Lista de Exercícios - Resismat - Baricentro e Momento de Inércia

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Engenharia 
Disciplina: Resistência dos Materiais 
Professor Tiago Foratto 
 
 
Lista de Exercícios - Resoluções 
 
1) Determinar o Centro de Gravidade (CG) das superfícies hachuradas representas a 
seguir. Unidade [mm] 
 
 
Solução 
Dividir em ÁREAS com representações de figuras geométricas para determinar o centro de 
gravidade nas coordenadas em x e y. 
Item A 
 
Área (A1) 
x = 80mm ( Eixo horizontal) 
y = 10mm ( Eixo vertical) 
 
 
 
 
A1 = b x h = 80mm x 10 mm = 800 mm² 
 
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XG = b/2 e YG = h/2 
X1 = 80mm/2 = 40 mm 
Y1 = 10mm/2= 5 mm 
 Área A2 = A3 
Eixo x = 10mm (Eixo horizontal) 
Eixo y = 60mm (Eixo vertical) 
 
 
 
 
 
 
 
A2 = b x h = 10mm x 60mm = 600mm² 
X2 = b/2 = 10mm/2 = 5 mm 
Y2 = h/2 = 60mm/2 = 30 mm 
Área A4 
Eixo x = 130mm (Eixo horizontal) 
Eixo y = 10mm (Eixo vertical) 
 
 
 
A4 = b x h = 130 mm x 10 mm = 1300 mm² 
X4 = b/2 = 130mm/2 = 65 mm 
Y4 = h/2 = 10mm/2 = 5 mm 
 
 
𝑋𝐺 = 
𝐴1 ∗ 𝑋1 + 𝐴2 ∗ 𝑋2 + 𝐴3 ∗ 𝑋3 + 𝐴4 ∗ 𝑋4
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4
 
 
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𝑋𝐺 = 
800 ∗ 400 + 600 ∗ 5 + 600 ∗ 5 + 1300 ∗ 65
800 + 600 + 600 + 1300
 
 
𝑋𝐺 =
122500
3300
 ⩰ 37,12 𝑚𝑚 
 
𝑌𝐺 =
𝐴1 ∗ 𝑌1 + 𝐴2 ∗ 𝑌2 + 𝐴3 ∗ 𝑌3 + 𝐴4 ∗ 𝑌4
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4
 
 
𝑌𝐺 =
800 ∗ 5 + 600 ∗ 30 + 600 ∗ 30 + 1300 ∗ 5
800 + 600 + 600 + 1300
 
 
 
𝑌𝐺 =
46500
3300
 ⩰ 14,090 𝑚𝑚 
 
 
Item b 
Área (A1) 
x = 10mm (Eixo horizontal) 
y = 50mm (Eixo vertical) 
 
 
 
 
 
A1 = b*h = 10mm*50mm = 500mm² 
X1 =b/2 =10mm/2 = 5mm 
Y1 = h/2 = 50mm/2 = 25mm 
 
 
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Área (A2) 
x = 70 mm 
y= 10 mm 
A2 = b x h = 70mm x 10 mm =700 mm² 
X2 = b/2 = 70mm/2 = 35mm 
Y2 = h/2 = 10mm/2 = 5mm 
 
 
 
 
 
 
𝑋𝐺 =
𝐴1 ∗ 𝑋1 + 𝐴2 ∗ 𝑋2
𝐴1 + 𝐴2
 
 
𝑋𝐺 =
500 ∗ 5 + 700 ∗ 35
500 + 700
 
 
𝑋𝐺 =
27000
1200
 ⩰ 22,5 𝑚𝑚 
 
𝑌𝐺 =
500 ∗ 25 + 700 ∗ 5
500 + 700
 
 
𝑌𝐺 =
16000
1200
 ⩰ 13,33 𝑚𝑚 
 
 
 
 
 
 
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2) Determinar o Centro de Gravidade (CG) do perfil composto conforme figura. 
 
(1) Chapa 140 x 10 [mm] 
(2) Viga U 6`` X 2`` h = 152,4 mm 
Área da secção = 24,7 cm² 
Distância entre vigas U = 10 mm 
Perfil composto simétrico. 
 
 
Solução 
A1 = 140 mm x 10 mm = 1400 mm² 
X1 = b/2 = 140 mm/2 = 70 mm 
Y1 = h/2 = 10 mm/2 = 5 mm 
Área da Secção = Área Total = 24,7 cm² 
 
1 cm² _________ 100mm² 
24,7 cm² _________ x 
 
 
 
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x = 24,7*100 
x = 2470 mm² 
 
AT = A1 + A2 
2470 mm² =1400 mm² + A2 
2470 mm² - 1400 mm² = A2 
A2 = 1070 mm² 
Como o enunciado diz que o perfil é simétrico, para calcular X2: 
X2 = b/2 = 152,4 mm / 2 = 76,2 mm 
Como YG = 13,1mm descobrir a variável XG 
𝑋𝐺 = 
𝐴1 ∗ 𝑋1 + 𝐴2 ∗ 𝑋2
𝐴1 + 𝐴2
 
 
𝑋𝐺 = 
1400 ∗ 70 + 1070 ∗ 76,2
1400 + 1070
 
 
𝑋𝐺 = 
102900 + 81534
2470
 
 
𝑋𝐺 = 
184434 
2470
 ⩰ 74,66 𝑚𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Determinar os momentos de inércia, raios de giração e módulos de resistência das 
seguintes secções transversais, relativos aos eixos baricêntricos x e y. Unidade [mm] 
 
 
 
Solução 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h/2 
- h/2 
h 
-b/2 b/2 
 
