Modelo de 4 etapas

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MODELOS EM TRANSPORTES . _____________________________________ 3 
1. Modelos De Demanda De Transportes. _______________________________________3 
2. Modelos De Alocação Na Rede _____________________________________________4 
3. Modelos De Repartição Modal. _____________________________________________4 
4. Modelos De Distribuição De Viagens. ________________________________________5 
5. Modelos De Geração De Viagem ____________________________________________7 
6. Questões sobre Modelos de Demanda de Transportes.____________________________8 
CÁLCULO DE CORRELAÇÃO.USO EM MODELOS DE GERAÇÃO DE VIAGENS . 9 
1. Revisão De Estatística. ___________________________________________________9 
1.1. Medidas Estatísticas. _________________________________________________________ 9 
1.2. Regressão Linear Simples ____________________________________________________ 10 
2.2. Regressão Múltipla. _________________________________________________________ 11 
2. Uso da Regressão em Transportes__________________________________________13 
3. Questões e Problemas. __________________________________________________15 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS___________________________ 17 
1- Introdução ___________________________________________________________17 
2 - Modelos De Distribuição De Tráfego À Base Do Fator De Crescimento_____________19 
2.1- MÉTODO DETROIT ___________________________________________________________ 20 
2.2- MÉTODO FRATAR ___________________________________________________________ 22 
2.2.1- Método acoplado unilateralmente. (Para matrizes simétricas).________________________ 22 
2.2.2- Método acoplado bilateralmente. (Válido também para matrizes assimétricas).____________ 23 
3- Modelo Gravitacional___________________________________________________24 
3.1 CALIBRAÇÃO USANDO CÁLCULO DE CORRELAÇÃO. _____________________________________ 24 
4. Métodos de Furness. ____________________________________________________25 
4.1 Furness Tridimensional _______________________________________________________ 25 
4.2. Furness Bidimensional_______________________________________________________ 27 
5. Questões e Problemas. __________________________________________________29 
MODELOS DE REPARTIÇÃO MODAL DE TRANSPORTE ._________________ 31 
1. Introdução ___________________________________________________________31 
2. A Análise Da Escolha Modal Nos Modelos Agregados __________________________32 
2.1. Exemplos de Modelos Agregados. _______________________________________________ 32 
2.1.1. Modelo usando cálculo de correlação _________________________________________ 32 
2.1.3. Modelo em função de razão de tempos e do grau de motorização _____________________ 35 
3. Modelos Desagregados De Repartição Modal De Transporte _____________________36 
3.1. Fatores de Influência da Escolha Modal __________________________________________ 36 
3.2. Modelo Binário Logit ________________________________________________________ 37 
3.2.1. Introdução ____________________________________________________________ 37 
3.2.2. Variáveis da função de utilidade _____________________________________________ 39 
3.2.3. Construção do modelo. ___________________________________________________ 40 
3.2.4 - Propriedades de independência de alternativas irrelevantes _________________________ 40 
3.2.5 - Método do Ponto pivot para avaliar o efeito de mudanças no nível de serviço. ___________ 41 
4. Questões e Problemas. __________________________________________________42 
MODELOS DE ALOCAÇÃO DE VIAGENS. _____________________________ 45 
1 - INTRODUÇÃO_______________________________________________________45 
2. Cálculo De Caminhos Mínimos Em Redes.___________________________________47 
3 - Modelos Com Restrição De Capacidade ____________________________________55 
5.1. Alocação Em Cascata: _______________________________________________________ 56 
6. Questões e Problemas ___________________________________________________57 
MODELOS EM TRANSPORTES . 
1. Modelos De Demanda De Transportes. 
O Objetivo dos modelos de demanda é o de fornecer dados para o dimensionamento 
de sistemas de transportes. Um modelo de planejamento de transporte muito usado 
denomina-se modelo de 4 etapas e é descrito sucintamente neste capítulo. 
 
Como a medida necessária para o dimensionamento dos elementos da rede de 
transportes pode-se definir: 
 
Quantidade de veículos (pessoas) que vão carregar cada elemento da rede de transporte 
em cada momento. (Momentos de pico) 
 
Os principais elementos da rede são: 
 
• Trechos de ruas, estradas, auto-estradas, linhas de metrô, trem, VLT, etc 
• Estações do transporte de massa, paradas de ônibus. 
• carregamento nos veículos por trecho para: ônibus, trem ,metrô, barcas, etc. 
 
 
Um caminho na rede pode ser definido como: 
Seqüência de trechos de vias e eventuais estações de uma origem a um destino. 
 
 
Os Caminhos podem ser em um só modo da origem ao destino. (carro, ônibus, a pé) 
 
Ou em vários modos de uma origem a um destino: São chamados caminhos 
multimodais. (ex: carro-metrô). 
 
O Carregamento no trecho é resultado da : 
 
Superposição de fluxos de diversas origens para diversos destinos, que usam o mesmo 
trecho. 
 
Fluxo O-D (origem-destino): 
É o número de veículos (pessoas) desejando viajar de uma origem a um destino. 
 
O fluxo de 30 veículos da figura 1 é o resultado da superposição de fluxos da figura 2. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Fluxo em um trecho da via. 
 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Superposição de fluxos de 1 para 4 e de 2 para 3. 
 
 
 
Para se estimar o carregamento em cada elemento da rede faz-se uso de : 
 
2. Modelos De Alocação Na Rede 
 
São modelos para calcular como fluxos O-D se distribuem sobre os caminhos e 
carregam cada trecho da rede. 
 
Os Fluxos devem ser separados por modo, já que, em geral os modelos de alocação 
tratam cada modo separadamente. Para se estimar o fluxo O-D por cada modo, faz-se 
uso de: 
 
 
3. Modelos De Repartição Modal. 
 
Como o fluxo total (de cada origem para cada destino) se reparte pelos diferentes modos 
de transporte. 
 
Seja o exemplo da figura 3: 
 
 
 
 1 3 
 10 20 
 30 
 
 20 10 
 
 2 4 
Ftotal1,10= Fcarro1,10 + Fonibus1,10 + Fmetro1,10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Repartição de um fluxo O-D por modo. 
 
O Fluxo total de cada origem para cada destino é guardado em uma matriz de origem-
destino. Para se estimar a matriz O-D (matriz de origem-destino) faz-se uso de : 
 
4. Modelos De Distribuição De Viagens. 
 
Como os fluxos originados (destinados) em cada zona de origem se distribuem por cada 
zona de destino. 
 
A figura 4 ilustra o que faz um modelo de distribuição de viagem, enquanto a tabela a 
seguir exemplifica a matriz de origem-destino. 
 
 
 
 3000 
 
 1 10 
 
 
 Carro ���� = 1800 
 1 10 
 
 
 
 ônibus ���� = 600 
 1 10 
 
 
 
 Metrô ���� = 600 
 1 10 
 
 
 
 
 
 
Matriz origem -destino 
 
Origem\Destino 1 2 3 4 
1 200 1000 2520 900 
2 900 180 1000 400 
3 2400 600 100 300 
4 800 300 300 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Distribuição de um fluxo de uma origem por vários destinos. 
 
 
Os modelos de distribuição usam dados de total de viagens originados e total de 
viagens atraídos em cada zona. Na matriz de viagens estes totais estão indicados pela 
 
 
 1 4500 
 
 
 
 10 
 500 900 15 
 
 1 600 
 
 17 
 1500 
 35 
 1000 
 
 27 
soma dos elementos de cada linha (viagens geradas) e cada coluna (viagens atraídas, 
ou destinadas). Os modelos que estimam estes valores sãoos: 
 
5. Modelos De Geração De Viagem 
 
Estimam o total de viagens originadas em, ou destinadas a cada zona de tráfego. 
 
Para realizar o estudo de demanda de transportes a região é dividida em zonas de 
tráfego, como na figura 5. 
 
Cada Zona corresponde a divisões naturais da cidade, como: 
 
Bairro, Região administrativa, Município, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Divisão de uma região em Zonas de Tráfego. 
 
O modelo de geração de viagens consiste em : de posse de dados da população (N. de 
habitantes, N. de autos) e das atividades urbanas principais (N. de empregos, 
matrículas escolares, etc), estimar o número de viagens originadas e destinadas a cada 
zona (ver figura 6). 
 
 
 
 
 
 
 1 2 4 5 
 
 3 
 6 7 
 
 
 8 9 11 
 10 
 
 
 
 
 
 1 O1= 4500 
 
 
 
 6 
 D6= 600 
 
 
 
 
Figura 6: Estimativa de viagens originadas e destinadas a cada zona. 
 
 
 
6. Questões sobre Modelos de Demanda de Transportes. 
 
1. Qual o objetivo principal dos modelos de regressão de viagens? 
2. Explique em linhas gerais em que consiste o modelo de alocação de viagens e qual 
a sua ligação com os modelos de repartição modal e de distribuição de viagens. 
3. Explique em linhas gerais o que são modelos de distribuição de viagens e qual a 
sua ligação com os modelos geração de viagens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE CORRELAÇÃO.USO EM MODELOS DE GERAÇÃO DE 
VIAGENS . 
 
 
1. Revisão De Estatística. 
 
Antes de tratar do modelo de geração de viagens será feita uma breve revisão de estatística. 
 
1.1. Medidas Estatísticas. 
 
Sejam os dados em forma tabular. 
 
DADOS: m observações das variáveis xi e da variável y. 
 
OBS:\VAR x1 x2 xi y 
1 100 50 ... 2000 
2 
. 
k 
. 
m 
 
A mais comum medida estatística é a Média, definida como: 
x
x
mi
i k
k
m
= =
�
1
 
 
A média não pode ser tomada como representante de uma população sem se conhecer a 
variação das observações. Uma primeira medida de variação para cada variável é o Desvio 
com relação à média : xik-xi. 
 
A medida de variação que considera toda a população é a variância. 
 
 
 
 
Variância: V
x x
mi
ki i
i
m
=
−
−
=
� ( ) 2
1
1 
A variância tem uma dimensão ao quadrado, não comparável com a média. Então a medida 
de variação, ou dispersão, mais usada é o desvio padrão. 
Desvio padrão : σ i iV= 
 
Outras medidas que captam a variação simultânea de duas variáveis em todas as 
observações são: 
 
SOMA DE PRODUTOS CRUZADOS: 
 )xx)(xx(SP
m
1k
jjkiikij � −−=
=
 
 
 )yy)(xx(SP
m
1k
kiikiy � −−=
=
 
 
A SOMA DOS QUADRADOS é um caso particular da soma de produtos cruzados quando 
xi=xj. 
S Q x xi ik i= −� ( ) 2 
1.2. Regressão Linear Simples 
A regressão linear é um instrumento geral de análise de dados, que parte do princípio da 
existência de uma dependência linear entre duas variáveis. como mostrado na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Dependência linear entre as variáveis x e y. 
 
