SE 2019 - Aula 29 - Geometria Espacial IV

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 29 – Geometria Espacial IV 
 
1. (Unesp 2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as 
seguintes coordenadas geográficas: 
 
 Latitude Longitude 
P 30 N 45 L 
Q 30 N 15 O 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 6.300 km, a medida do menor 
arco PQ sobre a linha do paralelo 30 N é igual a 
a) 1.150 3 kmπ b) 1.250 3 kmπ c) 1.050 3 kmπ 
d) 1.320 3 kmπ e) 1.350 3 kmπ 
 
2. (Udesc 2019) Arquimedes de Siracusa (287 a.C.–212 a.C.) foi um dos 
maiores matemáticos de todos os tempos. Ele fez grandes descobertas e 
sempre foi muito rigoroso ao provar essas descobertas. Dentre seus vários 
trabalhos, a esfera foi um dos elementos geométricos aos quais ele se 
dedicou, estabelecendo relações para obter o seu volume. No quadro abaixo, 
têm-se três dessas relações para o volume de uma esfera de raio R. 
 
Relações de Arquimedes para o volume da esfera de raio R 
Método Relação 
Equilíbrio 
Considerando uma balança com ponto de 
apoio em O, a esfera e um cone de raio e 
altura 2R colocados a uma distância 2R 
do ponto O equilibram um cilindro de raio e 
altura 2R colocado a uma distância R de 
O. 
Dupla redução ao 
absurdo 
O volume da esfera é igual a 4 vezes o 
volume de um cone de raio e altura R. 
Cilindro circunscrito 
O cilindro circunscrito à esfera é igual a uma 
vez e meia à esfera, em área e volume. 
 
Se o cone do método da dupla redução ao absurdo tiver volume igual a 
3243 cm ,π então a diferença do volume entre o cilindro do método do 
equilíbrio e do cilindro circunscrito é: 
a) 3972 cmπ b) 30 cm c) 3546,75 cmπ d) 34374 cmπ e) 31701 cmπ 
 
3. (Unesp 2018) Observe a figura da representação dos pontos M e N 
sobre a superfície da Terra. 
 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 6.400 km e adotando = 3,π 
para ir do ponto M ao ponto N, pela superfície da Terra e no sentido 
indicado pelas setas vermelhas, a distância percorrida sobre o paralelo 60 
Norte será igual a 
a) 2.100 km. b) 1.600 km. c) 2.700 km. d) 1.800 km. e) 1.200 km. 
 
4. (Ueg 2018) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico circular reto com 
8 metros de diâmetro e teto no formato de hemisfério. Sabendo-se que a 
empresa responsável por construir o teto cobra R$ 300,00 por 2m , o 
valor para construir esse teto esférico será de 
Use 3,1π = 
a) R$ 22.150,00 b) R$ 32.190,00 c) R$ 38.600,00 
d) R$ 40.100,00 e) R$ 29.760,00 
 
5. (Ufrgs 2018) Fundindo três esferas idênticas e maciças de diâmetro 
2 cm, obtém-se uma única esfera maciça de raio, em cm: 
a) 
3 3. b) 3 4. c) 3 6. d) 3. e) 6. 
 
6. (Enem PPL 2017) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a 
se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um paralelepípedo 
retangular, é representado pela figura. 
 
 
 
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se 
desloca, pela parede, até o ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. 
Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere que 
todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância 
entre os respectivos pontos envolvidos. 
 
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém o chão do 
quarto é dado por: 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
7. (Enem PPL 2017) Uma pessoa pede informação na recepção de um prédio 
comercial de como chegar a uma sala, e recebe as seguintes instruções: suba 
a escada em forma de U à frente, ao final dela vire à esquerda, siga um pouco 
à frente e em seguida vire à direita e siga pelo corredor. Ao final do corredor, 
vire à direita. 
 
Uma possível projeção vertical dessa trajetória no plano da base do prédio é: 
 
a) b) 
 
 
 
 2 
 
 
 
c) d) 
 
e) 
 
8. (Enem PPL 2017) O hábito cristalino é um termo utilizado por 
mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de 
tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro 
com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo 
ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos 
correspondentes às faces. 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então 
a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse 
cristal é igual a 
a) 10. b) 12. c) 25. d) 42. e) 50. 
 
