AULA 01

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Aula 01
Estatística p/ AFRFB - 2017 (Com videoaulas)
Professor: Jeronymo Marcondes
Estatística p/ AFRFB 2017 
Teoria e exercícios comentados 
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AULA 01: Medidas de Posição e Dispersão 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Medidas de Posição Central (ou locação) 2 
Medidas de Dispersão 10 
Medidas Separatrizes e Simetria 17 
Tabelas de Frequências e medidas de posição e dispersão 27 
Lista de Exercícios resolvidos em aula 100 
Gabarito 132 
 
 
 
E aí pessoal? Firmes no propósito? 
 
É muito importante que vocês não desanimem com a prova chegando! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prontos? Então, vamos logo! 
 
 
 
 
 
 
 
Dica de um concurseiro 
 
A sua rotina de estudos deve ser regrada como uma vida de 
monge. Não entendam mal, não estou falando em quantidade, 
mas em regularidade. Por exemplo, se você tem 2 horas 
livres para estudar, você vai estudar 2 horas todos os dias! 
Faça chuva ou faça sol, você vai estudar as suas duas horas! 
Seja “quadrado”! 
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1. Medidas de Posição Central (ou locação) 
 
Na última aula nós estudamos como resumir dados por meio de tabelas, gráficos e 
diagramas. Porém, muitas vezes, pode ser útil resumir todas as informações que 
temos em um número. 
 
Uma forma utilizada para tanto, são as famosas medidas de posição! No nosso 
caso, vamos estudar as medidas de tendência central. 
 
Olha, as medidas de tendência central vão te dar uma ideia dos valores aproximados 
em torno do qual as observações se agrupam. Há diversos tipos de medidas de 
tendência central, tais como a mediana, a moda, a média aritmética, a média 
geométrica e a média harmônica. 
 
Para estudarmos estas medidas, vamos nos basear no seguinte rol exemplificativo: 
 迎剣健┺ など┸なの┸にね┸にね┸にね┸にひ┸にひ┸ぬは┸ぬは┸ねの┸はの 
 
Vamos começar com a média! Mais especificamente, a média aritmética. 
 
Pessoal, todo mundo já deve ter ouvido falar na média aritmética, sendo que a maior 
parte das pessoas refere-se a mesma como, simplesmente, média. Isso não é à toa, 
pois essa é a forma mais comum de expressar uma média. 
Mais simples, impossível! Voltando ao nosso exemplo, para 
calcularmos a média, basta somarmos todas as observações e dividirmos este 
somatório pelo número total de observações (no nosso exemplo, 11). 
 
No nosso exemplo: 
 警é穴件欠 噺 など 髪 なの 髪 にね 髪 にね 髪 にね 髪 にひ 髪 にひ 髪 ぬは 髪 ぬは 髪 ねの 髪 はのなな 噺 ぬど┸はぬ 
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Viram como é fácil? Outra forma de apresentar esta mesma média é por meio da 
atribuição de pesos às observações, ou melhor, levando-se em conta suas 
respectivas frequências. 
 
Como? Bom, para começar vamos colocar nosso rol em forma de uma tabela de 
frequências. 
 
Observação Frequência 
10 1 
15 1 
24 3 
29 2 
36 2 
45 1 
65 1 
 
Ao ponderarmos os valores da tabela pelas suas frequências absolutas, o que 
estamos fazendo é atribuir pesos a cada uma das observações, de forma que 
indiquemos quantas vezes cada observação aparece em nossa série. Neste caso, 
multiplique cada uma das observações pela sua respectiva frequência e divida este 
total pelo somatório do total de frequências: 
 警é穴件欠 噺 岫など ゲ な岻 髪 岫なの ゲ な岻 髪 岫にね ゲ ぬ岻 髪 岫にひ ゲ に岻 髪 岫ぬは ゲ に岻 髪 ねの 髪 はのなな 噺 ぬど┸はぬ 
 
Dá para ver que dá na mesma? Claro que dá, ao invés de somarmos todas as 
observações, só estamos multiplicando cada uma delas pelo total de vezes que ela 
aparece na série, o que é a mesma coisa! 
 
Vamos deixar bonito! Se chamarmos a i-ésima observação de uma série de 捲沈, de 券 
o total de observações e considerarmos み como símbolo de somatório de um conjunto 
de dados, a média aritmética será dada por: 
 警é穴件欠 畦堅件建兼é建件潔欠 噺 み捲沈券 
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Se quisermos uma fórmula para o caso da média aritmética calculada com as 
frequências: 
 警é穴件欠 畦堅件建兼é建件潔欠 噺 み岫血沈 ゲ 捲沈岻券 噺 み岫血沈 ゲ 捲沈岻み血沈 
 
Vou deixar a cargo de vocês encontrarem a fórmula para o caso em que estivermos 
usando frequências relativas. 
 
Beleza? Mas, este não é o único tipo de média! 
 
Outra média, mas que nos dá resultados diferentes da anterior é a média 
geométrica. 
 
Você calcula a média geométrica do nosso exemplo assim: 
 警é穴件欠 罫結剣兼é建堅件潔欠 噺 ヂなど ゲ なの ゲ にね ゲ にね ゲ にね ゲ にひ ゲ にひ ゲ ぬは ゲ ぬは ゲ ねの ゲ はの迭迭 
 
Ou, de forma mais genérica, no caso de 券 observações: 
 警é穴件欠 罫結剣兼é建堅件潔欠 噺 紐捲怠 ゲ 捲態 ゲ ┼ 捲津韮 
 
Percebe? Você vai tirar uma raiz n-ésima do produto de uma série de n elementos. 
Isso é média geométrica. 
 
Mais uma? A média harmônica. 
 
Para o nosso exemplo: 
 警é穴件欠 茎欠堅兼ô券件潔欠 噺 ななななど 髪 ななの 髪 なにね 髪 なにね 髪 なにね 髪 なにひ 髪 なにひ 髪 なぬは 髪 なぬは 髪 なねの 髪 なはの 
 
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Já que vocês gostam tanto de generalizações: 
 警é穴件欠 茎欠堅兼ô券件潔欠 噺 券な捲怠 髪 な捲態 髪 橋 な捲津 
 
-“Professor, eu entendi, mas porque você está falando só superficialmente das 
médias geométrica e harmônica”? 
 
Pelo seguinte, meu querido aluno: não cai muito em prova! 
 
 
Obs. Relação entre as médias 
 
Uma das coisas mais cobradas com relação aos tipos de médias é a relação entre 
elas no que se refere à magnitude de cada resultado. 
 
Pode-se provar que, para um determinado rol de valores: 
 警é穴件欠 畦堅件建兼é建件潔欠 半 警é穴件欠 罫結剣兼é建堅件潔欠 半 警é穴件欠 茎欠堅兼ô券件潔欠 
 
Calcule cada uma das médias para o nosso exemplo, você perceberá que isso é 
verdade. 
 
Ok? Vamos partir para outra medida de posição central: a moda! 
A moda é definida como a realização mais frequente do 
conjunto de valores observados. 
 
Voltemos ao nosso exemplo. Perceba que a observação que tem valor igual à 24 é a 
que aparece a maior quantidade de vezes ao longo da série. Essa é a moda! 
 
 
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Uma forma que facilita enxergar a moda é com base em tabelas de frequência, tal 
como construímos acima. Isso porque, basta verificar qual é a observação que mais 
ocorre. 
Guarde assim, quando você pensa em “moda”, você, 
provavelmente, pensa em algo que todo mundo está fazendo ou usando, certo? 
Então, a moda de uma série é a “roupa” que as observações mais gostam de usar, 
ou seja, é a realização que mais ocorre. 
 
 
Beleza? E a mediana? 
A mediana é a realização que ocupa a posição central da 
série de observações. 
 
Vamos voltar ao nosso exemplo acima. Naquele caso temos 11 observações, 
portanto a mediana da série é aquela observação que separa a série em duas partes 
iguais. 
 
Não precisa pensar muito para saber que deve ser a sexta observação, pois neste 
caso, haverá cinco observações antes e depois da mesma. No exemplo, a mediana 
será a primeira observação de número igual à 29. 
 
Neste caso fica fácil, mas vamos tornar o procedimento mais analítico. 
Se considerarmos que o número de observações pode 
ser chamado de 仔, a mediana será a observação da amostra número 仔袋層匝 . 
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Portanto, como temos 11 observaçõesem nosso exemplo, a mediana será a 
observação número 
層層袋層匝 噺 掃. 
 
-“Tudo bem professor, mas e se o número de observações for par”? 
 
Boa pergunta! Se o número de observações for par, não há observação que divide a 
série em duas partes iguais! Neste caso, você vai tirar uma média aritmética das duas 
que dividem! 
 
Não entendeu? Vamos lá, suponha que nosso rol contenha mais uma observação: 
 迎剣健┺ など┸なの┸にね┸にね┸にね┸にひ┸にひ┸ぬは┸ぬは┸ねの┸はの┸ぱど 
 
Neste caso, temos 12 observações, portanto não há uma única variável que divida o 
rol em duas partes iguais. Assim, para encontrar a observação: 
 仔 髪 層匝 
No nosso exemplo: 
 層匝 髪 層匝 噺 掃┸ 捜 
 
Portanto, a nossa mediana está em algum ponto entre a sexta e a sétima observação. 
 
-“Mas, este ponto não existe”! 
 
Existe sim! Trata-se do ponto médio entre a sexta e a sétima observação! No nosso 
caso, a sexta e a sétima observação tem valor igual à 29, assim: 
 にひ 髪 にひに 噺 にひ 
 
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Então, nossa mediana tem valor igual à 29. 
 
Certo? Vamos estudar agora algumas propriedades destas medidas de posição. 
 
 
1.1 Propriedades das medidas de posição central 
 
A ideia desta seção consiste no conceito de operador estatístico. 
 
Por meio de um operador estatístico pode-se aplicar determinada operação a 
um conjunto de dados. 
 
Por exemplo, podemos aplicar o operador “média aritmética” em um conjunto de 
dados o que nos dará como resultado a aplicação da seguinte operação no rol: 
 警é穴件欠 畦堅件建兼é建件潔欠 噺 隙博 噺 み捲沈券 
 
Percebe como funciona? Chame o conjunto de dados de 隙, assim, se aplicarmos o 
operador “média aritmética”: 
 警é穴件欠岫隙岻 噺 ぬど┸はぬ 
 
Trata-se tão somente de uma forma simplificada de representar a aplicação de uma 
determinada operação a um conjunto de dados. Isso nos será muito útil em 
explicações posteriores. 
 
