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D
F
35°
35°
FIGURA 7
1. Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não
fazem sentido? Explique.
(a) (a ! b) ! c (b) (a ! b)c 
(c) "a"(b ! c) (d) a ! (b # c)
(e) a ! b # c (f) "a" ! (b # c)
2–10 Defina a ! b.
2. a $ k%2, 3l,MMMb $ k0,7, 1,2l
3. a $ k%2, l,MMMb $ k%5, 12l
4. a $ k6, %2, 3l,MMMb $ k2, 5, %1l
5. a $ k4, 1, l,MMMb $ k6, %3, %8l
6. a $ ks, 2s, 3sl,MMMb $ kt, %t, 5tl
7. a $ i % 2j # 3k,MMMb $ 5i # 9k 
8. a $ 3i # 2j % k,MMMb $ 4i # 5k 
9. "a" $ 6,M"b" $ 5,Me o ângulo entre a e b é 2p /3.
10. "a" $ 3,M"b" $ √–6,Mo ângulo entre a e b é 45º.
11–12 Se u for um vetor unitário, defina u ! v e u ! w.
11. 12.
13. (a) Mostre que i ! j $ j ! k $ k ! i $ 0. 
(b) Mostre que i ! i $ j ! j $ k ! k $ 1. 
14. Um vendedor vende a hambúrgueres, b cachorros-quentes e c
refrigerantes em um determinado dia. Ele cobra $ 2 pelo ham-
búrguer, $ 1,50 pelo cachorro-quente e $ 1 pelo refrigerante. Se
A $ ka, b, cl e P $ k2, 1,5, 1l, qual o significado do produto es-
calar A ! P?
15–20 Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma
expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
15. a $ k4, 3l,MMMb $ k2, %1l
16. a $ k%2, 5l,MMMb $ k5, 12l
17. a $ k3, %1, 5l,MMMb $ k%2, 4, 3l
18. a $ k4, 0, 2l,MMMb $ k2, %1, 0l
19. a $ 4i % 3j # k,MMMb $ 2i % k 
20. a $ i # 2j % 2k,MMMb $ 4i % 3k 
21–22 Determine, aproximando o valor até a precisão de um grau, os
três ângulos do triângulo cujos vértices são dados.
21. P(2, 0),MMQ(0, 3),MMR(3, 4) 
22. A(1, 0, %1),MMB(3, %2, 0),MMC(1, 3, 3) 
23–24 Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou
nenhum dos dois. 
23. (a) a $ k%5, 3, 7l,MMMb $ k6, %8, 2l
(b) a $ k4, 6l,MMMb $ k%3, 2l
(c) a $ %i # 2j # 5k,MMMb $ 3i # 4j % k 
(d) a $ 2i # 6j % 4k,MMMb $ %3i % 9j # 6k 
1
4
1
3
w
u v
w
u
v
12.3 Exercícios
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 725
Assim, o trabalho realizado por uma força constante F é o produto escalar F ! D, onde D é
o vetor deslocamento. 
Um carrinho é puxado uma distância de 100 m ao longo de um caminho hori-
zontal por uma força constante de 70 N. A alça do carrinho é mantida a um ângulo de 35º
acima da horizontal. Encontre o trabalho feito pela força.
SOLUÇÃO Se F e D são os vetores força e deslocamento, respectivamente, como mostrado
na Figura 7, então o trabalho realizado é 
W $ F ! D $ "F""D" cos 35º
$ (70)(100) cos 35º ! 5 734 N!m $ 5 734 J 
Uma força é dada pelo vetor F $ 3i # 4j # 5k move uma partícula do ponto 
P(2, 1, 0) para o ponto Q(4, 6, 2). Determine o trabalho realizado.
SOLUÇÃO O vetor deslocamento é D $ PQm $ k2, 5, 2l, portanto, utilizando a Equação 12,
o trabalho realizado é
W $ F ! D $ k3, 4, 5l ! k2, 5, 2l
$ 6 # 20 # 10 $ 36 
Se a unidade de comprimento é o metro e a força é medida em newtons, o trabalho realiza-
do é de 36 J.
EXEMPLO 7
EXEMPLO 8
Calculo12_03:calculo7 5/25/13 6:35 AM Page 725
24. (a) u $ k%3, 9, 6l,MMMv $ k4, %12, %8l
(b) u $ i % j # 2k,MMMv $ 2i % j # k 
(c) u $ ka, b, cl,MMMv $ k%b, a, 0l
25. Use vetores para decidir se o triângulo com vértices P(1, %3, %2),
Q(2, 0, %4) e R(6, %2, %5) é retângulo. 