9. (Fgvrj 2016) Dado um tetraedro regular de aresta 6 cm, assinale os 
pontos que dividem cada aresta em três partes iguais. Corte o tetraedro pelos 
planos que passam pelos três pontos de divisão mais próximos de cada 
vértice e remova os pequenos tetraedros regulares que ficaram formados. 
A soma dos comprimentos de todas as arestas do sólido resultante, em 
centímetros, é 
a) 56. b) 32. c) 30. d) 36. e) 48. 
 
10. (Enem PPL 2016) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas 
faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices 
têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por 
apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das 
formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como 
todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler 
V A F 2,− + = em que V, A e F são os números de vértices, arestas e 
faces do poliedro, respectivamente. 
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, 
qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces? 
a) 2V 4F 4− = b) 2V 2F 4− = c) 2V F 4− = 
d) 2V F 4+ = e) 2V 5F 4+ = 
 
11. (Fmp 2016) A Figura mostra uma peça metálica que tem a forma de um 
octaedro regular, cujas arestas medem 1 metro. 
 
A medida da distância entre os vértices A e B, em metros, é 
a) 1 b) 
2
2
 c) 2 d) 
3
2
 e) 2 
 
12. (Enem 2ª aplicação 2016) Uma indústria de perfumes embala seus 
produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por 
34 (R) .
3
π  
Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos 
cilíndricos com raio da base 
R
,
3
 cujo volume será dado por 
2
R
h,
3
π
 
 
 
 sendo 
h a altura da nova embalagem. 
 
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do 
frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a 
a) 2R. b) 4R. c) 6R. d) 9R. e) 12R. 
 
13. (Enem 2ª aplicação 2016) A bocha é um esporte jogado em canchas, que 
são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de 
madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de 
um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, 
que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. 
 
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. 
Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que 
tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2. 
 
 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro 
do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, 
respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é 
igual a d. 
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim? 
a) 1 b) 
2 10
5
 c) 
10
2
 d) 2 e) 10 
 
14. (Insper 2016) No filme “Enrolados”, os estúdios Disney recriaram a torre 
onde vivia a famosa personagem dos contos de fadas Rapunzel (figura 1). 
Nesta recriação, podemos aproximar o sólidoonde se apoiava a sua morada 
por um cilindro circular reto conectado a um tronco de cone, com as 
dimensões indicadas na figura 2, feita fora de escala. 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel lançava suas longas tranças 
para baixo. Nesta operação, suponha que uma das extremidades da trança 
ficasse no ponto A e a outra no ponto C, onde se encontrava o rapaz. 
Considerando que a trança ficasse esticada e perfeitamente sobreposta à 
linha poligonal formada pelos segmentos AB e BC, destacada em linha 
grossa na figura 2, o comprimento da trança de Rapunzel, em metros, é igual 
a 
a) 35. b) 38. c) 40. d) 42. e) 45. 
 
15. (Unicamp 2016) Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro 
da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do 
cilindro é igual a 
a) 
4 2
.
3
 b) 
4
.
3
 c) 
3 2
.
4
 d) 2. 
 
16. (Enem PPL 2015) Em uma confeitaria, um cliente comprou um cupcake 
(pequeno bolo no formato de um tronco de cone regular mais uma cobertura, 
geralmente composta por um creme), semelhante ao apresentado na figura: 
 
 
 
Como o bolinho não seria consumido no estabelecimento, o vendedor 
verificou que as caixas disponíveis para embalar o doce eram todas em 
formato de blocos retangulares, cujas medidas estão apresentadas no quadro: 
 
Embalagem 
Dimensões 
 comprimento largura a( ltura) 
I 8,5 cm 12,2 cm 9,0 cm  
II 10 cm 11cm 15 cm  
III 7,2 cm 8,2 cm 16 cm  
IV 7,5 cm 7,8 cm 9,5 cm  
V 15 cm 8 cm 9 cm  
 
A embalagem mais apropriada para armazenar o doce, de forma a não o 
deformar e com menor desperdício de espaço na caixa, é 
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 
 
17. (Unicamp 2015) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais 
a R, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio 
a) 2R. b) 3R. c) 2R. d) R. 
 
