Aula3_0ndas_III-corrigido

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Aula 3 
Ondas Eletromagnéticas 
- Luz visível (nos permitem ver) 
- Infravermelhos (aquecem a Terra) 
- Ondas de radiofrequencia (transmissão de 
rádio) 
- Microondas (cozinhar) 
 
-Transporte de momento linear 
- Polarização e Polarizadores 
- Reflexão e Refração 
- Dispersão 
- Polarização por Reflexão 
microondas Ondas de Radio Ondas Longas Infravermelho Ultravioleta Raios-X Raios Gama 
Ondas Eletromagnéticas 
• São ondas transversais 
 
• Os campos elétricos e magnéticos de uma onda 
eletromagnética plana são perpendiculares entre si 
e à direção de propagação. 
 
• Não necessitam de meio para propagar. 
 
• Obedecem o princípio da superposição pois as 
Equações Diferenciais para E e B são lineares 
 
 
Características de uma onda 
eletromagnética 
00
1

c
εμ
1
v 
)r()r(
)r(v 



1
vc 
No vácuo 
Em meios materiais 
Em geral 
raios 
t
tt  
tt  2 
tt 3
frentes de 
onda 
Velocidade de propagação 
A equação de onda 
A equação da onda eletromagnética 
• Em geral, qualquer função periódica pode ser solução de uma 
equação de onda pois poderá ser expressa por uma Série de 
Fourier 
Ondas eletromagnéticas 
(3ª Eq. de Maxwell) 
Bz transverso à direção 
de propagação da onda: 
• Sejam: )sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy  
c
B
E
c
kB
E
z
y
m
m 

00
1

c
Ou seja, a todo instante a razão entre o 
campo elétrico e o campo de uma onda 
eletromagnética é igual á velocidade da 
luz. 
cktkxEctxkEtxE
y
  ;)sin()(sin),(
00
Ondas eletromagnéticas planas 
Direção de 
deslocamento da 
onda 
A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos onde 
const. trk 

Frente de onda plana 
Período: 
Freqüência: 
Comprimento 
de onda: 
Velocidade 
de uma onda: 
T
1
f
T


v f
k

 
Freqüência 
angular: 2 f 
Número 
de onda: 
2
k



Ondas eletromagnéticas – 
principais parâmetros 
L 
~ 
Geração de Ondas eletromagnéticas 
transformador 
oscilador 
Geração de Ondas eletromagnéticas 
O oscilador está acoplado a uma linha de transmissão por um transformador. 
Este acoplamento gera uma corrente no oscilador que varia 
senoidalmente e provova uma oscilação das cargas do 
oscilador com frequencia =(LC)1/2. 
A antena equivale a um dipolo elétrico cujo momento dipolar 
elétrico varia com o tempo. 
 ~ 1m, 
Ondas de rádio 
Transporte de Energia por ondas 
eletromagnéticas 
As densidades de energia elétrica e magnética são: 
2
0
0
2
2
2
1
2
E
c
E
)t,r(u
c
E
Bcomo B 



0
2
2
0
22
1


B
)t,r(ueE)t,r(u BE 

Logo, a densidade total de energia armazenada no campo 
de radiação é: 
2
0E)t,r(u)t,r(u)t,r(u BE 

Como )(sin),(
22
0
2 trkEtrE 

A média temporal da densidade de energia é dada por : 
2
00
2
1
0
22
00
2
0
2
11
Edt)trk(sin
T
EEu
T
 


  

A intensidade da radiação será então: 
2
00
2
1
Eccu
tA
U
tA
U
I 









2
0E)t,r(u)t,r(u)t,r(u BE 

x
z
y
k

0
E

0
B

sd

tc
U
Pode-se desenvolver a mesma expressão como: 
k̂)trk(sin
c
E
BE 
 2
2
0
2
000
2
0
2
1
2
Ec
c
E
|BE| 

Calculando-se a média temporal: 
A taxa de fluxo de energia é definida 
então pelo Vetor de Poynting. 
BES


0
1

mediamedio u.cSI 
A intensidade de uma onda eletromagnética é igual à 
densidade média de energia multiplicada pela 
velocidade da luz. 
Transporte de momento linear da onda 
eletromagnética 
 