 Y 
 
 
 
 
 
 
 yi 
yi 
 
 
 a 
 xi 
X 
Quando se tenta explicar os valores de y em função dos valores de y, diz-se que 
 
y é a variável dependente e 
 
x a variável independente. 
 
Se observa que : Yk = a + bxik + εk 
 
Estima-se Y com a função linear : Y = a + b.xi 
 
Para cada observação há um erro = Yk-Yk. A medida de erro total da estimativa é a Soma 
dos quadrados dos erros (SQE). 
 
 
SQE = ( � )Y Yk k
k
m
−�
=1
2
 
 
 
A regressão linear busca encontrar os parâmetros a e b da reta de forma a obter o Mínimo 
SQE. 
 
 
A solução desta busca é : 
a Y b x= − * , onde: 
 
b
x x y y
x x
k k
k
m
k
=
− −�
−�
=
( ) * ( )
( )
1
2
= 
x
xy
SQ
SQ
 
 
 
2.2. Regressão Múltipla. 
 
No caso de haver mais de uma variável que explica a variável y, pode-se construir uma 
regressão linear múltipla, da forma: 
 
y=b0 + b1x1 + ...+ bixi +...+ bnxn 
 
No caso y continua sendo a variável dependente e os xi as variáveis independentes. 
 
Ao se tentar minimizar o erro total de estimativa, tem-se o problema: 
 
Min SQE = ( � )Y Yk k
k
m
−�
=1
2
 
 
cuja Solução é SISTEMA de equações : 
 
b1SQ1+ b2SP12 + ...... +bnSP1n=SP1y 
 . 
 . 
 . 
b1SP1n+ b2SP2n+ ..... +bnSQn = SPny 
 
 
Matricialmente : 
 
[b1,b2,...bn]* SQ1+SP12+...+SP1n SP1y 
 . 
 . = 
 . 
 SP1n+SP2n+...+SQn Spny 
 
 
ou, 
 
b’.SQ = SP’.y 
 
De onde se chega a: 
 
b’ = SP’.y .SQ-1 
 
A qualidade da regressão linear dada pelo Coeficiente de Determinação R2, cujo valor varia 
entre 0 e 1, sendo 1 correspondente a um ajuste perfeito da regressão linear. 
 
 
O coeficiente de determinação pode ser calculado com: 
 
R
S Q
S Q
y y
y y
g
y
i
i
m
i
i
m
2
2
1
2
1
= =
−�
−�
=
=
R e
( � )
( )
 ; 0≤R2≤1 
 
Para a regressão simples vale: 
 
R2= SP2xy/(SQx*SQy) 
 
 
Teste da Regressão. 
 
Pode-se testar a validade estatística da regressão, testando o R2. 
 
A hipótese zero é de que o R2 é zero, o que eqüivale a todos os parâmetros b serem 0. 
 
H0 : R2=0 ou bi =0 ∀ i=1...n 
 
Para realizar o teste calcula-se o parâmetro F1. 
 
Cálculo de F1 
 
F
R
K
R
N K
1
2
21
1
=
−
− −
( )
( )
 
 
K :N. de variáveis independentes ; 
N : N. de observações. 
 
 
 
 
Compara-se F1 com o F tirado da tabela de distribuição de Fischer com nível de 
significância α e graus de liberdade n1=K e n2 = N-K-1 
 
Se Fcalc > Ftab A hipótese H0 é rejeitada, o que indica que a probabilidade de não haver 
correlação < α (ex: α=0.05; 0.01 ,etc). Neste caso considera-se a Equação boa. 
 
 
2. Uso da Regressão em Transportes 
 
A regressão é usada para calibrar um modelo de geração de viagens, calculando as viagens 
geradas e a viagens atraídas em cada zona. 
 
A cidade é então dividida em zonas de tráfego. 
 
São realizadas contagens de tráfego, ou levantados por meio de uma pesquisa domiciliar, 
os valores: 
 
 N. de viagens originadas 
 N. de viagens atraídas. 
 
 
São obtidos dados da população, do tipo : 
 
 N. de habitantes H 
 N. de Ec. ativos EA 
 N. de estudantes ES 
 N. de d. de casa DC 
 Aposentados AP 
 Outros OU 
 Autos AU 
 
Famílias com renda Re Re ≤ 1 SM 
 1 SM < Re ≤ 3 SM 
 4 SM < Re ≤ 10 SM 
 10 SM < Re ≤ 20 SM 
 Re ≥ 20 SM 
 
 
Estes dados serão usados em um modelo de viagens originadas, ou de produção de viagens, 
em cada zona. 
 
Também são levantados dados da zona, do tipo: 
 
- N. de empregados na Indústria 
 Comércio 
 Serv. Público 
 
- Shopping Centers 
 
Estes últimos dados podem ser usados em um modelo de viagens atraídas, ou de atração de 
viagens, para cada zona. 
 
Constrói-se um banco de dados, com tabelas com dados, do tipo: 
 
 
VIAG HAB ECA EST DC AUTOS ..... 
5000 15000 4000 3000 5000 600 
7000 20000 3500 3500 400 4000 
2000 
6000 
.... 
 
 
 
Para as viagens originadas e para as viagens atraídas. Aplica-se um programa de regressão. 
O Excel, por exemplo, tem rotinas de cálculo de regressão. 
 
O processo de modelagem passa primeiro pela definição cuidadosa das variáveis 
independentes, para cada caso de variável dependente (viagens originadas e viagens 
atraídas). 
 
Um Exemplo de regressão é mostrado a seguir, para um modelo de produção de viagens : 
 
Definiu-se número de viagens originadas (VIAG), como a variável dependente e número de 
pessoas economicamente ativas (ECA), estudantes (ES) , donas de casa (DC) e número de 
autos na zona, como variáveis independentes. A equação resultante será do tipo: 
 
VIAG = b0+b1.ECA+b2.ES+b3.DC+ b4.AUTOS 
 
Ex: 
VIAG = 200+0.2.ECA+0.1.ES+0.08.DC+ 0.1.AUTOS 
R2 = 0.92 
 
Com o valor de R2 de 0.92 a equação é considerada boa. 
 
Observe queo modelo de geração de viagens permitiu construir uma equação que vale para 
todas as zonas. A aplicação do modelo consiste em estimar para um ano futuro os valores 
das variáveis independentes para cada zona. Substituindo estes valores de cada zona obtém-
se o valor estimado do número de viagens originadas em cada zona. 
 
Um modelo similar pode ser construído para as viagens destinadas em cada zona. 
 
 3. Questões e Problemas. 
 
1. Para que serve o cálculo de correlação simples. Explique, exemplifique e dê as fórmulas 
principais. 
2. De posse dos dados abaixo, construa um modelo de geração de viagens para estimar o 
número de viagens originadas em cada zona e outro modelo para estimar o número de 
viagens destinadas a cada zona, ambos com apenas uma variável independente. 
3. Selecione, com os dados do problema, as variáveis para a construção de um modelo de 
geração de viagens para estimar o número de viagens atraídas para cada zona, em um 
modelo de correlação múltipla. 
 
 
 
 
 
 
Zona Viagens 
geradas 
Viagens 
atraídas 
N. de Empregos N. Autos População N. de Escolas 
1 2700 600 400 450 5000 8 
2 2000 1500 800 290 4500 12 
3 8000 1600 750 600 14000 15 
4 600 200 100 80 1300 2 
 
 
4. Para uma cidade foi construído um modelo de geração de viagens, resultando em uma 
equação para as viagens originadas em cada zona e outra equação para as viagens 
produzidas em cada zona. As equações e os respectivos coeficientes de determinação são 
dadas abaixo: 
 
Viagens originadas: 
 
Oi = -125 + 1.3*EAi + 0.5*ESTi + 0.2*AUTi R2= 0.95 
 
EA: N. de pessoas economicamente ativas. 
EST : N. de estudantes. 
AUT :N. de autos. 
 
Viagens destinadas: 
 
Dj = 150 + 1.8*EMPj + 1.5* MATj R2= 0.90 
 
EMP : N. de empregos: 
MAT: N. da matrículas. 
 
É dada a previsão de dados nas zonas para o ano 2010. De posse dos dados calcule o total 
de viagens originadas e destinadas previstas para o ano 2010. Em seguida tome o total de 
viagens originadas e considere como o valor correto de viagens totais. Ajuste os valores das 
viagens destinadas para que a soma dê o valor de viagens totais. 
 
Zona EA EST AUT EMP MAT 
1 600 400 100 400 300 
2 500 300 150 200 200 
3 500 200 100 100 200 
4 300 250 100 50 50 
 
 
 
 
 
 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS 
 
1- Introdução 
 
Os modelos de distribuição visam simular as relações de origem e destino de 
deslocamentos entre as zonas da região de estudo. O total de relações O-D de uma região, 
expressa na matriz O-D resulta de superposição de cada relação O-D de cada indivíduo da 
população. A escolha do destino de viagem de cada indivíduo, resulta de um processo 
complexo onde atuam variáveis de diversos tipos. Para alguns tipos de viagem, 
relacionados com a atividade principal do indivíduo (ex. trabalho, estudos) a “escolha” do 
destino está muitas vezes determinada por fatores externos, não representando uma escolha 
livre propriamente dita. 
 
A reprodução do processo de escolha de um destino por cada indivíduo, que 
corresponderá a um modelo desagregado de viagem é ainda objeto de pesquisas e 
aperfeiçoamentos, por parte de diversos teóricos de transporte urbano. 
 
Mais utilizados são os modelos agregados de distribuição de viagens. Esses modelos 
partem de diferentes premissas, mas têm como denominador comum o fato de aceitar três 
componentes básicos da relação O-D. 
a. Existem grandezas que expressam o Potencial de cada zona de produzir, ou 
originar viagens para certos destinos. 
 
b. Existem grandezas que expressam a força de atração de cada zona. 
 
c. Existem fatores que se opõem de forma diferenciada no espaço, ao deslocamento 
entre duas zonas. 
 
 
O estabelecimento de relação entre os dois primeiros elementos do processo exige, 
evidentemente, que sejam considerados somente os destinos adequados à cada motivo de 
viagem. Na realidade tratar-se aqui de verificar quais são os equipamentos disponíveis para 
o exercício de uma atividade bem determinada. 
 
