lista cap 5 ashcroft solid state

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Introdução a Física do Estado Sólido: Segunda
Lista
Sergio Levy Nobre dos Santos
Matrícula: 404978
January 7, 2021
1. a-) Calculando, primeiramente, b2 × b3, temos:
b2 × b3 =
(2π)2
[a1 · (a2 × a3)]2
[a3 × a1]× [a1 × a2] (1)
Usando a identidade
[A×B]× [C×D] = [D · (A×B)]C− [C · (A×B)]D (2)
(1) pode ser escrito na forma mostrada em (3). Pela a regra do produto
misto, a1 · (a3 × a1) = 0.
b2 × b3 =
(2π)2
[a1 · (a2 × a3)]2
(
[a2 · (a3 × a1)]a1 − [a1 · (a3 × a1)]a2
)
(3)
b2 × b3 =
(2π)2
[a1 · (a2 × a3)]2
[a2 · (a3 × a1)]a1
Temos que a2 · (a3×a1) = a1 · (a2×a3) graças ao comportamento cíclico
do índices. Então, b2 × b3 pode ser dado por (4).
b2 × b3 =
(2π)2
a1 · (a2 × a3)
a1 (4)
Finalmente, calculamos b1 · (b2 × b3) dado na equação (5).
b1 · (b2 × b3) =
(2π)3
[a1 · (a2 × a3)]2
a1 · (a2 × a3)
b1 · (b2 × b3) =
(2π)3
a1 · (a2 × a3)
(5)
1
b-) Tendo a equação (5) no item anterior, podemos escrever a1 · (a2×a3)
como:
a1 · (a2 × a3) =
(2π)3
b1 · (b2 × b3)
(6)
Usando (6) e substituindo em (4), temos:
b2 × b3 =
(2π)2
a1 · (a2 × a3)
a1 =
(2π)2
(2π)3
b1·(b2×b3)
a1
b2 × b3 =
b1 · (b2 × b3)
2π
a1 (7)
Então, como base em (7), chegamos em uma expressão para a1 em função
da rede reciproca em (8).
a1 =
2π
b1 · (b2 × b3)
(b2 × b3) (8)
c-) Tendo que a base da rede de Bravais convencional é dada por a1,
a2 e a3, o volume da célula unitária é dada pela a região formada entre
os vetores. A área entre os vetores a2 e a3 pode ser dada por |a2 × a3|.
Por ultimo, o volume por inteiro pode ser dado pela a projeção ortogonal
de a1 ao plano formado por a2 e a3 onde pegamos a norma da projeção
e multiplicamos por |a2 × a3|. Temos, então, algo como na equação (9)
onde θ é o ângulo entre a1 e a projeção.
a1|a2 × a3| cos θ (9)
Pela própria regra de produto escalar, (9) pode ser escrito como:
a1|a2 × a3| cos θ = a1 · (a2 × a3)
Logo, para termos o volume, tiramos o valor absoluto de a1 · (a2 × a3),
mostrado na equação (10).
v = |a1 · (a2 × a3)| (10)
2. a-) Tendo primeiramente os vetores da rede de bravais da forma hexago-
nal simples abaixo:
2
a1 = ax (11)
a2 =
a
2
x+
a
√
3
2
y (12)
a3 = cz (13)
Calculamos, primeiramente, a1 · (a2 × a3).
