SISTEMAS ESTRUTURAIS

Prévia do material em texto

SISTEMAS 
ESTRUTURAIS I
Mario Guidoux Gonzaga
Vigas isostáticas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Caracterizar uma viga isostática.
  Analisar as reações externas de apoios em vigas isostáticas e o surgi-
mento dos esforços solicitantes internos derivados das cargas estruturais.
  Determinar os esforços solicitantes internos em vigas isostáticas.
Introdução
As estruturas Isostáticas são os elementos estruturais com número de 
reações de apoio igual ao número de equações de equilíbrio. Nesses 
casos, todo movimento da estrutura de corpo rígido é impedido. Na 
prática, essas estruturas são normalmente apoiadas por um engaste ou 
por uma rótula e um apoio simples.
Neste capítulo, você conhecerá mais a fundo este objeto estrutural, 
bem como aprenderá a identificá-lo e a calcular suas reações nos apoios. 
Ao final do capítulo, você aprenderá a determinar os esforços solicitantes 
internos nesses elementos.
Vigas isostáticas
As estruturas podem ser classifi cadas quanto à sua vinculação em três grandes 
grupos: isostática, hipostática e hiperestática.
As estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio 
é igual ao número de equações de equilíbrio, ou seja, apresentam apoios 
dispostos de modo a impedir completamente o movimento de corpo rígido 
da estrutura. As vigas isostáticas são aquelas com apoios que não permitem 
nenhum tipo de movimento, podendo ser apoiadas por um engaste ou por uma 
rótula e um apoio simples.
Já as hipostáticas não possuem apoios suficientes para restringir todos os 
movimentos possíveis da estrutura, e ao passo que as hiperestáticas possuem 
número de vínculos maior que o necessário para manter o equilíbrio. Portanto, 
as estruturas do tipo isostática são as únicas que possuem número de incógnitas 
igual ao número de equações; as hipostáticas possuem incógnitas a menos 
e as hiperestáticas possuem mais incógnitas que equações (MACHADO 
JUNIOR, 1999).
Podem ser consideradas isostáticas vigas em balanço com um apoio en-
gastado, como mostra a Figura 1. 
Figura 1. Viga engastada.
Também podem ser consideradas vigas isostáticas aquelas que possuem 
um vínculo de primeira ordem – apoio simples – e um de segunda ordem – 
segundo gênero ou rótula –, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2. Viga com apoio de primeira e segunda ordens.
Vigas isostáticas2
Os apoios podem ser classificados em função do número de deslocamentos impedidos 
em três categorias (ver Figura 3):
1. Apoio simples – primeira ordem:
 ■ impede a translação em uma direção;
 ■ permite a translação na direção perpendicular àquela que impede;
 ■ permite a rotação em torno do eixo z.
2. Rótula – segunda ordem:
 ■ impede translações em x e y;
 ■ permite a rotação em torno de z.
3. Engaste:
 ■ impede translações em x e y;
 ■ impede a rotação em torno de Z.
Figura 3. Tipos de apoio.
Fonte: Adaptada de Cascão (2009).
Independentemente do tipo de estrutura que você estiver calculando, 
podem atuar nelas dois tipos de força: internas e externas. As externas 
são as forças ocasionadas por elementos que estão fora do conjunto anali-
3Vigas isostáticas
sado, ao passo que as internas se originam da interação entre os pontos ou 
corpos que formam o conjunto que você esteja trabalhando (MACHADO 
JUNIOR, 1999).
As forças externas são subdivididas entre ativas e reativas. Pelo nome você já 
pode deduzir a diferença entre as duas: as ativas são resultado de agentes externos 
que atuam sobre a viga, como elementos apoiados sobre estas, por exemplo; já as 
reativas são forças que surgem junto aos vínculos ou às ligações que impedem 
a movimentação da estrutura – os apoios –, e sua condição de existência é que 
alguma força externa ativa esteja atuando sobre a estrutura analisada. Observe a 
Figura 4 para entender melhor essas forças no exemplo do bloco A, apoiado sobre 
os blocos B e C, todos submetidos exclusivamente à ação de seus pesos próprios.
Figura 4. Bloco A apoiado sobre os blocos B e C.
Fonte: Adaptada de Machado Junior (1999).
Considerando a lei da gravidade, pode-se deduzir que o peso próprio do bloco 
A (Pa) é a força ativa a ser considerada sobre os blocos B e C, os quais geram 
uma força reativa sobre o bloco A, conforme mostra a Figura 5.
Figura 5. Forças ativas e reativas.
Fonte: Adaptada de Machado Junior (1999).
Vigas isostáticas4
Considerando o conjunto ABC como um único elemento estrutural, 
deve-se desconsiderar as forças de ação e reação entre os blocos, uma vez 
que estas são consideradas internas. Desse modo, resta apenas os pesos 
próprios dos blocos e a reação do apoio sobre o conjunto, conforme mostra 
a Figura 6.
