02 Matemática Financeira Aplicada à Gestão Empresarial - 1

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SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS, REGIMES DE CAPI TALIZAÇÃO 
E IMPLEMENTAÇÃO NA HP 2C .......................... ................................................. 7 
1.1. Objetivos da Unidade .............................................................................. 7 
1.2. Aspectos Introdutórios da Matemática Financeira Aplicada a Gestão ..... 7 
1.3. Elementos Básicos .................................................................................. 9 
1.4. Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e Aplicações ................................. 12 
1.5. Regimes de Capitalização ..................................................................... 17 
1.6. O Regime Linear de Juros ..................................................................... 18 
1.7. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes: O que são? ...................... 25 
1.8. O Regime Exponencial de Juros (Juros Compostos) ............................ 29 
1.9. Cálculo do Valor Futuro no Regime Exponencial .................................. 31 
1.10. Como Caracterizar Taxas Equivalentes no Regime Exponencial? ........ 38 
1.11. Taxa Nominal e Taxa Efetiva: Como Reconhecê-las no Mercado 
Financeiro? ....................................................................................................... 41 
1.12. Capitais Equivalentes nos Juros Compostos......................................... 45 
UNIDADE 2 – A GESTÃO FINANCEIRA NO FOCO DA HP 2C .. ....................... 47 
2.1. Objetivos da Unidade ............................................................................ 47 
2.2. Informações Iniciais da HP 12C ............................................................ 48 
2.3. Como Operar com Datas na HP 12C? .................................................. 53 
2.4. Principais Funções Matemáticas ........................................................... 56 
2.5. Resolvendo Problemas sobre os Regimes de Capitalização ................ 59 
2.5.1. Problemas Simulados – Juros Simples ............................................ 60 
2.5.2. Problemas Simulados – Juros Compostos ....................................... 61 
2.5.3. Exercícios Resolvidos Envolvendo Taxas Equivalentes e Taxas 
Efetivas 66 
 
 
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2.6. Códigos de Erros ................................................................................... 73 
CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ........................... ................................................ 75 
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 77 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Vamos iniciar a disposição teórica de uma das disciplinas mais importantes 
que compõem a sua matriz curricular do seu curso, que é a disciplina de 
Matemática Financeira Aplicada à Gestão Empresarial I, ou seja, uma disciplina 
em que estaremos estudando e aplicando as principais funções no âmbito da 
Gestão de Negócios ou no Mercado Financeiro. Desta forma, você saberia 
escolher qual a melhor forma de comprar? Saberia descrever quanto está 
pagando de juros? Saberia caracterizar o rendimento da sua caderneta de 
poupança? Saberia explicitar o verdadeiro custo efetivo de uma operação 
financeira? Para respondermos questões como estas e muitas outras que 
aparecem comumente na nossa vida, seja ela pessoal ou empresarial, é que 
utilizamos dos conceitos, métodos e técnicas da Matemática Financeira. 
No mundo moderno, sabemos que a Matemática Financeira ocupa uma 
posição de destaque, pois é a partir dela que podemos olhar de forma mais 
estruturada para o que acontece no mercado financeiro. De outra forma, podemos 
visualizar que a Matemática Financeira tem extrema importância na vida 
financeira de uma organização, já que a sua aplicação quando bem desenvolvida, 
possibilita melhor desempenho, desde a parte relacionada à rentabilidade como a 
de redução de custos ou dispêndios. Num primeiro momento, podemos dizer que 
a Matemática Financeira trata em essência do estudo do dinheiro ao longo do 
tempo, ou ainda, como a área da Matemática Aplicada que tem como objeto o de 
estudar o comportamento do dinheiro ao longo do tempo, com a busca 
quantitativa sobre as transações que ocorrem no universo financeiro, levando em 
conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo, o que é amplamente 
conhecido no mercado financeiro como “Time Value Money ”. 
Cabe ressaltar ainda que as operações de financiamento, empréstimos e 
análise da viabilidade econômica de projetos empresariais podem ser melhores 
discutidos e implementados com as ferramentas da mesma, fazendo com que a 
empresa diminua o risco associado ao negócio e consiga estruturar de uma 
melhor forma os seus investimentos. 
Em verdade, ao longo do tempo, seja a nível pessoal ou empresarial, na 
área econômico-financeira, todos nós enfrentamos situações que envolvem 
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tomadas de decisões em alternativas que se aplicam os estudos da área 
financeira. Não é uma tarefa simples tomar decisão quando falamos em gestão 
financeira de um modo geral. Nesta direção, especificamente falando, para que 
possamos analisar investimentos, devemos levar em consideração uma série de 
fatores, como o tipo de série de anuidade aplicada, o custo do capital utilizado, o 
prazo da operação, o retorno do investimento e a taxa implícita de juros para 
confirmarmos ou não a viabilidade do projeto em questão. 
Antes de iniciarmos, propriamente dito, todos os aspectos teóricos 
relacionados à disciplina em si, listamos aqui alguns Cases Empresariais que 
são interpretados e resolvidos a partir das ferramentas práticas da Matemática 
Financeira (conceitos introdutórios e regimes de capitalização) e no Foco da HP 
12C. 
Case Empresarial 01 : Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à 
taxa anual de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva 
anual e o montante que será devolvido ao final do ano? 
 
Case Empresarial 02 : A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% 
com capitalização mensal. Qual a rentabilidade efetiva desta caderneta de 
poupança? 
 
Case Empresarial 03 : Um médico emprega seu capital nas seguintes 
condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante 
a 21% ao ano. A que taxa única esse médico poderia empregar todo o capital a 
fim de obter o mesmo rendimento anual? 
 
Case Empresarial 04 : Um componente médicoé oferecido a um hospital 
por R$130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um 
pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que 
está sendo cobrada. 
Case Empresarial 05 : Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente 
durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é? 
a) ( ) 30% superior ao capital inicial. 
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b) ( ) 130% do valor do capital inicial. 
c) ( ) 150% do capital inicial, aproximadamente. 
d) ( ) 133% do capital inicial, aproximadamente. 
e) ( ) O dobro da quantia inicial. 
 
Case Empresarial 06 : Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das 
alternativas de pagamento representa o menor custo para o devedor Hospital 
AFA: 
a) Pagamento integral de R$140.000,00 à vista (na data zero). 
b) R$30.000,00 de entrada, R$40.000,00 em 60 dias e R$104.368,56 em 
120 dias. 
 
Case Empresarial 07 : Alessandro aplicou suas economias em um banco, 
a juros simples comerciais de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo, 
reaplicou o montante e mais R$2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 
anos e à taxa de 20% ao ano, sob o mesmo regime de capitalização (regime 
simples). Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$18.216,00, o 
capital inicial da primeira aplicação era de? 
 
Case Empresarial 08 : Um equipamento eletrônico está anunciado por R$ 
950,00 para pagamento a prazo ou cartão de crédito. Para o pagamento à vista é 
dado um desconto de 18%. Qual o valor do desconto? Por quanto sai o 
equipamento eletrônico se você pagar à vista? Qual o percentual de acréscimo 
que você pagará se optar pelo cartão de crédito? Implementar a solução na HP 
12C. 
 
Case Empresarial 09 : Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à 
taxa anual de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva 
anual e o montante que será devolvido ao final do ano? 
A fim de atingirmos os nossos objetivos, o nosso guia de estudos está 
estruturado em duas Unidades, descritas a seguir: 
 
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� Unidade 1: Conceitos Fundamentais e Regimes de Capi talização – 
apresentaremos os conceitos fundamentais da Matemática Financeira e da 
Gestão Financeira Empresarial, bem como, diferenciaremos os dois regimes de 
capitalização e apresentaremos as principais taxas associadas que aparecem no 
âmbito financeiro brasileiro, como as taxas proporcionais, efetiva e nominal. 
 
� Unidade 2 : A Gestão Financeira no Foco da HP 12C – 
apresentaremos a resolução de situações comuns do dia a dia empresarial e 
pessoal, via a HP 12C, que é considerada a principal ferramenta para a 
implementação de soluções no mundo dos negócios. 
 