a1 · (a2 × a3) = a1 ·
(ac
2
[x× z] + ac
√
3
2
[y × z]
)
Como x× z = −y e y× z = x pois (x,y, z) é uma base ortonormal, então
temos:
a1 · (a2 × a3) = a1 ·
(
− ac
2
y + ac
√
3
2
x
)
= ax ·
(
− ac
2
y + ac
√
3
2
x
)
Logo a1 · (a2 × a3) é
a1 · (a2 × a3) = a2c
√
3
2
(14)
Calculando então a base do espaço reciproco (b1,b2,b3), usando as equações
[11,12,13 e 14], temos:
b1 = 2π
a2 × a3
a1 · (a2 × a3)
=
2π
a2c
√
3
2
(ac
2
[x× z] + ac
√
3
2
[y × z]
)
b1 = 2π
(
−
√
3
3a
y +
1
a
x
)
Calculando b2, temos:
b2 = 2π
a3 × a1
a1 · (a2 × a3)
=
2acπ
a2c
√
3
2
[z× x]
b2 =
4π
a
√
3
y
Calculando b3, temos:
b3 = 2π
a1 × a2
a1 · (a2 × a3)
=
2aπ
a2c
√
3
2
x×
(a
2
x+
a
√
3
2
y
)
=
2π
c
[x× y]
b3 =
2π
c
z
3
Temos então o três vetores da rede reciproca (15,16,17).
b1 = 2π
(
−
√
3
3a
y +
1
a
x
)
(15)
b2 =
4π
a
√
3
y (16)
b3 =
2π
c
z (17)
Ao analisarmos a partir da �gura 1 a as redes normal e reciproca, notamos
que a reciproca foi girada em 30◦ em relação a rede normal.
Figure 1: Comparação entre a rede normal e reciproca da rede de bravais hexag-
onal simples, mostrando um giro de 30◦ da rede reciproca em relação a normal.
b-) Tendo que os valores da constantes na rede reciproca arec = 4πa
√
3
e crec = 2πc , tiramos a razão
crec
arec
.
crec
arec
=
2π
c
4π
a
√
3
=
√
3
2
1
c
a
crec
arec
=
( c
a
)−1√3
2
(18)
Para termos o mesmo valor de ca na rede direta e na reciproca, fazemos
4
na equação (18) crecarec =
c
a = k e, então, descobrimos o valor de k.
k =
1
k
√
3
2
k2 =
√
3
2
⇒ k =
√√
3
2
(19)
Com o valor de k em (19), temos que o valor de ca para seja a mesma razão
na rede direta e reciproca é:
c
a
=
√√
3
2
(20)
O caso ideal da razão ca pode ser obtido tomando esfera nos átomos da
rede, fazendo o chamada Frações de empacotamento. Com isso, chegamos
na equação
a2 =
( a√
3
)2
+
( c
2
)2
(21)
a2 =
a2
3
+
c2
4
⇒ c
2
a2
=
8
3
c
a
=
√
8
3
(22)
Logo, tendo a razão ideal da rede direta (22), tiramos a reciproca ideal
com a equação (18).( crec
arec
)
ideal
=
( c
a
)−1√3
2
=
(√8
3
)−1√3
2
Como isso, a reciproca ideal é:( crec
arec
)
ideal
=
3
4
√
2
(23)
c-) Temos uma rede trigonal em que os 3 vetores da base possui o mesmo
angulo θ entre si. Os 3 vetores da rede direta podem ser escritos como:
a1 = a(λ, 1, 1) (24)
a2 = a(1, λ, 1) (25)
a3 = a(1, 1, λ) (26)
onde λ é um parâmetro livre.
5
Calculando a1 · (a2 × a3), temos:
a1 · (a2 × a3) = a3(λ, 1, 1) ·
∣∣∣∣∣∣
i j k
1 λ 1
1 1 λ
∣∣∣∣∣∣
a1 · (a2 × a3) = a3(λ, 1, 1) · (λ2 − 1, 1− λ, 1− λ)
a1 · (a2 × a3) = a3(λ− 1)(λ, 1, 1) · (λ+ 1,−1,−1)
a1 · (a2 × a3) = a3(λ− 1)(λ2 + λ− 2) (27)
Usando a equação (27), calculamos b1.
b1 = 2π
a2 × a3
a1 · (a2 × a3)
=
2a2π
a3(λ− 1)(λ2 + λ− 2)
∣∣∣∣∣∣
i j k
1 λ 1
1 1 λ
∣∣∣∣∣∣
b1 =
2π
a(λ− 1)(λ2 + λ− 2)
(λ2 − 1, 1− λ, 1− λ)
b1 =
2π
a(λ2 + λ− 2)
(λ+ 1,−1,−1) (28)
Calculamos b2.