18. (Insper 2015) O rótulo de uma embalagem de suco concentrado sugere 
que o mesmo seja preparado na proporção de sete partes de água para uma 
parte de suco, em volume. Carlos decidiu preparar um copo desse suco, mas 
dispõe apenas de copos cônicos, mais precisamente na forma de cones 
circulares retos. Para seguir exatamente as instruções do rótulo, ele deve 
acrescentar no copo, inicialmente vazio, uma quantidade de suco até 
a) metade da altura. b) um sétimo de altura. c) um oitavo da altura. 
d) seis sétimos da altura. e) sete oitavos da altura. 
 
19. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo 
vertical recebe água na razão constante de 
31 cm s. A altura do cone 
mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. 
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em 
função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h 
corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido. 
 
 
Admitindo 3,π  a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o 
tempo t , em segundos, é representada por: 
a) 
3h 4 t= b) 3h 2 t= c) h 2 t= d) h 4 t= 
 
20. (Enem 2014) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em 
pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo 
raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são 
moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 
10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume 
desejado. 
Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a 
deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 
4mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da 
máquina que produz essas pílulas. 
Use 3 como valor aproximado para .π 
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação 
da máquina, será igual a 
a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514. 
 
21. (Enem PPL 2014) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas 
crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de 
madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura 
estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, 
e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice 
do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de 
madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira 
a ser descartada. 
 
Dados: 
O volume de uma esfera de raio r é 3
4
r ;
3
π  
O volume do cilindro de altura h e área da base S é S h; 
O volume do cone de altura h e área da base S é 
1
S h;
3
  
Por simplicidade, aproxime π para 3. 
 
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é 
a) 45. b) 48. c) 72. d) 90. e) 99. 
 
22. (Enem PPL 2014) A figura é uma representação tridimensional da 
molécula do hexafluoreto de enxofre, que tem a forma bipiramidal quadrada, 
na qual o átomo central de enxofre está cercado por seis átomos de flúor, 
situados nos seis vértices de um octaedro. O ângulo entre qualquer par de 
ligações enxofre-flúor adjacentes mede 90 . 
 
 
 
A vista superior da molécula, como representada na figura, é: 
 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
 
23. (Espm 2014) Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes 
com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas 
reduzidas a 20% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de 
bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: 
a) 875 ml b) 938 ml c) 742 ml d) 693 ml e) 567 ml 
 
24. (Fuvest 2014) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, 
são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o 
volume do cubo é 
a) 
1
8
 b) 
1
6
 c) 
2
9
 d) 
1
4
 e) 
1
3
 
 
25. (Uerj 2014) Uma esfera de centro A e raio igual a 3dm é tangente ao 
plano  de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em 
um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração: 
 
Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido 
pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. 
Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT , 
em decímetros, corresponde a: 
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 
 
26. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo 
maciço e homogêneo de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu 
o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada 
paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo 
que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face 
de corte, conforme mostra a sequência de figuras. 
 
 
 
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias 
era de 0,85 g/cm3 e admitindo 3,π  a massa aproximada do porta-joias, 
em gramas, é 
a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. e) 638. 
 
27. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos 
o raio da esfera em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao 
volume inicial, aumentará 
a) 60% b) 63,2% c) 66,4% d) 69,6% e) 72,8% 
 
28. (Uerj 2013) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão 
unidas. 
 
 
 
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato 
entre elas é plana, conforme ilustra o esquema: 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal 
modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de 
contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: 
a) 
Rπ 2
2
 b) 
23
2
Rπ
 c) 
23
4
Rπ
 d) 
24
3
Rπ
 
 
29. (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma 
forma no formato representadona figura: 
 
 
 
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas 
tridimensionais. 
 