Para finalizarmos os aspectos introdutórios da nossa disciplina, deve-se 
destacar que “aprendizagem” não significa, apenas, realizar os acréscimos na 
estrutura cognitiva do aluno; é preciso, sobretudo, estabelecer modificações para 
que ela se configure como uma aprendizagem significativa. Desta forma, é muito 
importante que você pesquise em outras fontes bibliográficas, tais como artigos, 
revistas e, principalmente, nas nossas referências. 
Além disso, tentaremos buscar uma linguagem bastante simples como 
forma de propiciar um bom entendimento dos aspectos discutidos na disciplina. 
Sempre refaça os diversos exemplos ilustrativos deste material de apoio. 
 
“O único lugar onde sucesso vem antes de trabalho é no dicionário.” 
(Albert Einstein) 
 
 “Os números governam o mundo”. 
(Platão) 
 
"Tempo é dinheiro." 
(Benjamin Franklin) 
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UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS, REGIMES 
DE CAPITALIZAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO NA HP 2C 
 
1.1. Objetivos da Unidade 
Nesta unidade é de nosso interesse apresentar os conceitos introdutórios 
da Matemática Financeira aplicada à gestão empresarial como um todo, bem 
como, apresentar as propriedades fundamentais dos regimes de capitalização 
simples e composto, além de discutirmos as principais taxas que comparecem 
nos mesmos, que são as taxas proporcionais, taxas equivalentes, taxa nominal e 
taxa efetiva. Neste sentido, ao final desta unidade, o aluno será capaz de: 
• apresentar e discutir os conceitos introdutórios da Matemática 
Financeira Aplicada à Gestão de Negócios; 
• apresentar e aplicar os conceitos fundamentais da Matemática 
Financeira; 
• apresentar e diferenciar os dois tipos de regimes de capitalização 
aplicados no mercado brasileiro; 
• caracterizar taxas proporcionais, taxas nominais e taxas equivalentes; 
• interpretar e aplicar a noção de taxa efetiva de juros; 
• interpretar e aplicar a noção de equivalência financeira; 
• apresentar uma série de exemplos resolvidos que ilustram a aplicação 
prática dos conceitos apresentados anteriormente. 
 
1.2. Aspectos Introdutórios da Matemática Financeir a Aplicada a Gestão 
É sabido que a Matemática Financeira é uma ferramenta fundamental para 
analisar, por diversos pontos de vista, o cotidiano financeiro e, principalmente, 
“pegar uma carona” na máquina do tempo da matemática, com o objetivo de 
planejar a vida financeira futura tanto de uma empresa como de um indivíduo, ou 
seja, com o objetivo central de maximizar resultados em caráter empresarial ou 
pessoal. 
Em outras palavras, podemos dizer que a Matemática Financeira é um 
ramo da Matemática Aplicada que estuda as operações financeiras de uma forma 
geral, analisando seus diferentes fluxos de caixa ao longo do tempo. Entendemos 
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por fluxo de caixa as entradas e saídas de dinheiro efetivadas no decorrer do 
tempo numa dada operação. Desta forma, para analisarmos e tomarmos a 
decisão acerca de uma situação financeira, num primeiro momento, temos que 
nos familiarizar com os conceitos fundamentais da Matemática Aplicada à Gestão 
de Negócios. 
Ressaltamos ainda, que segundo Samanez (2006), postergar uma entrada 
de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser 
pago mediante uma recompensa, definida como sendo os juros, que é um termo 
que nos preocupa muito nos dias atuais. Sendo assim, são os juros que 
efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de 
poupanças e novos investimentos na economia. Um dos elementos básicos que 
apresentaremos na sequência, é o conceito de taxas de juros, porém tais taxas 
devem ser eficientes de maneira a remunerar: 
1. O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado 
em linhas gerais pela incerteza com relação ao futuro. Este risco denominamos 
de risco donegócio. 
2. A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. Note que 
a inflação, termo também que ouvimos comumente no cotidiano, é um fenômeno 
que desgasta o capital, determinando o volume cada vez menor de compra com o 
mesmo montante. 
3. O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou 
ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por 
determinado período de tempo. 
 
Importante! A Matemática Financeira propõe-se avali ar fluxos de caixa, de 
modo a permitir a tomada de decisão racional a part ir dessa avaliação. 
Dinheiro tem custo associado ao tempo. Em outras pa lavras, o tempo é uma 
variável chave para a Matemática Financeira. As trê s razões que influenciam 
pela posse atual do dinheiro são: risco, utilidade e oportunidade. 
 
Ressaltamos, também, a importância do entendimento do Diagrama de 
Fluxo de Caixa (DFC), que é uma representação gráfica fácil e simples das 
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movimentações financeiras no contexto geral de finanças, ou seja, é muito 
importante o entendimento desta ferramenta para que possamos analisar com 
maior estrutura e clareza as operações financeiras no âmbito do mercado. 
 
Figura 01 : Diagrama de Fluxo de Caixa: representação fundamental para o estudo de situações 
financeiras do nosso dia-a-dia. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.3. Elementos Básicos 
Você com certeza já deve ter escutado sobre os termos que descrevem os 
elementos fundamentais para a construção da teoria envolvendo a Matemática 
Financeira Aplicada ao Meio Empresarial ou à Gestão? De outro modo, com 
certeza, emprega os mesmos no seu cotidiano? Você se lembra deles? Saberia, 
por exemplo, descrever e definir o valor futuro de uma determinada situação? Os 
juros inseridos em um financiamento? Sendo assim, antes de definirmos 
propriamente os dois tipos de regimes de capitalização, ou caracterizar as séries 
de pagamentos ou anuidades, caracterizar taxas de mercado e entender os 
sistemas de amortização, é necessário introduzirmos os elementos básicos da 
Matemática Financeira, ou seja, seriam as células fundamentais para a 
construção de toda a teoria da gestão financeira de empresas ou de pessoas. 
Logo, a descrição específica de cada um aparece a seguir. 
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� Valor Presente ou Capital Inicial ou Principal (PV, P ou C): termo 
proveniente do inglês “Present Value ”, sendo caracterizado como a quantidade 
inicial de moeda que uma pessoa tem em disponibilidade e concorda em ceder a 
outra pessoa, por um determinado período, mediante o pagamento de 
determinada remuneração. 
 
� Taxa de Juros (i): termo proveniente do inglês “Interest Rate ” (taxa de 
juros) e relacionado a sua maneira de incidência. Salientamos que a taxa pode 
ser mensal, anual, semestral, bimestral, diária, entre outras. Além disso, 
comumente, a taxa de juros pode ser descrita na forma percentual (1,45% ao mês 
ou 1,45% a.m.) ou na forma unitária (0,25 ao mês ou 0,25 a.m.). 
 
� Juros (J): é o que pagamos pelo aluguel de determinada quantia por um 
dado período, ou seja, é a nomenclatura dada à remuneração paga para que um 
indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe. 
 
� Montante ou Valor Futuro (FV ou M): termo proveniente do inglês 
“Future Value ”, sendo caracterizado em termos matemáticos como a soma do 
capital inicial mais os juros capitalizados durante o período. Em outras palavras, é 
a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser usufruída no futuro. Em 
símbolos, escrevemos FV = PV + J. 
 
� Tempo ou período de capitalização (n): nada mais é do que a duração 
da operação financeira, ou seja, o horizonte da operação financeira em questão. 
O prazo pode ser descrito em dias, meses, anos, semestres, entre outros. 
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Figura 02 : Elementos básicos da Matemática Financeira. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Além disso, é interessante ressaltarmos que temos dois princípios básicos 
a serem respeitados quando analisamos problemas no contexto financeiro, que 
são: 
 
Princípio 01: Só podemos comparar valores (R$) se e stes estiverem 
referenciados na mesma data. Em outras palavras, is to nos mostra que só 
podemos comparar dois valores quando estes estivere m referenciados na 
mesma data, data esta chamada de focal ou comum ou de comparação. 
 
