Lista 11 de Cálculo 1 - Funções e Limites

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RESOLVA APENAS 4 DAS 5 QUESTÕES ABAIXO
1. Determine o domı́nio máximo da função f(x) =
√
36x2−23
12x−11 . Essa função é injetora? é
inverśıvel? justifique.
O domı́nio máximo de f é o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais a expressão
f(x) =
√
36x2−23
12x−11 é um número real. Isso ocorre quando 36x
2− 23 ≥ 0 e 12x− 11 6= 0.
• 36x2 − 23 ≥ 0 se, e somente se, x ≤ −
√
23
6
ou x ≥
√
23
6
• 12x− 11 6= 0 se, e somente se, x 6= 11
12
Como
√
23
6
= 2
√
23
12
< 2
√
25
12
= 10
12
< 11
12
, segue que, o domı́nio máximo de f(x) =
√
36x2−23
12x−11
é o conjunto
D(f) = {x ∈ R : x 6= 11
12
e |x| ≥
√
23
6
} = (−∞,−
√
23
6
] ∪ [
√
23
6
, 11
12
) ∪ (11
12
,+∞)
f não é injetora, pois f(
√
23
6
) = f(−
√
23
6
) e
√
23
6
6= −
√
23
6
. f também não é inverśıvel
pois, f é inverśıvel se, e somente se, é bijetora e como f não é injetora, não pode ser
bijetora.
2. Dê exemplo de funções f, g : A ⊆ R → R e um número a ∈ R tais que lim
x→a
f(x) e
lim
x→a
g(x) não existem mas lim
x→a
f(x) + g(x) existe.
Sejam f, g : R − {0} → R definidas por f(x) = x+1
x
e g(x) = x−1
x
. Fazendo a = 0
temos,
lim
x→0+
f(x) = +∞ e lim
x→0+
g(x) = −∞
ou seja, como esses limites laterais não existem, os correspondentes limites também
não existem, mas h(x) = f(x) + g(x) = x+1
x
+ x−1
x
= 2x
x
= 2 para todo x ∈ R− {0}.
De onde segue que lim
x→0
f(x) + g(x) = 2
1
Lista de cálculo 1 - Funções e Limites
leona
Caixa de texto
Outro exemplo pode ser dado por f, g : R − {1} → R definidas por f(x) = |x−1|
x−1 e
g(x) = |x−1|
1−x . Neste caso temos que os limites limx→1
f(x) e lim
x→1
g(x) não existem, mas
lim
x→1
f(x) + g(x) = 0.
3. Para quais valores de a, b e L a função f : R → R, definida abaixo, é cont́ınua no
ponto 1. Justifique.
f(x) =

x2+ax+3
x−1 se x < 1
L se x = 1
bx+ 4 se x > 1
Para f ser cont́ınua no ponto 1, devemos ter
lim
x→1
f(x) = lim
x→1−
x2 + ax+ 3
x− 1
= lim
x→1+
bx+ 4 = f(1) = L
Assim,
lim
x→1−
x2 + ax+ 3 = lim
x→1−
(x− 1)(x2 + ax+ 3)
(x− 1)
=
= lim
x→1−
(x− 1) · lim
x→1−
x2 + ax+ 3
x− 1
= 0 · L = 0
Logo, 4 + a = 12 + a · 1 + 3 = lim
x→1−
x2 + ax+ 3 = 0, ou seja, a = −4 e portanto,
L = lim
x→1−
x2 − 4x+ 3
x− 1
= lim
x→1−
(x− 1)(x− 3)
(x− 1)
= lim
x→1−
(x− 3) = −2
Finalmente, L = −2 = lim
x→1+
(bx+ 4) = b+ 4, de onde segue que b = −6.
Provamos, desta forma, que para f ser cont́ınua no ponto 1 devemos ter
a = −4 b = −6 e L = −2
4. Diga se o limite existe ou não. Se o limite existir, calcule-o e se não existir justifique
sua resposta.
a) lim
x→−∞
(2x− 3)(3x+ 5)(4x− 6)
3x3 + x− 1
;
lim
x→−∞
(2x− 3)(3x+ 5)(4x− 6)
3x3 + x− 1
= lim
x→−∞
x(2− 3
x
)x(3 + 5
x
)x(4− 6
x
)
x3(3 + 1
x2
− 1
x3
)
=
= lim
x→−∞
x3(2− 3
x
)(3 + 5
x
)(4− 6
x
)
x3(3 + 1
x2
− 1
x3
)
=
= lim
x→−∞
(2− 3
x
)(3 + 5
x
)(4− 6
x
)
(3 + 1
x2
− 1
x3
)
=
=
2 · 3 · 4
3
= 8
2