Aula 07 - Lei de Hooke_v3 (1)

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MECÂNICA PARA 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
- TP067
Silvana Detro
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LEI DE HOOKE – TENSÃO E 
DEFORMAÇÃO
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
 Tensão pode ser relacionado com a deformação por meio de 
métodos experimentais -> diagrama tensão-deformação
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
 A resistência de um material depende de sua capacidade de 
suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura.
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
 Elétricas: Resistência, condutividade
 Óticas: Opaco, transparente
 Térmicas: Condutividade, isolante
 Magnéticas: ferromagnéticos ou paramagnéticos
 Mecânicas
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS 
MATERIAIS
• O conhecimento a respeito das
propriedades mecânicas de um material
permite relacionar a deformação medida
no material com a tensão associada a ela.
ENSAIO DE TRAÇÃO OU COMPRESSÃO
• Teste principalmente utilizado para 
determinar a relação entre a tensão 
normal média e a deformação normal 
média.
CORPO DE PROVA
• Os corpos de prova para o ensaio de tração devem seguir um padrão de 
forma e dimensões para que os resultados dos testes possam ser 
significativos. 
MÁQUINA PARA ENSAIO DE TRAÇÃO E 
COMPRESSÃO
RELAÇÕES DE TENSÃO E 
DEFORMAÇÃO
• Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de 
engenharia dividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do 
corpo de prova A0.
• A deformação específica é encontrada dividindo-se a variação no comprimento 
de referência δ, pelo comprimento de referência inicial L0.
DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO
TIPOS DE FALHAS EM CORPOS DE 
PROVA
MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS
• Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser submetido a
grandes deformações antes da ruptura. Frequentemente, os engenheiros
escolhem materiais dúcteis para o projeto, pois estes são capazes de
absorver choque ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em
geral, grande deformação antes de falhar.
PORCENTAGENS DE 
ALONGAMENTO E REDUÇÃO DE 
ÁREA
• A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura
do corpo de prova expressa como porcentagem.
• A porcentagem de redução de área é definida na região de
estricção
MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS
• Materiais Frágeis: materiais que apresentam pouco ou nenhum
escoamento antes da falha.
LEI DE HOOKE
• A maioria dos materiais da engenharia apresentam relação linear entre tensão
e deformação na região de elasticidade. Essa característica é conhecida como
Lei de Hooke.
• Onde: 
• E = módulo de elasticidade ou constante de 
proporcionalidade.
DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS 
LINEARES
EXERCÍCIO
Supondo que o eixo da figura acima possua um diâmetro de
30mm e esta submetido a uma força de 150.000 N, calcule a
tensão normal atuante e a variação linear no comprimento
(∆L . Dado E = 95 GPa; L = 25cm.
Resposta
a) 212 N/mm²
b) 0,56mm
EXERCÍCIO
Uma força axial de 45kN é aplicada a um bloco de madeira de
pequena altura, que se apoia em uma base de concreto que repousa
sobre o solo. Determine a máxima tensão de esmagamento na base de
concreto (a) e as dimensões da base de concreto para que a tensão no
solo seja de 140 kPA (b)
Resposta
a) 3,6 MPa
b) 567 mm
EXERCÍCIO
A barra circular representada na figura é de aço e possui diâmetro d =
20mm e comprimento linear l = 0,8m. Encontra-se submetida à ação
de uma carga axial de 7,2kN. Determine para a barra:
a) A tensão normal atuante
b) O alongamento
EXERCÍCIO
• Uma barra de alumínio possui uma secção transversal
quadrada com 60 mm de lado, o seu comprimento é de 0,8m.
A carga axial aplicada na barra é de 30 kN. Determine o seu
alongamento. EAl = 70 GPa.
Como o modulo de elasticidade foi dado em Mpa (Mpa = N/mm²), as
unidades de comprimento podem ser convertidas em mm
Resposta
a) 9,52x10-² mm
EXERCÍCIO
• A peça de aço abaixo foi submetida ao ensaio de compressão
e sofreu rupturas com a carga de 32 kN. Calcular a tensão de
ruptura, sendo Eaço = 210 GPa;
Resposta: 40 MPa
kN
EXERCÍCIO
• Uma barra prismática, com seção retangular (25mm x 50mm)
e comprimento L = 3,6m, esta sujeita a uma força axial de
tração 100000 N. O alongamento da barra é de 1,2 mm.