Princípio 02: Só podemos efetuar operações algébric as com valores 
referenciados na mesma unidade, ou seja, se apresen tarmos a taxa de juros 
como a anual, o prazo em questão também deve ser re ferenciado em anos. 
 
Importante ! Jamais posso somar dois fluxos de caixa em datas di ferentes 
para efeito comparativo, bem como, por exemplo, não posso comparar 
quem seria melhor: R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.300,00 daqui 4 meses. 
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1.4. Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) e Aplicações 
Você já interpretou um diagrama de fluxo de caixa? Saberia descrever o 
mesmo? Saberia identificar os seus elementos? Já pensou em relacionar as 
entradas de dinheiro e seus pagamentos em um determinado mês? Desta forma, 
o Diagrama de Fluxo de Caixa, é uma importante ferramenta para uma melhor 
interpretação e tomada de decisão a nível gerencial em operações financeiras do 
mercado. 
 
Geralmente! No mercado financeiro denotamos um Diagrama de Flux o de 
Caixa pela sigla DFC. 
 
Vejamos um exemplo ilustrativo introdutório. 
Exemplo Introdutório : Gilberto necessita comprar um CD Player, sendo 
que a compra do mesmo custa à vista R$100,00, ou pode ser paga em duas 
parcelas mensais (sendo uma entrada no ato) no valor de R$60,00. Se Gilberto 
faz a opção de compra do CD Player em duas prestações de R$60,00 como 
descrito anteriormente, qual é a taxa de juros mensal cobrada pela 
distribuidora que repassa tal componente? 
Devemos observar com cuidado o exemplo para não respondermos com 
equívoco o mesmo, ou seja, a priori, parece uma resposta muito óbvia, mas 
devemos sempre ter cuidado com as respostas diretas e sem interpretação. 
Sendo assim, antes da análise detalhada do Diagrama de Fluxo de Caixa desta 
operação, uma pessoa qualquer, em um primeiro momento, poderia achar que a 
resposta seria 20%, já que se pagou R$120,00 (duas parcelas de R$60,00 ). 
Todavia, será mesmo a resposta do exemplo? Estaremos resolvendo este 
exemplo introdutório com coerência e interpretando corretamente o mesmo, se 
fizermos a interpretação a partir da ferramenta geométrica do Diagrama de Fluxo 
de Caixa. Note que ao comprar e pagar o componente novalor de R$100,00, 
Gilberto já havia pagado a entrada de R$60,00. Logo, financiou apenas a 
diferença no valor de R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 um mês 
depois. Desta maneira, a taxa de juros incidente sobre a operação foi igual a: 
[(60/40 – 1)x100%] = 50% 
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A representação geométrica da situação descrita (DFC), nos auxilia e muito 
para o um melhor entendimento da operação financeira apresentada, ou seja, da 
caracterização da taxa de juros encontrada. Inicialmente, devemos perceber que 
como na data zero existem dois valores , um positivo igual a R$100,00 e um 
negativo igual a R$60,00, ambos poderiam ser representados por um valor 
líquido igual a R$40,00. Vejamos o DFC associado na Figura 03 a seguir. 
 
Figura 03 : Diagrama de Fluxo de Caixa do caso descrito anteriormente. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
A partir do exemplo anterior, percebe-se que para facilitar a representação 
das operações financeiras da gestão financeira como um todo, utiliza-se uma 
representação gráfica que consiste na representação gráfica da movimentação de 
recursos ao longo do tempo (entradas e saídas de caixa ). 
 
Figura 04 : O Diagrama de Fluxo de Caixa. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Segundo Bruni, Adriano e Famà, Rubens (2003), nesta representação 
gráfica destacam-se alguns aspectos fundamentais, tais como: 
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• a escala horizontal representa o tempo , que pode ser expresso de 
qualquer uma das formas, por exemplo, em dias, semanas, meses, anos, entre 
outros; 
• os valores (ou os pontos) 0 e n indicam as posições relativas entre as 
datas. Assim, o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial . O ponto n 
representa o número de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada 
seja meses, então consideramos n meses e, assim por diante; 
• as entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos . Desta 
maneira, é associado o sinal positivo e estas entradas são representadas por 
setas apontadas para cima ; 
• as saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos . Desta forma, é 
associado o sinal negativo e estas saídas são representadas por setas 
apontadas para baixo . 
 
Figura 05 : Os elementos formadores do DFC. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Em termos gerais, no mercado financeiro ou na gestão financeira temos 
duas representações para as operações financeiras a partir de um DFC, que são 
mostradas na Figura 06 a seguir. 
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. 
Figura 06 : Diagramas de Fluxo de Caixa. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Vejamos mais exemplos ilustrativos acerca do diagrama de fluxo de caixa. 
Exemplo 01 : Vamos construir o diagrama de fluxo de caixa para os 
seguintes pagamentos ou recebimentos: 
Ano Fluxo de Caixa (em R$) 
0 450,00 
1 300,00 
2 800,00 
3 (150,00) 
4 350,00 
5 (150,00) 
 
Solução : Inicialmente, devemos salientar que toda vez que um valor do 
fluxo de caixa aparecer em parênteses ele quer representar um pagamento , ou 
seja, ele representa uma saída de caixa. Sendo assim, note que os fluxos de data 
(3 e 5) são pagamentos ou saídas de caixa. 
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Figura 07 : Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Importante! Sempre que um fluxo de caixa aparecer c om o seu valor 
colocado em parênteses, significa que o mesmo é um PAGAMENTO . 
 
Exemplo 02 : Representar o DFC associado aos fluxos de caixa definidos 
abaixo. 
Ano Fluxos de Caixa (em R$) 
0 (500,00) 
1 250,00 
2 250,00 
3 150,00 
4 100,00 
 
Solução : Neste caso, o DFC associado é dado por: 
 
Figura 08 : O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
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Exemplo 03 : A Argepal Implementos Agrícolas pensa em abrir uma nova 
unidade com investimento inicial igual a R$ 1.000.000,00. Sabe-se que os gastos 
anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em 
R$80.000,00, e as receitas, em R$200.000,00. Representar o diagrama de fluxo 
de caixa dessa operação. 
Solução : Neste caso, temos o seguinte diagrama de fluxo de caixa 
seguindo a visão da Argepal Implementos Agrícolas: 
 
Figura 09 : O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.5. Regimes de Capitalização 
Chamamos de Regime de Capitalização a maneira pelo qual será pago o 
juro por um capital aplicado ou tomado emprestado. Em verdade, temos dois 
regimes de capitalização, que são: o Regime Linear de Juros (ou Juros 
Simples ) e o Regime de Capitalização Exponencial (ou Juros Compostos ). 
Ressaltamos que o primeiro tem aplicações limitadas no mercado financeiro, 
enquanto que o segundo é usado amplamente. Podemos dizer que: 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
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• Regime Linear de Juros : comporta-se como se fosse uma progressão 
aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo, sendo que 
aqui os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou 
empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados; 
• Regime Exponencial de Juros : incorpora ao capital não somente os 
juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados 
até o momento anterior. Pode-se falar que é um comportamento equivalente a 
uma progressão geométrica (PG), pela qual os juros incidem sempre sobre o 
saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o 
capital inicial). 
 