Essas figuras são 
a) um tronco de cone e um cilindro. 
b) um cone e um cilindro. 
c) um tronco de pirâmide e um cilindro. 
d) dois troncos de cone. 
e) dois cilindros. 
 
30. (Uerj 2013) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após 
ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 12 faces triangulares 
congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, 
conforme representado na figura. 
 
 
Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma. 
 
 
31. (Unesp 2012) Diferentes tipos de nanomateriais são descobertos a cada 
dia, viabilizando produtos mais eficientes, leves, adequados e, principalmente, 
de baixo custo. 
São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre 1 e 
100 nanômetros (nm), sendo que 1 nm equivale a 10–9 m, ou seja, um 
bilionésimo de metro. 
Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu 
volume e sua área superficial total. 
Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial e o 
volume valem 
24 cmπ e 3(4/3) cm ,π respectivamente. O conjunto 
de nanoesferas de 1 nm de raio, que possui o mesmo volume da esfera dada, 
tem a soma de suas áreas superficiais 
a) 10 vezes maior que a da esfera. 
b) 103 vezes maior que a da esfera. 
c) 105 vezes maior que a da esfera. 
d) 107 vezes maior que a da esfera. 
e) 109 vezes maior que a da esfera. 
 
32. (Enem 2012) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele 
consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita 
de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-
se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera 
que ilustra um globo da morte. 
 
 
 
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da 
morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao 
plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão 
colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, 
percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B. 
 
Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012. 
 
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor 
representada por 
a) b) c) d) e) 
 
 
33. (Enem PPL 2012) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de 
copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones 
circulares retos: 
 
- copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4cm 
e 1,8cm e altura igual a 3,6cm; 
- copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6cm 
e 2,4cm e altura igual a 8,0cm. 
 
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos 
descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a 
forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6cm e raio da base de 
comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para 
beber café como para beber água. 
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das 
bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela 
expressão: 
2 2
troncodecone
h
V (R r Rr)
3
π
= + + 
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja, no mínimo, igual a 
 
a) 2,664 cm. b) 7,412 cm. c) 12,160 cm. d) 14,824 cm. e) 19,840cm. 
 
 
34. (Uerj 2011) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído 
de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo. 
 
 
 
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do 
líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: 
a) 
1
2
 b) 
3
4
 c) 
5
6
 d) 
7
8
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
35. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe 
aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), 
porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses 
recipientes. 
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de 
cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de 
champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. 
 
 
 
Considere: 
 
3 2
esfera cone
4 1
V R e V R h
3 3
 = − = 
 
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente 
cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, 
em centímetros, é de 
a) 1,33. b) 6,00. c) 12,00. d) 56,52. e) 113,04. 
 
36. (Enem 2ª aplicação 2010) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água 
do planeta, os diâmetros delas seriam: 
 
 
 
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o 
volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é 
a) 
1
343
 b) 
1
49
 c) 
1
7
 d) 
29
136
 e) 
136
203
 
 
37. (Uerj 2010) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução 
aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de 
altura. 
 
 
 
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até 
completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 
8%. 
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a 
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 
 
38. (Uerj 2010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular 
contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma. 
 
 
Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a 
razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma 
é igual a: 
a) 2 2 b) 
3 2
4
 c) 
2 1
2
+
 d) ( )2 2 1− 
 
39. (Enem 2ª aplicação 2010) Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói 
formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com 
arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como 
eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na 
 
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que 
pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos 
básicos de revolução. 
Sabendo que, a figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = 
3FG, EF = 2FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a 
decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela 
seguinte sequência de sólidos: 
a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. 
b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero. 
c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero. 
d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. 
e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro. 
 