Nesta seção, iremos estudar como o operador média responde a determinadas 
operações, tal como a multiplicação de todas as observações por um valor fixo 
qualquer, por exemplo. 
 
 
 
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Assim, vamos a estas propriedades. 
 
1) Se somarmos (subtrairmos) todas as observações com um determinado 
valor fixo, tal como x, toda a média terá resultado igual ao anterior à 
operação mais (menos) x. 
 
Entendeu? Vamos a um exemplo, com base no nosso rol de dados: 
 迎剣健┺ など┸なの┸にね┸にね┸にね┸にひ┸にひ┸ぬは┸ぬは┸ねの┸はの 
 
Vamos somar 10 em cada uma das observações, de forma que o novo rol seja: 
 迎剣健┺ にど┸にの┸ぬね┸ぬね┸ぬね┸ぬひ┸ぬひ┸ねは┸ねは┸のの┸ばの 
 
Tire a média: 
 警é穴件欠 噺 ねど┸はぬ 
 
Ora, este é o mesmo resultado anterior mais 10! Essa é a propriedade. Isso vale para 
uma subtração também. 
 
Para uma constante 欠: 
 警é穴件欠岫欠 髪 隙岻 噺 隙博 髪 欠 
 
Teste! 
 
2) Se multiplicarmos (dividirmos) todas as observações de uma amostra por 
um determinado valor fixo, tal como x, a média terá resultado igual ao 
anterior à operação vezes (dividido por) x. 
 
Mesma coisa. Multiplique cada uma das observações do rol por 2: 
 
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迎剣健┺ にど┸ぬど┸ねぱ┸ねぱ┸ねぱ┸のぱ┸のぱ┸ばに┸ばに┸ひど┸なぬど 
 
 
Qual é a média? 
 警é穴件欠 噺 はな┸にば 
 
Que é o mesmo resultado anterior multiplicado por 2. 
 
Para uma constante 欠: 
 警é穴件欠岫欠 糾 隙岻 噺 隙博 糾 欠 
 
Tente para o caso da divisão! 
 
 
2. Medidas de Dispersão 
 
As medidas de dispersão visam tornar a avaliação do conjunto de dados por meio de 
estatísticas-resumo mais próximas da realidade. A simples observação da média não 
nos diz muita coisa sobre um conjunto de dados, a título d eilustração, observe o 
seguinte rol de dados: 
 迎剣健┺ ひ┹ など┹ のど 迎剣健┺ にに┹ にね 
 
A média para ambos os rols será de 23. 
 
Suponha que você não consiga visualizar o rol, mas só o resultado da média. Você 
acha que esta medida resumo explica bem como os dados estão dispostos? 
 
Claro que não! Isso porque há uma intensa variabilidade dentro do conjunto de 
dados no primeiro rol, o que não ocorre no segundo. 
 
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Um exemplo bem fácil pode ser detido da análise de um caso de tiro ao alvo! Suponha 
que você dê dois tiros, se você acertar ambos no alvo, na média, você acertou no 
alvo. Agora, se você der dois tiros e um deles ficar 50 metros acima do alvo, enquanto 
o segundo ficar 50 metros abaixo, na média, você acertou no alvo. Qual o problema 
do argumento? Você não levou em conta a variabilidade! 
 
-“Bom, então eu devo encontrar uma medida que mostra o quanto as observações 
estão desviando da média”. 
 
Essa é a ideia! Você pode pensar que uma “média dos desvios de cada observação 
com relação à média” pode nos ajudar a identificar quando há uma intensa 
variabilidade nos dados. 
 
Porém, isso não é possível. Pois, a soma dos desvios de uma série com relação 
à média sempre é igual à zero! 
 
Vamos ao exemplo do nosso primeiro rol de dados: 
 迎剣健┺ ひ┹ など┹ のど 
 
Agora, chamando cada observação de 捲沈 e a média da série de 捲違, calculemos o 
somatório dos desvios com relação à média, de forma que: 
 み岫捲沈 伐 捲違岻 噺 岫ひ 伐 にぬ岻 髪 岫など 伐 にぬ岻 髪 岫のど 伐 にぬ岻 噺 宋 
 
Viram? Isso não é uma coincidência. Isso ocorre sempre! 
 
-”O que fazer então”? 
 
Bom, podemos “trapacear”, criando formas alternativas de mensurar este desvio. 
 
Uma delas é a medida “desvio médio”: 
 
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 経結嫌懸件剣 警é穴件剣 噺 み】捲沈 伐 捲違】券 
 
Para o caso de n observações. 
 
Este “traço” vertical que fica em volta do desvio é chamado de módulo. Qualquer 
número em módulo retorna um valor positivo. Ou seja, aqueles desvios negativos no 
exemplo serão somados como se fossem positivos, assim: 
 経結嫌懸件剣 警é穴件剣 噺 み】捲沈 伐 捲違】券 噺 】ひ 伐 にぬ】 髪 】など 伐 にぬ】 髪 】のど 伐 にぬ】ぬ 噺 なね 髪 なぬ 髪 にばぬ 噺 層掻 
 
Percebeu? Este número 18 seria representativo do desvio médio nas 
observações! 
 
Outra possibilidade é a medida de dispersão variância: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 み岫捲沈 伐 捲違岻態券 
 
Você pode perceber que esta medida também “resolve” o problema do somatório ser 
igual à zero, pois os valores serão elevados ao quadrado. Veja: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 み岫捲沈 伐 捲違岻態券 噺 岫ひ 伐 にぬ岻ふ 髪 岫など 伐 にぬ岻ふ 髪 岫のど 伐 にぬ岻ふぬ 噺 なひは 髪 なはひ 髪 ばにひぬ 噺 ぬはね┸はは 
 
Mas, isso pode causar um problema de interpretação, pois as variáveis resultantes 
estão elevadas ao quadrado. Então, uma medida muito útil é o desvio padrão, que 
nada mais é do que a raiz quadrada da variância: 
 
経結嫌懸件剣 鶏欠穴堅ã剣 噺 俵み岫捲沈 伐 捲違岻態券 
 
 
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No nosso caso: 
 
経結嫌懸件剣 鶏欠穴堅ã剣 噺 俵み岫捲沈 伐 捲違岻態券 噺 なひ┸どは 
 
Perceba que o valor fica mais próximo do desvio médio, permitindo uma comparação 
mais acurada. 
 
Pessoal, muitas vezes fica difícil calcular a variância 
em uma prova, já que você tem pouco tempo. Portanto, precisamos de uma 
maneira mais fácil e direta, assim, pode-se provar que: 
 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 
 
-“Não entendi”! 
 
Bom, vamos ao nosso famoso exemplo. Primeira coisa, vamos fazer uma tabela com 
as observações e seus valores ao quadrado: 
 
 Observações Quadrados 
 9 81 
 10 10050 2500 
Média 23 893,66 
 
Agora use nossa fórmula: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 噺 ぱひぬ┸はは 伐 のにひ 噺 ぬはね┸はは 
 
 
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Ora, mas esta não é a variância? Exatamente! Dá na mesma, mas, vai por mim, 
isso vai te ajudar demais na resolução de provas. Portanto, decore! 
 
2.1 Propriedades da variância e do desvio padrão 
 
Pessoal, tal como eu fiz no caso da média, não vou ficar derivando as propriedades 
da variância e do desvio padrão, apenas decorem! 
 
1) Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para 
cálculo da variância (惨珊司) ou de seu respectivo desvio padrão (拶皿), o 
resultado ficará inalterado. 
 
Veja pessoal, vamos pegar nosso exemplo: 
 迎剣健┺ ひ┹ など┹ のど 
 
Agora vamos diminuir 3 de cada observação: 
 迎剣健┺ は┹ ば┹ ねば 
 
Agora, calcule a variância (nova média igual à 20): 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 み岫捲沈 伐 捲違岻態券 噺 岫は 伐 にど岻ふ 髪 岫ば 伐 にど岻ふ 髪 岫ねば 伐 にど岻ふぬ 噺 なひは 髪 なはひ 髪 ばにひぬ 噺 ぬはね┸はは 
 
Ora, deu na mesma! O mesmo pode-se dizer do desvio padrão, pois se trata de 
raiz quadrada do mesmo número. Isso também vale sempre! 
 
Para quem gostou de analisar as propriedades com base em operadores, para um 
dado valor fixo 欠: 
 
 
 
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Para uma constante 欠: 
 撃欠堅岫欠 髪 隙岻 噺 撃欠堅岫隙岻 
 経鶏岫欠 髪 隙岻 噺 経鶏岫隙岻 
 
2) Ao multiplicar (dividir) todas as observações de uma série por um 
determinado valor fixo, tal como x, a variância resultante ficará 
multiplicada (dividida) por x², enquanto que o desvio padrão resultante 
ficará multiplicado (dividido) por x. 
 
Olha, um jeito legal de pensar é que “variância lembra quadrados”, enquanto que o 
desvio padrão é a raiz da mesma, portanto o resultado será com a variável em nível, 
isso é sem estar elevada a nada. 
 
Vamos ao nosso exemplo, vamos multiplicar todas as observações por 2: 
 迎剣健┺ なぱ┹ にど┹ などど 
 
Agora, calcule a variância (nova média igual à 46): 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 み岫捲沈 伐 捲違岻態券 噺 岫なぱ 伐 ねは岻ふ 髪 岫にど 伐 ねは岻ふ 髪 岫などど 伐 ねは岻ふぬ 噺 ばぱね 髪 はばは 髪 にひなはぬ 噺 なねのぱ┸はは 
 
Ora, divida este valor por にふ 噺 ね que você vai encontrar a variância original. 
 
E o desvio padrão? Neste caso o fator não multiplica ao quadrado. 
 経結嫌懸件剣 鶏欠穴堅ã剣 噺 紐なねのぱ┸はは 噺 ぬぱ┸なひ 
 
Perceba que este valor é igual ao resultado original 19,09 multiplicado por 2. 
 
