Prova_Bolsa_IME_USP_2020_Fev

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Exame de Admissão e Bolsa para o Mestrado em Estat́ıstica
05/02/2020 - IME-USP
Departamento de Estat́ıstica
NOME COMPLETO:
Observações
(1) A prova é individual, sem consultas e com duração de 3 horas.
(2) SEMPRE JUSTIFIQUE AS RESPOSTAS.
(3) Todas as questões tem o mesmo valor. O candidato deve escolher 4 questões entre as 6 para
serem corrigidas.
Indique aqui as questões escolhidas(IMPORTANTE):
Nas questões abaixo, N = {0, 1, 2, . . .} é o conjunto dos naturais, R é o conjunto dos reais,
IA(x) é a função indicadora que vale 1, x ∈ A e zero caso contrário.
1. Uma caixa contém 10 bolas, das quais θ são brancas e 10− θ são verdes, θ ∈ {0, 1, 2, . . . , 10}.
Duas bolas são extráıdas, uma a uma, sem reposiçao, da urna. Seja Xi = 1 se a i-ésima bola
retirada da urna é branca e Xi = 0 se verde , i = 1, 2.
a) Obtenha o estimador de máxima verossimilhança para θ.
b) Verifique se o estimador obtido em (a) é não viciado para θ.
2. Seja (X,Y ) um vetor aleatório com função de densidade de probabilidade conjunta dada por:
f(x, y) =
(2n)!
[(n− 1)!]2
(xy)n−1IS (x, y),
em que n ∈ N e S = {(a, b) ∈ R2+ : a+ b ≤ 1}.
a Verifique se X e Y são independentes.
b Sejam U = XX+Y e V = 1 −X − Y . Obtenha a função densidade do vetor (U, V ). U e V
são independentes?
3. Seja (X1, X2) um vetor aleatório cuja função de probabilidade é dada por
P(X1 = x1, X2 = x2) =
∫
R
θx1+x2 (1− θ)2−x1−x2 f(θ) dθ.
em que f : R→ R+ é tal que
∫ 1
0
f(θ) dθ = displaystyle
∫
R
f(θ) dθ = 1
(a) Mostre que X1 e X2 são variáveis aleatórias identicamente distribúıdas.
(b) Mostre que cor(X1, X2) ≥ 0.
4. Um urna contém N bolas numeradas de 1 a N , N ≥ 2. Um subconjunto de n bolas , n < N
é extráıdo aleatoriamente sem reposição da urna. Seja X a soma dos números marcados nas n
bolas extráıdas da urna.
(a) Determine {P(X ≤ n(n+1)2 + 1).
(b) Determine o valor esperado de X.
(Dica: para k ∈ N, 1 + 2 + . . .+ k = k(k+1)2 ).
5. Sejam X1, X2 e X3 variáveis aleatórias tais que
X1 ∼ Poi(θ), θ > 0, X2|X1 = x1 ∼ Poi(θ(1 + x1)) e X3|X1 = x1, X2 = x2 ∼ Poi(θ(1 + x2)).
(a) Mostre que
3∑
i=1
Xi nãon é suficiente para θ.
(b) Exiba T : N3 → N2 suficiente para θ.
(c) Obtenha o estimador de máxima verossimilhança para θ.
6. Sejam (X,Y ) um vetor aleatório tal que Y é distribúıdo segundo o modelo Geométrico de
parâmetro 13 e X dado Y = y, é distribúıdo uniformemente em {−y,−y + 1, . . . , 0, . . . , y − 1, y},
y ∈ {1, 2, 3, . . .}. Obtenha:
a a esperança e a a variância condicionais de X dado Y = y, y ∈ {1, 2, 3, . . ..
b a probabilidade do evento {E(Y |X) 6= 0}. Qual é a probabilidades do evento {Var(Y |X) >
1}?