40. (Uerj) O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza 
geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em 
esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo: 
 
A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a 
ele circunscrita, é: 
a) 3 b) ( 3)
2
 c) 
( )3
3
 d) 
( )3
4
 
 
41. (Enem cancelado) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de 
massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 
24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele 
resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. 
Volume da esfera: 
3
esfera
4 r
V
3
π
= 
Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se 
que o raio R da esfera assim construída é igual a 
a) 15 b) 12 c) 24 d) 33 60 e) 36 30 
 
 
Gabarito: 1: [C] 2: [D] 3: [B] 4: [E] 5: [A] 6: [B] 7: [B] 8: [B] 9: [D] 10: [C] 
 
11: [E] 12: [E] 13: [E] 14: [A] 15: [A] 16: [D] 17: [D] 18: [A] 19: [A] 20: [E] 
 
21: [E] 22: [B] 23: [A] 24: [B] 25: [C] 26: [D] 27: [E] 28: [C] 29: [D] 30: 1/4 
 
31:[D] 32:[E] 33:[C] 34:[D] 35:[B] 36: [A] 37:[B] 38:[C] 39: [C] 40:[C] 41:[D]7 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
Seja r o raio da circunferência de centro C correspondente à latitude 
30 N. Logo, temos 
r
cos30 r 3150 3 km.
6300
 =  = 
Portanto, sendo CPQ rad,
4 12 3
π π π
= + = vem 
PQ 3150 3 1050 3 km.
3
π
π=  = 
 
Resposta da questão 2: [D] 
 
Volume do Cilindro utilizando o método do Equilíbrio E(V ); considerando o 
volume proporcional ao peso. 
( )E esfera cone
3 2
E
3
E
3
E
3
E
R V V V 2R
4 1
V R (2R) 2R 2R
3 3
V 8 R
V 8 9
V 5832 cm
π π
π
π
π
 = + 
 
=   +     
 
=  
=  
= 
 
 
Volume do Cilindro Circunscrito C(V ) 
C esfera
C cone
C
3
C
3
V V
2
3
V 4 V
2
3
V 4 243
2
V 1458 cm
π
π
= 
=  
=   
= 
 
 
Portanto, a diferença pedida será dada por: 
3
E CV V 5832 1458 4374 cmπ π π− = −  =  
 
Resposta da questão 3: [B] 
Considere a figura, em que O é o centro da Terra e P é o pé da 
perpendicular baixada de N sobre OB. 
 
 
 
Sabendo que AON 60 ,=  temos NOP 30=  e, portanto, vem 
NP 1 NP
senNOP
2 6400ON
NP 3200km
=  =
 =
 
Ademais, como MPN 2 15 rad,
6
π
=   = encontramos 
MN MPN NP
3200
6
1600km.
π
= 
= 

 
 
 
Resposta da questão 4: [E] 
 
 
 
Calculando a área A do teto do reservatório, temos: 
2
24 4A 32 32 3,1 99,2 m
2
π
π
 
= =   = 
Portanto, o valor pedido para a construção deste teto será: 
valor 99,2 R$ 300 R$ 29.760,00=  = 
 
Resposta da questão 5: [A] 
 
Seja r a medida do raio da esfera obtida após a fundição de três esferas 
idênticas e maciças de diâmetro 2 cm. 
Daí, 
3 3
3
3
4 4
r 3 1
3 3
r 3
r 3 cm
π π=  
=
=
 
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Sendo B, A e M coplanares, a projeção ortogonal do deslocamento de A 
para M está contida no segmento AB. Ademais, a projeção ortogonal do 
deslocamento de M para H sobre o chão do quarto corresponde a um 
segmento de reta oblíquo em relação a AB, cuja origem é o ponto M', 
médio de AB, e cuja extremidade é o ponto D, projeção de H sobre o 
plano ABC. 
 
Resposta da questão 7: [B] 
 
Ao final da escada a pessoa deverá virar para o leste, seguir em frente e, a 
seguir, deslocar-se rumo ao sul. Ao fim do corredor, tomará a direção oeste. 
Logo, uma possível projeção vertical dessa trajetória no plano da base do 
prédio é apresentada na alternativa [B]. 
 