 
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Para quem quiser um jeitinho fácil de lembrar, ao multiplicar as observações de uma 
série por x, a variância ficará multiplicada por x² e o desvio padrão por x porque: 
 姉 糾 拶蚕史士餐伺 皿珊纂司ã伺 噺 紐姉ふ ゲ 惨珊司餐â仔算餐珊 
 
Não está satisfeito? Então veja em forma de operadores: 
 撃欠堅岫欠 糾 隙岻 噺 欠ふ 糾 撃欠堅岫隙岻 経鶏岫欠 糾 隙岻 噺 欠 糾 経鶏岫隙岻 
 
Obs. Coeficiente de Variação 
 
Conceito simples e que sempre cai em prova. Pessoal, o desvio padrão é muito 
afetado pelo valor absoluto dos dados analisados, o que dificulta a comparação de 
duas séries com valores muito diferentes. Assim, costuma-se utilizar o conceito de 
coeficiente de variação (潔懸): 
 潔懸 噺 経鶏岫隙岻隙博 
 
Entenderam? Divida o desvio padrão calculado de cada série pela sua respectiva 
média aritmética. Este conceito permite comparações entre os desvios padrões de 
séries com valores muito diferentes. 
 
Guarde isso, pois cai muito! 
 
Beleza pessoal? Vão tomar uma água e voltem logo para continuarmos com as 
medidas separatrizes. 
 
 
 
 
 
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3. Medidas separatrizes e assimetria 
 
Outra forma de visualizar uma distribuição e de podermos representa-la é por meio 
de suas medidas separatrizes, isso é observações que “separam” os dados de uma 
série de forma bem específica. Isso é feito por meio dos percentis. 
Percentil de ordem p significa o valor da observação que 
não é superado por p% das observações da série. 
 
Nós já estudamos uma medida deste tipo: a mediana. Ela divide o conjunto de dados 
em duas partes iguais, tal que metade das observações possuirá valores menores do 
que ela e metade terá valores maiores. Na verdade, ela é um percentil de ordem 50. 
 
Outro exemplo de medida separatriz é o quartil. Os quartis são as observações 
que dividem a série em quatro partes iguais. 
 
Os quartis separam uma série de dados em quatro partes iguais, de forma que o 
primeiro quartil é o valor que não é superado por 25% das observações. Na mesma 
linha, o segundo quartil coincide com a mediana, possuindo valor que não é superado 
por 50% das observações, enquanto que o terceiro quartil tem valor superior a 75% 
das observações. 
 
Outro exemplo: os decis. Estes dividem a série de dados em 10 partes iguais! Por 
exemplo, o 1º decil possui valor que não é superado por 10% das observações. E por, 
aí vai. 
 
Mas, apesar de existirem infinitas possibilidades de percentis, o que nos interessa, 
para fins de prova, são a mediana e os quartis. Já estudamos a mediana, portanto, 
vamos nos aprofundar nos quartis. 
 
 
 
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Olhem o exemplo abaixo: 
 迎剣健┺ に┹ ぬ┹ は┹ ぱ┹ ひ┹ など┹ なぬ┹ なの┹ なぱ┹ にな┹ にぬ 
 
Veja quais são as observações que dividem a série em quatro partes iguais: 
 迎剣健┺ に┹ ぬ┹ 掃┹ ぱ┹ ひ┹ 層宋┹ なぬ┹ なの┹ 層掻┹ にな┹ にぬ 
Assim: 
 
1º quartil: 6 
2º quartil: 10 
3º quartil: 18 
 
Neste caso específico conseguimos determinar os números da série que representam 
a divisão do conjunto em 4 partes iguais, mas, tal como no caso da mediana, isso 
nem sempre é possível. E se o nosso rol fosse composto de 8 elementos? 
 迎剣健┺ に┹ ぬ┹ ぱ┹ ひ┹ なぬ┹ なの┹ にな┹ にぬ 
 
Aí você vai pensar da seguinte forma: já que há 8 elementos, a divisão da série em 4 
partes deverá ser feita de forma que cada parcela tenha 2 valores. Mas, como fazer 
isso? Da mesma forma que no caso da mediana, encontre o ponto médio que cumpra 
tal função! 
 迎剣健┺ に┹ ぬ┹ 喧剣券建剣 兼é穴件剣 岫ぬ 結 ぱ岻┹ ぱ┹ ひ┹ 喧剣券建剣 兼é穴件剣 岫ひ 結 なぬ岻┹ なぬ┹ なの┹ 喧剣券建剣 兼é穴件剣 岫なの 結 にな岻┹ にな┹ にぬ 
 迎剣健┺ に┹ ぬ┹ 捜┸ 捜┹ ぱ┹ ひ┹ 層層┹ なぬ┹ なの┹ 層掻┹ にな┹ にぬ 
 
Gente, se cair na prova, o que não é comum, encontre a mediana geral! Após 
encontrar a mediana, encontre as medianas para cada parcela da mediana geral. 
Por que isso? Porque a mediana da metade dos dados corresponde ao 1º e 3º 
quartil. Como fazer isso? Tal como fizemos neste exemplo aqui em cima! 
 
Viram? Tranquilo não? 
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O que é interessante é que o conceito de quartil é 
comumente utilizado com o intuito de averiguar o grau de simetria de uma 
distribuição! 
 
Para que isso fique claro precisamos estudar o conceito de distância interquartil ou 
amplitude interquartil. 
 
A distância interquartil (穴槌) é uma medida da diferença de valores entre o terceiro (圏戴) 
e o primeiro quartil (圏怠): 
 穴槌 噺 圏戴 伐 圏怠 
 
Esta medida nos dá uma ideia do grau de dispersão de uma série, pois quanto maior 
este resultado menor é a concentração dos valores da série ao redor da mediana. 
 
A ideia de distribuição simétrica tem a ver com a distância entre os diversos quartis 
e as observações extremas das séries estudadas. 
 
-“Comoassim, professor”? 
 
Simples. O que nós queremos dizer com distribuição simétrica é que o que ocorre 
com os valores à direita da mediana deve ser “semelhante” ao que ocorre com 
os valores à sua esquerda. 
 
Um exemplo de distribuição simétrica é a distribuição normal ou gaussiana (tem a 
forma de um “sino”): 
 
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Olha só, divida o gráfico em duas partes iguais. Como? Encontre o valor da mediana. 
 
 
 
Perceba que o lado esquerdo é muito semelhante ao esquerdo. Essa é a ideia de 
simetria. 
 
Assim, para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica as 
observações devem respeitar as seguintes condições: 
 
1) 圏態 伐 なぇ 剣決嫌結堅懸欠çã剣 噺 ú健建件兼欠 剣決嫌結堅懸欠çã剣 伐 圏態 
2) 圏態 伐 圏怠 噺 圏戴 伐 圏態 
3) 圏怠 伐 なぇ 剣決嫌結堅懸欠çã剣 噺 ú健建件兼欠 剣決嫌結堅懸欠çã剣 伐 圏戴 
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4) Distâncias entre a mediana (圏態) e 圏怠 e 圏戴menores do que as distâncias entre 
os extremos (1ª e última observação) e 圏怠 e 圏戴 
 
Percebam que estou usando o sinal de igual nas expressões acima, mas o 
correto é “aproximadamente igual”, só estou tentando facilitar para vocês na 
notação, ok? 
 
-“Nossa, preciso decorar tudo isso”? 
 
Não! Isso não costuma cair em prova. Eu apenas desejo que vocês entendam a ideia 
de distribuição simétrica. Olhem para as condições e vejam que a distribuição normal 
tende a se encaixar no conceito. Pensem de forma abstrata, pois iremos estudar mais 
da distribuição normal em aulas futuras. 
 
Se quiser decorar uma propriedade, guarde a número (2), pois, na maior parte 
dos casos, esta é resolve o seu problema! 
Agora, o que cai muito em prova são as formas de distribuição 
não simétricas! Viu porque você tinha que saber o conceito anterior? 
 
Perceba que se os quantis da direita estiverem mais afastados da mediana do 
que os da esquerda o gráfico representativo desta distribuição seria: 
 
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Esta distribuição tem dados que são assimétricos à direita. 
 
Entenderam o gráfico? A concentração da distribuição ocorre na “parte gordinha” do 
gráfico, com valores mais baixos para as observações “mais comuns”, entretanto há 
algumas observações que têm valores muito altos com relação a todo o rol de dados. 
Estas observações destoam das demais por serem de valores muito diferentes da 
maior parte da amostra. Como estes pontos extremos ocorrem à sua direita, ela é 
assimétrica à direita! 
 
E se for o contrário? E se os quantis da esquerda estiverem mais afastados da 
mediana do que os da direita? 
 
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Neste caso os dados tem comportamento assimétrico à esquerda! 
 
Pessoal, o que é interessante e que cai em prova é o posicionamento da média, 
mediana e moda a depender da assimetria da distribuição! 
 
As relações que você vai ter que guardar são: 
 
 
Vamos pensar de forma intuitiva a fim de que não tenhamos que ficar decorando sem 
pensar! 
 
Pessoal, a moda é o mais fácil, pois ela ocorre no ponto de maior frequencia, ou seja, 
no topo da curva! 
 
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E a média? Se a distribuição é assimétrica à direita isso significa que há observações 
com valores muito altos e que destoam do resto da série, essas irão “puxar” o valor 
da média para cima! Portanto, a média será o valor mais alto neste caso, pois trata-
se da medida de posição central mais sensível a valores extremos (moda e mediana 
não são afetadas por pontos extremos). Se a distribuição for assimétrica à esquerda 
faz-se o raciocínio inverso, sendo que a média será “puxada” para trás. 
 
E a mediana? Ora, sempre ficará entre a média e a moda. 
 
-“E se a distribuição for simétrica”? 
 
 
 
Exatamente, a média terá o mesmo valor da mediana e da moda da série. 
 
Beleza pessoal? Antes de encerrarmos este tópico, vamos fazer uma 
observação! 
 
 
 
 
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Obs. Box-plots ou gráficos em caixa 
 
Este é um assunto que já foi cobrado em concursos, portanto precisamos abordar. 
Trata-se de uma forma gráfica de representar uma distribuição com base nos quartis 
e mediana de uma série de dados. 
 
 
Veja, no eixo vertical dispomos os valores da série de dados e nos utilizamos da caixa 
para que possamos saber o posicionamento da mediana e dos quartis de uma 
determinada sequência de dados. Assim, este gráfico nos ajuda a verificar a simetria 
da distribuição de dados em estudo. 
 
