 
 
0v
xP
E

= (4) 
A uma distância L da fonte, o volume da casca esférica é: 
 ])[(
3
4 33 LxLV −+=  (5) 
Substituindo-se (5) e (4) em (1): 
 
])[(4
3
33
0
)(
LxLv
xP
x
−+

=

 
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26 
Como o problema pediu a densidade de energia num ponto em particular, ou seja, num ponto 
localizado a uma distância L da fonte sonora, deve-se determinar o valor de  quando x tende a 
zero. 
 
2
0
0)( 4
lim
Lv
P
xx 
 =
→
 
Portanto: 
 
2
04 Lv
P

 = 
 3nJ/m 19,5 
 
39. Na Fig. 22, S é um alto-falante pequeno, excitado por um oscilador e amplificador de áudio, 
ajustado no intervalo de frequência s entre 1.000 e 2.000 Hz. D é um pedaço de tubo feito de 
chapa de metal de 45,7 cm de comprimento, aberto nas extremidades. (a) Para que frequência s 
ocorrerá ressonância, quando a frequência da onda emitida pelo alto-falante variar de 1.000 a 
2.000 Hz? (b) Esquematize os nós de deslocamento para cada frequência de ressonância. 
Despreze os efeitos das extremidades. 
 
 (Pág. 140) 
Solução. 
(a) Para um tubo com ambas as extremidades abertas, as frequências das ondas sonoras capazes de 
provocar ressonância em seu interior (fn) são dadas por: 
 
L
nv
f n
2
= (1) 
onde n = 1, 2, 3, ..., v é a velocidade da onda sonora e L é o comprimento do tubo. Substituindo-se 
os valores numéricos de v (em metros por segundo) e L (em metros) em (1): 
 nfn 27,375= 
As frequências que capazes de provocar ondas estacionárias ressonantes no tubo são 
n f 
1 375,2 
2 750,5 
3 1.125,8 
4 1.501,1 
5 1.876,4 
6 2.251,6 
Etc. Etc. 
Como pode ser observado na tabela acima, somente para os valores de n = 3, 4 e 5 estão associados 
a frequências entre 1.000 e 2.000 Hz. Portanto, as frequências pedidas são 1,13 kHz, 1,50 kHz e 
1,88 kHz. 
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27 
(b) Considerando-se a representação da onda sonora como onda de deslocamento, como mencionou 
o enunciado do problema, as extremidades abertas são ventres de deslocamento. 
 
 
49. Uma corda de violino de 30,0 cm e de densidade linear de massa de 0,652 g/m está colocada 
próxima a um alto-falante alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. 
Variando-se continuamente a frequência do oscilador de áudio, de 500 até 1.500 Hz, observa-se 
que a corda vibra somente nas frequências de 880 e 1.320 Hz. Qual é a tração na corda? 
 (Pág. 141) 
Solução. 
O oscilador de áudio varreu as frequências entre 500 Hz e 1.500 Hz e, nessa faixa, a corda do 
violino só entrou em ressonância quando o oscilador passou pelas frequências fi e fj. Como somente 
foram detectadas duas frequências de ressonância, estas devem corresponder a harmônicos 
consecutivos, ou seja, 
 1+= ij (1) 
As frequências ressonantes para uma corda fixa em ambas as extremidades são dadas por 
 
L
nv
f n
2
= (2) 
onde n refere-se ao n-ésimo harmônico, v é a velocidade da onda na corda do violino e L é o 
comprimento da corda. A velocidade da onda na corda é dada por 
 


=v 
onde  é a tensão na corda e  é a densidade linear de massa da corda. O valor de  de (2) é 
 2v = (3) 
Substituindo-se o valor de v de (2) em (3): 
 2
224
n
Lf n = . (4) 
A tensão na corda, dada por (4), é a mesma para os harmônicos i e j, ou seja, 
 
2
22
2
22 44
j
Lf
i
Lf ji  = 
 
j
i
f
f
j
i =
 
 (5) 
Substituindo-se (1) em (5): 
 
1 +
=
i
i
f
f
j
i 
 
ij
i
ff
f
i
−
=
 
 
Substituindo-se os valores numéricos de fi e fj 
 
n = 3
n = 4
n = 5
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28 
 2
Hz 880Hz 3201 
Hz 880
=
−
=i 
Consequentemente, a frequência harmônica fi = 880 Hz refere-se ao segundo harmônico (i = 2) e a 
frequência harmônica fj = 1.320 Hz refere-se ao terceiro harmônico (j = 3). Substituindo-se os 
valores de um desses harmônicos em (4), por exemplo n = 2 
 N 4417,45
2
)m 300,0()Hz 880)(kg/m 1052,6(4
2
2234
=