Existe uma distribuição desigual pelas zonas da cidade de indivíduos induzidos ou 
desejosos de realizar cada tipo de atividade. Como existe também uma clara separação de 
funções urbanas na cidade com uma distribuição desigual de equipamentos para cada 
atividade, pelas zonas da cidade, não existe sentido em tentar modelar as relações O-D para 
todos os motivos indistintamente. 
 
Para se obter uma relação lógica entre elementos atraídos e elementos atratores é 
necessário separar as viagens por motivos, afim de modelar adequadamente relações O-D. 
Quanto mais detalhada for a definição do motivo de viagens tanto mais exata será a 
definição dos equipamentos (destinos) em questão. Existe no entanto uma contradição entre 
a necessidade- de detalhar a especificação do motivo de viagem e de equipamentos por um 
lado e a disponibilidade de dados atuais e futuros correspondentes a tal grau de detalhe. 
 
Um detalhamento do motivo de viagem correspondente ao atualmente usado na 
maioria dos estudos de demanda, já permite uma relação razoável entre elementos atraídos 
e atratores. 
 
Pode-se então modelar a distribuição de viagem pelos seguintes motivos: 
• Trabalho nos setores secundário e terciário 
• Estudo (secundário e universitário?) 
• Compras 
• Lazer 
• Assuntos Pessoais 
• Negócios 
 
 
Os últimos 3 motivos, por representarem conjuntos de atividades de características 
diversas são de mais difícil modelagem. 
 
Um aspecto importante em relação aos modelos de distribuição refere-se ao 
tamanho das zonas de tráfego adotada no modelo. Segundo seja o tamanho das zonas de 
tráfego, o modelo apresentará maior ou menor capacidade para fornecer dados para o 
planejamento do transporte urbano. O uso de tais modelos ao longo dos últimos 30 anos 
está relacionado sobretudo à necessidade de fornecer dados para o planejamento da rede 
viária básica das cidades. Para tal fim, o grau de detalhamento necessário é relativamente 
baixo, podendo-se desprezar, em princípio, movimentos no interior da zona. O 
planejamento do transporte coletivo exige, no entanto um grau de detalhamento muito 
maior, já que os deslocamentos no interior da zona serão realizados a pé e existe uma 
tolerância limitada de tais deslocamentos pelo usuário. É necessário portanto, para o 
planejamento de transporte coletivo, dispor de dados e modelos que permitam modelar a 
relação O-D com zonas relativamente pequenas, permitindo alocar a rede de transporte 
público em raios aceitáveis para os deslocamentos a pé até (desde) os equipamentos de 
destino e origem. 
Os modelos de distribuição de viagens mais utilizados no transporte urbano são: 
a- Modelos a base do fator de crescimento. 
b- Modelo gravitacional. 
 
Além destes, existem uma série de modelos com alguma contribuição no campo 
teórico, mas pouco difundidos na prática. Ultimamente ganham importância os modelos 
desagregados, que estão em fase de aprimoramento teórico e prático. 
 
No presente trabalho, são apresentados os 2 principiais tipos de modelos citados 
acima. 
 
2 - Modelos De Distribuição De Tráfego À Base Do Fator De Crescimento 
 
 
Os modelos de distribuição, à base do fator de crescimento tem como dados de 
entrada a matriz O-D completa das regiões em estudo, para o ano base e os valores da 
geração e atração de viagem em cada zona para o ano projeção. 
 
Basicamente o método busca adaptar a matriz das relações O-D aos fatores de 
crescimento verificados nos valores da geração e atração de viagem de cada zona entre o 
ano base e o ano projeção. 
 
Existem vários métodos de cálculo dos valores O-D projetados, com base no fator 
de crescimento. Em geral esses métodos exigem um algoritmo iterativo para assegurar o 
cumprimento das duas condições básicas: 
ij
n
j
n
i
nV O
=
� =
1
 
 
Somatório dos elementos de cada linha igual ao valor da geração futura (no. de 
viagens com origem na zona i). 
 
 
e 
Somatório dos elementos de cada coluna é igual ao valor da atraçãofutura (no. de 
viagens com destino na zona j). 
ij
n
i
n
j
nV D
=
� =
1
 
 
Uma condição adicional óbvia é a de que a soma de viagens geradas seja igual a 
soma de viagens originadas, que são iguais ao total de viagens T. 
 
O D Ti
N
j
N
j
n
N
i
n
= =
==
��
11
 
 
DEFINIÇÕES: 
 
Oi0: viagens originadas na zona i no ano base. 
OiN: viagens originadas na zona i no ano projeção. 
Di0 : viagens atraídas para zona j no ano base. 
DiN : viagens atraídas para zona j no ano projeção. 
oi= OiN / Oi0 : fator de crescimento da geração de viagens na zona. 
dj= DjN /Dj0 : fator de crescimento da atração de viagens na zona j. 
m= fator de crescimento do total de viagens. 
V0ij= número de viagens entre i e j no ano base. 
VNij= número de viagens entre i e j no ano projeção. 
p= número da iteração. 
Oip , Djp ,djp ,oip ,vijp -valores de cada variável na p-ésima iteração. 
O0i = Viagens geradas na zona i no ano base. 
Oni = Viagens geradas na zona i no ano projeção. 
D0j = Viagens atraídas para a zona j no ano base. 
Dnj = Viagens atraídas para a zona j no ano projeção. 
 
oi = Oni / Ooi = Fator de crescimento da geração de viagens na zona i. 
 
Entre os métodos mais utilizados estão os métodos Detroit e Fratar. 
 
2.1- MÉTODO DETROIT 
• O Método Detroit utiliza a seguinte fórmula: 
 
Vijp = Vijp-1 * (oip-1*djp-1)/mp-1 
mp= 
O
O
i
N
i
n
i
p
i
n
=
=
�
�
1
1
 
N = Número de zonas 
 
Para atender às condições de soma de linhas e colunas é necessário um processo 
iterativo. 
 
Na realidade calcula-se com a fórmula acima o valor de Vpij numa iteração, baseado 
nos valores Vp-1ij, op-1i, dp-1j e mp-1 da iteração, anterior. 
 
Em seguida somam-se os Vij nas linhas e nas colunas e calcula-se opi, dpj. 
Processo iterativo, repetido até: 
oik/oik-1 ≈ 1 e djk/djk-1 ≈ 1 
 
Ou, o que é aproximadamente o mesmo: o processo iterativo é suspenso quando 
todos os valores das viagens atraídas (D ) e geradas (O ) calculados são suficientemente 
próximos dos valores atraídos (D ) e gerados (O) futuros. 
No modelo Detroit o valor atual de Vij é multiplicado pelo fator de crescimento da 
linha i, pelo fator de crescimento da coluna j e pelo fator total m. A figura 1 ilustra os 
elementos considerados no cálculo para a célula V21 . 
 
 
O\D 1 2 3 Oip OiN oip 
1 
2 
3 
Djp 
DjN 
djp m 
 
Figura 1: Esquema de cálculo do modelo Detroit. 
 
 
Para o exemplo dado na tabela 1 o valor de V21 na primeira iteração será: 
 
 
V21 = 150 * 1.461*1.052 /1.228 
 
 
O/D 1 2 3 O0i Oni o0i 
1 100 210 290 600 1057 1.762 
2 150 200 210 560 818 1.461 
3 400 490 200 1090 889 0.816 
D0j 650 900 700 2250 
DNj 684 822 1258 2764 
d0j 1.052 0.914 1.79
7 
 1.228 
 
Tabela 1: Exemplo de problema de ajuste de matrizes. 
 
 
 
2.2- MÉTODO FRATAR 
O método de Fratar é outro processo de cálculo de distribuição à base do fator de 
crescimento, de uso mais generalizado. 
 
Na literatura de transportes encontram-se 2 versões distintas do método de Fratar: 
2.2.1- Método acoplado unilateralmente. (Para matrizes simétricas). 
 
V V d
O
V d
ij
p
ij
p
j
p i
N
ik
p
k
p
k
n=
− −
− −
=
�
1 1
1 1
1
* *
*
 
depois de cada iteração a matriz é tomada simétrica. 
 
Vijp = (Vijp + Vjip)/2 
 
No caso do Fratar simétrico, o esquema de cálculo é dado na figura 2. Os elementos 
da linha Vij são inicialmente multiplicados por um fator que é a média dos fatores de 
crescimento na linha e na coluna. Estes elementos são identificados na figura através das 
flechas horizontal e vertical, respectivamente, que partem da célula V21. Depois o elemento 
OiN, da linha i é dividido por um somatório, com os elementos indicados pela flecha dupla. 
Ou seja, cada elemento da linha i multiplicado pelo fator de crescimento da coluna j. 
 
O\D 1 2 3 Oip OiN oip 
1 
2 
3 
Djp 
DjN 
djp m 
Figura 2: esquema de cálculo do Fratar simétrico. 
 
No exemplo da tabela 1 isto seria: 
V21 = 150 * 1.052 * [818/ (1.052*150 + 200*0.914+ 210*1.797) ] 
 
 
 
 
 
 
2.2.2- Método acoplado bilateralmente. (Válido também para matrizes assimétricas). 
 
ij
pV = ijp i
p
j
p
i
N
ik
p
k
p
k
n
j
N
kj
p
k
p
k
nV
o d O
V d
D
V o
−
− −
− −
=
− −
=
∗
+
∗
∗
∗
∗
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
1
1 1
1 1
1
1 1
1
2
 
 
 
O Processo iterativo é repetido até: 
oik/oik-1 ≈ 1 e djk/djk-1 ≈ 1 
 
 
O\D 1 2 3 Oip Oi
N 
oip 
1 
2 
3 
Djp 
DjN 
djp m 
 
Figura 3: Esquema de cálculo do Fratar acoplado bilateralmente. 
 
 
Para o elemento V21 tem-se: 
 
o di j+ = + =
2
1461 1052
2
12565
. .
. 
 
V dik k
k
* * . * . * . .� = + + =150 1052 200 0914 210 1797 71797 
 
V okj i
k
* * . * . * . .� = + + =100 1762 150 1461 400 0816 72175 
 
V21 150 12565
818
717 97
684
72175
20350= =* . * (
.
*
.
) . 
 