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Esse primeiro passo será feito por meio do cálculo diferencial e integral para descobrir o 
momento de inércia de uma figura plana, aplicando o Teorema de Steiner conhecido como o 
Teorema dos Eixos Paralelos. 
Eixo Verde ( da= bdy), no qual calculo o momento de inércia em relação ao momento de 
inércia Jx 
Eixo vermelho ( da = hdx), no qual calculo o momento de inércia em relação ao momento de 
inércia Jy 
Calculando Jx 
𝐽𝑥 = ∫ 𝑦²𝑑𝐴
ℎ/2
−ℎ/2
 
 
𝐽𝑥 = ∫ 𝑦²𝑏𝑑𝑦
ℎ/2
−ℎ/2
 
 
𝐽𝑥 = 𝑏 ∫ 𝑦²𝑑𝑦
ℎ/2
−ℎ/2
 
 
𝐽𝑥 = 𝑏 ∗ 
𝑦3
3
 
 
 
𝐽𝑥 = 
𝑏
3
∗ ( (
ℎ
2
 )
3
− (−
ℎ
2
)
3
) 
𝐽𝑥 = 
𝑏
3
∗ ( 
ℎ3
8
+
ℎ³
8
) 
𝐽𝑥 = 
𝑏
3
∗ ( 
2ℎ3
8
) = 
2ℎ3𝑏
24
=
ℎ³𝑏
12
 
- h/2 
h/2 
 
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𝐽𝑦 = ∫ 𝑥²𝑑𝐴
𝑏/2
−𝑏/2
 
 
𝐽𝑦 = ∫ 𝑥2ℎ𝑑𝑥
𝑏/2
−𝑏/2
 
𝐽𝑦 = ℎ ∫ 𝑥²𝑑𝑥
𝑏/2
−𝑏/2
 
 
𝐽𝑦 = ℎ ∗ 
𝑥3
3
 
 
 
𝐽𝑦 = 
ℎ
3
∗ ( (
𝑏
2
 )
3
− (−
𝑏
2
)
3
) 
 
𝐽𝑦 = 
ℎ
3
∗ ( 
𝑏3
8
+
𝑏³
8
) 
 
𝐽𝑦 = 
ℎ
3
∗ ( 
2𝑏3
8
) = 
2ℎ𝑏³
24
=
ℎ𝑏³
12
 
 
Calculando 
𝐽𝑥 =
ℎ³𝑏
12
=
(180𝑚𝑚)3 ∗ 120𝑚𝑚
12
 ⩰ 58, 32𝑥106𝑚𝑚4 
-b/2 
b/2 
 
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𝐽𝑦 =
ℎ𝑏³
12
=
180𝑚𝑚 ∗ (120𝑚𝑚)³
12
 ⩰ 25,92𝑥106𝑚𝑚4 
 
Raio de Giração 
𝑖𝑥 = 
ℎ√3
6
= 
180√3
6
= 30√3 ⩰ 51,96 𝑚𝑚 
𝑖𝑦 = 
𝑏√3
6
= 
120√3
6
= 20√3 ⩰ 34, 64mm 
Módulo de Resistência 
𝑊𝑥 = 
𝑏 ∗ ℎ²
6
= 
120𝑚𝑚 𝑥 (180𝑚𝑚)²
6
= 648𝑥103𝑚𝑚3 
 
𝑊𝑦 = 
ℎ ∗ 𝑏²
6
= 
180𝑚𝑚 𝑥 (120𝑚𝑚)²
6
= 432𝑥103𝑚𝑚3 
 
Item b (Círculo) 
Momento de Inércia 
𝐽𝑥 = 𝐽𝑦 = 
𝜋 ∗ 𝑑4
64
= 
𝜋 ∗ (250𝑚𝑚)4
64
⩰ 191,74𝑥106𝑚𝑚4 
Raio de Giração 
𝑖𝑥 = 𝑖𝑦 = 
𝑑 
4
= 
250𝑚𝑚
4
= 62,5 𝑚𝑚 
Módulo de Resistência 
𝑊𝑥 = 𝑊𝑦 = 
𝜋 ∗ 𝑑3
32
= 
𝜋 ∗ (250𝑚𝑚)3
32
 ⩰ 1,533𝑥 106𝑚𝑚4 
 
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Item C (Quadrado) 
Momento de Inércia 
𝐽𝑥 = 
ℎ4
12
= 
(80𝑚𝑚)4
12
 ⩰ 3,413𝑥106𝑚𝑚4 
Raio de Giração 
𝑖𝑥 = 
ℎ
√12
= 
80
√12
 ⩰ 23,09𝑚𝑚 
 
Módulo de Resistência 
𝑊𝑥 = 
ℎ3
6
= 
(80𝑚𝑚)3
6
 ⩰ 85,33 𝑥103𝑚𝑚3 
 
Item D (Triângulo – Retângulo) 
Momento de Inércia 
𝐽𝑥 = 
𝑏 ∗ ℎ³
36
= 
120𝑚𝑚 ∗ (120𝑚𝑚)³
36
 ⩰ 5,76𝑥106𝑚𝑚4 
 
Nota: Para Jy o valor será igual, porque os dois catetos são 
120mm. 
Raio de Giração 
𝑖𝑥 = 
ℎ√2
6
= 
120 √2
6
 ⩰28,28 mm 
 
 
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𝑖𝑦 = 
𝑏√2
6
= 
120 √2
6
 ⩰28,28 mm 
 
Módulo de Resistência 
𝑊𝑥 = 
𝑏 ∗ ℎ²
24
= 
120𝑚𝑚 ∗ (120𝑚𝑚)2
24
 ⩰ 72𝑥103𝑚𝑚3 
𝑊𝑦 = 
𝑏² ∗ ℎ
24
= 
(120𝑚𝑚)² ∗ 120𝑚𝑚
24
 ⩰ 72𝑥103𝑚𝑚3