Aula 03 - Introdução aos números infinitos

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CÁLCULO I
Aula 03 - Introdução aos números infinitos
Autor: EXATAS para Engenheiros Data: 12 de janeiro de 2021.
1 Introdução aos números infinitos
1.1 O conceito de infinito
Para a matemática, um número infinito, representado por ∞, é um número real que pode ser
tanto positivo (+∞) quanto negativo (−∞).
Este número infinito, possui uma extensão absurda, sendo impossível escrevê-lo em sua
forma íntegra, entretanto, um número infinito pode ter um final, um último número conhecido,
como é o caso dos limites laterais, onde precisamos utilizar números infinitamente próximos
uns dos outros:
• 4,999...∞...9
• 5
• 5,000...∞...01
Perceba que, no caso do 5+, sabemos que após a vírgula, temos infinitos números zeros,
mas, o último termo deste número infinito é conhecido e corresponde ao valor 1.
A partir deste conceito, podemos nos aprofundar mais no Cálculo, conhecendo as operações
básicas com números infinitos e então sua aplicação e utilização no limite.
1.2 Adição e Subtração com números infinitos
Quando necessitamos fazer quaisquer operações matemáticas com números infinitos, preci-
samos utilizar de um recurso inesperado, que é nossa imaginação matemática.
Ou seja, para resolver a seguinte expressão: "∞+5 =", precisamos pensar da seguinte ma-
neira:
"Eu possuo um número que é absurdamente grande, um número infinito, e preciso adicionar
a este número, o valor 5. ⇒ O valor infinito é tão absurdamente grande, que ao adicionar o
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valor 5, terei um número ainda maior; portanto a soma de um valor infinito por qualquer valor,
será sempre o próprio infinito, já que estou apenas aumentando seu valor numérico".
Desta forma, temos que:
1. 2 + ∞ = ∞
2. 1.560 + ∞ = ∞
3. 5.678.478,59 + ∞ = ∞
Quando precisamos subtrair valores de um número infinito, o conceito é o mesmo. Não
existe valor que ao ser subtraído de um número infinito faça alterações significativas em seu
valor numérico, então, qualquer valor subtraído de infinito, tem como resposta o próprio in-
finito. (Exceto ∞ - ∞: esta expressão é uma indeterminação matemática e não tem como ser
solucionada).
Desta forma, temos que:
1. ∞ - 1.500 = ∞
2. 5 - ∞ = −∞
3. ∞ - 5.678.478,59 = ∞
1.3 Multiplicação com números infinitos
Quando precisamos desenvolver multiplicações com números infinitos, a linha de pensa-
mento é a mesma da adição e subtração: "Ao multiplicar um número infinito, estarei obtendo
um número cada vez maior e, mesmo que multiplique valores de redução como por exemplo
’0,5.∞’, não existe valor que ao ser multiplicado por um número infinito, faça alterações signi-
ficativas em seu valor numérico".
Portanto, para qualquer valor multiplicado por infinito, o resultado é o próprio infinito (ex-
ceto o zero exato, já que todo número multiplicado por zero é zero).
Observação: as propriedades da multiplicação, assim como das outras operações, se apli-
cam integralmente à operações com números infinitos. No caso da multiplicação, as proprieda-
des dos sinais, a propriedade comutativa etc.
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Desta forma, temos que:
1. ∞ . 1.560 = ∞
2. ∞ . ∞ = ∞
3. −∞ . ∞ = −∞
4. −∞ . -5.689.521,56 = ∞
1.4 Divisão com números infinitos
Para facilitar o entendimento, trabalharemos as divisões na forma ab e, vamos dividir esta
explicação em duas partes:
1.4.1 Divisão quando o infinito é numerador
Quando o número infinito está no numerador, a solução é bastante simples. Basta aplicar
o mesmo conceito que estamos aplicando até agora, onde não existe número que, ao dividir o
infinito, seja capaz de alterar significativamente o seu valor numérico.
Desta forma, temos que:
1. ∞ ÷ 10 = ∞
2. ∞ ÷ 5.680.698.587,58 = ∞
3. ∞ ÷ 54 = −∞
4. ∞ ÷ -5.689.521,56 = −∞
5. ∞ ÷ -156 = ∞
1.4.2 Divisão quando o infinito é denominador
Quando o número infinito está no denominador, a situação já é diferente. Devemos pensar
que estamos dividindo seja lá qual seja o número, por infinito. Ou seja, quando dividimos o
número 10 por dois, por exemplo, obtermos o número 5. Quando dividimos o número 10 por 4,
obtemos o número 2,5 e assim por diante. Quanto maior for o número de divisões, menor será
o resultado da divisão.
Então, desta forma, quando dividimos qualquer que seja o número por infinito, estamos
separando este número por infinitas partes iguais, e, o resultado desta divisão deve ser tão
pequeno, que se aproxima de zero.
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Portanto, temos que qualquer que seja o número dividido por infinito, o resultado é ab-
surdamente quase zero, ou seja, pode ser zero pela direita (0+) ou zero pela esquerda (0−),
dependendo apenas da regra de sinais.
Desta forma, temos que:
1. 150 ÷ ∞ = 0+
2. 5.689.658.548.,56 ÷ ∞ = 0+
3. -57 ÷ ∞ = 0−
4. -1.560 ÷ ∞ = 0−
5. -460 ÷ −∞ = 0+
1.5 Potenciação e Radiciação com números infinitos
Nestas operações de potenciação e radiciação com números infinitos, a regra é a mesma
aplicada até então.
Desta forma, temos que:
1.
√
∞ = ∞
2. ∞5 = ∞
3. 2 .
√
∞ + 7 . ∞100= ∞
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