26. Determine os valores de x tais que o ângulo entre os vetores 
k2, 1, %1l e k1, x, 0l seja 45º.
27. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a i # j e
i # k.
28. Ache dois vetores unitários que façam um ângulo de 60º com 
v $ k3, 4l.
29–30 Encontre o ângulo agudo entre as retas.
29. 2x %y $ 3,M3x # y $ 7
30. x #2y $ 7,M5x % y $ 2
31–32 Encontre os ângulos agudos entre as curvas nos seus pontos
de interseção. (O ângulo entre as duas curvas é o ângulo entre as
suas retas tangentes no ponto de intersecção.)
31. y $ x2,My $ x3
32. y $ sen x,My $ cos x,M0 & x & p /2
33–37 Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do
vetor. (Forneça o ângulo diretor com precisão de um grau.)
33. k2, 1, 2l 34. k6, 3, %2l
35. i % 2j % 3k 36. i # j # k 
37. kc, c, cl, onde c ' 0 
38. Se um vetor tem ângulos diretores a$ p /4 e b$ p /3, determine
o terceiro ângulo diretor g.
39–44 Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a.
39. a $ k%5, 12l,MMMb $ k4, 6l
40. a $ k1, 4l,MMMb $ k2, 3l
41. a $ k3, 6, %2l,MMMb $ k1, 2, 3l
42. a $ k%2, 3, %6l,MMMb $ k5, %1, 4l
43. a $ 2i % j # 4k,MMMb $ j # k
44. a $ i # j # k,MMMb $ i % j # k 
45. Mostre que o vetor orta b $ b % proja b é ortogonal a a. (Este
vetor é chamado projeção ortogonal de b sobre a.)
46. Para os vetores do Exercício 40, determine orta b e ilustre esbo-
çando os vetores a, b, proja b e orta b.
47. Se a $ k3, 0, %1l, determine um vetor b tal que compa b $ 2.
48. Suponha que a e b sejam vetores não nulos.
(a) Sob quais circunstâncias compa b $ compb a?
(b) Sob quais circunstâncias proja b $ projb a?
49. Encontre o trabalho feito por uma força F $ 8i % 6j # 9k que
move um objeto do ponto (0, 10, 8) para o ponto (6, 12, 20) ao
longo de uma reta. A distância é medida em metros e a força em
newtons.
50. Um caminhão-guincho puxa um carro quebrado por uma es-
trada. A corrente faz um ângulo de 30º com a estrada e a tensão
na corrente é 1.500 N. Quanto trabalho é feito pelo caminhão ao
puxar o carro por 1 km?
51. Uma mulher exerce uma força horizontal de 140 N em um en-
gradado quando ela o empurra para subir uma rampa de 4 m de
comprimento e com um ângulo de inclinação de 20º acima da
horizontal. Calcule o trabalho realizado sobre a caixa.
52. Encontre o trabalho feito por uma força de 100 N agindo na di-
reção N50º W ao mover um objeto 5 metros para oeste.
53. Use projeção escalar para mostrar que a distância de um ponto
P1(x1, y1) à reta ax # by # c $ 0 é 
Use essa fórmula para determinar a distância do ponto (%2, 3)
à reta 3x % 4y # 5 $ 0.
54. Se r $ kx, y, zl, a $ ka1, a2, a3l e b $ kb1, b2, b3l, mostre que a
equação (r % a) ! (r % b) $ 0 representa uma esfera e determine
seu centro e raio. 
55. Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas
arestas.
56. Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e a diagonal de
uma de suas faces.
57. Uma molécula de metano, CH4, é estruturada com os quatro áto-
mos de hidrogênio nos vértices de um tetraedro regular e o car-
bono no centro. O ângulo de vínculo é o ângulo formado pela
ligação H–C–H; é o ângulo entre as retas que ligam o carbono a
dois átomos de hidrogênio. Mostre que esse ângulo de vínculo
é de aproximadamente 109,5º. Dica: Tome os vértices do te-
traedro nos pontos (1, 0, 0), (0, 1,0) , (0, 0,1) e (1, 1, 1), como
mostra a figura. Mostre então que o centro é ( , , ).