Além disso, nós podemos verificar a possibilidade de existência de outliers ou valores 
atípicos na nossa série. Veja que do retângulo saem duas “perninhas”, uma para 
baixo e outra para cima! Essas perninhas são indicativas do que é considerado como 
desvios “dentro do esperado”, que é dada por: 
 
 
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詣件兼件建結 嫌憲喧結堅件剣堅 噺 圏戴 髪 な┸の 糾 穴槌 詣件兼件建結 件券血結堅件剣堅 噺 圏怠 伐 な┸の 糾 穴槌 
 
Ora, o que isso está dizendo é que qualquer observação que esteja em um intervalo 
de 1,5 vezes a distância interquartil, contada a partir do 1º ou 3º quartil, é considerada 
“dentro do normal”. 
 
 
-“Tudo bem professor, mas e se uma observação superar o limite superior ou 
inferior”? 
 
Ótima pergunta! Ela é considerada um valor atípico ou outlier! 
 
Se você ainda não entendeu, calma, nós vamos resolver alguns exercícios no fim da 
aula que vão te ajudar, ok? 
 
 
 
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4. Tabelas de Frequências e medidas de posição e dispersão 
 
Bom pessoal, até agora estudamos os conceitos de medidas de posição e dispersão, 
mas, para fins de prova, o que realmente importa é a aplicação destes conceitos em 
dados contínuos agrupados em classes. 
 
Primeira coisa que vocês tem que aprender é o conceito de frequência acumulada, 
pois isso está em quase todas as questões de concurso. 
 
Pessoal, a ideia de frequência acumulada é melhor entendida com base em um 
exemplo, suponha uma pesquisa feita sobre a altura de uma determinada população 
em uma região: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada な┸の 掬 な┸は 10 10 な┸は 掬 な┸ば 10 20 な┸ば 掬 な┸ぱ 5 25 な┸ぱ 掬 な┸ひ 5 30 
Total 30 x 
 
Veja o que a informação de frequência acumulada está te dizendo, ela indica quantos 
elementos estão abaixo de um determinado valor. 
 
Perceba que para o grupo que vai de 1,5 m até 1,6 m há 10 indivíduos, assim, 
sabendo-se que há 10 indivíduos com altura entre 1,6 m e 1,7 m, uma classe que 
agrupe todos os indivíduos com altura entre 1,5 m até 1,7 m terá 20 indivíduos. 
Percebe como funciona o conceito de “acumulado”? Assim, como há 30 
indivíduos pesquisados no total, a frequência acumulada na últimaclasse coincide 
com o tamanho da amostra! 
 
 
 
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Atenção! O conceito de frequência acumulada pode ser 
feito com base nas frequências relativas calculadas para uma série. Neste caso, 
a frequência acumulada irá identificar qual a porcentagem de elementos que 
estão abaixo de um determinado valor. 
 
Muitas vezes a banca vai te dar as frequências acumuladas e, a partir daí, será 
necessário você calcular as frequências absolutas ou relativas. 
 
-“Como faço isso”? 
 
Vamos voltar no nosso exemplo: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada な┸の 掬 な┸は x 10 な┸は 掬 な┸ば Y 20 な┸ば 掬 な┸ぱ Z 25 な┸ぱ 掬 な┸ひ k 30 
Total j x 
 
Bom, a frequência absoluta total você já sabe: a frequência acumulada da última 
classe. Assim: 
 倹 噺 ぬど 
 
E a frequência da última classe? Ora, basta realizar uma subtração da frequência 
acumulada da última classe menos a da penúltima: 
 倦 噺 ぬど 伐 にの 噺 の 
 
E a da penúltima? 
 傑 噺 にの 伐 にど 噺 の 
 
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Assim: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada な┸の 掬 な┸は 10 10 な┸は 掬 な┸ば 20-10=10 20 な┸ば 掬 な┸ぱ 25-20=5 25 な┸ぱ 掬 な┸ひ 30-25=5 30 
Total 30 x 
 
Viram como se faz? Isso é muito comum em provas. 
 
Beleza? Então, vamos ao que interessa: as medidas de posição e dispersão 
calculadas para dados agrupados em classes. 
 
4.1 Caso da média 
 
Bom, a média é um dos casos mais fáceis. Você vai ter que dar um “chute” para o 
valor representativo de cada classe. 
Calcule o ponto médio de cada classe e 
considere que a classe é representada por este valor! 
 
Entenderam? Você calcula o ponto médio do intervalo com base na seguinte fórmula: 
 喧剣券建剣 兼é穴件剣 噺 健沈 髪 健鎚に 
 
Sendo 健鎚 o limite superior da classe e 健沈 o limite inferior. 
 
Assim, calculamos: 
 
 
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Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta な┸のの 10 な┸はの 10 な┸ばの 5 な┸ぱの 5 
Total 30 
 
Você percebe que isso é um “chute”? Claro que sim, pois pode ser que nenhuma das 
observações da classe coincida com seu ponto médio. Para o cálculo iremos nos 
utilizar das frequências absolutas ou relativas. 
 
Esta é a metodologia mais comum para calcular a média de uma série agrupada em 
classes. Portanto, agora temos uma tabela de frequências simples, o que torna o 
cálculo bem simples: 
 警é穴件欠 畦堅件建兼é建件潔欠 噺 み岫血沈 ゲ 捲沈岻券 噺 み岫血沈 ゲ 捲沈岻み血沈 噺 な┸のの 糾 など 髪 な┸はの 糾 など 髪 な┸ばの 糾 の 髪 な┸ぱの 糾 のぬど 簡 な┸はは 
 
4.2 Caso da variância, desvio padrão e desvio médio 
 
Da mesma forma que o cálculo da média, precisamos calcular os pontos médios de 
cada intervalo e nos utilizarmos do mesmo como se fosse a observação 
representativa da classe em questão. Ao obtermos os pontos médios, é só calcular a 
variância e o desvio médio com base nas fórmulas: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 み岷血沈 糾 岫捲沈 伐 捲違岻態峅券 
 経結嫌懸件剣 警é穴件剣 噺 み岷血沈 糾 】捲沈 伐 捲違】峅券 
 
Sendo 血沈 a frequência absoluta da classe. 
 
Bom, a média nós já calculamos, então: 
 
 
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 撃欠堅件â券潔件欠 噺 など 糾 岫な┸のの 伐 な┸はは岻態 髪 など 糾 岫な┸はの 伐 な┸はは岻態 髪 の 糾 岫な┸ばの 伐 な┸はは岻態 髪 の 糾 岫な┸ぱの 伐 な┸はは岻ふぬど 簡 ど┸どな 
 
 経結嫌懸件剣 警é穴件剣 噺 など 糾 】な┸のの 伐 な┸はは】 髪 など 糾 】な┸はの 伐 な┸はは】 髪 の 糾 】な┸ばの 伐 な┸はは】 髪 の 糾 】な┸ぱの 伐 な┸はは】ぬど 簡 ど┸どぱぱ 
 
Entendeu? Você deve encontrar o ponto médio de cada classe, calcular a média e 
calcular as medidas de dispersão como se os pontos médios fossem as próprias 
observações da série. Tal como no caso da média, isso é um “chute”. 
 
4.3 Caso da moda 
 
Vamos modificar nosso exemplo a fim de que tenhamos uma classe modal: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta な┸の 掬 な┸は 10 な┸は 掬 な┸ば 20 な┸ば 掬 な┸ぱ 5 な┸ぱ 掬 な┸ひ 5 
Total 40 
 
-“Classe modal, professor”? 
 
Exatamente! Classe modal é aquela que “aparece mais vezes”, tal como o conceito 
de moda no caso de observações não agrupadas em classe. 
 
Então, uma primeira forma simples de se encontrar a moda é por meio da moda 
bruta. 
 
O cálculo da moda bruta é feito de forma a representarmos um intervalo com base 
em seu ponto médio, tal como nos casos anteriormente estudados. 
 
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Neste caso: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta な┸のの 10 な┸はの 20 な┸ばの 5 な┸ぱの 5 
Total 40 
 
Simples, não? A moda é 1,65m, pois é a observação que mais ocorre. 
 
Alguns de vocês já devem estar achando que tudo é igual: “é só ficar chutando”. Mas, 
esta não é a única forma, nem a mais comumente cobrada em prova. 
 
O cálculo da moda que mais aparece em concursos é 
por meio da fórmula de Czuber: 
 捌伺纂珊 察子四産蚕司 噺 残餐 髪 酸 糾 峭 讃算残珊史史蚕 伐 讃算残珊史史蚕 珊仔嗣岫讃算残珊史史蚕 伐 讃算残珊史史蚕 珊仔嗣岻 髪 盤讃算残珊史史蚕 伐 讃算残珊史史蚕 使伺史嗣匪嶌 
 
Sendo: 
 残餐: limite inferior da classe modal 酸: amplitude da classe modal 讃算残珊史史蚕: frequência da classe modal 讃算残珊史史蚕 珊仔嗣: frequência da classe anterior à modal 讃算残珊史史蚕 使伺史嗣: frequência da classe posterior à classe modal 
 
É isso aí, não tem jeito, você tem que decorar esta fórmula! 
 
Algumas vezes a banca fornece a fórmula para você, mas não conte com isso. 
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Exercício 1 
 
(FCC – Analista Bacen\2005) Considere a distribuição de frequências a seguir 
para resolver a questão abaixo. 
 
 
Salário 
(R$) 
Frequência 
Absoluta 
Simples などどど 掬 にどどど 2 にどどど 掬 ぬどどど 8 ぬどどど 掬 ねどどど 16 ねどどど 掬 のどどど 10 のどどど 掬 はどどど 4 
 
 
O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber é (despreze os 
centavos) 
 
a) 3201,00 
b) 3307,00 
c) 3404,00 
d) 3483,00 
e) 3571,00 
 捌伺纂珊 察子四産蚕司 噺 残餐 髪 酸 糾 峭 讃算残珊史史蚕 伐 讃算残珊史史蚕 珊仔嗣匝 糾 讃算残珊史史蚕 伐 盤讃算残珊史史蚕 珊仔嗣 髪 讃算残珊史史蚕 使伺史嗣匪嶌 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Pessoal, vou deixar para vocês comprovarem que esta fórmula é exatamente igual à 
que eu ensinei. 
 
Bom, sabendo que a classe modal é a terceira, é só substituir: 
 
 警剣穴欠 噺 ぬどどど 髪 などどど 糾 なは 伐 ぱに 糾 なは 伐 岫ぱ 髪 など岻 簡 ぬのばな 
 
Simples! Alternativa (e). 
 
Continuando. 
 
Beleza, mas este ainda não é o único jeito de calcular a moda! Tem mais 2 jeitos, 
mas que não caem muito. Entretanto, por via das dúvidas, é bom saber. 
 