Calcular a tensão de tração e a deformação unitária da barra.
Resposta: 
∈ 3,33𝑥10
𝜎 80𝑀𝑃𝑎 
EXERCÍCIO
• Duas marcas de referência são colocadas a exatamente 250 mm
uma da outra, em uma barra de alumínio com diâmetro de 12
mm. Sabendo que uma força axial de 6.000 N atuando nessa
barra provoca um afastamento entre as marcas de 250,18 mm,
determine o módulo de elasticidade do alumínio utilizado.
Resposta: 73,7 GPa
EXERCÍCIO
• A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e
esta submetida a uma carga axial de 10 kN. Se uma parte do diagrama
tensão-deformação do material é mostrado na figura (b), determinar o
alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada. Suponha que
𝐸 70 𝐺𝑃𝐴
• Às vezes, a tensão é expressa em unidades de
N/mm², em que 1 mm = 10 m. Todavia, o SI não
permite prefixos no denominador de uma fração,
portanto é melhor usar a unidade equivalente
1N/mm² = 1MPa
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA 
BARRA COM CARGA AXIAL
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TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA 
BARRA COM CARGA AXIAL
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TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA 
BARRA COM CARGA AXIAL
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Força resultante
interna Seção transversal
• Valor igual
• Direção oposta
• Colinear à força externa
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA 
BARRA COM CARGA AXIAL
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Força resultante interna
Forças e momentos resultantes 
que agem no interior do corpo
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA 
BARRA COM CARGA AXIAL
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Força resultante
interna
Seção transversal
• Valor igual
• Direção oposta
• Colinear à força externa que age na 
parte inferior da barra
Força resultante interna -> método das seções
TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA 
BARRA COM CARGA AXIAL
• Premissas:
• 1. É necessário que a barra permaneça reta antes e depois da
aplicação da carga; além disso, a seção transversal deve
permanecer achatada ou plana durante a deformação, isto é,
durante o tempo em que ocorrer a mudança no volume e na
forma da barra. Focalizaremos somente a distribuição de
tensão no interior da seção média da barra.
• 2. Para que a barra sofra deformação uniforme é necessário
que P seja aplicada ao longo do eixo do centroide da seção
transversal e que o material seja homogêneo e isotrópico.
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TENSÃO NORMAL MÉDIA MÁXIMA
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Força interna P e área 
da seção transversal
TENSÃO NORMAL MÉDIA MÁXIMA
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Força interna P e área 
da seção transversal
Constantes ao longo do 
eixo longitudinal da barra
Tensão normal constante 
(todo o comprimento da 
barra)
TENSÃO NORMAL MÉDIA MÁXIMA
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• Várias cargas externas ao 
longo de seu eixo
• Mudança em sua área da 
seção transversal.
TENSÃO NORMAL MÉDIA MÁXIMA
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• Várias cargas externas ao 
longo de seu eixo
• Mudança em sua área da 
seção transversal.
Tensão normal no interior 
pode ser diferente de uma 
seção para outra
TENSÃO NORMAL MÉDIA MÁXIMA
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• Várias cargas externas ao 
longo de seu eixo
• Mudança em sua área da 
seção transversal.
Tensão normal no interior 
pode ser diferente de uma 
seção para outra
Determinar o lugar onde a 
razão P/A é um máximo
EXERCÍCIO
• A barra na figura abaixo tem largura constante de 35mm e espessura
de 10mm. Determine a tensão normal média máxima na barra
quando ela esta submetida ao sistema abaixo.
EXERCÍCIO
• A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como
mostra a Figura. Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver
diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal média em cada haste.
EXERCÍCIO
• O elemento AC mostrado na Figura está submetido a uma força 
vertical de 3 kN. Determine a posição x dessa força de modo que a 
tensão de compressão média no apoio liso C seja igual à tensão de 
tração média na barra AB. A área da seção transversal da barra é 400 
mm² e a área em C é 650 mm².