Na figura 3 é ilustrado o processo de cálculo desta versão do Fratar para matrizes 
assimétricas. Para o elemento V21 são tomados primeiramente, os fatores de crescimento oi 
e dj, que compõem o primeiro fator da multiplicação. O denominador do fator associado a 
OiN é encontrado no somatório dos produtos de cada elemento da linha 2 pelo respectivo 
fator de crescimento dk em cada coluna k, indicado na figura pelas setas verticais. 
Finalmente, o denominador do fator associado a DjN é encontrado através do somatório dos 
produtos de cada elemento da coluna 1 pelo respectivo fator de crescimento ok da linha k. e 
indicado pelas setas com linhas tracejadas na figura. . Os métodos a base do fator de 
crescimento serão, teoricamente, indicados para o cálculo de projeções de viagens para 
cidades de pequeno porte onde se prevê um desenvolvimento uniforme do uso do solo e a 
permanência do padrão atual de comportamento espacial da população. Essas condições 
não são geralmente encontradas no planejamento de transporte, o que torna limitada a sua 
aplicação. No entanto, na prática do planejamento de transportes o analista enfrenta-se com 
questões de tempo e falta de dados e lançam mão, com muita freqüência, de métodos deste 
tipo, principalmente o método Fratar. Observe-se também que o “modelo” de Fratar e os 
outros à base do fator de crescimento não são modelos no sentido exato da palavra, já que 
eles não simulam (não reproduzem) o sistema que se dispõe a representar. Os métodos à 
base do fator de crescimento apenas tentam, matematicamente, adaptar a matriz O-D aos 
valores futuros da geração e atração de viagens. Ultimamente o método de Furness, 
apresentado mais adiante, tem-se firmado na prática do planejamento de transportes. 
3- Modelo Gravitacional 
 
O modelo gravitacional de distribuição de viagem adota o modelo físico de atração 
entre 2 corpos. Supõe, analogamente ao modelo físico, que o volume de viagens entre duas 
zonas e inversamente proporcional a resistência ao deslocamento entre as duas zonas. 
Vij = K* (Pi * Aj)/Rij 
Vij : Viagens de i para j. 
Pi : Potencial atraído da zona i. 
Aj : Potencial de atração da zona j. 
K : Constante de proporcionalidade. 
Rij: Fator de resistência à viagem entre i e j. 
A literatura da área trata com dois modelos clássicos do tipo gravitacional. 
 
3.1 CALIBRAÇÃO USANDO CÁLCULO DE CORRELAÇÃO. 
Desde que o uso da expressão acima resulta, em geral, em valores não muito 
aproximados dos valores reais, opta-se por utilizar-se uma expressão exponencial: 
Vij = K* (Piβ * Ajδ)/Rijα 
 
A calibração do modelo é baseada apenas em uma amostra do total de relações O-D. 
Basta então alguns valores de viagem entre algumas zonas: os valores correspondentes do 
fator de resistência entre zonas (tempo de viagem, custo de transporte, distância, etc.), os 
valores que expressam o potencial de elemento atraídos de cada zona de origem e os valores 
de atratividade de cada zona de destino. Para encontrar-se o valor dos parâmetros K,β, δ e 
α, lineariza-se a relaçãotomando o logaritmo dos elementos. 
ln Vij = lnK + βlnPi + δlnAj - αlnRij 
 
Com base nesses valores constrói-se uma equação com ajuda do cálculo de 
correlação tomando o lnVij como variável dependente e lnPi, lnAj e lnRij como variáveis 
independentes. 
Como resultado do cálculo de correlação ter-se-á lnK como constante e β, δ e α 
como coeficientes de regressão. 
A aplicação da expressão para toda a região de estudo com valores futuros de Pi, Aj 
e Rij resultará na matriz futura de relações de viagens. Os valores da matriz deverão atender 
as duas condições básicas de somas nas linhas e nas colunas. 
Com a finalidade de atender a essas restrições, é realizado um processo iterativo 
semelhante ao usado nos métodos à base do fator de crescimento. 
 
 
4. Métodos de Furness. 
Os métodos de Furness servem para realizar balanceamento tridimensional e 
bidimensional de matrizes. O balanceamento tridimensional também serve para calibrar o 
modelo gravitacional. No caso do balanceamento bidimensional trata-se de ajustar a matriz 
para atender às restrições de soma de linhas e colunas. No caso do balanceamento 
tridimensional trata-se, além disto, de fazer com que a distribuição de freqüência do modelo 
se ajuste a distribuição de freqüência observada, que pode ser a mesma do ano base. 
4.1 Furness Tridimensional 
 
Busca-se atender a três restrições: 
 
Somatório nas linhas: 
 
ijk
k
iV O
j
i n�� = = 1,..., 
Somatório nas colunas: 
ijk
k
jV D
i
j n�� = = 1,..., 
 
Distribuição de freqüência: 
ijk
l
kV S
j
k k�� = = 1,..., 
 
Sendo: 
K: número de intervalos. 
Sk : freqüência de viagens no intervalo k. 
Define-se ∆ijk = variável que indica se o tempo de viagem tij pertence ao intervalo k. 
∆ijk = 1 se tij ∈ k 
 0 em caso contrário. 
O procedimento tridimensional pode ser resumido como se segue: 
Passo 0. inicializa: 
v0ijk = ∆ijk ∨ i,j,k 
faz p=1 
 
Passo 1. Variando i = 1.n faça para cada par j, k: 
ijk
p
ijk
p i
ijk
p
kj
V V oV i n
3 2 3 3
3 3 1
− −
−= ∗ =�� , ,...,
 
 
 
 
 
Passo 2. Variando j =l, ..n faça para cada par i,k: 
ijk
p
ijk
p j
ijk
p
ki
V V DV j n
3 1 3 2
2 1
− −
−= ∗ =�� , ,... .
 
 
Passo 3. Variando k = 1,...k, faça para cada par i,j: 
ijk
p
ijk
p k
ijk
p
ji
V V SV K k
3 3 1
1 1
= ∗
=
−
−�� , ,.. .
 
teste: 
 
se: i
ijk
p
kj
o
V��
≈ 1, p/todo i e j
ijk
p
ki
D
V��
≈ 1 p/todo j e k
ijk
p
ji
S
V��
 ≈ 1 para todo k, 
pare, 
senão faça p = p + 1 e volte para 1. 
 
4.2. Furness Bidimensional 
Como foi comentado anteriormente, no Furness bidimensional trata-se apenas de 
realizar um ajuste nas linhas e colunas. 
 
Passo 0. v0ij = vij faça p=1 
Passo 1. Variando i =1,..n, faça para cada j: 
ij
p
ij
p i
ij
p
j
V V O
V
N
i n2 1 2 2 2 2 1
− −
−= ∗ =
�
, , ..., , ou, o que é o mesmo: 
ij
p
ij
p p
iV V o i n2 1 2 2 2 2 1− − −= ∗ =, , ..., 
 
 
 
O\D 1 2 3 Oip OiN oip 
1 
2 
3 
Djp 
DjN 
djp m 
 
Logo, neste passo do Furness, multiplica-se cada elemento de uma linha pelo fator 
de crescimento na linha, que está valendo para a iteração atual. 
 
Passo 2. Variando j = 1,...n, faça para cada i: 
ij
p
ij
p j
ij
p
i
V V
D
V
N
j n2 2 1 2 1 1= ∗ =
−
−
�
, , ..., , ou, o que é o mesmo. 
ij
p
ij
p p
jV V d j n2 2 1 2 1 1= ∗ =− − , , ..., 
 
O\D 1 2 3 Oip OiN oip 
1 
2 
3 
Djp 
DjN 
djp m 
 
Agora, neste passo, multiplica-se cada elemento de cada coluna pelo fator de 
crescimento na coluna. Observe que o fator dj foi recalculado após o passo anterior. 
 
teste: 
se i
N
ij
p
j
n
O
V
=
�
≈
1
1 e j
N
ij
p
i
n
D
V
=
�
≈
1
1 pare 
 
senão faça p = p + 1 e volte para 1. 
 
Para o exemplo, usado no texto temos: 
O/D 1 2 3 O0i Oni o0i 
1 100 210 290 600 1057 1.762 
2 150 200 210 560 818 1.461 
3 400 490 200 1090 889 0.816 
D0j 650 900 700 2250 
DNj 684 822 1258 2764 
d0j 1.052 0.914 1.79
7 
 1.228 
 
O elemento 2,1, terá no passo p=1: V121 = 150* 1,461 = 219,15 
 
 
 
 
 
Para a matriz toda, após o passo 1 o resultado é: 
O/D 1 2 3 O1i Oni o1i 
1 176,2 370,02 510,98 1057 
2 219,15 292,2 306,81 818 
3 326,4 399,84 163,2 889 
D1j 721,75 1062,06 980,99 
DNj 684 822 1258 2764 
d1j 0,947 0,773 1,282 
 
Agora, no passo 2, V221 = 219,15*0,947 = 207,53, tomando-se o fator de 
crescimento atual na coluna 1. 
Os procedimentos de Furness foram se estabelecendo na prática do planejamento de 
transportes e são hoje consagrados e implementados em muitos programas utilizados em 
planejamento de transportes. 
 
5. Questões e Problemas. 
 
1. Qual o objetivo do modelos de distribuição de viagens? Quais os componentes básicos 
dos modelos? 
 
2. Porque se deve sempre que possível. modelar a matriz de distribuição por cada motivo de 
viagem? Quais são os motivos de viagens mais importantes para o transporte urbano? 
 
3 Quais os tipos de modelos de distribuição que foram apresentados no texto? Descreva 
brevemente em que consiste cada um. 
 
4. Qual a formulação básica do modelo Detroit? De a fórmula, explique as variáveis. 
 
5. Qual a fórmula básica do modelo Fratar para matrizes assimétricas. Dê as fórmulas e 
explique as variáveis. 
 
6. Qual a idéia básica dos modelos gravitacionais? 
 
7. Explique o modelo gravitacional com uso do cálculo de correlação. 
 
8. Mostre como construir um modelo gravitacional pelo método iterativo. 
 
9. Explique o modelo de balanceamento de matrizes de Furness. 
 
10. Para a matriz abaixo faça o cálculo da primeira iteração de um modelo à base do fator 
de crescimento. 
 
O\D 1 2 3 Oi0 OiN oi0 
1 100 200 400 700 1100 1.571 
2 300 200 600 1100 1500 1.363 
3 150 300 150 600 500 0.833 
Dj0 550 700 1150 2400 
DjN 800 1000 1300 3100 
dj0 1.454 1.428 1.130 1.292 
 
11. Use o método de Furness para fazer a projeção para o ano 2010, da matriz de viagens 
dada abaixo. Use os valores estimados de viagens originadas e produzidas obtidos do 
modelo do problema 4 de geração de viagens . Faça os cálculos até a segunda iteração. (um 
balanceamento na linha e um na coluna). 
 
 
 
 
 
O/D 1 2 3 4 O1998i O2010 o1998i 
1 200 110 440 300 1050 
2 180 200 360 200 940 
3 220 160 200 200 780 
4 200 300 200 100 800 
D1998j 800 770 1200 800 3570 
D2010j 
d2010j 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELOS DE REPARTIÇÃO MODAL DE TRANSPORTE . 
 