Figura 10 : Aplicações envolvendo os regimes de capitalização. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.6. O Regime Linear de Juros 
Como podemos descrever o regime linear de juros simples? Saberia 
descrever onde os mesmos são utilizados no mercado financeiro brasileiro? 
Especificamente falando, no Brasil, os juros simples são usados nas operações 
de empréstimo decurtíssimo prazo, até mesmo por um dia, que no mercado 
financeiro chamamos de hot Money , na cobrança de cheques especiais, nos 
financiamentos indexados em moeda estrangeira e, também, no desconto de 
duplicatas e notas promissórias. 
Neste contexto, geralmente, os juros são calculados periodicamente: ao 
final de um dia, de um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-fixado 
por ocasião de um investimento ou empréstimo. Vejamos um exemplo introdutório 
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para descrevermos o processo de cálculo dos juros no regime linear de juros. 
Exemplo Introdutório : Vamos considerar um empréstimo de R$5.000,00 
pelo qual deverão ser pagos 4% de juros simples por mês. Para saber de quanto 
serão os juros ao final de um mês, basta calcular o valor de: 
4% de R$5.000,00 = 0,04 x 5000 = R$200,00 
No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por 
diante. Desta forma, para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos 
fazer: 
Juros = 5000 x 0,04 x n 
 
Geralmente, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital C a 
uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela seguinte 
expressão: 
J = PV x i x n 
 
Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros 
valores financeiros mediante simples dedução algébrica, ou visualização da 
mesma de outra forma como é descrito a seguir. 
PV = 
nxi
J
 i = 
nxPV
J
 n = 
ixPV
J
 
 
Importante! Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano 
com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro 
comercial ou ordinário. Pelo tempo exato, utilizand o-se efetivamente o 
calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira, denomina-
se juro exato. Além disso, salientamos que o juro c omercial diário é 
ligeiramente superior ao exato pelo menor número de dias considerado no 
intervalo de tempo. 
 
De outro modo, como podemos calcular o valor futuro no regime linear de 
juros? Segundo Samanez (2006), um determinado capital, quando aplicado a uma 
taxa periódica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado, o 
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qual denominamos de Montante ou Valor Futuro e, identificado por FV ou M. Em 
outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos 
juros, isto é: 
FV = PV + J (I) 
Por outro lado, sabemos que: 
J = PV.i.n (II) 
Substituindo (II) em (I), obtemos que: 
 
FV = PV.(1 + i.n) ou M = C.(1 + i.n) 
 
Evidentemente, o valor de PV desta fórmula pode ser obtido através de 
simples transformação algébrica PV = 
)1( nxi
FV
+
. Além disso, de acordo com 
Samanez (2006), a expressão (1 + i.n) é definida como Fator de Capitalização 
(ou de Valor Futuro – FCS ) dos juros simples e o fator inverso, ou seja, 
).1(
1
ni+
 
é chamado de Fator de Atualização (ou de Valor Presente – FAS ). 
 
Figura 11 : Fator de Capitalização e Fator de Atualização. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos referentes ao que acabamos de 
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apresentar sobre as expressões características do regime linear de juros. 
Exemplo 04 : Determinar o juro simples que um capital de R$6.000,00 
rende quando aplicado durante o período de dois anos, considerando uma taxa 
de 2,75% ao mês? 
Solução : Neste caso, temos que PV = 6000, n = 2 anos = 24 meses e i = 
2,75% ao mês = 0,0275 ao mês. Daí: 
J = PV x i x n 
J = 6000 x 0,0275 x 24 
J = 3960,00 
 
Ou seja, o juro é de R$3960,00. 
 
Exemplo 05 : Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir 
sobre um capital de R$80.000,00 para que este, em quatro meses, renda 
R$2.335,60? 
 
Solução : Neste caso, temos que PV = 80000, n = 4 meses e J = 2335,60, 
daí: 
J = PV x i x n 
Ou seja, 
2335,60 = 80000 x i x 4 
i = 
480000
60,2335
x
 
i = 0,00729 ao mês, ou seja, 0,729% ao mês 
Portanto, a taxa mensal é de 0,729% a.m., para que o capital de 
R$80000,00 renda R$2335,60 em quatro meses. 
 
Exemplo 06 : Uma pessoa aplica R$20.000,00 à taxa de 1,35% ao mês 
durante 6 meses. Qual é o valor acumulado ao final deste período? 
 
Solução : Temos que PV = 20000, n = 6 meses e i = 1,35% ao mês = 
0,0135 ao mês. Daí: 
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FV = PV x (1 + i x n) 
FV = 20000 x (1 + 0,0135 x 6) 
FV = 21.620,00 
 
Portanto, o valor acumulado depois de 6 meses foi de R$21.620,00. 
 
Exemplo 07 : Um indivíduo possui uma dívida no valor de R$750.000,00 
que irá vencer em cinco meses. O credor está oferecendo um desconto de 2,8% 
ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para a data de hoje. Qual é 
o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida? 
 
Solução : Neste caso, temos que FV = 750000, n = 5 meses e i = 2,8% ao 
mês = 0,028 ao mês. Desta forma, escrevemos: 
FV = PV x (1 + i x n) 
75000 = PV x (1 + 0,028 x 5) 
PV = 657.894,74 
 
Exemplo 08 : Coloquei certa quantia em um banco a 8% ao ano e retirei, 
depois de três quatro anos, R$861,00. Quanto recebi de juros sabendo que a 
aplicação foi feita à base de juros simples? 
 
Solução : Do enunciado temos que FV = 856, i = 0,08 e n = 4. É de nosso 
interesse calcular o valor dos juros, sendo assim, escrevemos: 
J = PV x i x n 
J = PV x 0,08 x 4 
 
J = 3,2.PV 
Mas, como FV = PV + J, segue que: 
861 = PV + 3,2.PV 
861 = 4,2.PV 
PV = 205 
 
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Logo, o capital investido foi de R$ 205,00. Para encontrarmos os juros, 
basta subtrairmos o montante do capital, ou seja, J = 856 – 205 = 651. 
 
Exemplo 09 : Alessandro aplicou suas economias em um banco, a juros 
simples comerciais de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo, reaplicou o 
montante e mais R$2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos e à taxa 
de 20% ao ano, sob o mesmo regime de capitalização (regime simples). 
Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram R$18.216,00, o capital 
inicial da primeira aplicação era de? 
Solução : Neste caso, temos a seguinte disposição de dados: 
J1 = PV x 0,15 x 2 = 0,3.PV 
J 2 = (1,3.PV) x 0,2 x 4 = 1,04.PV 
J 3 = (2000) x 0,2 x 4 = 1600(NOTE QUE O PRIMEIRO MONTANTE É PV + 0,3PV = 1,3PV) 
Logo: 
J1 + J 2 + J 3 = 0,3.PV + 1,04.PV + 1600 = 18216 
1,34.PV = 16616 
Portanto, 
PV = 12400 
Ou seja, o capital inicial da primeira aplicação era de R$12400,00. 
 
Exemplo 10 : Um aluno na aula de Matemática Financeira faz a seguinte 
argumentação para a sala, a respeito de um dos fatores (inflação ) que 
determinam à existência dos juros: 
“ Inflação (desgaste da moeda) – diminuição do poder aquisiti vo da 
moeda exige que o investimento produza retorno meno r que o capital 
investido” . Esta argumentação é coerente ou não? Justifique a sua resposta. 
Solução : Não está coerente a argumentação, pois diminuição do poder 
aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno MAIOR que o 
capital investido. 
Exemplo 11 : Um administrador de empresas emprega seu capital nas 
seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o 
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restante a 21% ao ano. A que taxa única esse administrador poderia empregar 
todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento anual? 
Solução : Neste caso, de acordo com a fórmula dos juros no regime linear, 
temos que: 
• para a terça parte a 15% ao ano: J1 = (
3
PV
).0,15.1 = 0,05.PV; 
• para a quinta parte a 18% ao ano: J2 = (
5
PV
).0,18.1 = 0,036.PV; 
• para o restante (1 – 1/3 – 1/5 = 7/15) a 21% ao ano: J3 = ( 7
15
PV
).0,21.1 
= 0,098.PV. 
 
Logo, para descobrirmos a que taxa única esse médico poderia empregar 
todo o capital a fim de receber o mesmo rendimento anual, poderíamos escrever: 
J1 + J2 + J3 = PV.i.1 
0,05.PV + 0,036.PV + 0,098.PV = PV.i 
0,184 = i 
Ou seja, i = 18,4% ao ano. 
Exemplo 12 : Um componente médico é oferecido a um hospital por 
R$130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento 
de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo 
cobrada. 
 