Resposta da questão 8: [B] 
Sendo V 20= e A 30,= pelo Teorema de Euler, segue que 
V A F 2 20 30 F 2
F 12.
− + =  − + =
 =
 
Portanto, a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo 
desse cristal é igual a 12. 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
O sólido resultante da divisão proposta pelo problema será formado por 4 
faces hexagonais e 4 faces triangulares. 
Sabendo que cada aresta mede 2 cm e o número de arestas será dado por: 
4 6 4 3
A 18,
2
 + 
= = temos que a soma das medidas de todas as 
arestas será: 18 2 36 cm = 
 
Resposta da questão 10: [C] 
Poliedro de faces triangulares 
3F
A
2
 = 
3F F
V A F 2 V F 2 V 2 2V F 4
2 2
− + =  − + =  − =  − = 
 
Resposta da questão 11: [E] 
 
Se o poliedro dado é regular e suas arestas medem 1 metro, então a 
distância entre o ponto A e B é igual a diagonal do quadrado imaginário 
interno ao octaedro de lado igual a 1 formado na divisão deste ao meio, 
verticalmente. Assim, se tal quadrado tem lado igual a 1, então sua diagonal 
será igual a 2. 
 
 
Resposta da questão 12: [E] 
 
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do 
frasco cilíndrico deverá ser tal que 
2
3R 4h R h 12R.
3 3
π π
 
 =   = 
 
 
 
Resposta da questão 13: [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Seja D o pé da perpendicular baixada de O sobre AC. Assim, como 
CD 3cm= e CO 7cm,= pelo Teorema de Pitágoras, obtemos 
2 2 2d 7 3 d 2 10 cm.= −  = 
 
A resposta é 
2 10
10.
2
= 
 
Resposta da questão 14: [A] 
 
Considerando que a medida da trança será dada por: AB BC x 30,+ = + 
temos: 
 
 
 
2 2 2x 3 4 x 5 m= +  = 
 
Logo, o tamanho da trança de Rapunzel será dado por: 
5 30 35 m.+ = 
 
Resposta da questão 15: [A] 
 
Sejam r e R, respectivamente, o raio da esfera e o raio do cilindro. 
 
Sabendo que a relação entre o raio da esfera circunscrita ao cilindro equilátero 
e o raio do cilindro é r R 2,= temos 
 
3
3
3
3
4
r
2 r 2 4 23 ( 2) .
3 R 3 32 R
π
π
 
= = = 
 
 
 
Resposta da questão 16: [D] 
 
Se o cupcake fosse um prisma, suas medidas seriam 
4 cm 7 cm 9 cm.  Assim, a menor medida de caixa (que mais se 
aproxima das medidas do cupcake) que pode armazenar o doce, de forma a 
não o deformar e com menor desperdício de espaço é a embalagem IV. 
 
Resposta da questão 17: [D] 
 
Seja r o raio da esfera. Tem-se que 
 
24 r 2 R (R R) r R.π π =   +  = 
 
Resposta da questão 18: [A] 
 
Se V é o volume do copo e v é o volume de suco concentrado, então deve-
se ter 
3v 1 k ,
V 8
= = 
 
com k sendo a razão de semelhança. Logo, se H é a altura do copo e h é 
a altura de suco no copo, então 
3
h h 1 H
k h .
H H 8 2
 
=  =  = 
 
 
 
Resposta da questão 19: [A] 
 
Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante 
ao cone de altura 24cm e altura 3cm. Logo, temos 
r 3 h
r .
h 24 8
=  = 
 
O volume desse cone é dado por 
2 3
31 h hV h cm .
3 8 64
π
 
=     
 
 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 
31cm s, segue-se que 
 
3V 1 t tcm ,=  = 
 
com t em segundos. 
 
Em consequência, encontramos 
 
3
3h t h 4 t cm.
64
=  = 
 
Resposta da questão 20: [E] 
 
O volume de uma pílula de raio r, em milímetros cúbicos, é dado por 
2 3 24r 10 r 2r (15 2r).
3
π π  +    + 
 
Portanto, o resultado pedido é igual a 
2 2 32 5 (15 2 5) 2 4 (15 2 4) 1250 736 514mm .  +  −   +  = − = 
 
Resposta da questão 21: [E] 
 
A quantidade de madeira descartada corresponde ao volume do cilindro 
subtraído dos volumes da semiesfera e do cone. Portanto, o resultado é 
 
2 2
3
3
6 1 4 1 6
7 (7 4) 4 189 54 36
2 2 3 3 2
99cm .
π π π
   
  −    − −     − −   
   
=
 
 
Resposta da questão 22: [B] 
 
Sendo o diâmetro do átomo de flúor menor do que o diâmetro do átomo de 
enxofre, podemos concluir que a vista superior correta é a apresentada na 
alternativa [B]. 
 