Pressão de radiação 
O mesmo elemento que transporta 
a energia também transporta o momento 
linear 
U
k̂
c
U
p

 

Momento linear transferido para um objeto onde 
incide a radiação 
k
c
U
p
a
ˆ

k
c
U
p
r
ˆ2



no caso de absorção 
total da radiação 
no caso de reflexão 
total da radiação 
p

p

p


Mas, 
tIAU 
c
I
A
F
P
c
IA
t
p
F a
a
a
a




c
I
A
F
P
c
IA
t
p
F r
r
r
r
22




Pressão de 
radiação na 
absorção total 
Pressão de 
radiação na 
reflexão total 
p

p

p


tA
U
I



força 
força 
pressão 
pressão 
Polarização da radiação 
Polarização linear: 
Direção do campo elétrico 
),( trE

)sin(),(
0
trkEtrE 

ytkzE
xtkzEtrE
ˆ)cos(
ˆ)sin(),(
0
0





Polarização linear Polarização circular 
1),(),( 22  trEtrE
yx

Um pulso eletromagnético geral corresponde a uma 
superposição de vários pulsos que oscilam em 
diferentes direções, com diferentes fases 
 radiação não-polarizada 
Polarização elíptica 
ytkzExtkzEtrE
yx ˆ)cos(ˆ)sin(),( 00  

1
),(),(
2
0
2
2
0
2

y
y
x
x
E
trE
E
trE

x
E
y
E
Fios metálicos 
Polarizadores 
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material 
usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz 
polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada. 
Exemplo: 
Polarizadores 
Intensidade da radiação incidente 
não-polarizada: 
2
000
2
1
EcI 
Intensidade da radiação 
polarizada ao longo de ŷ  




2
0
0202
0
2
cos
2
cos
I
d
I
II
 
 
Luz não-polarizada 
Luz polarizada 
verticalmente Luz polarizada 
para um ângulo  
Filtro polarizadador vertical 
Intensidade incidente da 
radiação polarizada: 2
||0
2
0
2
1
2
1
EcEcI  


sin
cos
0
0| |
EE
EE



Intensidade da radiação 
polarizada ao longo de : 
2
0
cosII 
Analisador – a luz incidente deve estar 
polarizada 
Reflexão e refração: Princípio de Huygens 
Todos os pontos de uma frente de onda se 
comportam como fontes pontuais para ondas 
secundárias. 
Depois de um intervalo de tempo t, a nova posição 
da frente onda é dada por uma superfície 
tangente a estas ondas secundárias. 
1v
2v
Índice de refração 
v
c
n 
Reflexão especular x Reflexão difusa 
Lei de Snell 
12
21
 
 nn
1
2
1
2 sensen 
n
n

12
21
 
 nn
Reflexão interna total 
Se a incidência se dá de um meio mais refringente para 
outro menos refringente, ou seja, , há um 
ângulo crítico acima do qual só há reflexão. 
21 nn 
221
2
nsinnsinn c 








 
1
21
n
n
sinc
n1 
n2 
n1 > n2 
c 
1 
2 
2211  sinnsinn
Reflexão interna total: 
fibras ópticas 
Dispersão Cromática 
)(nn  Luz branca 
)()(se 2121  nn Em geral, 
2211  sinnsinn
Para cada cor, 1 igual, 
 2 muda. 
Dispersão cromática: Formação do arco-íris 
~ 42º 
Reflexão de ondas 
transversais 
 Corda com uma extremidade fixa: 
 Pulso refletido invertido ao pulso incidente 
Polarização por reflexão 
A luz refletida por uma 
superfície é totalmente 
polarizada na direção 
perpendicular ao plano de 
incidência quando 
2

 refri
Então 








 ii sinnsinn
2
21
1
2
n
n
tan i 
1
21
n
n
tanBi

B
 : ângulo de Brewster 
B 
n2 
n1 
r 
ref 




 

2
refrr
 
Raio incidente 
(não-polarizado) 
Raio refletido 
(polarizado) 
Raio refratado 
(fracamente 
polarizado)