Solução : Neste caso, podemos escrever: 
 
20% de entrada = 20%.(R$130,00) = R$26,00 
 
Saldo = 130 – 26 = 104 
 
Logo, temos que PV = 104 e FV = 106,90 então J = 2,90. Daí: 
J = PV.i.n 
2,90 = 104.i.1 
25 
 
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i = 
2,90
104
 
i = 0,02788 
Ou seja, 
i = 2,788% a.m. 
 
1.7. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes: O qu e são? 
Você saberia descrever no regime linear de juros o que seriam taxas 
equivalentes? E taxas proporcionais? Vamos averiguar? Num primeiro momento 
já vimos que o regime linear possui aplicações limitadas no mercado financeiro, 
porém estas definições de taxas são muito utilizadas e, sendo assim, de 
fundamental importância para os nossos propósitos. Para compreendermos 
melhor estas definições temos dois prazos importantes para analisarmos que são: 
o prazo a que se refere à taxa de juros e o prazo de capitalização (ocorrência) dos 
juros. 
De acordo com Samanez (2006), no regime linear de juros, se estes dois 
prazos estiverem referenciados em unidades distintas, ou transforma-se o prazo 
específico da taxa para o prazo de capitalização ou, de maneira inversa, o 
período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de 
juros. Sendo assim, por conta de sua linearidade, no regime linear de juros, esta 
transformação é processada pela taxa proporcional de juros também denominada 
de taxa linear ou taxa nominal. Salienta-se que tal taxa é obtida da divisão entre a 
taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os 
juros (quantidade de períodos de capitalização). Por exemplo, para uma taxa de 
juros de 12% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão 12 
vezes juros no período de um ano), o percentual de juros indicará sobre o capital 
a cada mês será Taxa proporcional = 
12%
12
 = 1% ao mês. 
Cabe ressaltar de forma específica, que a aplicação de taxas proporcionais 
é amplamente utilizada em operações de curto, tais como cálculo de juros de 
mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos 
sobre saldo devedor de conta corrente bancária, entre outros. 
De outro modo, dizemos que as taxas de juros se dizem equivalentes 
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quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, 
produzem o mesmo juro. Por exemplo, as taxas de 4% ao mês e 12% ao trimestre 
são equivalentes, pois se considerarmos o valor presente de R$2.000,00, 
aplicados durante o período de 6 meses, podemos escrever: 
No primeiro caso, temos: 





==
=
=
..04,0..%4
6
000.2
mamai
mesesn
PV
 
 
Logo: 
J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00. 
 
No segundo caso, temos: 





==
=
=
..12,0..%12
2
000.2
tatai
trimestresn
PV
 
 
Daí: 
J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00 
 
Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e 
12% ao trimestre são taxas equivalentes . 
 
Importante! No regime de juros simples, taxas propo rcionais (nominais ou 
lineares) e taxas equivalentes é considerada a mesm a coisa, sendo 
indiferente à classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou 
equivalentes, ou seja: Taxas equivalentes ⇔ Taxas proporcionais. Além 
disso, observe que no regime linear podemos até div idir a taxa pelo número 
de períodos de capitalização exatamente por conta d a igualdade descrita 
anteriormente. Porém, deve se ter em mente que tal divisão não pode ser 
feita no regime composto de juros. 
Definição (Capitais Equivalentes ): Dois ou mais capitais representativos 
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de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, 
produzem resultados iguais numa data comum (denominada data focal ). 
 
Importante! Na prática, a definição da data focal em problemas de 
substituição de pagamentos no regime de juros simpl es deve ser decidida 
naturalmente pelas partes, não se verificando um po sicionamento técnico 
definitivo da Matemática Financeira. 
 
Vejamos dois exemplos ilustrativos envolvendo taxas proporcionais, 
equivalentes e capitais equivalentes. 
 
Exemplo 13 : Uma duplicata com valor nominal de R$8.500,00 vence em 
120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o 
valor dessa duplicata 
a) hoje. 
b) dois meses antes de seu vencimento. 
c) um mês após o seu vencimento. 
 
Solução : Neste caso, temos que: 
 
a) Valor da Duplicata Hoje = D 0 = 
8.500,00
0,312
1 4
12
x + 
 
 = 
8.500,00
1,104
 = 
R$7.699,27 (Neste caso devemos atualizar o valor da duplicata p ara a data 
de hoje ). 
 
b) Valor da Duplicata Dois Meses antes do Vencimento = D 2 = 
8.500,000,312
1 2
12
x + 
 
 = 
8.500,00
1,052
 = R$8.079,85 (Neste caso devemos atualizar o valor 
da duplicata para a data n = 2 ). 
 
28 
 
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c) Valor da Duplicata Um mês após o Vencimento = D 5 = (8.500,00) x ( 
1+ 
12
312,0
 x 1) = R$8.721,00 (Neste caso devemos capitalizar o valor da 
duplicata para a data n = 5 ). 
 
Exemplo 14 : Um consultor de vendas tem os seguintes compromissos 
financeiros: 
• R$35.000,00 vencíveis no fim de 3meses ; 
• R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses . 
 
Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas 
financeiras, aplicando-as em uma conta de poupança que rende 55% ao ano de 
juros simples. Pede-se para determinar o valor do capital que deve ser aplicado 
nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas 
respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta. 
 
Solução : Temos a seguinte disposição geométrica: 
 
 
Figura 12 : A interpretação do exemplo. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Data Focal : data zero (hoje ) - (Neste caso devemos atualizar os dois 
capitais). 
 
Além disso, i = 55% ao ano = 5,5% ao mês ou 0,055 ao mês. Logo: 
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C 0 = )5055,01(
00,000.65
)3055,01(
00,000.35
xx +
+
+
 (Neste caso devemos atualizar os dois 
capitais ). 
 
C 0 = 30.042,92 + 50.980,39 
C 0 = 81.023,31 
 
O consultor de vendas, depositando hoje R$81.023,31 numa poupança que 
paga 5,5% ao mês de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de 
resgatar suas dívidas nas respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o 
capital aplicado para os momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao 
valor dos pagamentos, isto é: 
 
Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16 
 (–) Resgate (35.000,00) 
 
Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30 
 (–) Resgate (65.000,00) 
 
Observemos que o saldo remanescente de R$925,30 é devido à 
capitalização dos juros (regime linear ), já que vimos anteriormente que neste 
regime o prazo da operação não pode ser fracionado , originando-se daí a 
diferença que encontramos. 
 
1.8. O Regime Exponencial de Juros (Juros Compostos ) 
Você já ouviu o termo “juros sobre juros” ? Se nunca ouviu, com certeza 
já deve ter realizado alguma operação que se utilizou deste procedimento, ou 
seja, do regime exponencial de juros. Neste regime temos que o cálculo dos juros 
é realizado, no primeiro período, multiplicando-se a taxa de juros pelo capital e, a 
partir do segundo período, calculam-se os juros em cada período multiplicando a 
 Saldo: R$925,30 
 Saldo: R$53.392,16 
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taxa de juros pelo montante acumulado no fim de cada período imediatamente 
anterior, donde surge o linguajar popular “juros sobre juros”. Observe que os juros 
são incorporados, a cada período, a partir do montante acumulado no fim de cada 
período imediatamente anterior e, consequentemente, o valor dos juros cresce 
exponencialmente com o passar dos períodos. 
 