b2 = 2π
a3 × a1
a1 · (a2 × a3)
=
2a2π
a3(λ− 1)(λ2 + λ− 2)
∣∣∣∣∣∣
i j k
1 1 λ
λ 1 1
∣∣∣∣∣∣
b2 =
2π
a(λ− 1)(λ2 + λ− 2)
(1− λ, λ2 − 1, 1− λ)
b2 =
2π
a(λ2 + λ− 2)
(−1, λ+ 1,−1) (29)
Calculamos, por ultimo, b3.
b3 = 2π
a1 × a2
a1 · (a2 × a3)
=
2a2π
a3(λ− 1)(λ2 + λ− 2)
∣∣∣∣∣∣
i j k
λ 1 1
1 λ 1
∣∣∣∣∣∣
b3 =
2π
a(λ− 1)(λ2 + λ− 2)
(1− λ, 1− λ, λ2 − 1)
b3 =
2π
a(λ2 + λ− 2)
(−1,−1, λ+ 1) (30)
6
Então, os três vetores da rede reciproca são:
b1 =
2π
a(λ2 + λ− 2)
(λ+ 1,−1,−1) (31)
b2 =
2π
a(λ2 + λ− 2)
(−1, λ+ 1,−1) (32)
b3 =
2π
a(λ2 + λ− 2)
(−1,−1, λ+ 1) (33)
A rede reciproca obtida também é trigonal tendo em vista que o angulo
entre os 3 vetores da rede reciproca é o mesmo. Tendo que o cosseno entre
dois vetores v e w é obtido como:
cos θv,w =
v ·w
|v||w|
(34)
Logo, para a rede direta, usando a equação (34), vemos que os ângulos
são os mesmos (35) ,assim como na rede reciproca (36).
cos θa1,a2 = cos θa1,a3 = cos θa2,a3 = cos θ (35)
cos θb1,b2 = cos θb1,b3 = cos θb2,b3 = cos θ
∗ (36)
Calculamos, então, cos θ e cos θ∗.
cos θ = cos θa1,a2 =
a1 · a2
|a1||a2|
cos θ =
a2(λ, 1, 1) · (1, λ, 1)
a2(2 + λ2)
cos θ =
2λ+ 1
2 + λ2
(37)
Calculando cos θ∗, temos:
cos θ∗ = cos θb1,b2 =
b1 · b2
|b1||b2|
cos θ∗ =
[
2π
a(λ2+λ−2)
]2
[
2π
a(λ2+λ−2)
]2
(λ2 + 2λ+ 3)
(λ+ 1,−1,−1) · (−1, λ+ 1,−1)
cos θ∗ =
(λ+ 1,−1,−1) · (−1, λ+ 1,−1)
λ2 + 2λ+ 3
cos θ∗ = − 2λ+ 1
λ2 + 2λ+ 3
(38)
Como (37) e (38) possuem o mesmo numerador, somamos o inversos
(cos θ)−1 e (cos θ∗)−1.
7
(cos θ)−1 + (cos θ∗)−1 =
2 + λ2
2λ+ 1
− λ
2 + 2λ+ 3
2λ+ 1
= −2λ+ 1
2λ+ 1
= −1
1
cos θ
+
1
cos θ∗
= −1 (39)
Com a equação (39), conseguimos colocar θ∗ em função de θ.
− 1
cos θ∗
= 1 +
1
cos θ
=
cos θ + 1
cos θ
Invertendo a equação acima, chegamos na relação entre os cossenos procu-
rada (40).
− cos θ∗ = cos θ
cos θ + 1
(40)
3. a-)A célula primitiva de uma rede sempre forma um único ponto da rede
através de "contribuições" atômicas. Tendo então uma célula primitiva
de uma rede plana (2D), temos que a mesma célula plana possui área A.