Bom, outra fórmula é a de King: 
 捌伺纂珊 皐餐仔賛 噺 残餐 髪 酸 糾 峭 讃算残珊史史蚕 使伺史嗣讃算残珊史史蚕 使伺史嗣 髪 讃算残珊史史蚕 珊仔嗣嶌 
 
Quer mais um método? Método de Pearson! 
 捌伺纂珊 纂蚕 皿蚕珊司史伺仔 簡 惣 糾 岫捌蚕纂餐珊仔珊岻 伐 匝 糾 岫仕é纂餐珊岻 
 
Como eu disse, as que caem mesmo são as modas de Czuber e a bruta, mas 
não custa dar uma olhada nestas. 
 
 
 
 
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4.4 Caso das medidas separatrizes 
 
Este é o assunto mais importante da aula! Para encontrar tais valores iremos nos 
utilizar de interpolação linear. 
 
Para o uso desta metodologia precisamos das frequências acumuladase você 
precisa entender o que na verdade elas estão te dizendo. Vamos ao exemplo, mas 
vamos modifica-lo a fim de facilitar os cálculos: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Relativa*100(%) 
Frequência 
Acumulada な┸の 掬 な┸は 20 20% 20 な┸は 掬 な┸ば 30 30% 50 な┸ば 掬 な┸ぱ 25 25% 75 な┸ぱ 掬 な┸ひ 25 25% 100 
Total 100 100% x 
 
O que eu quero que vocês entendam é o seguinte: qual é a observação que não é 
superada por 50% da amostra? 
 
1,7! Olhe, até 1,7 acumularam-se 50% das observações existentes na série, portanto, 
este é nossa mediana, pois este número não é superado por 50% dos valores. 
 
E qual a observação correspondente ao 3º quartil? Exatamente! O 3º quartil está em 
1,8, pois esta observação não é superada por 75% da série. 
 
Mas, neste exercício a coisa está muito fácil e não é isso que geralmente cai na sua 
prova. No caso, eu modifiquei o exercício para que a mediana e o terceiro quartil 
fossem facilmente visualizáveis e não fossem necessários cálculos para encontra-los, 
apesar de estarmos tratando com frequências absolutas. Entretanto, nem sempre é 
tão fácil! 
 
Quer ter uma noção? Vamos mudar a pergunta, qual a observação que corresponde 
ao 1º decil, ou seja, que não é superada por 10% da série? 
 
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Veja que isso não pode ser respondido diretamente, pois a primeira classe já acumula 
20 observações, que coincide com 20% da série. A única coisa que você sabe é 
que o 1º decil deve estar naquela classe, pois o valor que não é superado por 
10% dos valores deve estar alí! 
 
-“O que posso fazer”? 
 
Há toda uma teoria que explica como encontrar este valor por meio da metodologia 
de interpolação da ogiva. Mas, não vou ficar enchendo a cabeça de vocês com 
teoria, vamos ao que interessa! 
 
A ideia da teoria se baseia no fato de que há uma regularidade da distribuição 
dos dados dentro de uma classe, de forma que a quantidade de dados dispostos 
em uma determinada seção da classe seja proporcional à sua amplitude. Por 
exemplo, se uma determinada classe acumula 50% das observações em uma 
amplitude de 10, 25% do total da série estará acumulado em uma observação 
que corresponde à amplitude de 5 nesta classe. 
 
Calma! O que você deve fazer é utilizar aquela famosa “regra de três” que você 
aprendeu na escola. Veja, no nosso exemplo, 20% das observações, ou o segundo 
decil, corresponde a uma amplitude de 10 cm (な┸は 伐 な┸の), aí fica a pergunta: qual a 
amplitude após o limite inferior corresponde ao acúmulo de 10% das observações? 
Para isso, uma regra de três: 
 な┸は 伐 な┸のにどガ 噺 なえ穴結潔件健 伐 な┸のなどガ 
 ど┸な 糾 磐などにど卑 噺 なえ穴結潔件健 伐 な┸の 
 なえ穴結潔件健 噺 ど┸な 糾 ど┸の 髪 な┸の 噺 層┸ 捜捜 
 
 
 
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Este é o primeiro decil. Entendeu como funciona? Você identifica a classe em que 
está a observação que você deseja e faz uma regra de três de forma que você 
relacione a amplitude da classe dividida pela sua frequência com o percentual 
acumulado que você deseja. 
 
Não entendeu? Há algumas formas de “decorar” a metodologia, mas eu não 
acho didático. A melhor forma de aprender é com exercícios e prática. 
 
Vamos fazer mais um exemplo, mas, agora, com base na tabela acima, encontre o 
valor correspondente ao 6º decil! O que estamos procurando é a observação que não 
é superada por 60% da série. 
 
Com certeza, esta observação está na 3ª classe, pois a segunda só acumula 50% 
das observações, enquanto que a terceira acumula 75%. Portanto, estamos 
procurando a observação que corresponde a 10% do total da série na terceira classe, 
pois esta observação acumularia os 50% das classes anteriores mais os 10% desta, 
resultando em 60% acumulado. 
 
Neste caso, a regra de três que temos de realizar é a seguinte: a terceira classe tem 
amplitude de 0,1 cm para uma frequência relativa de 25%, tal como uma amplitude 
de 岫はえ 穴結潔件健 伐 な┸ば岻 está para 10%. Assim: 
 な┸ぱ 伐 な┸ばにのガ 噺 はえ 穴結潔件健 伐 な┸ばなどガ 
 ど┸な 糾 などガにのガ 噺 はえ 穴結潔件健 伐 な┸ば 
 ど┸な 糾 ど┸など┸にの 髪 な┸ば 噺 はえ 穴結潔件健 
 掃え 纂蚕算餐残 噺 層┸ 挿想 
 
 
 
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Bom pessoal, o que eu quero é que vocês tenham entendido a ideia. Por isso vamos 
fazer muitos exercícios, assim vocês poderão treinar! 
 
 
Exercício 2 
 
(Analista/IRB – ESAF/2005) Sendo a moda menor que a mediana e, esta menor 
que média, pode-se afirmar que se trata de uma curva 
a) Simétrica. 
b) Assimétrica, com frequências desviadas para a direita. 
c) Assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda. 
d) Simétrica, com frequências desviadas para a direita. 
e) Simétrica, com frequências desviadas para a esquerda. 
 
Resolução 
 
Hora de forçar a memória! Se a média é o valor mais elevado, isso significa que há 
pontos extremos de altos valores (à direita), o que corresponde a uma assimetria à 
direita (a ESAF chamou de “frequências desviadas à direita”). Além disso, se a moda 
é o menor valor, isso significa que o pico está mais à esquerda. 
 
 
Alternativa (b). 
 
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Exercício 3 
 
(Técnico da Receita Federal – ESAF/2005) Sobre a moda de uma variável, é 
correto afirmar que: 
a) para toda variável existe uma e apenas uma moda. 
b) a moda é uma medida de dispersão relativa. 
c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos. 
d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre o valor da 
média e o da mediana. 
e) sendo o valor mais provável de distribuição, a moda, tal como a 
probabilidade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a 
unidade. 
 
Resolução 
 
Vamos analisar: 
 
a) Errado! Algumas distribuições têm mais de uma moda, são chamadas de 
multimodais. 
b) Não, é uma medida de posição e não dispersão. 
c) Perfeito! Os valores extremos não afetam o valor da moda nem da mediana. 
d) Errado. O da mediana sempre se encontra entre as duas medidas. 
e) Errado, isso não tem anda a ver com o conceito. 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 4 
 
(Analista/IRB – ESAF/2005) O grau ao qual os dados numéricos tendem a 
dispersar-se em torno de um valor médio chama-se 
a) média. 
b) variação ou dispersão de dados. 
c) mediana. 
d) correlação ou dispersão. 
e) moda. 
 
Resolução 
 
Pessoal, questão puramente conceitual. Trata-se das medidas de dispersão. 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 5 
 
(AFRFB – ESAF/2005) Para dados agrupados representados por uma curva de 
frequências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda 
são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas 
de posição para uma distribuição negativamente assimétrica. 
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. 
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana. 
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda. 
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. 
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Bom, no caso de uma distribuição assimétrica à esquerda: 
 捌伺纂珊 伴 捌蚕纂餐珊仔珊 伴 捌é纂餐珊 
 
Perceba que tanto as alternativas (b) e (c) acabam por falar a mesma coisa. Assim, a 
questão deveria ter sido anulada. 
 
Alternativa (c). (gabarito oficial: nula) 
 
Exercício 6 
 
(Técnico da Receita Federal – ESAF/2005) Considere a seguinte distribuição de 
frequências absolutas dos salários mensais, em R$, referente a 200 
trabalhadores de uma indústria (os intervalos são fechados à esquerda e 
abertos à direita: 
Classes de salários Frequências absolutas 
De R$400 até R$500 50 
De R$500 até R$600 70 
De R$600 até R$700 40 
De R$700 até R$800 30 
De R$800 até R$900 10 
 
Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que: 
a) O salário modal encontra-se na classe de R$800 até R$900. 
b) O salário mediano encontra-se na classe de R$600 até R$700. 
c) O salário modal encontra-se na classe de R$600 até R$700. 
d) O salário modal encontra-se na classe de R$700 até R$800. 
e) O salário mediano encontra-se na classe de R$500 até R$600. 
 
 
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Resolução 
 
Vamos fazer uma tabela com frequência acumulada: 
 
Classes de salários Frequências absolutas Frequência Acumulada 
De R$400 até R$500 50 50 
De R$500 até R$600 70 120 
De R$600 até R$700 40 160 
De R$700 até R$800 30 190 
De R$800 até R$900 10 200 
 
Olhe, a moda ocorre na classe de R$ 500 a R$ 600, pois a frequência absoluta é mais 
alta nesta classe. Portanto, o salário modal está na segunda classe. 
 
Quanto à mediana, é fácil ver que ela deve estar na segunda classe, pois, como a 
frequência total é de 200 observações, estamos procurando a 100ª observação. 
 
Portanto, tanto o salário mediano como modal estão na segunda classe. 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 7 
 
(Técnico da Receita Federal – ESAF/2005) A tabela mostra a distribuição de 
frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X. 
X f’ 
-1 3k 
0 K 
+1 6k 
Sabendo que “k” é um numero real, a média e o desvio-padrão de X são, 
respectivamente: 
 
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a) 0,3; 0,9. 
b) 0,0; 0,3. 
c) 0,3; 0,3. 
d) k; 3k. 
e) 0,3k; 0,9k. 
 
