Lista de Exercícios - Logaritmo - Com Gabarito Comentado - Prof Aruã Dias

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1. (Enem 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido 
no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia 
abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um 
material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. 
A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material 
radioativo, após t anos, é calculada pela expressão ktM(t) A (2,7) ,=  onde A é a massa inicial e 
k é uma constante negativa. 
 
Considere 0,3 como aproximação para 10log 2. 
 
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se 
reduza a 10% da quantidade inicial? 
a) 27 
b) 36 
c) 50 
d) 54 
e) 100 
 
2. (Espm 2014) Se 2 3 4logx logx logx logx 20,+ + + = − o valor de x é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
 
3. (Espcex (Aman) 2018) A curva do gráfico abaixo representa a função 4y log x= 
 
 
 
A área do retângulo ABCD é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 4
3
6log .
2
 
e) 4log 6. 
 
4. (Enem 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 
120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato 
um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar 
 
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os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é 
a) 24. 
b) 31. 
c) 32. 
d) 88. 
e) 89. 
 
5. (Enem 2011) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como 
WM ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter 
para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo 
público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes 
terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. WM
e 0M se relacionam pela fórmula: 
W 10 0
2
M 10,7 log (M )
3
= − + 
 
Onde 0M é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da 
superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. 
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que 
causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude 
WM 7,3= . 
 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY, Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. 
Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: 
http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). 
 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual 
foi o momento sísmico 0M do terremoto de Kobe (em dina.cm)? 
a) 5,1010− 
b) 0,7310− 
c) 12,0010 
d) 21,6510 
e) 27,0010 
 
6. (Unicamp 2016) A solução da equação na variável real x, xlog (x 6) 2,+ = é um número 
a) primo. 
b) par. 
c) negativo. 
d) irracional. 
 
7. (Enem 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um 
empréstimo no valor de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, 
R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em 
função do número de prestações (n) segundo a fórmula 
 
n
n
5.000 1,013 0,013
P
(1,013 1)
 
=
−
 
 
 
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Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log1,013; 2,602 como aproximação 
para log 400; 2,525 como aproximação para log 335. 
 
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem 
o limite definido pela pessoa é 
a) 12. 
b) 14. 
c) 15. 
d) 16. 
e) 17. 
 
8. (Enem 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um 
devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, 
outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), 
deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala 
Richter pode ser calculada por 
 
0
2 E
M log ,
3 E
 
=  
 
 
 
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e 0E uma constante real positiva. 
Considere que 1E e 2E representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão 
e na China, respectivamente. 
 
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado). 
 
 
Qual a relação entre 1E e 2E ? 
a) 1 2E E 2= + 
b) 21 2E 10 E=  
c) 31 2E 10 E=  
d) 
9
7
1 2E 10 E=  
e) 1 2
9
E E
7
=  
 
9. (G1 - ifpe 2016) Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em 
função do tempo t, em anos, de acordo com a relação 
t
5P 250 (1,2) ,=  sendo t 0= o momento 
em que o estudo foi iniciado. 
 
Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados: log 2 0,3= e 
log 3 0,48.)= 
a) 45 
b) 25 
c) 12 
d) 18 
e) 30 
 
10. (Eear 2017) Se log 2 0,3 e log 36 1,6, então log 3  _____. 
 
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a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Queremos calcular t para o qual se tem M(t) 0,1 A.=  
 
Sabendo que a meia-vida do césio-137 é 30 anos, encontramos 
 
k 30
1
k 30
A A
M(30) A (2,7)
2 2
(2,7) 2 .

−
=   =
 =
 
 
Assim, tomando 0,3 como aproximação para 10log 2, vem 
 
k t
t
1 1
30
t
130
M(t) 0,1 A A [(2,7) ] 0,1 A
10
2
log2 log10
t
log2 1 log10
30
t
0,3 1
30
t 100,
−−
−
−
=    = 
  = 
 
 =
 −  = − 
 −   −
 
 
 
ou seja, o resultado procurado é, aproximadamente, 100 anos. 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Sabendo que bloga b loga,=  para todo a real positivo, vem 
 
2 3 4
2
logx logx logx logx 20 10 logx 20
logx 2
x 10
x 0,01.
−
+ + + = −   = −
 = −
 =
 =
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Sendo S a área do retângulo ABCD, 
( ) ( )C DS 8 2 y y= −  − 
 
C é um ponto do gráfico da função 4y log x,= logo, 
 
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2
C 4
3
C 2
C 2
C
y log 8
y log 2
1
y 3 log 2
2
3
y
2
=
=
= 
=
 
 
D Ay y= e A é um ponto do gráfico da função 4y log x,= logo, 
2
A 4
A 2
A 2
A D
y log 2
y log 2
1
y log 2
2
1 1
y y
2 2
=
=
=
=  =
 
 
Assim, 
( )
3 1
S 8 2
2 2
S 6 1
S 6
 
= −  − 
 
= 
=
 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Começando com 1: 4! = 24 
Começando com 3: 4! = 24 
Começando com 5: 4! = 24 
Começando com 71: 3! = 6 
Começando com 73: 3! = 6 
Começando com 751: 2! = 2 
Começando com 753: 2! = 2 
O próximo será 75913 
 
Logo, 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89 (octogésima nona posição). 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Fazendo M + w + = 7,3, temos: 
10 o
10 o
10 o
27
o
2
7,3 10,7 log M
3
2
18 log M
3
27 log M
M 10
= − + 
= 
=
=
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
 
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Sabendo que calog b c a b,=  = para quaisquer a e b reais positivos, e a 1, temos 
 
2
xlog (x 6) 2 x x 6 0 x 3,+ =  − − =  = 
 
que é um número primo. 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )
( )
máx
n
n n n n
n
n n n
P 400
5000 1,013 0,013
400 400 1,013 1 65 1,013 400 1,013 400 65 1,013
1,013 1
400 400
335 1,013 400 1,013 log 1,013 log n log 1,013 log 400 log 335
335 335
n 0,005 2,602 2,525 n 15,4 16 parcela
=
 
=   − =    − = 
−
 
 =  =  =   = − 
 
 = −  =  s
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Tem-se que 
 
0 0
3M
2
0
3M
2
0
2 E E 3M
M log log
3 E E 2
E
10
E
E E 10 .
   
=  =   
   
 =
 = 
 
 
Daí,como 1M 9= e 2M 7,= vem 
27
2
1 0E E 10=  e 
21
2
2 0E E 10 .=  
 
Portanto, segue que 
 
27
2
1 0
21 6
2 2
0
3
2
E E 10
E 10 10
10 E .
= 
=  
= 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
Para 
0
5
t ? P(t) 3P(0)
P(0) 250 (1,2) P(0) 250
=  =
=   =
 
 
 
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Logo, 
t t
5 5P(t) 3P(0) 250 (1,2) 3 250 (1,2) 3=   =   = 
 
Aplicando logaritmos, temos: 
( )
( )
( )
( )
t
5log(1,2) log3
t 12
log log3
5 10
t
log12 log10 log3
5
t
2log2 log3 log10 log3
5
t
2 (0,3) 0,48 1 0,48
5
t
0,08 0,48 t 30anos
5
 =
 
 = 
 
 − =
 + − =
  + − =
 =  =
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
2log36 log(2 3)
2 (log2 log3)
2 0,3 2 log3
0,6 2 log3.
= 
=  +
  + 
 + 
 
 
Portanto, o resultado é 
 
0,6 2 log3 1,6 log3 0,5.+    