=
−
 
 N 4,45 
 
73. Um morcego voa dentro de uma caverna, orientando-se efetivamente por meio do uso de bips 
ultrassônicos (emissões curtas com duração de um milissegundo ou menos e repetidas diversas 
vezes por segundo). Suponha que a frequência da emissão do som pelo morcego seja de 39,2 
kHz. Durante uma arremetida veloz, diretamente contra a superfície plana de uma parede, o 
morcego desloca-se a 8,58 m/s. Calcule a frequência do som refletido na parede que o morcego 
escuta? 
 (Pág. 142) 
Solução. 
(a) Considere o seguinte esquema da situação: 
 
O morcego é uma fonte sonora em movimento. Embora ele esteja produzindo ondas com frequência 
f, seu movimento em direção ao detector (a superfície lisa), que está em repouso, fará com que a 
frequência da onda que atingirá a superfície seja f’. 
 
Fvv
v
ff
−
=
0
0' (1) 
Em (1), v0 é a velocidade da onda sonora e vF é a velocidade do morcego (a fonte sonora). A 
equação (1) refere-se ao efeito Doppler causado por uma fonte em movimento que se aproxima de 
um detector em repouso. 
 kHz 2057,40
m/s 58,8m/s 343
m/s 343
kHz) 2,39(' =
−
=f 
A superfície comportar-se-á como uma fonte sonora em repouso, refletindo as ondas sem alterar a 
frequência das mesmas. Ao perceber as ondas refletidas pela superfície, o morcego será um detector 
em movimento que estará se aproximando da fonte. Logo, a frequência detectada pelo morcego, f”, 
será: 
 
0
0'''
v
vv
ff D
+
= (2) 
 
vF
f’
f
f’’
vD
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29 
A equação (2) refere-se ao efeito Doppler causado por um detector em movimento que se aproxima 
de uma fonte em repouso. 
 kHz 2114,41
m/s 343
m/s 58,8m/s 343
kHz) 2057,40(' =
+
=f 
Portanto, a frequência detectada pelo morcego será: 
 kHz 2,41'' f 
 
76. Dois trens movem-se a 34,2 m/s em relação a um referencial fixo na terra, em trilhos paralelos, 
e estão aproximando-se um do outro. Um dos trens apita a 525 Hz. (a) Que frequência será 
ouvida por uma pessoa no outro trem, supondo-se que o ar esteja parado? (b) Que frequência 
será ouvida no outro trem se soprar um vento de 15,3 m/s, paralelamente aos trilhos e cujo 
sentido seja para o apito? (c) Que frequência será ouvida se o sentido da velocidade do vento se 
inverter? 
 (Pág. 142) 
Solução. 
(a) Considere o seguinte esquema da situação: 
 
vF vD
f
Trem 1 Trem 2
v0
 
Na ausência de ventos, a frequência detectada pelo trem 2 será: 
 
F
D
vv
vv
ff
−
+
=
0
0'
 (1) 
Na equação (1), v0 é a velocidade da onda sonora, vD é a velocidadedo detector e vF é a velocidade 
da fonte. A equação (1) refere-se ao efeito Doppler causado por uma fonte em movimento que se 
aproxima de um detector, também em movimento, que por sua vez está se aproximando da fonte 
sonora. 
 Hz 2888,641
m/s 2,34m/s 343
m/s 2,34m/s 343
Hz 525' =
−
+
=f 
 Hz 641' f 
(b) Agora considere o esquema abaixo: 
 
vF vD
f vv
Trem 1 Trem 2
v0
 
Na presença de ventos, deve-se corrigir a velocidade som em relação ao vento. Sendo o ar o meio 
físico onde o som se propaga, a velocidade do meio interfere na velocidade do som, e, por esse 
motivo, deve ser corrigida. Seja v0’ a velocidade do som corrigida e vv a velocidade do vento. No 
caso do vento ser contrário ao movimento do som: 
 m/s 7,327m/s 3,15m/s 343' 00 =−=−= vvvv 
Portanto: 
 
F
D
vv
vv
ff
−
+
=
'
'
0
0'
 
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30 
 Hz 3509,647
m/s 2,34m/s 7,327
m/s 2,34m/s 7,327
Hz 525' =
−
+
=f 
 Hz 647' f 
(c) No caso do vento ser favorável ao movimento do som: 
 m/s 3,358m/s 3,15m/s 343' 00 =+=+= vvvv 
Portanto: 
 Hz 7991,635
m/s 2,34m/s 3,358
m/s 2,34m/s 3,358
Hz 525' =
−
+
=f 
 Hz 636' f