 
Resolução 
 
Atenção para a palavra “relativa”! Ou seja, a soma de todas as frequência é igual a 1! 
 
Portanto: 
 ぬ計 髪 計 髪 は計 噺 など計 噺 な 皐 噺 宋┸ 層 
 
Agora fica fácil, vamos calcular a média: 
 警é穴件欠 噺 岫岫伐な岻 糾 ど┸ぬ岻 髪 岫ど 糾 ど┸な岻 髪 岫な 糾 ど┸は岻な 噺 宋┸ 惣 
 
E o desvio padrão é melhor calculado com base naquela formulazinha: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 
 
Portanto, vamos calcular a média dos quadrados: 
 警é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 噺 岫岫伐な岻ふ 糾 ど┸ぬ岻 髪 岫どふ 糾 ど┸な岻 髪 岫なふ 糾 ど┸は岻な 噺 宋┸ 操 
 
 
 
 
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Portanto: 撃欠堅件â券潔件欠 噺 ど┸ひ 伐 ど┸ぬ態 噺 ど┸ひ 伐 ど┸どひ 噺 宋┸ 掻層 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada disso: 
 経結嫌懸件剣 鶏欠穴堅ã剣 噺 紐ど┸ぱな 噺 宋┸ 操 
 
Alternativa (a). 
 
 
Exercício 8 
 
(AFRFB – ESAF/2005) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias 
aritmética (散拍), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores 
positivos (散層┸ 散匝 ┼ ┸ 散仔岻: 
a) G ≤ H ≤ 散拍, com G=H=散拍 somente se os n valores forem todos iguais. 
b) G ≤ 散拍 ≤ H, com G=散拍=H somente se os n valores forem todos iguais. 
c) 散拍 ≤ G ≤ H , com 散拍=G=H somente se os n valores forem todos iguais. 
d) H ≤ G ≤ 散拍, com H=G=散拍 somente se os n valores forem todos iguais. 
e) 散拍 ≤ H ≤ G , com 散拍=H=G somente se os n valores forem todos iguais. 
 
Resolução 
 
Essa questão é puramente conceitual. 
 警é穴件欠 畦堅件建兼é建件潔欠 半 警é穴件欠 罫結剣兼é建堅件潔欠 半 警é穴件欠 茎欠堅兼ô券件潔欠 
 
A possibilidade de que todas sejam iguais é quando todas as observações são iguais. 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
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Exercício 9 
 
(Gestor fazendário – ESAF/2005) Com base na distribuição de frequências do 
atributo X dada abaixo, assinale a opção que corresponde à estimativa da 
função de distribuição de X no ponto 29. Não existem observações coincidentes 
com os extremos das classes. Use interpolação da ogiva no cálculo da 
estimativa. 
Classes Frequências Acumuladas 
15-18 8 
18-21 18 
21-24 20 
24-27 26 
27-30 29 
30-33 31 
 
a) 0,935 
b) 0,903 
c) 0,839 
d) 0,887 
e) 0,871 
 
Resolução 
 
Não falei que isso cai? A questão até te disse para usar interpolação da ogiva. 
 
Uma coisa interessante sobre esta questão é que ela está falando da “estimativa da 
função de distribuição de X no ponto 29”. O que ela quer é a frequência relativa 
acumulada desta observação. 
 
 
 
 
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Mas, vamos por partes, vamos fazer uma tabela de frequências simples a partir das 
frequências acumuladas. Faça e você vai ver que vai ficar assim: 
 
Classes Frequências 
Acumuladas 
Frequência 
Simples 
15-18 8 8 
18-21 18 10 
21-24 20 2 
24-27 26 6 
27-30 29 3 
30-33 31 2 
 
 
Neste caso, a observação que estamos procurando está na 5ª classe. Assim, por 
meio da interpolação linear iremos fazer a seguinte correspondência: a amplitude da 
5ª classe (ぬど 伐 にば 噺 ぬ) está para sua frequência (ぬ), assim, como a amplitude 
desejada (にひ 伐 にば) está para sua frequência, de modo que: 
 ぬど 伐 にばぬ 噺 にひ 伐 にば捲 蝦 姉 噺 匝 
 
Portanto, até a observação 29 acumulou-se 28 observações que se referem às 26 já 
acumuladas mais as 2 até o ponto desejado na quinta classe. 
 
Dado o total da amostra de 31 observações, até o ponto 29 a frequência relativa 
acumulada será de: 
 繋堅結圏憲結券潔件欠 迎結健欠建件懸欠 畦潔憲兼憲健欠穴欠 噺 繋憲券çã剣 穴結 経件嫌建堅件決憲件çã剣態苔 噺 にぱぬな 簡 ど┸ひどぬ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
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(Analista/IRB – ESAF/2004) As questões 10 e 11 dizem respeito à distribuição 
de frequências conforme o quadro abaixo, no qual não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Frequências Acumuladas 
129,5 – 139,5 4 
139,5 – 149,5 12 
149,5 – 159,5 26 
159,5 – 169,5 46 
169,5 – 179,5 72 
179,5 – 189,5 90 
189,5 – 199,5 100 
 
 
 
Exercício 10 
 
Assinale a opção que corresponde ao 8º decil. 
 
a) 179,5 
b) 189,5 
c) 183,9 
d) 184,5 
e) 174,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Mais uma para treinar! Como o total acumulado é igual a 100 os cálculos são mais 
fáceis. Vamos colocar a tabela com as frequências simples: 
 
Classes Frequências 
Acumuladas 
Frequência 
Simples 
129,5 – 139,5 4 4 
139,5 – 149,5 12 8 
149,5 – 159,5 26 14 
159,5 – 169,5 46 20 
169,5 – 179,5 72 26 
179,5 – 189,5 90 18 
189,5 – 199,5 100 10 
 
 
Veja, o 8º decil corresponde a observação que não tem valor superado por 80% das 
observações. Este valor está na sextaclasse, pois a mesma abrange todas as 
observações que vão de 72 até 90! 
 
Agora, vamos fazer a interpolação da ogiva! Sabendo que a sexta classe corresponde 
a 18% da série e nós desejamos saber qual a observação que acumula mais 8% 
nesta classe, pois até a classe anterior foi acumulado uma frequência de 72%, (o que 
somado com 8% gera os 80% procurados) devemos fazer a seguinte operação: 
 なぱひ┸の 伐 なばひ┸のなぱ 噺 捲 伐 なばひ┸のぱ 
 
Multiplicando invertido temos: 
 などなぱ 糾 ぱ 噺 捲 伐 なばひ┸の 
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 姉 噺 層掻惣┸ 操 
 
Alternativa (c). 
 
 
Exercício 11 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do 
número de observações menores ou iguais ao valor 164. 
a) 46 
b) 26 
c) 72 
d) 35 
e) 20 
 
 
Resolução 
 
Para resolver esta questão precisamos encontrar qual a frequência acumulada até a 
observação em questão! Bom, para isso iremos nos utilizar da interpolação da ogiva 
novamente. 
 
A observação de valor igual à 164 está na quarta classe, assim, sabendo-se que esta 
classe tem frequência de 20, podemos realizar a seguinte associação: 
 なはひ┸の 伐 なのひ┸のにど 噺 なはね 伐 なのひ┸の捲 
 などにど 噺 ね┸の捲 
 姉 噺 操 
 
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Ou seja, até a observação de valor 164 acumularam-se 9 observações na quarta 
classe. Você já sabe que até a classe anterior foram acumuladas 26 observações, 
portanto: 
 ひ 髪 には 噺 惣捜 
 
Portanto, até a observação 164 foram acumuladas 35 observações. 
 
Alternativa (d). 
 
Exercício 12 
 
(SENADO – FGV/2008) O coeficiente de variação amostral (em porcentagem) de 
um conjunto de salários é 110%. Se os salários deste conjunto forem 
reajustados em 20%, o novo coeficiente de variação amostral será: 
 
a) 110% 
b) 112,2% 
c) 114,2% 
d) 122% 
e) 130% 
 
Resolução 
 
Para realizarmos esta questão precisamos das propriedades da média e da variância. 
Lembra-se da fórmula do coeficiente de variação? Para o nosso exercício: 
 潔懸 噺 経鶏岫隙岻隙博 噺 な┸な 噺 ななどガ 
 
Veja, reajustar os salários em 20% é a mesma coisa que multiplicar todos os salários 
por 1,2. Vamos relembrar as propriedades da multiplicação de um termo fixo sob o 
desvio padrão e média de uma série: 
 
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 警é穴件欠岫欠 糾 隙岻 噺 隙博 糾 欠 経鶏岫欠 糾 隙岻 噺 経鶏岫隙岻 糾 欠 
 
Assim: 
 潔懸 噺 経鶏岫隙岻隙博 噺 な┸に 糾 経鶏岫隙岻な┸に 糾 隙博 噺 な┸にな┸に 糾 な┸な 噺 ななどガ 
 
Ou seja, o coeficiente de variação não se altera. 
 
Alternativa (a). 
 
 
Exercício 13 
 
(CEB – UNIVERSA/2009) Considere o Box-plot abaixo. 
 
 
O asterisco “*” indica: 
 
a) O menor valor 
b) 層┸ 捜 ゲ 岫刺惣 伐 刺層岻 
c) 刺層 伐 層┸ 捜 ゲ 岫刺惣 伐 刺層岻 
d) 岫刺惣 伐 刺層岻 
e) Um outlier 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Essa questão é muito fácil pessoal. Perceba que o asterisco está além do alcance 
das “perninhas”, portanto trata-se de um ponto extremo que não tem comportamento 
dentro do padrão, leia-se outlier. 
 
 
Exercício 14 
 
(PETROBRÁS – CESGANRIO/2005) O gráfico abaixo é um box-plot da 
distribuição de renda, em mil reais, da população de um determinado município. 
 
 
Qual a probabilidade de uma pessoa deste município ter renda superior à 6 mil 
reais? 
 
a) 0,15 
b) 0,20 
c) 0,25 
d) 0,50 
e) 0,75 
 
 
 
 
Resolução 
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Viram como são as questões de box-plots? Veja o gráfico e você perceberá que o 
salário de 6 mil reais corresponde à primeira “linha horizontal” do box-plot, ou seja, 
corresponde ao 1º quartil! 
 