58. Se c $ "a"b # "b"a, onde a, b e c são vetores não nulos, mos-
tre que c é a bissetriz do ângulo entre a e b.
59. Demonstre as Propriedades 2, 4 e 5 do produto escalar (Teorema 2).
60. Suponha que todos os lados de um quadrilátero tenham o mesmo
comprimento e que os lados opostos sejam paralelos. Use veto-
res para demonstrar que as diagonais são perpendiculares.
" ax1 # by1 # c "
sa 2 # b 2
H
H
H
H
C
x
y
z
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
726 CÁLCULO
Calculo12_03:calculo7 5/25/13 6:35 AM Page 726
61. Utilize o Teorema 3 para demonstrar a Desigualdade de Cau-
chy-Schwarz:
"a ! b" & "a""b"
62. A Desigualdade Triangular para vetores é 
"a # b" & "a" # "b"
(a) Dê uma interpretação geométrica para a Desigualdade Trian-
gular.
(b) Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz do Exercício 61 para
provar a Desigualdade Triangular. [Dica: Use o fato de que 
"a # b"2 $ (a # b) ! (a # b) e use a Propriedade 3 do pro-
duto escalar.]
63. A Lei do Paralelogramo afirma que
"a # b"2 # "a % b"2 $ 2 "a"2 # 2"b"2
(a) Dê uma interpretação geométrica da Lei do Paralelogramo.
(b) Demonstre a Lei do Paralelogramo. (Veja a sugestão do
Exercício 62.)
64. Mostre que se u # v e u % v forem ortogonais, então os vetores
u e v devem ter o mesmo comprimento. 
Dados dois vetores diferentes de zero a $ ka1, a2, a3l e b $ kb1, b2, b3l, é muito útil encon-
trar um vetor não nulo c que é perpendicular a a e b, como veremos na seção seguinte e nos
capítulos 13 e 14. Se c $kc1, c2, c3l for tal vetor, então a ! c $ 0 e b ! c $ 0, e assim
a1c1 # a2c2 # a3c3 $ 0
b1c1 #b2c2 # b3c3 $ 0
Para eliminarmos c3, multiplicamos por b3 e por a3 e subtraímos:
(a1b3 % a3b1)c1 # (a2b3 % a3b2)c2 $ 0
A Equação 3 tem a forma pc1 # qc2 $ 0, para a qual uma solução óbvia é c1 $ q e 
c2 $ % p. Então, uma solução de é
c1 $ a2b3 %a3b2MMMMc2 $ a3b1 %a1b3
Substituindo estes valores em e , obtemos então
c3 $ a1b2 %a2b1
Isso significa que um vetor perpendicular a ambos a e b é
kc1, c2, c3l $ ka2b3 % a3b2, a3b1 % a1b3, a1b2 % a2b1l
O vetor resultante é chamado produto vetorial de a e b e é denotado por a ( b.
Definição Se a $ ka1, a2, a3l e b $ kb1, b2, b3l, então o produto vetorial de a e b
é o vetor
a ( b $ ka2b3 % a3b2, a3b1 % a1b3, a1b2 % a2b1l
Observe que o produto vetorial a ( b e dois vetores a e b, ao contrário do produto esca-
lar, é um vetor, também chamado de produto cruzado. Observe que a ( b só é definido se
a e b são vetores tridimensionais.
A fim de tornarmos a Definição 4 mais fácil de lembrar, usamos a notação de determi-
nantes. Um determinante de ordem 2 é definido por 
Por exemplo, 
Um determinante de ordem 3 pode ser definido em termos dos determinantes de segunda
ordem como:
# 2%6 14 # ! 2$4% % 1$%6% ! 14
# ac bd # ! ad % bc
4
1 2
3
3
1 2
2
1
12.4 O Produto Vetorial
VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 727
Hamilton
O produto vetorial foi inventado pelo matemáti-
co irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805-
1865), que tinha criado um precursor de vetores,
chamado quatérnions. Aos 5 anos de idade,
Hamilton podia ler em latim, grego e hebraico.
Aos 8, acrescentou o francês e o italiano, e aos
10 podia ler em árabe e sânscrito. Na idade de
21 anos, quando ainda era aluno de graduação
no Trinity College, em Dublin, Hamilton foi
nomeado professor de Astronomia na Universi-
dade e Astrônomo Real da Irlanda!
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