EXERCÍCIO
• As hastes AB e BC têm um diâmetro de 5 mm. Se a carga de 2kN é 
aplicada ao anel, determine a tensão normal média em cada haste se 
𝜃 = 60 °.
TENSÃO ADMISSÍVEL42
Fator de segurança: método para especificação da carga 
admissível para o projeto ou análise de um elemento
Se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada com a 
tensão desenvolvida no interior do elemento, então:
EXERCÍCIO
• Os três fios de aço são usados para suportar a carga. Se os fios 
tiverem uma tensão de tração admissível de 𝜎 = 165MPa, 
determine o diâmetro necessário em cada fio se a carga aplicada for 
P = 6 kN.
EXERCÍCIO
• Se a tensão admissível do rolamento para o material sob os suportes em 
A e B é de 𝜎 1.5 𝑀𝑝𝑎, determine a carga máxima P que pode ser 
aplicada à viga. As placas A’ e B’ têm seções transversais quadradas de 150 
mm x 150 mm e 250 mm x 250 mm, respetivamente.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
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TENSÃO DE CISALHAMENTO
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TENSÃO DE CISALHAMENTO
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• Resultante das forças
internas no plano da
seção é igual a P (Força
cortante)
TENSÃO DE CISALHAMENTO
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• A tensão média de cisalhamento
• 𝜏 tensão de cisalhamento média na seção
• P = Força de cisalhamento interna resultante na seção (equações de
equilíbrio)
• A = Área da seção transversal
TENSÃO DE CISALHAMENTO
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• Encontradas comumente em 
parafusos, pinos e rebites utilizados 
para conectar vários elementos 
estruturais e elementos de máquinas
CISALHAMENTO SIMPLES
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CISALHAMENTO DUPLO
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P
P
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EXERCÍCIO 1
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A barra de ligação de aço mostrada na figura deve suportar uma força de
tração de intensidade P = 120 kN quando é rebitada entre suportes duplos em
A e B. Para a classe do aço a ser utilizado, a tensões de cisalhamento máxima
admissível é de 𝜏 =100 MPa. Determine o valor necessário do diâmetro d do
parafuso.
EXERCÍCIO 2
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• Considere o parafuso de 12,5mm de diâmetro, da junta da figura abaixo.
A força P é igual a 15kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de
cisalhamento, qual o valor dessas tensões, em qualquer uma das seções
transversais m-n ou p-q?.
Resposta: 61 MPa
EXERCÍCIO 3
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• Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como indicado na
figura. Se o diâmetro do rebite é 19mm e a carga P=30 kN, qual a tensão
de cisalhamento no rebite?
Resposta: 105, 8 MPa
EXERCÍCIO 4
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• Três parafusos de aço devem ser utilizados para fixar a chapa de aço
mostrada na figura em uma viga de madeira. Sabendo que a chapa
suportará uma carga de 110 kN, que o limite da tensão de cisalhamento
do aço utilizado é 360 MPa e que é desejado um coeficiente de
segurança 3,35, determine o diâmetro necessário para os parafusos
Resposta: 20,84 mm
EXERCÍCIO 5
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• Determinar o diâmetro dos parafusos para garantir um coeficiente de
segurança igual a 3. O material dos parafusos é dúctil e apresenta tensão
de cisalhamento limite igual a 55MPa
Resposta: 13,17mm
EXERCÍCIO 6
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• O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de
resistência ao cisalhamento de 31kN/cm². Pede-se a força P necessária
para se fazer um furo de 2,5 cm de diâmetro, um uma chapa com 3/8” de
espessura
Resposta: 231,9kN
EXERCÍCIO 7
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• Qual a força mínima necessária que uma tesoura guilhotina deve exercer
para cortar uma chapa de 2mm de espessura (conforme figura) e cujo
comprimento de corte é 1,2m, sabendo-se que a tensão de ruptura ao
cisalhamento do material da chapa é 300MPa?
Resposta: 720kN
EXERCÍCIO 8
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• Determinar as tensões de cisalhamento nos dois rebites destacados na
figura, sabendo-se que seus diâmetros são 6mm e P = 7kN
Resposta: 61,92MPa