Figura 13 : A diferença entre os regimes de capitalização. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
No gráfico, a linha em vermelha nos mostra o regime linear de juros, 
enquanto que a curva em azul representa o regime de juros compostos. Ou ainda: 
 
 
Figura 14 : Interpretação dos dois regimes de capitalização. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
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1.9. Cálculo do Valor Futuro no Regime Exponencial 
Consideremos um principal PV aplicado a juros compostos, à taxa de juros 
i. Desta forma, podemos observar que: 
1FV = PV + PV. i logo 1FV = PV.(1 + i) 
2FV = 1FV + 1FV . i, ou seja, 2FV = 1FV .(1 + i) = PV.(1 + i).(1 + i) = PV.(1 + 
i)² 
3FV = 2FV + 2FV . i, isto é, 3FV = 2FV (1 + i) = PV.(1 + i)³ 
... 
... 
... 
Assim sendo, podemos deduzir que o valor futuro no enésimo período será 
dado por: 
FV = PV. (1 )ni+ 
 
Importante! Denomina-se fator de capitalização no regime composto a 
expressão (1 )ni+ , indicada por FCC(i, n) , enquanto que a expressão 1
(1 )ni+
é dita 
fator de atualização (ou fator de descapitalização ) no regime composto e 
descrita por FAS (i, n) . 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo o regime exponencial de 
juros. 
 
Exemplo 15 : Qual o valor futuro de uma aplicação de R$14.000,00 em um 
título pelo prazo de 6 meses à taxa de juros composta de 2,0% a.m.? 
Solução : Neste caso, temos que PV = 14000, i = 2% ao mês = 0,02 a.m. e 
n = 6 meses, daí: 
FV = PV.(1 + i) n 
FV = 14000.(1 + 0,02) 6 
FV = 15766,27 
32 
 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Exemplo 16 : Determinar a taxa mensal composta de juros de uma 
aplicação de R$60.500,00 que produz um montante de R$82.750,00 ao final de 
cinco meses. 
Solução : Do problema temos que: PV = 60.500,00, n = 5 meses e FV = 
82.750,00. Sendo assim, escrevemos: 
FV = PV x (1 + i) n 
82750 = 60500 x (1 + i) 5 
60500
82750
 = (1 + i) 5 
1,367768595 = (1 + i) 5 
5 51,36776859 = 5 5)1( i+ 
 
1,064639378 = 1 + i 
 
i = 0,064639 ou aproximadamente 6,46% ao mês 
 
Exemplo 17 : Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de 
juros compostos de 1,8% ao mês? 
Solução : Neste caso, podemos considerar PV = PV, FV = 2.PV e i = 1,8% 
ao mês = 0,018 ao mês. Logo: 
FV = PV x (1 + i) n 
2.PV = PV x (1 + 0,018) n 
2 = (1,018) n 
log2 = log(1,018) n 
0,301029995 = n.log(1,018) 
 
n = 38,85 meses 
 
Exemplo 18 : Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 
80.000,00, admitindo-se os seguintes prazos e taxas: 
a) i = 5,5% ao mês; n = 2 anos 
b) i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses 
33 
 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
c) i = 12% ao ano;n = 108 meses 
 
Solução : Neste caso, temos que utilizar mais uma vez a fórmula do valor 
futuro no regime composto: ni)PV.(1 FV += . Daí: 
a) i = 5,5% ao mês; n = 2 anos 
289167,19 R$ FV
5)0000.(1,058 FV 24
=
=
 
b) i = 9% ao bimestre; n = 1 ano e 8 meses 
189389,09 R$ FV
)0000.(1,098 FV 10
=
=
 
c) i = 12% ao ano; n = 108 meses 
221846,30 R$ FV
)0000.(1,128 FV 9
=
=
 
 
Exemplo 19 : Determinar o juro de uma aplicação de R$ 100.000,00 nas 
seguintes condições de taxa e prazo: 
a) i = 1,5% ao mês; n = 1 ano 
b) i = 3,5% ao trimestre; n = 2 anos e meio 
c) i = 5% ao semestre; n = 3 anos 
d) i = 4,2% ao quadrimestre; n = 84 meses 
 
Solução : Neste caso, temos que: 
Fórmulas: J = FV – PV e ni)PV.(1 FV += 
Daí: 
a) i = 1,5% ao mês; n = 1 ano 
119561,81 R$ FV
15)00000.(1,01 FV 12
=
=
 
FV 119561,81- 100000
J 19561,81
=
=
 
b) i = 3,5% ao trimestre; n = 2 anos e meio 
141059,87 R$ FV
35)00000.(1,01 FV 10
=
=
 
FV 141059,87 - 100000
J 41059,87
=
=
 
34 
 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
c) i = 5% ao semestre; n = 3 anos 
6FV 100000.(1,05)
FV R$ 134009,56
=
=
 
FV 134009,56 - 100000
J 34009,56
=
=
 
d) i = 4,2% ao quadrimestre; n = 84 meses 
237258,67 R$ FV
42)00000.(1,01 FV 21
=
=
 
FV 237258,67 - 100000
J 137258,67
=
=
 
 
Exemplo 20 : Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 
anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é? 
a) ( x ) 133% do capital inicial, aproximadamente. 
b) ( ) 130% do valor do capital inicial. 
c) ( ) 150% do capital inicial, aproximadamente. 
d) ( ) 30% superior ao capital inicial. 
e) ( ) Nada podemos concluir. 
 
Solução : Neste caso, podemos pensar em um capital inicial PV, com taxa i 
= 10% ao ano = 0,10 a.a. e n = 3 anos, daí: 
FV = PV. (1 )ni+ 
Logo, substituindo os dados, vem que: 
FV = PV. 3(1 0,1)+ 
FV = PV. 3(1,1) 
FV = 1,331.PV 
Ou seja, 
FV = 133,1%.PV 
 
Donde concluímos, que o seu montante será 133% do capital inicial, 
aproximadamente, ou seja, a resposta correta é a letra (A). 
 
Exemplo 21 : Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das alternativas 
de pagamento representa o menor custo para o devedor Hospital AFA: 
 
35 
 
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a) Pagamento integral de R$140.000,00 à vista (na data zero). 
b) R$30.000,00 de entrada, R$40.000,00 em 60 dias e R$104.368,56 em 
120 dias. 
 
Solução : Aqui, podemos atualizar a situação descrita em (b) e comparar 
com (a). Ou seja, vai representar menor custo para o Hospital AFA aquela 
situação que representar o menor valor na data zero. Logo, atualizando os valores 
da situação (b) para a data zero, temos que: 
� 30 000 atualizado na data zero = 30 000; 
� 40 000 em 60 dias atualizado para a data zero resulta em: 
40000
(1 0,07)²+
= 
34.937,54; 
� 104.368,56 em 120 dias atualizado para a data zero resulta em: 
4
104.368,54
(1 0,07)+
= 79.622,25. 
 
Portanto, a soma dos valores atualizados é dada por: 
 
PV = 30000 + 34.937,54 + 79.622,25 = 144.559,79 
 
Desta forma, concluímos que a situação descrita em (a) representa o 
menor custo para o Hospital AFA, já que 140.000,00 < 144.559,79. 
 
Exemplo 22 : Vamos encontrar a taxa mensal composta de juros de uma 
aplicação de R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de 
um quadrimestre. 
Solução : Do problema temos que: PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV = 
43.894,63. Logo, podemos escrever que: 
FV = PV x (1 + i) n 
3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i) 4 
00,000.40
63,894.43
 = (1 + i) 4 
36 
 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
1,097366 = (1 + i) 4 
4 097366,1 = 4 4)1( i+ 
1,0235 = 1 + i 
i = 0,0235 ou 2,35% ao mês 
 
Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 2,35% ao mês. 
 
Exemplo 23 : Uma aplicação de R$22.000,00, efetuada em certa data 
produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40 
em certa data futura. Qual é o prazo da operação? 
Solução : Do problema temos que: PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês = 
0,024 a.m. e FV = 26.596,40. Desta forma, podemos escrever: 
FV = PV x (1 + i) n 
26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024) n 
00,000.22
40,596.26
 = (1,024) n 
1,208927 = (1,024) n 
log (1,208927) = log (1,024) n 
0,082400 = n x log(1,024) 
n = 
)024,1log(
082400,0
 
n = 8 meses 
 
Portanto, o prazo de tal operação é igual a 8 meses. 
 