1. Introdução 
 
Os modelos de repartição modal tem por objetivo simular o processo de escolha dos 
diferentes modos de transporte para a realização das viagens por parte dos usuários. 
 
Em termos gerais sabe-se que o processo de escolha modal é bastante complexo. 
Tradicionalmente coloca-se o processo de escolha modal a terceira etapa de um processo de 
viagem depois da geração (decisão de realizar a viagem) e a distribuição (escolha do local 
de destino). 
 
No entanto essa ordenação do processo de viagem é apenas uma simplificação formal. 
Há na verdade uma interdependência entre: 
 
1. a decisão de realizar um deslocamento, para o exercício de uma atividade, 
2. a escolha do local do destino, tomando em consideração a acessibilidade do indivíduo aos 
diferentes equipamentos específicos para a atividade, e 
3. a escolha do meio de transporte para realizar o deslocamento. 
 
O processo é complexo, uma vez que o indivíduo tem na sua mente um modelo mais ou 
menos exato da cidade com a localização dos equipamento para realização das diversas 
atividades e os meios de transporte que lhe dão acesso a cada equipamento. De acordo com 
o custo (em termos gerais: custo monetário, gasto de tempo, esforço físico e psicológico, 
etc) de realizar o deslocamento com cada meio de transporte alternativo, pode o indivíduo 
optar ou não por fazer a viagem e se o fizer, já escolherá de uma vez o destino com o meio 
de transporte que o leva ao destino, podendo inclusive, com isso fixar a própria rota do 
deslocamento.Existem diversas tentativas de modelar o processo de viagem, desde o tradicional 
agregado, em 4 etapas, a modelos desagregados ou agregados simultâneos, que tentam em 
uma só etapa modelar todo processo de viagem. 
 
Talvez esse seja o aspecto do deslocamento mais difícil de modelar. Os planejadores de 
transporte esforçam-se por desenvolver e aprimorar novos modelos e ainda há um longo 
caminho a percorrer. 
 
Mais do que isso os parâmetros e padrões de comportamento detectados em cada cidade 
e cada país, não podem ser mecanicamente transposto para outros. Há, portanto, a 
necessidade de pesquisar e desenvolver no Brasil, para as diferentes estruturas urbanas, 
métodos de análise e modelos de escolha modal. 
2. A Análise Da Escolha Modal Nos Modelos Agregados 
Em geral os modelos de repartição modal agregados, desprezam os deslocamentos a pé e 
analisam a escolha modal entre as alternativas do transporte individual e transporte e 
transporte público. 
 
Observa-se que existem certos grupos de população que são cativos de um meio de 
transporte. A literatura em inglês fala de “captive riders” ou cativos do transporte público e 
“captive drivers”, que seriam os cativos do transporte individual. 
 
No que diz respeito a localização do modelo de repartição modal dentro da seqüência de 
etapas do modelo total de viagem, pode-se diferenciar quatro situações. 
 
A. Modelo Setorial 
Nesse tipo de modelo, analisa-se separadamente o transporte individual e o transporte coletivo, 
ou seja, modela-se separadamente a geração por cada meio de transporte, para depois 
modelar-se a distribuição. Assim na realidade não se modela a escolha modal. 
 
B. Modelo “Trip End” 
Nesse tipo de modelo é calculado primeiro a geração. Em seguida aplica-se o modelo de 
repartição modal para calcular a geração por cada meio de transporte. Só então aplica-se o 
modelo de distribuição, já para cada modo de transporte separadamente. 
 
C. Modelo “Trip Interchange” 
O modelo de repartição modal é aplicado depois do modelo de distribuição. Esse é o tipo mais 
generalizado de modelo de repartição modal. 
 
D. Modelo Simultâneo (One-step model) 
Nesse tipo de modelo calcula-se com o uso de uma só equação complexa o valor das viagens 
por cada meio de transporte, para cada destino. 
 
2.1. Exemplos de Modelos Agregados. 
2.1.1. Modelo usando cálculo de correlação 
 Um tipo de modelo agregado (tipo trip interchange) pode ser construído calculando os 
valores dos parâmetros C e B na expressão. 
 
( )
I
C
t
tf
ij
BP
ijTP .= 
 
Onde: f P ij é a porcentagem do uso do transporte público nas viagens de i para j. 
 P
ijt é o tempo médio de viagem i para j transporte público. 
 I i jt é o tempo de viagem de i a j usando transporte individual. 
 
Dada as matrizes de P
i jt e I i jt e os valores atuais de f
P
ij pode-se por meio de um cálculo de 
correlação estimar-se os de valores C e B a partir da expressão linearizada: 
1n f P ij = 1n C + B 1n ( )P ij I ijt t/ . 
 
Define-se: 
rij= ( )P ij I ijt t/ . 
 
Aqui ln f P ij será a variável dependente e ln rij a variável independente. Com o cálculo da 
regressão linear da forma y= a + bx, tem-se: 
 
a = ln C, ou C=elna 
B = b. 
 
Exemplo: 
 
Dada a matriz de viagens total: VTij 
 
100 200 400 
300 200 600 
150 300 150 
 
A matriz de viagens por transporte público VPij: 
50 120 300 
100 50 200 
75 150 70 
 
Pode-se calcular a fração de uso de transporte público fPij= Vpij / Vtij. 
0.5 0.6 0.75 
0.33 0.25 0.33 
0.5 0.5 0.47 
Dadas as matrizes de tempos de viagem t Pij e t Iij , respectivamente: 
5 25 20 
30 35 40 
30 25 5 
e 
5 25 30 
15 5 20 
30 20 5 
 
 
 
 
pode-se calcular rij: 
1 1 0,67 
2 7 2 
1 1.25 1 
 
Tomando-se os logaritmos de f Pij e de rij tem-se 9 observações das variáveis dependente e 
independente. 
Observação: ln fPij ln rij 
1 -0,693 0 
2 -0,511 0 
3 -0,288 -0,405 
4 -1,099 0,693 
5 -1,386 1,099 
6 -1,099 0,693 
7 -0,693 0 
8 -0,693 0,223 
9 -0,762 0 
 
O resultado desta aplicação é: 
ln fPij = -0,6263 - 0,6893*ln rij. R2= 0,9428 
 
C= e-0,623= 0,5345 
ln fPij = 0,5345*(rij)-0,6893. 
 
Aplicando a fórmula: 
fP32 = 0,5345*(1,25)-0,6893 = 0,458 (Observado: 0,5) 
 
fP21 = 0,5345*(2,0)-0,6893 = 0,331 (Observado: 0,33). 
 
Para aplicar o modelo trabalha-se com a razão de tempos de viagem de uma situação futura, 
ou de projeto. Ou seja se supõe que para a viagem entre a zona 3 e a zona 2 a razão de 
tempos de viagem será de 0,75 em função de piora nos tempo de viagem do transporte 
individual, por congestionamentos e melhoria no transporte público. A fração de tempos de 
viagem passará a ser: 
 
fP32 = 0,5345*(0,75)-0,6893 = 0,6517. 
 
Ou seja, na situação descrita, 65,17 % dos passageiros usarão o transporte público. 
 
 
 
 
 
2.1.3. Modelo em função de razão de tempos e do grau de motorização 
 
Uma outra alternativa de modelo de agregado seria a de construir curvas ou definir funções 
relacionando a razão entre os tempos de viagens por transporte público e individual e a 
percentagem do uso do transporte público, para cada motivo de viagem, diferenciando 
ainda as curvas ou funções por categorias (de grau de motorização, de renda etc.) 
 
Ex.: Modelo de Repartição modal para viagens ao trabalho. 
Repartição entre transporte público e transporte individual em função da razão dos tempos de 
viagem e da motorização. Região de Hamburgo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Fração de uso de transporte público em função de razão de tempo de viagem e 
grau de motorização na zona de tráfego. 
 
 
De qualquer forma, os diferentes modelos de repartição modal agregados, representam, uma 
tentativa simplificada de abordar o complexo problema de escolha modal. Como toda 
agregação isso implica em uma simplificação do problema, abandonando importantes 
propriedades do fenômeno estudado e reduzindo a explicabilidade do modelo. No entanto, 
em certos casos, e segundo a qualidade da análise conceitual efetuada e a incorporação das 
variáveis de maior influência para o fenômeno em questão, pode-se chegar a aproximações 
razoáveis. De qualquer forma a análise desagregada da repartição modal, quando possível 
de ser realizada, pode conduzir a uma compreensão mais aprofundada do problema e a 
construção de modelos mais próximos da realidade. 
 fPi,j 
 1,0 
 
 0,1 Veíc/Hab. 
 
 
 0,3 Veíc/hab 
 
 
 0,4 Veíc/hab. 
 
 
 
 
 
 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 
t
P
ij/t
I
ij 
 
3. Modelos Desagregados De Repartição Modal De Transporte 
Os modelos desagregados de repartição modal têm como outros modelos desagregados a 
vantagem de analisar o processo de viagem a um nível mais detalhado, que os modelos 
agregados, permitindo descobrir mais relações de causa e efeito, e diferenciando aspectos 
da oferta e da demanda. Isso conduz a uma explicabilidade e eficácia dos modelos, 
permitindo também analisar mais mecanismos de influência na escolha modal, aumentando 
as alternativas de ação planejada. 
 
É apresentado o modelo logit basicamente voltado para uma escolha entre dois modos de 
transporte. No entanto o modelo pode ser generalizado para vários modos de transporte. 
 
3.1. Fatores de Influência da Escolha Modal 
O problema da escolha modal envolve uma série de fatores objetivos do usuário (renda, 
posse de auto, motivo de viagem), do sistema do transportes (rede viária, rede de transporte 
público, facilidade de estacionamento, etc.) do motivo de viagem, relacionado com o 
sistema urbano (localização dos equipamentos específicos para o exercício da atividade) 
assim como fatores subjetivos e psicológicos do usuário ( noção de conforto, conceito de 
status associado ao automóvel, disponibilidade para andar, etc.). 
 
É evidente que o principal fator pode ser resumido na possibilidade real de eleger 
alternativas. Em se tratando de Brasil, no momento atual o problemamodal para a grande 
maioria da população resume-se a escolher entre e andar a pé (quando o destino está a uma 
distância suportável) e a escolher ou não entre realizar a viagem com um dos modos de 
transporte público existentes. 
 
Uma relação de fatores de influência pode ser dividida em três categorias de características. 
 
A- Características da rede. 
 