Sendo que a célula representa um átomo na rede, então sua densidade
planar ρplanar é:
ρplanar =
Numero de pontos
Área
=
1
A
(41)
Tendo que A representa pode representar a área entre dois vetores a1 e
a2 de uma base [a1,a2,a3] relativo uma célula unitária no espaço (3D),
podemos enxergar o plano mencionado como um dos planos gerados por
uma onda plana eik·r no espaço onde k seria um ponto do espaço reciproco.
Logo, a distância d entre planos vizinhos também pode ser vista como
a norma da projeção de a3 na direção ortogonal ao plano em questão,
chegando ao volume da célula unitária em 3D v.
v = d|a1 × a2| = Ad⇒ A =
v
d
(42)
Logo, pela a equação (42), podemos escrever a densidade planar na forma
procurada (43)
ρplanar =
d
v
(43)
8
b-)Para a FCC, temos que os vetores da rede direta são:
a1 =
a
2
(0, 1, 1) (44)
a2 =
a
2
(1, 0, 1) (45)
a3 =
a
2
(1, 1, 0) (46)Então, sua rede recíproca é:
b1 =
2π
a
(−1, 1, 1) (47)
b2 =
2π
a
(1,−1, 1) (48)
b3 =
2π
a
(1, 1,−1) (49)
Para a FCC, a melhor família de planos que consegue alcançar o maior
numero de pontos (até os pontos centrados nas faces laterais) em sua área
são aqueles planos cujo seu vetor normal aponta para a direção [111], que
são índices de miller.
Para a BCC, temos que os vetores da rede direta são:
a1 =
a
2
(−1, 1, 1) (50)
a2 =
a
2
(1,−1, 1) (51)
a3 =
a
2
(1, 1,−1) (52)
Então, sua rede recíproca é:
b1 =
2π
a
(0, 1, 1) (53)
b2 =
2π
a
(1, 0, 1) (54)
b3 =
2π
a
(1, 1, 0) (55)
Para a BCC, a melhor família de planos que consegue alcançar o maior
numero de pontos (até os átomos centrados no centro do cubo) em sua
área são aqueles planos cujo seu vetor normal aponta para a direção [110],
que são seus índices de miller.
4. Por ser uma rede de bravais, podemos escrever K e K0 como:
K0 = h0b1 + l0b2 +m0b3 (56)
K = hb1 + lb2 +mb3 (57)
9
Logo, para K ser múltiplo de K0 temos:
K = λK0 (58)
Para que a equação acima seja verdade, λ deve ser inteiro. Para isso,
temos:
hb1 + lb2 +mb3 = λ(h0b1 + l0b2 +m0b3)
Chegamos nas três equações.
λ =
h
h0
(59)
λ =
l
l0
(60)
λ =
m
m0
(61)
Ou seja, para λ ser inteiro, h deve ser múltiplo de h0, l de l0 e m de m0.
Logo, �ca provado que K é múltiplo de K0, que o menor vetor da rede.
Questão Extra: Por que a representação dos índices de Miller pelos os inversos
é equivalente a forma convencional?
Tendo que a forma convencional do índices de miller [hlm] é dado por:
K = hb1 + lb2 +mb3 (62)
A forma inversa é: tendo que, por translação, eiK·R = 1 para K �xo e R
pertencente ao plano, podemos o plano na seguinte forma
K ·R = 2nπ
O que implica em
hR1 + lR2 +mR3 = 2nπ (63)
Que é a equação de um plano sendo K o seu vetor normal. Com isso, em um
exemplo, sendo os eixos que o plano intercepta R1 = 4, R2 = 1 e R3 = −2,
aplicando em (63), temos
4h = 2nπ ⇒ h = 2nπ 1
4
(64)
l = 2nπ ⇒ l = 2nπ (65)
−2m = 2nπ ⇒ m = 2nπ
(
− 1
2
)
(66)
10
Então K é
K = 2nπ(
1
4
b1 + b2 −
1
2
b3) =
nπ
2
(b1 + 4b2 − 2b3) (67)
Logo seus índices de miller são:
[14(−2)] (68)
O que torna a forma convencional e a inversão dos índices de miller equivalentes.
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