Importante! Toda vez que nos interessar o cálculo d o expoente n (ou seja, 
do horizonte da operação em questão), devemos utili zar o logaritmo decimal 
(na base 10) para encontrarmos tal valor, como most rado no exemplo 
anterior. 
 
Exemplo 24 : Determinar o juro pago de um empréstimo de R$88.000,00 
pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. 
37 
 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Solução : Do problema temos que: PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5% 
a. m. = 0,045 a.m. Logo, temos que: 
J = PV x [ (1 + i) n – 1] 
J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045) 5 – 1] 
J = 21.664,02 
Ou seja, o juro pago por este empréstimo é igual a R$21.664,02. 
 
Exemplo 25 : Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$40.000,00 a 
juros compostos de 2% ao mês, durante 5 meses. Qual é o valor desta quantia? 
Solução : Do enunciado do problema temos que: FV = 40000, i = 2% ao 
mês = 0,02 a.m. e n = 5 meses e queremos determinar o valor de PV. 
Daí: 
FV = PV x (1 + i) n 
40000 = PV x (1 + 0,02) 5 
40000 = PV.(1,104080803) 
PV = 
104080803,1
40000
 
PV = 36.229,2324 
 
Ou seja, o valor presente (ou a quantia inicial) desta aplicação é igual a 
R$36.229,2324. 
 
Exemplo 25 : Durante quanto tempo é preciso aplicar R$5.000,00, à taxa 
de 7% ao mês, para produzir o montante de R$12.000,00? 
Solução : Do problema temos que: PV = 5.000,00, i = 7% ao mês = 0,07 
a.m. e FV = 12.000,00. Desta maneira, temos que: 
FV = PV x (1 + i) n 
12000 = 5000 x (1 + 0,07) n 
12 = 5 x (1 + 0,07) n 
log 12 = log[5 x (1 + 0,07) n ] = log5 + log(1,07) n 
1,079181 = 0,69897 + n.log(1,07) n 
38 
 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
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n = 
029384,0
380211,0
 
n ≅ 12,9 meses 
Portanto, o prazo de tal operação é aproximadamenteigual a 12,9 meses. 
 
Exemplo 26 : Um capital de R$7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu 
um montante de R$9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada? 
Solução : Do problema temos que: PV = 7.500,00, n = 5 meses e FV = 
9.500,00. Logo, podemos escrever: 
FV = PV x (1 + i) n 
9500 = 7500 x (1 + i) 5 
7500
9500
 = (1 + i) 5 
1,266666667 = (1 + i) 5 
5 266666667,1 = 5 5)1( i+ 
1,048413171 = 1 + i 
i = 0,048413171 ou 4,8413171% ao mês 
Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 4,8413171% ao 
mês. 
 
1.10. Como Caracterizar Taxas Equivalentes no Regim e Exponencial? 
Quando discutimos o regime linear de juros, vimos que taxas proporcionais 
e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa. Tal fato só acontece no 
regime linear de juros, não acontecendo quando trabalhamos com o regime de 
juros compostos. O conceito de taxa equivalente visto no regime linear continua 
sendo o mesmo no regime exponencial, porém sua maneira de calcular é 
diferente, por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa 
equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, 
isto é: 
i qq i+= 1 – 1 
Onde: 
q = número de períodos de capitalização. 
39 
 
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Importante! Na expressão de cálculo para taxas equi valentes no regime 
composto, salientamos que o parâmetro i da fórmula descreve a taxa 
relacionada ao maior período, enquanto que o parâme tro i q descreve a taxa 
relacionada ao menor período. Desta maneira, por ex emplo, se temos o 
interesse de calcular a taxa semestral equivalente, para juros compostos a 
10% ao ano, temos que i = 10% ao ano (maior período ) e i q (menor período) 
será a taxa de interesse a ser calculada. 
 
 
Figura 15 : Interpretação do conceito de taxas equivalentes. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 27 : Qual a taxa semestral equivalente para juros compostos a 
10% ao ano? 
Solução : Para resolvermos tal problema, devemos utilizar a fórmula: 
i qq i+= 1 – 1 
Onde: 
q = número de períodos de capitalização. 
Em que i é a taxa anual (maior período ), ou seja, i = 10% ao ano = 0,1 
a.a. Além disso, temos que q = 2 (1 ano = 2 semestres ). Desta maneira, temos 
que: 
i qq i+= 1 – 1 
i 2 = 
2 1 i+ – 1 
40 
 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
i 2 = 2 1,01+ – 1 
i 2 = 2 01,1 – 1 
i 2 = 1,04880 – 1 
i 2 = 0,04880 ou seja i 2 ≅ 4,88% a.s. (ao semestre) 
 
Portanto, a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano 
é aproximadamente igual a 4,88%. 
 
Exemplo 28 : Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% ao 
bimestre? 
Solução : Neste caso, devemos encontrar o valor de i, já que o maior 
período em questão é ano. Notemos também, que q = 6 (1 ano = 6 bimestres) e 
i q = i 6 = 7% a.b. = 0,07 a.b. Logo, temos que: 
i qq i+= 1 – 1 
i 6 = 
6 1 i+ – 1 
0,07 = 6 1 i+ – 1 
1 + 0,07 = 6 1 i+ 
1,07 = 6 1 i+ 
 
Elevando ambos os membros a potência 6, obtemos: 
(1,07) 6 = ( 6 1 i+ ) 6 
1 + i = (1,07) 6 
i = (1,07) 6 – 1 
i = 0,500730351 ou seja i ≅ 50,07% a.a. (ao ano) 
Portanto, a taxa anual equivalente é de aproximadamente 50,07%. 
 
Importante! (Cálculo de Taxas Equivalentes) Se deno minarmos i a = taxa de 
juros anual, i s = taxa de juros semestral, i t = taxa de juros trimestral, i m = taxa 
de juros mensal, i d = taxa de juros diária e i b = taxa de juros bimestral e, 
41 
 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
considerarmos o ano comercial (360 dias), a fórmula a seguir permite o 
cálculo dessas taxas equivalentes é dada por: 
1+ i a =(1 + i m )
12 = (1 + i s )
2 = (1 + i t )
4 = (1 + i b )
6 = (1 + i d )
360 
 
1.11. Taxa Nominal e Taxa Efetiva: Como Reconhecê-l as no Mercado 
Financeiro? 
Segundo Samanez (2006), a taxa efetiva de juros é a taxa dos juros 
apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos 
períodos de capitalização. 
Definição (Taxa Efetiva ): Taxa efetiva é o processo de formação dos 
juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. Em 
símbolos, temos que: 
Taxa Efetiva (i f ) = (1 + i)
q – 1 
Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros. 
 
Exemplo 29 : Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um 
montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja: 
i f = (1 + 0,038)
12 - 1 = 56,44% ao ano 
 
Definição (Taxa Nominal ): Dizemos que uma taxa de juros é nominal 
quando o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e 
incorporação dos juros ao valor presente) não é o mesmo daquele definido para a 
taxa de juros. 
 
Exemplo 30 : Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 48% ao ano, 
capitalizada de forma mensal. Os prazos não são coincidentes. O prazo de 
capitalização é de um mês e o prazo a que se refere à taxa de juros igual a 
um ano (12 meses). 
Dessa maneira, 48% ao ano representa uma taxa nominal de juros, 
expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de 
capitalização. Salientamos ainda que, ao falarmos de taxa nominal é comum 
admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. Assim, no 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
exemplo, a taxa por período de capitalização é de 48%/12 = 2% ao mês (taxa 
proporcional ou linear). Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa 
efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Com base nos dados 
do exemplo acima, temos: 
• taxa nominal da operação para o período = 48% ao ano; 
• taxa proporcional simples ; 
(taxa definida para o período de capitalização ) = 4% ao mês; 
• taxa efetiva de juros : i f = 
12
0,48
1
12
 + 
 
 – 1 = 60,10322% ao ano 
Importante! Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de 
uma operação. 
 