 Razão de tempos de viagem entre modos. 
 Razão de custos entre modos. 
 Acessibilidade (razão de acessibilidade) 
 
B- Características pessoais ou da família. 
 Renda 
 Posse de auto 
 Tamanho da família, composição 
 Sexo 
 Idade 
 
 
 
C. Características da Viagem 
 Motivo 
 Disponibilidade do auto 
 Distância 
 
 
 
Estudos realizados nos EEUU comprovaram também que para os usuários com 
alternativa entre automóvel e transporte público, o motivo da escolha teve como razões 
mais importantes: 1) o tempo de viagem, em primeiro lugar, 2) o conforto, 3) Uma 
necessidade do automóvel, (tanto para o trabalho, como para voltar para casa) e 4) Custo. 
Os primeiros estudos deste tipo, foram realizados no final dos anos sessenta. No entanto, 
os princípios básicos são válidos até hoje. 
 
3.2. Modelo Binário Logit 
3.2.1. Introdução 
Esse modelo probabilístico tem caráter desagregado e seu uso pode teoricamente 
estender-se a todas as etapas dos modelos de viagem, e a outros aspectos da análise de 
transporte e problemas urbanos, como escolha da compra de autos ou escolha do local de 
moradia, etc. 
 
Aqui nos interessa especialmente o uso para a modelagem da escolha modal. 
 
O modelo calcula a porcentagem da escolha de uma determinada alternativa através da 
probabilidade de escolha dessa alternativa. O modelo genérico para várias alternativas de 
escolha denomina-se multinomial logit baseia-se na seguinte fórmula: 
 
( )P i A e
e
t
U it
U k t
k
n
: =
=
�
1
 
 
t = é o indivíduo observado (ou grupo) t = 1, ..., T. 
 
At = É o conjunto de alternativas relevantes para o indivíduo t (ex: automóvel, bicicleta, 
ou transporte público). 
 
P(i:At) = é a probabilidade que o indivíduo t escolha a alternativa i.. 
 
Uit = utilidade da alternativa i para o indivíduo t. 
 
n: número de alternativas. 
 
A utilidade Uit é função das características da alternativa i e das características sócio-
econômicas do indivíduo t. 
 
 
 
ex: Características de alternativa: Tempo de Viagem 
 Custo 
 Medida de atratividade 
 
Características sócio-econômicas do indivíduo: Renda 
 Educação 
 Idade, posição 
 familiar, etc. 
 
i t i t i t k
K
m
kU X X= =
=
�'θ θ
1
 
 
Xit é vetor de variáveis da função Uit (m x 1) 
m: número de variáveis na função de utilidade. 
 
θ é vetor de coeficientes da função: 
 
 θ
θ
θ
θ
=
�
	
�
�
1
2
.
.
.
m
 
 
 
O modelo binário logit, que é um caso particular do modelo multinomial, é usado quando se 
tem apenas duas alternativas de escolha, por exemplo: 
 
At= {Alternativa 1: transporte individual; Alternativa 2: transporte público. } 
 
O modelo calcula a probabilidade de escolha da alternativa i com a fórmula.: 
 
P i A
e
e et
Uit
U t U t( , ) = +1 2 ; i=1,2. 
 
 
 
Exemplo: 
 
Escolha modal de uso de transporte de carga por ferrovia ou rodovia (caminhão), em função 
de variáveis tempo de viagem tf e tc e custos cf e cc. 
 
Seja conhecida a função de utilidade: 
 
Ui = 0,02* ti + 0,5*ci 
 
A probabilidade de uso do transporte ferroviário será dada por: 
 
)5,002,0()5,002,0(
)5,002,0(
cctccftf
cftf
f ee
e
P ++
+
+
=
 
 
Dados, para uma certa rota os valores: 
 
 tempo (horas) Custo ($/ton) 
Ferrovia 50 1 
Caminhão 25 1,5 
 
valores das funções de utilidade: 
 
Ferrovia: 0.02*50 + 0,5*1 = 1,5 
Rodovia: 0,02*25 + 0,5*1,5 = 1,25 
 
P
e
e ef
=
+
=
1 5
1 5 1 25
0 56
,
, ,
, 
 
Esta probabilidade indica uma estimativa de que 56 % da carga use o transporte ferroviário 
nesta rota. Logicamente o restante da carga, ou seja, 44% usará o transporte rodoviário. 
 
 
3.2.2. Variáveis da função de utilidade 
As variáveis na função de utilidade podem ser do tipo genérico ou alternativa- 
específica. 
 
Uma variável genérica é aquela que aparece em todas as equações para todas as 
alternativas. 
 
A variável do tipo alternativa-específica é aquela que é específica para certo tipo de 
alternativa. Tem valor zero para as outras alternativas. 
 
Tempo de Viagem: pode-se relacionar Tempo de Viagem_ 
 distância 
 
Na literatura sobre modelos desagregados do tipo logit encontram-se exemplos com uma 
extensa lista de variáveis na função de utilidade. Deve-se lembrar que, obviamente, o 
aumento exagerado de variáveis a partir de um certo ponto conduz a um grande aumento no 
trabalho de cálculo, sem por outro lado, alterar significativamente a qualidade da equação. 
 
3.2.3. Construção do modelo. 
O modelo multinomial logit é expresso matematicamente na fórmula: 
( )P i A e
e
t
U it
U k t
k
n
: =
=
�
1
 
As funções de utilidade Uit são definidas como: 
U i t i t i tk
K
m
kX X= =
=
�'θ θ
1
 
 
e θ k são os coeficientes da função de utilidade, que podem ser guardadas no vetor θ . 
 
θ
θ
θ
1
2
.
.
.
m
�
	
�
�
 
 
Uma vez definidas as variáveis que comporão a função de utilidade, a construção do 
modelo é realizada determinando-se os valoresθ k dos coeficientes da função de utilidade. 
Esses valores são estimados empiricamente da amostra. Usualmente estimam-se os 
parâmetros do modelo com ajuda do método de máxima verossimilhança.. 
 
3.2.4 - Propriedades de independência de alternativas irrelevantes 
Esta propriedade do modelo Logit afirma que a comparação entre 2 alternativas não 
influenciada por outras alternativas possíveis. 
 
A razão das probabilidades de escolha de 2 alternativas é independente do conjunto de 
alternativas possíveis. 
Q ij
P i
P J
e
e
e
A
t
A
t
U
it
U
jt
U
it
U
jt( )
( : )
( : )
( )= = = − 
 
Razão: ___prob. de escolha de i no conjunto de alternativas A t.__ 
 prob. de escolha de j no conjunto de alternativas A t. 
 
LnQij = Uit- Ujt = (Xit- Xjt) * θ 
 
Essa propriedade deve ser testada logicamente antes de ser aplicada. Uma outra 
alternativa futura, por exemplo, pode influenciar diferentemente cada alternativa i e j. 
Ex.: Introdução de metro e introdução de ônibus expresso e efeitos sobre Transporte 
individual e Transporte Público. 
 
Se se introduz nova alternativa , para o cálculo da razão das probabilidades, essa 
alternativa entrará como um e Ukt adicional no denominador de ambas as funções. A razão 
entre as alternativas i e j permanecerá inalterável. 
 
Essa propriedade do logit permite conduzir a análise modal entre 2 meios de transporte, 
supondo que a razão entre as probabilidades de escolha das 2 alternativas, permanece 
constante com a inclusão de outras alternativas de modo de viagem. Assim. na falta de um 
programa para calibrar o multinomial logit pode-se fazer uma análise inicial, com o binário 
logit e tomando as alternativas duas a duas. 
 
3.2.5 - Método do Ponto pivot para avaliar o efeito de mudanças no nível de serviço. 
 O método parte do cálculo das probabilidades para uma dado nível de serviço. As novas 
probabilidades relativas a novos níveis de serviço podem ser calculadas, considerando 
apenas as mudanças no nível de serviço, ou na função de utilidade. 
p
P e
P e
n
n
Un
m
m
k
Un
'= ⋅
⋅
=
�
�
�
∆
∆
1
 
 
Pn = Probabilidade revisadade escolha de alternativa n. 
 
P m
� = Probabilidade original de escolha de alternativa m. 
 
∆U m = Mudança na utilidade de alternativa m. 
 
Para o caso de duas alternativas i e j. 
 
P
P e
e i P e
i
i
o U
i
i
o U
j
U
jP
= ⋅
+ ⋅
∆
∆ ∆� 
 
Em um exemplo de transporte foi encontrada a seguinte repartição modal entre o modo 1 
transporte público e o modo 2, automóvel: 
 
P1 = 0,4 ; P2= 0,6. 
 
Sabe-se que no futuro as funções de utilidade dos modos sofrerão as seguintes 
modificações. 
 
∆U1 = 0,3 ; e∆U1= 1,34 e ∆U2 = 0,1; e∆U2 = 1,105. 
 
A nova probabilidade de uso do transporte público será, então: 
 
′ =
+
P 1
0 4 134
0 4 134 0 6 1105
, * ,
, * , , * , )
= 0,44 
 
 
Este procedimento é usado em planejamento de transporte para avaliar impactos de 
mudanças futuras nos níveis de serviços dos modos. 
 
4. Questões e Problemas. 
 
1. Qual a diferença entre modelos agregados e modelos desagregados? 
 
2. No processo de modelagem de 4 etapas em que momento pode ser construído um modelo 
de escolha modal ? 
 
3. Explique o modelo de escolha modal usando regressão linear. 
 
4. Para os dados abaixo, construa um modelo de escolha modal selecionando os 4 
elementos marcados na matriz (com *) para construir a regressão. 
 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 43 
 43 
O|D 1 2 3 
1 100 200* 400* 
2 300 200* 600* 
3 150 300 150 
Tab. 1: volumes de viagem por ônibus. 
 
O|D 1 2 3 
1 5 25 20 
2 30 35 40 
3 30 25 5 
Tab. 3: tempo de viagem por ônibus 
 
 
 
O|D 1 2 3 
1 50 120 300 
2 100 50 200 
3 75 150 70 
Tab. 2: Volumes de viagem por carro. 
 
O|D 1 2 3 
1 100 200 400 
2 300 200 600 
3 150 300 150 
Tab. 4. Tempos de viagem por carro 
 
5. Além do modelo usando a regressão linear que outros modelos agregados podem ser 
usados para simular a escolha modal ? 
 