Assim, 75% das observações têm valores superiores a 6 mil reais. 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 15 
 
(FINEP – NCE/2011-alterada) Uma amostra aleatória de 100 famílias foi 
selecionada com o objetivo de estimar o gasto médio mensal das famílias com 
medicamentos. Os resultados amostrais estão resumidos na distribuição de 
frequência, a seguir, segundo as classes de gastos, em 10 reais. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Gastos (em 10 reais) Frequência Absoluta 
de 1 a 3 10 
de 3 a 5 30 
de 5 a 7 60 
total 100 
 
A melhor estimativa para a média aritmética é: 
 
a) 5 reais 
b) 8 reais 
c) 50 reais 
d) 80 reais 
e) 25 reais 
 
 
 
 
Resolução 
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Vamos calcular o ponto médio de cada classe: 
 
Gastos (em 10 reais) Ponto Médio Frequência Absoluta 
de 1 a 3 2 10 
de 3 a 5 4 30 
de 5 a 7 6 60 
total 100 
 
Agora basta aplicar a fórmula: 
 警é穴件欠 畦堅件建兼é建件潔欠 噺 み岫血沈 ゲ 捲沈岻券 噺 み岫血沈 ゲ 捲沈岻み血沈 
 
Assim: 
 警é穴件欠 噺 岫に 糾 など岻 髪 岫ね 糾 ぬど岻 髪 岫は 糾 はど岻などど 噺 捜 
 
Mas, cuidado, o exercício está dizendo que os valores na tabela estão em 10 reais, 
portanto, a média não é 5, mas 50! 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 16 
 
(FINEP – NCE/2011-alterada) As medidas citadas abaixo descrevem uma 
amostra obtida em um experimento aleatório. A única que mede a dispersão da 
amostra é o(a) 
 
a) desvio padrão 
b) mediana 
c) média aritmética 
d) média geométrica 
e) moda 
 
Resolução 
 
Tomara que esta questão cai, hein? Muito fácil, afinal, qual é a única medida de 
dispersão na listagem? Desvio Padrão! 
 
Alternativa (a). 
 
Exercício 17 
 
(AFRFB – ESAF/2013) A expectância de uma variável aleatória x ｠ média ou 
esperança matemática como também é chamada ｠ é igual a 2, ou seja: E(x) = 2. 
Sabendo-se que a média dos quadrados de x é igual a 9, então os valores da 
variância e do coeficiente de variação de x são, respectivamente, 
iguais a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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Resolução 
 
Para resolvermos esta questão precisamos nos lembrar de que: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 
 
Com base no enunciado, sabemos que: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 警é穴件欠岫捲態岻 伐 岷警é穴件欠岫捲岻峅態 噺 継岫捲態岻 伐 岷継岫捲岻峅ふ 
 
Assim: 
 撃欠堅岫捲岻 噺 ひ 伐 岫に岻態 噺 捜 
 
Agora, fica fácil achar o coeficiente de variação: 
 系撃 噺 紐撃欠堅岫捲岻継岫捲岻 噺 ヂ捜匝 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 18 
 
(MPE – VUNESP/2013) Foi delineado um experimento separando três grupos 
escolhidos aleatoriamente de 5 homens em cada um, para medir seus níveis 
alcoólicos após beberem certa quantidade de bebida alcoólica. Os 
componentes do grupo A após uma hora, o grupo B após duas horas, e o grupo 
C após 3 horas. A quantidade de mg por grama de álcool foi multiplicada por 10 
para facilitar os cálculos. Os resultados observados foram:Grupo A Grupo B Grupo C 
11 5 4 
10 8 4 
9 6 5 
8 6 6 
12 5 6 
 
Calculando-se as três médias, a soma delas vale 
a) 19. 
b) 20. 
c) 21. 
d) 22. 
e) 23. 
 
Resolução 
 
Aí fica fácil: 
 兼é穴件欠 畦 噺 なな 髪 など 髪 ひ 髪 ぱ 髪 なにの 噺 など 兼é穴件欠 稽 噺 の 髪 ぱ 髪 は 髪 は 髪 のの 噺 は 兼é穴件欠 系 噺 ね 髪 ね 髪 の 髪 は 髪 はの 噺 の 
 
Portanto, 鯨剣兼欠 噺 など 髪 は 髪 の 噺 匝層. Alternativa (c). 
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O próximo exercício é bom você acompanhar comigo. Vamos treinar a aplicação 
das propriedades da média e variância. 
 
Exercício 19 
 
(STN – ESAF/2013) Suponha que X seja uma variável aleatória com valor 
esperado 10 e variância 25. Para que a variável Y dada por Y = p – q x, com p e 
q positivos, tenha valor esperado 0 e variância 625, é necessário que p + q seja 
igual a: 
a) 50 
b) 250 
c) 55 
d) 100 
e) 350 
 
Resolução 
 
Bom, vamos aplicar as propriedades de média e variância que já estudamos. Primeira 
coisa, vamos tirar a média de Y: 
 警é穴件欠岫桁岻 噺 ど 噺 警é穴件欠岫喧 伐 圏捲岻 噺 警é穴件欠岫喧岻 伐 警é穴件欠岫圏捲岻 
 
Como 喧 e 圏 são constantes: 喧 伐 圏 抜 警é穴件欠岫捲岻 噺 使 伐 層宋刺 噺 宋 
 
E no caso da variância? Lembre-se de que variância “lembra quadrados”: 
 撃欠堅岫桁岻 噺 はにの 噺 撃欠堅岫喧 伐 圏捲岻 噺 撃欠堅岫圏捲岻 
 
Isso decorre do fato de que se você tirar a variância de uma constante essa é igual à 
zero, portanto, a variância da parte constante nem conta, portanto, pode descartar. 
Assim: 
 
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 撃欠堅岫圏捲岻 噺 圏態撃欠堅岫捲岻 噺 圏ふ ゲ にの 噺 はにの 
 
Assim: 
 刺 噺 捜 
 
Substituindo isso na expressão que obtivemos a partir da esperança: 
 使 伐 層宋刺 噺 宋 蝦 使 伐 層宋 ゲ 捜 噺 宋 蝦 使 噺 捜宋 
 
Portanto: 
 喧 髪 圏 噺 のの 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 20 
 
(AFRFB – ESAF/2009) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas 
populacionais (f’) de uma variável X: 
 
X f' 
-2 6a 
1 1a 
2 3a 
 
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, 
respectivamente: 
a) Média = - 0,5 e variância = 3,45 
b) Média = 0,5 e variância = - 3,45 
c) Média = 0 e variância = 1 
d) Média = - 0,5 e variância = - 3,7 
e) Média = 0,5 e variância = 3,7 
 
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Resolução 
 
Primeira coisa que temos de fazer é determinar o valor de “欠”. Ora, o que nós 
sabemos de frequência relativa? A soma de todas deve ser igual a 1. Portanto: 
 は欠 髪 な欠 髪 ぬ欠 噺 な 蝦 珊 噺 宋┸ 層 
 
Agora reescreva a tabela 
X f' 
-2 0,6 
1 0,1 
2 0,3 
 
Calcular a média: 
 警é穴件欠 噺 岫伐に岻 ゲ ど┸は 髪 岫な岻 ゲ ど┸な 髪 岫に岻 ゲ ど┸ぬな 噺 伐宋┸ 捜 
 
E a variância? Vamos encontrar a média dos quadrados, porque fica mais fácil: 
 警é穴件欠 噺 岫伐に岻ふ ゲ ど┸は 髪 岫な岻ふ ゲ ど┸な 髪 岫に岻ふ ゲ ど┸ぬな 噺 惣┸ 挿 
 
Assim: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 噺 ぬ┸ば 伐 岫伐ど┸の岻態 噺 惣┸ 想捜 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(CETESB – VUNESP/2013) Numa classe, as notas de uma prova ficaram assim 
distribuídas: 1 aluno tirou 10, 13 tiraram 8, 6 tiraram 6, 4 tiraram 5, 10 tiraram 1 
e 6 tiraram zero. A média e a moda desta classe foram, respectivamente, 
a) 5,3 e 8. 
b) 5,3 e 5. 
c) 5,3 e 8. 
d) 4,5 e 1. 
e) 4,5 e 8 
 
Resolução 
 
Para responder esta questão, vamos construir a tabela de frequência para o modelo: 
 
Nota Frequência 
10 1 
8 13 
6 6 
5 4 
1 10 
0 6 
 
 
A moda é o mais fácil: nota 8, pois basta ver qual é a observação que mais ocorre. 
 
Para calcularmos a média: 
 警é穴件欠 噺 など ゲ な 髪 ぱ ゲ なぬ 髪 は ゲ は 髪 の ゲ ね 髪 な ゲ など ゲ ど ゲ はねど 噺 想┸ 捜 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
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Exercício 22 
 
(ICMS-RJ – FCC\2014) O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez 
um levantamento dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 
400 funcionários, obtendo os seguintes resultados: 
 
 
 
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio 
dessa tabela pelo método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas 
condições, o salário médio desses 400 funcionários, em número de salários 
mínimos, considerando que todos os valores incluídos em um intervalo de 
classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a 
a) 8,93 
b) 8,72 
c) 8,54 
d) 8,83 
e) 8,62 
 
Resolução 
 
Essa questão não é difícil pessoal, mas também não é fácil. 
 
Veja, você tem informação sobre qual o valor da mediana pelo método de 
interpolação, mas, agora, o raciocínio é inverso, o exercício pede que você encontre 
o tamanho do intervalo. 
 
 
 
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Ora, o que você tem de fazer é encontrar os valores de x e y e, a partir daí, calcular 
a média com os pontos médios de cada classe. Então, vamos lá. 
 
Se a mediana é 8,8 SM, isso significa que, até 8,8, ficaram acumuladas 50% das 
observações, ou seja, 200. Então, como até a classe anterior já tinham sido 
acumuladas 148 observações, isso significa que, na classe x, foram necessárias 52 
observações para encontrar a mediana. Então: 
 堅欠券訣結 穴欠 潔健欠嫌嫌結 噺 など 伐 ぱ 噺 に捲 噺 ど┸ぱにどど 伐 なねぱ 噺 のに 
 
Assim: 
 ど┸ぱ捲 噺 などね 蝦 姉 噺 層惣宋 
 
Agora, o y fica fácil: 
 ねぱ 髪 などど 髪 なぬど 髪 検 髪 ねど 噺 ねどど 蝦 検 噺 ぱに 
 
Agora, vamos calcular a média com base nos pontos médios. Bom, os pontos médios 
são fáceis de achar, certo? 
 
