Cálculo III - Avaliação Parcial

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Ceará
Cálculo Deferencial e Inegral III - 3a Avaliação Parcial - 21/08/2020
Nome:
1) (2,0) Resolva:
a) Expresse o trabalho realizado pela campo de força F = (5x + 3y, 1 +
cos y) sobre uma part́ıcula que se move no sentido anti-horário emum
ćırculo centrado na origem na forma de uma integral simples
∫ b
a f(t)dt.
(Não calcule a integral, e não precisa simplificá-la)
b) Calcule a integral de linha utilizando o teorema de Green.
2) (2,0) Seja S uma parte da superf́ıcie esferica x2 + y2 + z2 = 4 tal que
x2 + y2 > 1 (que está fora do cilindro de raio um com eixo em z).
a) Calcule o fluxo do campo F = (y,−x, z) saindo pra parte de fora da
superf́ıcie S.
b) Mostre que o fluxo desse campo através de qualquer parte da superf́ıcie
cilindrica é zero.
c) Usando o teorema do divergente aplicado a F , calcule o volume da
região entre S e o cilindro.
3) (2,0) Seja S a parte da superf́ıcie esférica x2 + y2 + z2 = 2 que está
acima do plano z = 1. Oriente S pra “cima”, pondo à sua fronteira C uma
orientação compat́ıvel.
a) Parametrize C e use essa parametrização para calcular a integral de
linha.
I =
∮
C
xzdx + ydy + zdz
b) Calcule o rotacional do campo F = (xz, y, y)
c) Escreva a integral do fluxo de F sobre S que pode ser calculada utili-
azando o valor de I.
4) (2,0) Utilize o teorema do divergente para calcular o fluxo de F = (1, 1, 1)
pra fora da superf́ıcie fechada x4 + y4 + z4 = 1
5) (2,0) Seja S a parte da superf́ıcie z = xy onde x2 + y2 < 1. Calcule of
fluxo de F = (y, x, z) pra “cima”através da superf́ıcie S reduzindo a integral
de superf́ıcie a uma integral sobre o disco x2 + y2 < 1.
—————————————————————————
OBS: Tecnicamente, pra “cima”significa que a normal da superf́ıcie n e a
direção k tem produto interno positivo.
1