6. Explique o modelo binomial logit. 
 
7. Dados os valores de tempos de viagem e custo para cada alternativa e a função de 
utilidade, calcule a probabilidade de escolha de cada modo de viagem. Se os valores das 
funções de utilidade mudam para ∆u1 = 0.3 e ∆u2 = 0.1, quais os novos valores das 
probabilidades de escolha de cada modo? 
U= 0.002*t + 0.5*c 
 Tempo de viagem(t) Custo de viagem (c) 
Modo 1 30 1.1 
Modo 2 15 2.0 
 
8. Estime o total de viagens por transporte público e transporte individual para as viagens 
entre as zonas 2 e 3 da matriz de 1998, dada na questão 11 de distribuição de viagens. Use o 
modelo logit com a função de utilidade dada abaixo. Recalcule os valores supondo que as 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 44 
 44 
funções de utilidade de cada modo sofreram a seguinte alteração: ∆Utp = 5 e ∆Uind = 
3 . 
 
Função de utilidade: 
 
Um = -0.2*tempo - 700*(custo/salário). 
 
Salário médio: R$ 400,00 
 
Valores das variáveis para as viagens entre as zonas 2 e 3 com cada modo: 
 
MODO\Variável Tempo (min) Custo (R$) 
Individual 12 3 
Público 22 0.65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 45 
 45 
MODELOS DE ALOCAÇÃO DE VIAGENS. 
 
1 - INTRODUÇÃO 
 
 Os modelos tradicionais de demanda de transporte urbano em quatro etapas, foram 
os primeiros a serem desenvolvidos e aperfeiçoados no campo do planejamento dos 
transportes. Um dos objetivos principais dos modelo é fornecer dados para o 
dimensionamento da rede de transporte individual e para a rede de transporte coletivo 
(rotas, paradas e freqüência de sistemas de transporte coletivo). Para o transporte de carga 
este tipo de modelo pode ser aplicado, considerando as características particulares da 
demanda e da rede de transporte de carga. 
 
 Uma vez definidos os valores das relações O-D de viagens, com cada modo de 
transporte, nos diversos períodos do dia entre os diversos pontos do espaço, é necessário 
calcular os carregamentos sobre as redes de transporte individual e coletivo, resultantes dos 
volumes O-D correspondentes. 
 
 No que diz respeito a rede viária, são em geral os volumes máximos diários de 
transporte individual os determinantes para o dimensionamento da rede. Os volumes do 
transporte coletivo rodoviário (ou de bondes onde for o caso) em números de veículos 
devem ser adicionados aos carregamentos de cada via. 
 
 O problema de simular o processo de escolha de uma rota dentro de uma rede, para 
realizar viagens de um ponto de origem a um ponto de destino é então o objetivo dos 
modelos de alocação de tráfego. 
 
 Em geral esse problema é mais concernente ao transporte individual, dada as 
características do transporte coletivo de determinar a rota considerando não apenas os 
pontos iniciais de origem e destino, mas também os diversos pontos intermediários mais 
adequados à demanda dos usuários. 
 
 Os modelos apresentados aqui para o transporte urbano de pessoas, podem também 
ser devidamente formulados para o transporte de carga, seja o nível urbano ou regional. 
 
No que se refere aos modos de viagem considerados o modelo de alocação pode realizar: 
 
• Alocação Modal 
Aonde a Matriz O/D é separada por Modo de Transporte e a alocação é feita para cada 
modo em separado. 
• Alocação Multimodal 
Usa-se uma Matriz O/D definida para um Conjunto de Modos. A Alocação é feita com 
fluxos podendo escolher por caminhos (Rotas) de um só modo ou combinando vários 
modos (Caminhos Multimodais). Ex.: Automóvel + Metrô; Caminhão + Trem + Navio 
(Carga)., 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 46 
 46 
Os modelos de alocação necessitam, em geral, de uma representação esquemática da rede 
de transportes em forma de grafos. Os pontos de interseção da rede, também podem ser 
representados por nós intermediários, e os trechos da rede podem ser representados por 
arcos (links em inglês) conectando os diversos nós (Figura 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Rede viária detalhada e representação por arcos e nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Rede agregada e representação da rede completa. 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 
 
 
 5 
 Interseções � Nós Vias � Arcos 
direcionados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Centróide 
 Metro 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 47 
 47 
Numa rede agregada completa tem-se a região dividida em zonas de tráfego. A cada zona 
de tráfego se associa um nó especial, que será o ponto de onde sai ou chega todo o fluxo da 
zona, ou para a zona. Sobre o mapa da cidade se constrói a rede completa, como ilustrado 
na figura 2. 
 
Os nós são numerados seqüencialmente e a cada link é associado um custo de trafegá-lo 
(custo monetário, tempo de viagem, distância, etc, ou a combinação destes). A rede 
esquemática, sem o mapa da cidade como fundo, fica como na figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Rede esquemática como modelo da rede de transportes. 
 
 
 Cabe ainda lembrar, que a alocação pode ser realizada numa rede real ou em 
diversas alternativas de redes concebidas ou projetadas, com o objetivo de avaliar as 
diversas alternativas de projetos ou da situação da rede atual frente a volumes de tráfego 
diferentes dos atuais. 
 
2. Cálculo De Caminhos Mínimos Em Redes. 
 
Na notação matemática, define-se uma rede como um conjunto G=(N,A), composto de dois 
subconjuntos N e A, aonde: 
 
N é o conjunto de nós N = �i, j, k� e A é o conjunto de arcos, A = �(a,b), (e,g), (i,j) ... �. 
 
A cada arco (i,j) ∈ A é associado um custo dij. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rede Esquemática. 
Transporte e logística.José Eugenio Leal Modelos em Transportes 48 
 48 
 
O Problema de encontrar o Caminho de Custo Mínimo entre um par de pontos é um dos 
mais importantes no tratamento de redes . O Método de Djkstra, apresentado aqui, calcula 
a rota mínima (RM) entre um ponto e todos os outros pontos. 
 
Em termos gerais o método trabalha da seguinte forma. 
 
Há nós com etiqueta permanente, que são aqueles que não podem ser melhorados. Ou seja, 
já se encontrou a rota mínima entre a origem e o nó. E há nós com etiqueta temporária. São 
os nós que ainda podem ser melhorados. Ou seja, pode-se encontrar um outro caminho da 
origem até o nó, melhor do que o caminho atual. 
 
A cada etapa o algoritmo seleciona um nó k para ser permanente. No início é o nó de 
origem. A partir daí será sempre um nó com a menor etiqueta temporária. Uma vez que este 
nó é tornado permanente, tenta-se melhorar a etiqueta dos nós da rede. Os únicos nós que 
podem ser melhorados são somente os nós j temporários, que são ligados com um arco (k,j) 
desde o nó recentemente tornado permanente. Faz-se então uma varredura, a partir do nó k 
aos nós j temporários adjacentes a ele. Se o custo do caminho atual até cada nó j, for 
maior que o custo do caminho desde a origem até k mais o custo do arco (k,j), então pode-
se melhorar a etiqueta do nó j e o nó precedente ao nó j passa ser o nó k (figura 4). No 
exemplo da figura os nós j,l e m estão ligados por arcos desde o nó k. O nó j tem um custo 
atual da origem até ele de 50. O custo de um novo caminho passando pelo nó k, com custo 
35 , mais o custo no arco (k,j) de 10 dá um total de 45, que é menor que 50. Assim o novo 
caminho até j terá um custo de 45 e o novo nó precedente de j é o nó k. A etiqueta de j 
muda para [45,k]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Varredura aos nós j,l e m a partir do nó k. 
 
 
 
 [50,b] [45,k] 
 Caminho a j j j 
 
 
 10 
 [35,a] 15 l [50,a] 
 k 
 15 k 
 m 
 Caminho a m [60,c] Novo caminho até j 
 
 
 Etiqueta [π, α] : custo do caminho e nó precedente. 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 49 
 49 
 
Formalmente o algoritmo de caminho mínimo de Djkstra é apresentado a seguir: 
 
O método define para cada Nó i: 
 
Um par de etiquetas (πi , αi ), sendo: 
 πi : Valor da rota atual da origem a “i” 
 
 αi : Nó precedente na rota atual da 
 origem a i. 
 
Define também dois conjuntos de nós: 
 
P : Conjunto de nós permanentes. 
São os nós para os quais já foi encontrado o caminho mínimo desde a origem. 
 
T : Conjunto de nós Temporários. 
São os nós cujos valores de etiquetas ainda podem mudar. 
 
 
O Algoritmo de Dijkstra é descrito a seguir. 
 
Passo f : Inicialização. 
 
Seja a o nó inicial. Definem-se os valores: 
 
 πa = 0 ; αa = -1 
 πj= daj ∀ j≠a ; αa = 0 
 
Se (a,j) ∉ A → daj = ∞ 
 
Textualmente: O nó inicial a recebe as etiquetas (0, -1). Os demais nós j recebem o valor 
(daj,0), sendo daj o valor do arco que liga a ao nó j. Se não existir o arco, daj = ∞. 
 
 
P⇐ �a� T = �j / j ={N-a}� 
 
Textualmente : O nó a é permanente, está no conjunto de permanentes, os demais nós são 
temporários. 
 
Passo 1: Encontrar o nó k tal que πk = min �πj� 
 j∈T 
Textualmente: Entre todos os nós temporários, escolha aquele (que chamamos de nó k) 
com menor etiqueta de valor da rota, π. 
 Conj. P⇐ P U �k� ; T⇐ T - �k� 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 50 
 50 
 Se T = f Pare: os πj são custos da RM 
 
Textualmente: Retire o nó k no conjunto de temporários e o coloque no conjunto de 
permanentes. Se o conjunto de temporários ficou vazio, o algoritmo terminou. 
 
Passo 2: Revisão de etiquetas 
 
 ∀ j ∈ T faça e tal que o arco (k,j) ∈ A: 
 
 Se πj > πk + dkj , então 
 
 Início 
 
 πj = πk + dkj , 
 
 αj = k 
 
 Fim então 
 
Volte para 1. 
 
Textualmente:: Entre todos os nós j temporários, acessíveis por um arco desde o nó k, 
verifique se o valor do caminho atual é maior que o valor do caminho passando pelo nó k e 
pelo arco de acesso a j. Se o novo caminho tem um valor menor troque as etiquetas. πj = πk 
+ dkj e k passa a ser o novo predecessor de j. Feito isto para todos os nós acessíveis desde 
o nó k, volte para o passo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Exemplo de etiquetagem inicial para um caminho mínimo a partir do nó 1. 
 