 
Assim: 
 警é穴件欠 噺 の 抜 ねぱ 髪 ば 抜 などど 髪 ひ 抜 なぬど 髪 なな 抜 ぱに 髪 なね 抜 ねどねどど 噺 ぬのばにねどど 噺 ぱ┸ひぬ 
 
 
Alternativa (a). 
 
Ponto Médio Frequência Absoluta
5 48
7 100
9 130
11 82
14 40
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Exercício 23 
 
(TRT – FCC\2013) Em uma tabela de distribuição de frequências relativas, 
representando a distribuição dos salários dos funcionários em um órgão 
público, obteve-se pelo método da interpolação linear que o valor da mediana 
foi igual a R$ 4.400,00 e pertencente ao intervalo de classe [4.000,00; 5.000,00), 
em R$. Se 35% dos funcionários possuem um salário maior ou igual a R$ 
5.000,00, então a respectiva frequência relativa correspondente ao intervalo em 
que pertence a mediana é, em %, igual a 
a) 15. 
b) 40. 
c) 20. 
d) 25. 
e) 18. 
 
Resultado 
 
Se 35% dos funcionário têm salários superiores a R$ 5.000 e a mediana é de R$ 
4.400, isso significa que a amplitude de R$ 600,00 (5.000 – 4.400) nesta classe 
corresponde a 15% de toda a amostra. Agora, fica fácil calcular a frequência relativa 
da classe: 
 はどどなのガ 噺 などどど捲ガ 蝦 姉 噺 匝捜ガ 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 24 
 
(TRT – FCC\2013) A quantidade de determinadas ocorrências por dia em uma 
fábrica, durante um período de 80 dias, pode ser observada pelo quadro abaixo. 
 
 
 
Dado que a média aritmética, ponderada pelo número de dias, de ocorrências 
por dia é igual a 2,5, verifica-seque a soma da moda e da mediana é igual a 
a) 4,25. 
b) 5,00. 
c) 4,50. 
d) 5,50. 
e) 4,00. 
 
Resolução 
 
Esse exercício exige que você monte um sistema de equações, afinal há duas 
informações (quantidade total de dias e média ponderada) e duas variáveis (m e n). 
Veja, você sabe que: 
 は 髪 など 髪 兼 髪 にど 髪 券 髪 ね 噺 ぱど 蝦 仕 髪 仔 噺 想宋 
 
Você sabe também que: 
 警é穴件欠 喧剣券穴結堅欠穴欠 噺 は 抜 ど 髪 など 抜 な 髪 兼 抜 に 髪 にど 抜 ぬ 髪 券 抜 ね 髪 ね 抜 のぱど 噺 に┸の 
 
Então: 
 ど 髪 など 髪 に兼 髪 はど 髪 ね券 髪 にどぱど 噺 に┸の 蝦 など 髪 に兼 髪 はど 髪 ね券 髪 にど 噺 にどど 
 に兼 髪 ね券 噺 ななど 
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Agora basta resolver o sistema, com base na primeira equação: 
 兼 噺 ねど 伐 券 
 
Substituindo na última: 
 に岫ねど 伐 券岻 髪 ね券 噺 ななど 蝦 ぱど 伐 に券 髪 ね券 噺 ななど 
 に券 噺 ぬど 蝦 券 噺 なの 
 
Assim: 
 兼 噺 ねど 伐 なの 噺 にの 
 
Fica fácil perceber que a moda é 2, pois esta classe é a que tem a maior frequência 
(25). 
 
A mediana também está nesta classe, pois é nela que esta concentrada a observação 
número 40. Assim, a moda mais mediana: 
 警剣穴欠 髪 警結穴欠券欠 噺 に 髪 に 噺 ね 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 25 
 
(SEMAD – FUNCAB/2013) A média, o desvio-padrão, a mediana e o desvio-
médio são, respectivamente, medidas de: 
A) locação, dispersão, dispersão, locação. 
B) locação, dispersão, locação, locação. 
C) locação, dispersão, locação, dispersão. 
D) dispersão, locação, locação, dispersão 
 
Resolução 
 
Esta é bem tranquila. A média e a mediana são medidas de posição central, ou 
locação, enquanto que o desvio padrão e o desvio médio são medidas de dispersão. 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 26 
 
(SUDECO – FUNCAB\2013) Diz-se que uma medida (ou um procedimento) 
estatística(o) é resistente, quando ela(ele) não muda muito quando uma 
pequena parte dos dados se altera, mesmo que drasticamente. Das seguintes 
medidas descritivas de uma amostra de dados qual(quais) é(são) resistente(s)? 
I. a média. 
II. a amplitude. 
III. a mediana. 
IV. o desvio-padrão. 
A) Somente III. 
B) I, II, III e IV. 
C) I e II, apenas. 
D) II e III, apenas. 
E) II, III e IV, apenas. 
 
 
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Resolução 
 
Este é o problema que queremos resolver quando lidamos com medidas como o 
coeficiente de variação. O objetivo é que valores extremos de uma amostra não 
influenciem demais as estatísticas analisadas. 
 
Das alternativas, a única que não é influenciada por valores extremos é a mediana. 
Afinal, ela divide a amostra em duas partes iguais, independentemente do valor das 
observações extremas. 
 
Alternativa (a). 
 
Exercício 27 
 
(SUDECO – FUNCAB\2013) Considere os seguintes dados originais: 
 
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6. 
 
Imagine que houve um erro de digitação e foi registrado 60 em vez de 6. Foram 
calculados média e desvio-padrão para os dois grupos de dados. Das 
afirmações a seguir sobre as medidas descritivas para o segundo grupo 
I. A média e o desvio-padrão descrevem mal onze dos doze novos valores. 
II. A média é maior que onze dos doze valores. 
III. O desvio-padrão é cerca de quatro vezes a amplitude de onze valores. 
IV. A média não descreve um valor “típico” nem um valor em torno do qual a 
maioria dos valores se concentra. 
A) I e IV, apenas. 
B) II e III, apenas. 
C) I, II e III, apenas. 
D) II, III e IV, apenas. 
E) I, II, III e IV. 
 
 
 
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Resolução 
 
A melhor forma de resolver exercício é demonstrando os resultados provenientes da 
amostra diferente. Suponha então: 
 
Amostra 2: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 60 
 
Vamos calcular a média e o desvio padrão para a amostra 1: 
 警é穴件欠 噺 な 髪 に 髪 に 髪 ぬ 髪 ぬ 髪 ぬ 髪 ね 髪 ね 髪 ね 髪 の 髪 の 髪 はどなに 噺 ひはなに 噺 ぱ 
 
Para calcular o desvio padrão, vamos usar nossa fórmula da variância: 
 兼é穴件欠 穴剣嫌 圏憲欠穴堅欠穴剣嫌 伐 圏憲欠穴堅欠穴剣 穴欠 兼é穴件欠 
 
Assim: 
 警é穴件欠 噺 な態 髪 に態 髪 に態 髪 ぬ態 髪 ぬ態 髪 ぬ態 髪 ね態 髪 ね態 髪 ね態 髪 のふ 髪 のふ 髪 はどふなに 噺 ぬばぬねなに 簡 ぬなな┸なは 
 
Assim: 
 撃欠堅件â券潔件欠 噺 ぬなな┸なは 伐 ぱ態 噺 にねば┸なは 
 
 
Como encontrar o desvio padrão, ou seja, a raiz de 247,16? Não precisa! Vamos 
encontrar um valor próximo. 
 にど 抜 にど 噺 ねどど なの 抜 なの 噺 ににの 
 
 
 
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Estes quadrados são bem fáceis de achar e muita gente sabe de cabeça. Portanto, o 
número que estamos procurando está entre 20 e 15. Se você tentar mais uma vez, 
você verá que este número está entre 15 e 16. Isso é o suficiente, portanto, vamos 
às alternativas: 
 
I.Com certeza! Veja a média, por exemplo, ela é bem maior (8) do que qualquer 
elemento original da amostra (11 primeiros). 
 
II.Correto. 
III.Correto. Se você continuasse chutando aquele desvio padrão, você encontraria 
algum número entre 15 e 16. Como a amplitude dos 11 elementos é de 4 (5-1), o 
desvio padrão é cerca de 4 vezes esta amplitude. 
IV.Perfeito, a média está longe de ser um valor “típico” 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 28 
 
(SC-CE – FUNCAB\2013) As notas de uma disciplina optativa precisam ser 
modificadas usando uma das duas opções seguintes: 
(a) aumentando cada nota em 3 pontos; 
(b) aumentando cada nota em 10%. 
O que se pode dizer sobre o resultado após a modificação? 
A) Ambas as opções alteram a variância. 
B) Somente (a) altera a variância. 
C) Somente (b) altera a média. 
D) Nenhuma das opções altera a variância. 
E) Ambas as opções alteram a média 
 
Resolução 
 
Basicamente, o que foi feito a um conjunto de variáveis (chamaremos de X) foi: 
 
 
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欠岻隙 髪 ぬ 決岻な┸な隙 
 
Nós já estudamos isso. Lembre-se das propriedades da média e variância: 
 
1 – A média aumentará em 3 unidades e ficará multiplicada por 1,1 
2 – A variância ficará multiplicada por 1,1² 
 
Ou seja, ambas alteram a média e só a segunda altera a variância. 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 29 
 
(CREA-RO – FUNCAB\2013) Um assistente administrativo registrou, na tabela a 
seguir, o número de filhos de um grupo de funcionários. 
 
 
 
De acordo com a tabela, a média aritmética, a moda e a mediana do número de 
filhos, são respectivamente: 
A) 1,72; 1 e 3. 
B) 1; 1,72 e 2. 
C) 1,72; 1 e 2. 
D) 2; 1,68 e 1. 
E) 1,78; 2 e 1. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
A moda é a mais fácil, é a observação com a maior frequência, portanto é o número 
1! 
 
Com base nisso, já eliminamos quase todas as alternativas, tirando a letra (a) e (c). 
Como ambas dão o mesmo valor para a média, não vale a pena calculá-la. Vamos 
partir para a mediana! 
 
Como até a segunda classe acumulam-se 24 observações de 50 (50%), falta mais 
uma unidade de frequência para atingirmos 50%. Isso ocorre na terceira classe, ou 
seja, a mediana é igual a 2. 
 
Alternativa (c). 
 
(SEFAZ\ES – CESPE\2013) Com base na tabela que demonstra o