Resposta da questão 23: [A] 
 
Seja c a capacidade da garrafa original, em mililitros. 
 
Como os sólidos são semelhantes, tem-se que 
3
c 1
c 875mL.
7 0,2
 
=  = 
 
 
 
Resposta da questão 24: [B] 
Seja a medida da aresta do cubo. Logo, seu volume é igual a 
3. Por 
outro lado, o volume do tetraedro descrito é dado por 
31
.
3 2 6

  = 
Portanto, a razão pedida é igual a 
1
.
6
 
 
Resposta da questão 25: [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
Sabendo que a área da superfície esférica é igual à área do círculo de centro 
T e raio TQ, vem 
2 2 224 AP TQ 4 3 TQ
TQ 6dm.
π π  =    =
 =
 
Logo, como FQ é tangente à esfera no ponto P, segue que TQ PQ.= 
 
Da semelhança dos triângulos FTQ e FPA, obtemos 
 
FP PA FP 3
6FT TQ FT
1
FP FT.
2
=  =
 = 
 
 
Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo FPA, 
encontramos 
2
2 2 2 22
2 22 2
2
1
FA PA FP (FT AT) PA FT
2
1
FT 6 FT 3 3 FT
4
1
FT 2 FT 0
4
FT 8dm.
 
= +  − = +  
 
 −  + = + 
  −  =
 =
 
 
Resposta da questão 26: [D] 
 
V = Volume do porta-joias 
Vc = Volume do cubo 
Ve = Volume da esfera. 
 
V = Vc - Ve 
3 34V 10 4
3
π= −   
V = 1000 – 256 
V = 744 cm3 
 
Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias. 
m
0,85 m 632,4 g 632 g
744
=  = 
 
Resposta da questão 27: [E] 
 
Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos 
3 3
3
4 4
(1,2 r) r
3 3 100% (1,728 1) 100%
4
r
3
72,8%,
π π
π
  − 
 = − 

=ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, 
aumentará 72,8%. 
 
Resposta da questão 28: [C] 
 
 
No triângulo retângulo assinalado, temos: 
 
2 2
2 2 2R 3.Rr R r
2 4
 
+ =  = 
 
 
Logo, a área pedida será: 
2 2
2 3.R 3. .RA .r
4 4
π
π π= = = 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
Resposta da questão 29: [D] 
 
É fácil ver que o sólido da figura é constituído por dois troncos de cone. 
 
Resposta da questão 30: 
 Sendo 2 a medida da aresta da base do prisma, considere a seguinte vista 
superior. 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC, obtemos 
2 2 2 2 2 2 1x 2 cos120 x 2 2
2
x 3,
 
= + −      = −  − 
 
 =
 
 
em que x é a medida da aresta da base das pirâmides hexagonais regulares 
obtidas pelo corte. 
 
Portanto, se h é a altura do prisma, segue que a razão pedida é dada por 
 
2
2
1 3 ( 3) h
2
13 2 2 .
43 (2 )
h
2

  
=


 
 
Resposta da questão 31 [D] 
 
Raio de uma nanoesfera em cm: 10–9 m = 10–7 cm. 
 
Volume da nanoesfera em cm3: 
( )
3
7 21 34 4V . 10 .10 cm .
3 3
π π− −=  =  
 
Número n de nanoesferas necessárias para se obter o volume de uma esfera 
de 1 cm de raio: 
 
n.
21 34 .10 cm
3
π − = 21(4/3) n 10 .π  = 
 
Área superficial das n = 1021 nanoesferas: 
2110  ( )
2
7 74 10 4 10 ,π π− =  portanto, [D] – 107 vezes maior que a 
da esfera de raio 1 cm. 
 
