LISTA_DE_EXERCÍCIOS_R1 - FIGURAS PLANAS

Prévia do material em texto

GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 1/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE FIGURAS PLANAS 
Para as figuras planas apresentadas, pede-se determinar as propriedades geométricas que seguem: a 
Área, A, o Perímetro, P, as Coordenadas do Centro de Gravidade 𝒙 e 𝒚, os Momentos de Inercia, Ix’, Iy’, o 
Momento Polar de Inércia, Ip’, e o Produto de Inércia Ix’y’, os Momentos de Inércia máximo e mínimo, 
Imáx e Imin, assim como os Raios de Giração máximo e mínimo, rmáx e rmín. Para cada figura, as 
propriedades deverão ser calculadas relativamente a um sistema de eixos que passa pelo C. G. da mesma. 
Observações: 1) Coordenadas em cm; 2) Respostas com 3 casas decimais; 3) Para as soluções 
computacionais, os lados circulares podem ser aproximados com segmentos de retas. Para tanto, utilizar 
coordenadas polares com um número de segmentos compatível às verificações aproximadas das soluções. 
EXERCÍCIO A. 
 
RESPOSTAS: 
 ÁREA DA FIGURA: 7.000000 cm² 
 PERÍMETRO DA FIGURA: 16.000000 cm 
 COORDENADA X DO C. G.: 3.214286 cm 
 COORDENADA Y DO C. G.: 4.357143 cm 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 9.440476 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 6.011905 cm4 
 PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: 1.714286 cm4 
 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 5.452381 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 5.301824 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 10.150557 cm4 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta1: -22.500000° 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 67.500000° 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmin.: 0.870289 cm 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 1.204192 cm. 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 2/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
EXERCÍCIO B. 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 ÁREA DA FIGURA: 14.000000 cm² 
 PERÍMETRO DA FIGURA: 30.000000 cm 
 COORDENADA X DO C. G.: 0.857143 cm 
 COORDENADA Y DO C. G.: 0.214286 cm 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 140.023810 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 14.380952 cm4 
 PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: 9.428571 cm4 
 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 154.404762 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 13.677348 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 140.727414 cm4 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta1: -4.267772° 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 85.732228° 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmin.: 0.988410 cm 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 3.170482 cm. 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 3/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
EXERCÍCIO C. 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 ÁREA DA FIGURA: 11.000000 cm² 
 PERÍMETRO DA FIGURA: 24.000000 cm 
 COORDENADA X DO C. G.: 3.409091 cm 
 COORDENADA Y DO C. G.: 4.045455 cm 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 25.643939 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 11.825758 cm4 
 PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: -4.454545 cm4 
 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 37.469697 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 10.514233 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 26.955464 cm4 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta1: 16.405683° 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 106.405683° 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmin.: 0.977670 cm 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 1.565406 cm. 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 4/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
EXERCÍCIO D. 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 ÁREA DA FIGURA: 23.500000 cm² 
 PERÍMETRO DA FIGURA: 29.767829 cm 
 COORDENADA X DO C. G.: 2.489362 cm 
 COORDENADA Y DO C. G.: 1.297872 cm 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 51.998227 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 77.455674 cm4 
 PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: -5.050532 cm4 
 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 129.453901 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 51.032854 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 78.421047 cm4 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta1: -10.821150° 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 79.178850° 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmin.: 1.473639 cm 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 1.826764 cm 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 5/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
EXERCÍCIO E: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
 ÁREA DA FIGURA: 28.317466 cm² 
 PERÍMETRO DA FIGURA: 21.157849 cm 
 COORDENADA X DO C. G.: 4.417360 cm 
 COORDENADA Y DO C. G.: 1.802305 cm 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 101.499260 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 48.892427 cm4 
 PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: 21.189352 cm4 
 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 150.391687 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 41.419249 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 108.972438 cm4 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta1: -19.427010° 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 70.572990° 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmin.: 1.209411 cm 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 1.961693 cm. 
 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 6/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
EXERCÍCIO F: 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
 ÁREA DA FIGURA: 22.500000 cm² 
 PERÍMETRO DA FIGURA: 22.606606 cm 
 COORDENADA X DO C. G.: 5.081939 cm 
 COORDENADA Y DO C. G.: 2.386101 cm 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 53.249707 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 5.520987 cm4 
 PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: 5.361191 cm4 
 MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 98.770694 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 42.776591 cm4 
 MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 55.994102 cm4 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. -Teta1: -27.107922° 
 ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 62.892078° 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmin.: 1.378834 cm 
 RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 1.577538 cm. 
 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 7/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
EXERCÍCIO G. 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
 
ÁREA DA FIGURA: 20.497787 cm² 
PERÍMETRO DA FIGURA: 22.995574 cm 
COORDENADA X DO C. G.: -0.684907 cm 
COORDENADA Y DO C. G.: 1.367908 cm 
MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 29.389037 cm4 
MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 51.128444 cm4 
PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: - 7.303578 cm4 
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 80.517481 cm4 
MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 27.163219 cm4 
MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 53.354263 cm4 
ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta1: -16.948983° 
ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 73.051017° 
RAIO DE GIRAÇÃO, rmín.: 1.151164 cm 
RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 1.613359 cm 
 
 
 
 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 8/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
EXERCÍCIO H. 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
ÁREA DA FIGURA: 56.548644 cm² 
PERÍMETRO DA FIGURA: 37.699108 cm 
COORDENADA X DO C. G.: 1.500000 cm 
COORDENADA Y DO C. G.: -1.909859 cm 
MOMENTO DE INÉRCIA, Ix: 302.672954 cm4 
MOMENTO DE INÉRCIA, Iy: 381.703140 cm4 
PRODUTO DE INÉRCIA, Ixy: 161.999899 cm4 
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA, Ip: 684.376094 cm4 
MOMENTO DE INÉRCIA MÍNIMO, Imn: 175.438504 cm4 
MOMENTO DE INÉRCIA MÁXIMO, Imx: 508.937590 cm4 
ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta1: 38.146032° 
ANG. INCL. EIXO PRINC. - Teta2: 128.146032° 
RAIO DE GIRAÇÃO, rmin.: 1.761373 cm 
RAIO DE GIRAÇÃO, rmáx: 2.999999 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 9/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
EXERCÍCIO I. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 10/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
EXERCÍCIO J. 
Determinar o Produto de Inércia. Ix’y’ para a figura dada, relativamente a um sistema de eixos que 
passa pelo C.G. da mesma. 
 
 
 
 
 
 
CENTROS DE GRAVIDADE E ORIENTAÇÕES DOS EIXOS PRINCIPAIS 
 
A) 
 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 11/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
B) 
 
 
C) 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 12/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
D) 
 
 
 
 
 
E) 
 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 13/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
F) 
 
 
 
 
 
 
 
G) 
 
 GNE273 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 14/14 
 Professor Luiz Eduardo 
 
 
 
 
 
H) 
 
I)