 [0,-1] 3 [5,1] 
 5 7 
 1 1 6 
[∞,0] 
 4 
 2 6 2 8 6 
 
 [2,1] 2 
 5 4 4 5 [∞,0] 
 [4,1] 5 
 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 51 
 51 
No exemplo da figura 5 deseja-se encontrar a rota mínima desde o nó 1 até todos os outros. 
Já é dado o passo zero, inicial do algoritmo. Só o nó 1 é permanente, os demais são 
temporários. No passo 1 se identifica o nó com menor etiqueta entre os temporários. Trata-
se do nó 2 com valor 2. esse é o nó k, a partir do qual se faz a varredura até os nós 
temporários adjacentes tentando mudar a etiqueta. Os nós j temporários adjacentes são: 
 
nó 3 com etiqueta [4,1] 
nó 4 com etiqueta [4,1]. 
 
O arco (2,3} tem custo 1. Assim o custo de chegar a 3 via o nó 2 é : 
O custo até o nó 2, que é 2 mais o custo do nó 2 ao nó 3 que é 1. Total 3, que é menor que 
4. Assim a nova etiqueta do nó 3 é [3,2]. 
 
O arco (2,4) tem custo 5. custo até o nó 2 mais o custo do arco (2,4) resulta em 7, que é 
maior que o valor atual do nó 4, que é 4. Assim o nó 4 não muda a etiqueta. 
 
O nó 2 passa a permanente. A lista atual de permanentes e temporários e: 
P= {1,2} 
T={3,4,5,6} 
 
O novo nó temporário de menor custo é 3 com etiqueta [3,2]. É o novo nó k a partir do qual 
se faz a varredura aos nós temporários adjacentes. 
 
No final do algoritmo as etiquetas dos nós serão as seguintes (figura 6): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Valor final das etiquetas de rota mínima de 1 até todos os nós. 
 
 [0,-1] 3 [3,2] 
 5 7 
 1 1 6 
10,3] 
 4 
 2 6 2 8 6 
 
 [2,1] 2 
 5 4 4 5 [8,4] 
 [4,1] 5 
 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 52 
 52 
 
A partir das etiquetas pode-se construir o vetor de precedentes abaixo. 
 
Vetor de Precedentes αj 
 
 j α 
 1 -1 
 2 1 
 3 2 
 4 1 
 5 4 
 6 3 
 
Este vetor de precedentes corresponde a uma árvore de rota mínima com raiz em 1, como 
mostrado na figura 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Árvore de rota mínima enraizada em 1. 
 
Com o vetor de precedentes pode-se encontrar o caminho retrocedendo desde cada destino á 
origem, no caso o nó 1 do exemplo. 
 
 
 [0,-1] 3 [3,2] 
 1 
 6 
[10,3] 
 
 
 
 [2,1] 2 
 4 5 [8,4][4,1] 
 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 53 
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Formalmente um algoritmo para encontrar rotas é apresentado a seguir: 
 
Rota Retrocedendo de J a 1: 
 
 R: �conj. de nós na rota� 
 
 R = �j� 
 
 Repita 
 
 j = α [j] 
 
 R⇐ RU �j� 
 
 Até αj = -1 
 
 
 
 
Ex.: Rota de 6 a 1: 
 
 R = �6� 
_______________________ 
 
 j = α [6] =3 
 
 R= {6,3} 
 
 α [3] ≠ -1 
_______________________ 
 
 j = α [3] = 2 
 
 R = {6, 3, 2} 
 
 α [2] ≠ -1 
 
_______________________ 
 
 j = α [2] =1 
 
 R = {6, 3, 2, 1} 
 
 α [1] = -1 : PARE 
 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 54 
 54 
 
De fato olhando-se na figura 6 observa-se que o caminho de 1 até 6 passa pelos nós: 
1,2,3,6. 
 
 
O Algoritmo de Dijkstra será usado para realizar a alocação. Construir a rota mínima desde 
uma i origem até todos os destinos j (j=1...n), corresponde a tomar toda uma linha da matriz 
O-D. O fluxo da origem a cada destino vai passar por todos os arcos do caminho a cada 
destino. 
 
Por exemplo se se tem a linha 1 da matriz O-D como dado abaixo: 
 
O\D 1 2 3 4 5 6 
1 0 100 200 50 100 300 
 
 
O fluxo de 1 a 6 é 300. Ao ser alocado ele vai carregar todos os arcos do caminho, ou seja: 
(1,2), (2,3),(3,6) com o valor de 300. 
 
Um outro fluxo 1,4, por exemplo com valor de 50 vai carregar o arco (1,4) com este valor. 
 
O fluxo resultante em cada arco será a soma dos fluxos de todos os pares OD que usam este 
arco. No exemplo, a alocação da linha 1 da matriz OD vai resultar em um carregamento 
como o dado na figura 7. O arco (1,2) vai receber os fluxos 100+200+300. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: Carregamento da linha 1 da matriz na árvore de caminho mínimo enraizada em 1.
 
 
 
 [0,-1] 3 [3,2] 
 1 300 
 6 
[10,3] 
 100 200 
 + 200 + 300 
 + 300 50 
 [2,1] 2 + 100 
 4 100 5 
[8,4] 
 [4,1] 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 55 
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O algoritmo de rota mínima é usado em na maioria dos modelos de alocação na rede. 
Alguns destes modelos são apresentados a seguir. 
 
 
3 - Modelos Com Restrição De Capacidade 
 
 Os algoritmo apresentados até agora, consideram os valores reais dos custos em 
cada link (o tempo de viagem) como uma constante, independente do volume de tráfego 
que usa cada trecho da rede. O método do caminho mínimo, por exemplo, ao aceitar tal 
premissa, tenderá a alocar todo o tráfego de uma relação O-D ao caminho mais curto. É o 
que se chama de alocação segundo o principio de “tudo ou nada”, ou alocação tudo-ou-
nada. 
 
 Na realidade porém os valores do custo de cada link, especialmente o custo expresso 
em tempos de viagem, não são constantes, mas sim variáveis e dependentes do volume de 
tráfego no link, segundo a capacidade do link considerado. Se se imagina uma via urbana 
em alguma hora na madrugada, pode-se supor que o motorista pode viajar a velocidade 
máxima. A medida em que, ao amanhecer, mais veículos entram na via, cada motorista será 
restringido pela presença dos outros, reduzindo a sua velocidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 : Diagrama fundamental de fluxo 
 
 Sabemos da teoria de fluxo de tráfego, que cada link rodoviário apresenta uma 
relação entre volume de veículos e velocidade no trecho, que pode ser expresso no 
diagrama fundamental Vol = f (Vel) (figura 11). 
 
 É possível estabelecer uma relação funcional entre as duas variáveis, para certos 
intervalos de Velocidade (Vel). e de Volume (Vol) onde, dado o volume é possível calcular 
o (s) valor(es) da velocidade associado. Para um trecho com comprimento fixo esta relação 
 
 
VOL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vel 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 56 
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pode ser transformada em relação vol X tvia, aonde tvia é o tempo de viagem no trecho( 
Fig.12). Na figura 12, t0 seria o tempo de viagem com volume zero na via, ou seja o tempo 
de viagem com fluxo livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Relação volume X tempo de viagem no arco. 
 
 
Um exemplo de função deste tipo é sugerida pelo U.S. Bureau of Public Roads (BPR), dos 
Estados Unidos na forma: 
 
 
 t = t 0 * [1 + α (Vol/CAP)β] 
 
Há exemplos de aplicação com α = 0.15 e β = 4.0. 
 
 
5.1. Alocação Em Cascata: 
 
 
 Na alocação do tráfego a consideração da restrição de capacidade implica que é mais 
correto teoricamente, alocar o volume total de tráfego de uma relação O.D em parcelas 
sucessivas do volume. Após alocar cada parcela, recalcula-se os novos valores dos tempos 
de viagem do links utilizados, através da função volume X tempo de viagem. O 
procedimento de alocação é aplicado novamente, com os novos valores dos tempos de 
viagem nos links. 
 
 Pode-se, por exemplo, dividir o volume total das relações O.D em 5 parcelas. Toma-
se 20% aloca-se na rede (segundo o método do caminho mínimo por ex.) recalcula-se os 
 
 Tvia 
 
 
 
 
 
 
 
 t0 
 
 
 CAP Vol 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 57 
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valores das velocidades em função dos valores presentes em cada link, toma-se mais 20%, 
aloca-se na rede com os valores modificados, e assim sucessivamente até completar 100% 
do volume total a alocar. O algoritmo denominado alocação em cascata é detalhado a 
seguir. 
 
 
 
- Para V = 0 Calcula-se custos em cada arco “a” : ta (o) 
 
- Calcula-se a RM, ∀ par O-D 
 
- Aloca-se parte do Fluxo O-D total (ex : 20%) às rotas mínimas . Isto vai produzir 
Volumes Va em cada arco. 
 
- Recalcula-se os custos: 
 
 ta (Va) 
 
- Calcula-se R.M. com novos custos. 
 
- Aloca-se outra parte do fluxo (ex : 20%) e assim sucessivamente até alcançar 100% . 
 
A cada parte alocada recalculam-se os Volumes Va e os custos correspondentes. 
 
 
Para alocar a parcela de fluxo usa-se, para todas as linhas da matriz o procedimento 
mostrado no tópico 2 (cálculo de caminhos mínimos em redes). Se a alocação é feita com 
parcelas de 20% toma-se uma matriz com 20% de cada valor ij da matriz para a alocação. 
 
Lembra-se que a alocação de uma i linha da matriz pode ser realizada com a árvore de 
caminho mínimo com origem no nó i. O carregamento de cada par i,j vai carregar todos os 
arcos do caminho de i para j. 
 
Após cada alocação parcial, tem-se um volume nos arcos igual ao volume da alocação 
anterior mais todos os volume dos pares i,j, da nova matriz, que usam o arco. Com o novo 
volume se recalcula o valor dos tempos nos arcos e aplica-se outra vez, o procedimento de 
rota mínima para todos os nós de origem (cada linha da matriz). 
 
6. Questões e Problemas 
1. Qual o objetivo dos modelos de alocação de viagens? 
 
2. De um pequeno exemplo de modelagem de um conjunto de vias como uma rede de 
transporte. 
 
Transporte e logística. José Eugenio Leal Modelos em Transportes 58 
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3. Explique o algorítmo de rota mínima de Djkstra. 
 
4. O algorítmo de rota mínima permite definir apenas uma rota para cada par OD. Como 
modelar a existência de vários caminhos alternativos ? 
 
5. Como representar o congestionamento para uso em modelos de rede de transporte ? 
 
6. Explique o algorítmo de alocação em cascata. 
 
7. Para a rede da figura dada em aula construa a árvore de caminho mínimo desde o nó 3. 
Veja a matriz de viagens dada em aula. Com a árvore de caminho mínimo encontrada 
aloque 50% do fluxo do nó de origem a todos os nós. Para cada arco da rede