Ao falarmos que os juros anuais são de 48%, mas capitalizados 
mensalmente, apuramos que a efetiva taxa de juros atinge 60,10322% ao ano. 
Para que 48% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos 
juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta, ou seja: 
Taxa Equivalente Mensal de 48% ao ano: 
12 12
12
1 1
1 0,48 1 1,48 1 3,32% . .
q
qi i
i a m
 = + −

= + − = − =
 
Ao se capitalizar exponencialmente 3,32% ao mês chegamos aos 48% ao 
ano. 
Taxa Efetiva Anual 
12
12
(1 0,0332) 1
(1 0,026) 1 48%
f
f
i
i ao ano
 = + −

= + − =
 
Importante! Vamos convencionar que, quando houver m ais de um período 
de capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma 
taxa efetiva, a atribuição dos jurosa estes períod os deve ser processada 
através da taxa proporcional. Por outro lado, quand o os prazos forem 
coincidentes (prazo da taxa e o de formação dos jur os) a representação da 
taxa de juros é abreviada. Por exemplo, a expressão única “10% ao ano” 
indica que os juros são também capitalizados em ter mos anuais. Muitas 
vezes, ainda, o mercado define, para uma mesma oper ação, expressões 
43 
 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
diferentes de juros em termos de sua forma de capit alização. Por exemplo, o 
custo efetivo de 4,2% ao mês cobrado por um banco, pode ser 
equivalentemente definido em 4,12% ao mês para o me smo período, ou seja: 
=−1042,130 0,137234% ao dia x 30 = 4,12% ao mês 
A taxa de 4,12% ao mês é nominal (linear) e equival ente a taxa efetiva de 
4,2% ao mês. 
 
Exemplo 31 : Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à taxa anual 
de 18% ao ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva anual e o 
montante que será devolvido ao final do ano? 
Solução: Como a capitalização é bimestral, podemos dizer que q = 6 (1 ano = 
6 bimestres) e i = 18% ao ano. Desta forma, temos que: 
Taxa Proporcional bimestral = 
6
%18
 = 3% a.b. = 0,03 a.b. 
Logo: 
Taxa Efetiva: (i f ) = (1 + i)
q – 1 = (1 + 0,03) 6 – 1 = 0,194 
Desta forma, a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao ano 
aproximadamente. No cálculo do montante a ser devolvido, temos que FV = PV.(1 
+ i) n onde: 
n = 1 ano = 6 bimestres e PV = 8000 
Desta maneira, temos que: 
FV = PV.(1 + i) n 
FV = 8000.(1 + 0,03) 6 
FV = 9552,418372 
 
Portanto, concluímos que o montante a ser devolvido será de 
aproximadamente R$9.552,00 e a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% 
ao ano. 
Exemplo 32 : Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo 
prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizado 
trimestralmente. Pede-se para determinar o montante e o custo efetivo do 
empréstimo. 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Solução : Vamos admitir, de acordo com a convenção adotada, que a taxa 
de juros pelo período de capitalização seja a proporcional simples , desta forma, 
temos que: 
Taxa Nominal (taxa linear) : i = 32% ao ano = 0,32 a.a. 
Descapitalização Proporcional : i = 
4
%32
 = 8% ao trimestre (já que 1 ano 
= 4 trimestres) = 0,08 a.t. 
Montante do Empréstimo : 
FV = PV.(1 + i) n 
FV = 11000.(1 + 0,08) 4 
FV = 11000.(1,08) 4 
FV = 14.965,40 
Taxa Efetiva : 
i f = (1 + i)
q – 1 
i f = (1 + 0,08)
4 – 1 
i f = (1,08)
4 – 1 
i f = 0,36 ao ano 
i f = 36% ao ano 
Portanto, o montante é igual a R$14.965,40 e o custo efetivo do 
empréstimo é igual a 36% ao ano. 
Exemplo 33 : A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com 
capitalização mensal à base de 0,5%. Qual a rentabilidade efetiva desta 
caderneta de poupança? 
Solução : Neste caso, mais uma vez a taxa efetiva dará a rentabilidade 
efetiva da Caderneta de Poupança, já que podemos observar que a taxa de juros 
de 6% é uma taxa nominal de juros, já que a capitalização é realizada 
mensalmente. Notando que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses), segue que: 
Taxa Efetiva : 
i f = (1 + q
i
) q – 1 
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i f = (1 + 12
06,0
) 12– 1 
i f = (1 + 0,05)
12 – 1 
i f = 0,617 ao ano 
i f = 6,17% ao ano 
Portanto, a rentabilidade efetiva da caderneta de poupança foi de 6,17% ao 
ano. 
 
1.12. Capitais Equivalentes nos Juros Compostos 
Anteriormente já vimos a definição de capitais equivalentes e foi falado que 
seriam a essência da Matemática Financeira. No regime composto, como 
poderiam ser definidos? Em verdade, temos que a definição de capitais 
equivalentes não difere conforme apresentado anteriormente para o regime linear, 
aqui no regime composto de juros, a relação fundamental de equivalência de 
capitais para um período é expressa pelas seguintes equações: 
FV = PV. (1 )ni+ e PV = 
(1 )n
FV
i+
 
Sendo assim, através destas relações e uma vez caracterizada uma data 
focal para contagem do tempo, é que podemos estabelecer a troca de dois ou 
mais capitais, de forma que eles sejam equivalentes financeiramente. 
Importante! Note que não existe ganho nem perda par a nenhuma das partes, 
apenas um eventual interesse na troca temporal das datas de cumprimento 
dos compromissos. 
 
Exemplo 34 : Um hipermercado de uma rede multinacional possui 
compromissos de R$2.000,00 e de R$2.500,00 a vencer de hoje a três meses e 
oito meses, respectivamente. Gilberto, seu gerente financeiro, prevê problemas 
de caixa nestas datas e, então, propõe à empresa credora a troca desses 
compromissos por outros dois que lhe sejam equivalentes, a vencer de hoje a 10 
e 15 meses, respectivamente. Considere que a taxa de juros efetiva cobrada é de 
10% ao mês e que as obrigações equivalentes devem ter valores iguais. Qual 
deve ser o valor único dessas obrigações? 
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Solução : Inicialmente vamos representar geometricamente a descrição do 
problema a ser resolvido como segue. 
 
Figura 16 : Interpretação dos fluxos do exemplo. 
Fonte : Elaborado pelo próprio autor. 
 
Notemos que neste caso temos as seguintes informações: 
1FV = 2000, 2FV = 2500, 1n = 3, 2n = 8, 3n = 10, 4n = 15 e i = 10% a.m. = 
0,10 a.m. 
Vamos definir a data focal como sendo a data atual hoje, ou seja, a data 
zero, donde podemos escrever: 
3 8 10 15
2000 2500
(1 0,10) (1 0,10) (1 0,10) (1 0,10)
FV FV+ = +
+ + + +
 
Note que todos os valores foram atualizados para a data focal = zero, 
portanto, resolvendo a igualdade acima em FV, obtemos: 
2000 2500
1,331 2,143589 2,593742 4,177248
FV FV+ = + 
2.668,90 = FV.( 
1 1
2,593742 4,177248
+ ) 
2.668,90 = FV.(0,385543 + 0,239392) 
2.668,90 = FV.(0,624935) 
FV = R$ 4.270,68 
Ou seja, o valor destes pagamentos únicos seria igual a R$4.270,68. 
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UNIDADE 2 – A GESTÃO FINANCEIRA NO FOCO DA HP 
2C 
 
2.1. Objetivos da Unidade 
Vimos através das expressões características do regime exponencial de 
juros que o cálculo do parâmetro n (prazo) não é uma tarefa muito cômoda, já que 
temos que utilizar do logaritmo na base 10. E, também, temos outros cálculos não 
tão simples de serem realizados. 
Sendo assim, nesta unidade, é de