Resposta da questão 32: [E] 
 
O plano que contém o trajeto do motociclista é perpendicular ao plano do 
chão, portanto a projeção ortogonal do trajeto do motociclista no plano do 
chão é um segmento de reta. 
 
 
 
 
Resposta da questão 33: [C] 
 
Supondo que o raio da base das canecas deve ser tal que a capacidade de 
uma caneca seja maior do que ou igual à capacidade de um copo grande, 
temos 
 
2 2 2 2 2
2
2 2
8 4
y 6 (2,4 3,6 2,4 3,6) y 1,2 (4 9 6)
3 9
y 0,64 19
y 12,16cm .
π
π

    + +      + +
  
 
 
 
Observação: Se o raio das canecas estiver expresso em centímetros, então 
2y será expresso em centímetros quadrados. 
 
Resposta da questão 34: [D] 
 
Seja g uma geratriz do cone emerso e G uma geratriz do sólido. Segue que 
= =
g 1
k,
G 2
 
com k sendo a constante de proporcionalidade. 
 
Assim, se v é o volume emerso e V é o volume do sólido, temos 
 
=  = =  = 
 
3
3v v 1 1 Vk v .
V V 2 8 8
 
 
Seja sV o volume submerso. 
= − = − =s
V 7V
V V v V .
8 8
 
 
Portanto, a razão pedida é 
= =s
7V
V 78 .
V V 8
 
 
Resposta da questão 35: [B] 
 
3 22 1. .3 .3 .h 3h 18 h 6cm
3 3
 =   =  = 
 
Resposta da questão 36: [A] 
 
Sejam dsV e dV , respectivamente, o volume da esfera que corresponde à 
água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do 
planeta. 
 
A razão pedida é dada por 
  
     
= = = = =   
     
3
3 3 3
ds
ds ds
3d d
d
4
r
V r 29 1 13 .
4V r 203 7 343
r
3
 
 
Resposta da questão 37: [B] 
 
A solução inicial ocupa um volume igual a 
2 31 r 12 cm ,
3
  em que r é o 
raio do cone menor definido pelo nível do líquido. O recipiente tem volume 
igual a 
2 31 R H cm ,
3
  em que R é o raio do recipiente e H é a sua 
altura. 
Como os cones são semelhantes, segue que: 
r 12 12R
r .
R H H
=  = 
 
Por outro lado, do enunciado vem: 
 
 
 
 11 
 
 
 
2
2 2 2
3 3
3
3
1 1 12R
27% r 12 8% R H 27 12 8 R H
3 3 H
3 12
H
2
3 12
H
2
H 18cm.
 
   =       =   
 

 =

 =
 =
 
 
Resposta da questão 38: [C] 
 
Sejam O, A e M, respectivamente, o centro da pizza, um vértice do prisma 
e o ponto médio de uma das arestas adjacentes ao vértice A. 
 
Queremos calcular 

OM
.
2 MA
 
180ˆMOA 22 30'.
8

= =  
2
ˆtgMOA tg22 30'
1 cos45
1 cos45
2
1
2 2 (2 2) 2 22 2 1.
22 2 2 2
1
2
= 
− 
=
+ 
−
− − −
= = = = = −
+
+
 
 
 
 
=  − =
+
 =  = +
− +
MA MAˆtgMOA 2 1
OM OM
OM 1 2 1
2 1.
MA 2 1 2 1
 
 
Portanto, 
+
=  =
OM 1 OM 2 1
.
2 22MA MA
 
 
Resposta da questão 39: [C] 
 
Girando a forma em torno do arame rígido, obtemos a figura abaixo. 
 
 
 
Portanto, a decomposição do foguete, no sentido da ponta para a cauda, é 
formada pela seguinte sequência de sólidos: cone reto 
(AB 4FG BB' 2FG),=  = cilindro reto (BC 3FG 2FG),=  
tronco de cone e cilindro equilátero (EF 2FG).= 
 
 
Resposta da questão 40: [C] 
 
 
Resposta da questão 41: [D] 
 
Volume do cilindro 
212 15π=   
3
2 34 R 12 15 R 3 60
3
π
π

=    =