Figura 6. Forças ativas e reativas.
Fonte: Adaptada Machado Junior (1999).
Reações externas de apoios em vigas isostáticas 
e esforços solicitantes internos derivados
As reações de apoio se opõem à tendência de movimento em virtude 
das cargas aplicadas, o que resulta em um estado de equilíbrio estável. 
Em estruturas isostáticas constituídas por uma única chapa, o número 
de equações de equilíbrio disponíveis é igual ao número de incógnitas, 
possibilitando o cálculo das reações de forma muito simples (MACHADO 
JUNIOR, 1999).
As condições de equilíbrio, para uma estrutura contida no plano xy, são:
Onde X e Y são componentes de força aplicadas em relação aos eixos 
x e y e M é o módulo dos momentos das forças aplicadas em relação a um 
5Vigas isostáticas
ponto do plano. Ainda, podem ser utilizadas, na resolução dos exercícios, três 
equações de momento:
Ou, ainda, uma equação de projeção e duas de momento:
O processo de cálculo das reações equivale a “isolar” a estrutura da terra, 
retirando os apoios, e aplicar na direção dos movimentos restringidos esforços 
incógnitos correspondentes. Essa primeira etapa é conhecida como diagrama 
de corpo livre da estrutura. Caso existam vínculos internos, os esforços cor-
respondentes a eles não devem ser considerados, visto que correspondem a 
forças internas de interação entre os elementos estruturais.
Para determinar as reações nos vínculos, os elementos estruturais devem 
ser isolados, com todas as forças aplicadas, incluindo as incógnitas já cal-
culadas. Aqui, os esforços correspondentes aos vínculos internos devem ser 
considerados.
Na análise das partes, os esforços correspondentes aos vínculos internos aparecem 
aos pares e com sentidos opostos.
Para cada elemento isolado, deve ser aplicado um dos três grupos de equa-
ções de equilíbrio.
Em vigas horizontais, cujo carregamento ocorre transversalmente ao seu 
eixo, não são necessários vínculos que impeçam seu deslocamento na direção 
axial. Assim, aplicam-se somente duas das três equações de equilíbrio. As 
reações verticais que atuam de baixo para cima serão convencionadas com 
sinal positivo, bem como as reações horizontais que atuam da esquerda para 
a direita.
Vigas isostáticas6
Vejamos alguns exemplos de aplicação:
Exemplo 01:
Viga simplesmente apoiada, carga concentrada de 60kN, aplicada a 4 m da 
extremidade A, conforme mostra a Figura 7.
Figura 7. (a) Viga carregada; (b) viga isolada.
Em (a), observa-se uma viga carregada vinculada por um apoio fixo e um 
móvel que impedem, apenas, a tendência da viga de deslocar-se verticalmente. 
Em (b), observa-se a viga isolada com as reações correspondentes aos vínculos, 
com sentido arbitrados como sendo positivos. Utilizando o grupo de equações 
com três momentos e adotando como sendo positivo para os momentos a 
tendência das forças em provocar rotação anti-horária, tem-se:
∑Ma = 0 ∑Mb = 0
6 × Rvb − 4 × 60 + 0 × Rva = 0 − 6 × Rva + 2 × 60 − 0 × Rvb = 0
6 × Rvb − 240 + 0 = 0 − 6 × Rva + 120 − 0 = 0
6 × Rvb = 240 − 6 × Rva = − 120
Rvb = 40 kN Rva = 20 kN
Os sinais positivos encontrados para Rva e Rvb indicam que o sentido 
das reações foi arbitrado corretamente. Para cargas distribuídas, é necessário 
calcular as forças equivalentes, conforme mostra a Figura 8.
7Vigas isostáticas
Figura 8. Viga simplesmenteapoiada com distribuída triangular.
∑Ma = 0 ∑Mb = 0
6 × Rvb − 4 × 18 + 0 × Rva = 0 − 6 × Rva + 2 × 18 − 0 × Rvb = 0
6 × Rvb − 72 + 0 = 0 − 6 × Rva + 36 − 0 = 0
6 × Rvb = 72 − 6 × Rva = − 36
Rvb = 12 kN Rva = 6 kN
A Figura 9 mostra uma viga em balanço (engastada), com carga unifor-
memente distribuída. O engastamento impossibilita a rotação e a translação 
no ponto A. 
Vigas isostáticas8
Figura 9. Viga em balanço com carga uniformemente distribuída
∑Y = 0 ∑Ma = 0
Rva − 20 = 0 − 2 × 20 + Ma = 0
Rva = 20 kN Ma = 40 kN/m
Esforços solicitantes internos 
em vigas isostáticas
Ao analisar uma estrutura, tem-se por objetivo determinar a reação que os 
apoios exercem na estrutura e as solicitações internas ao elemento estrutural. 
9Vigas isostáticas
Como você já sabe, as forças externas são aquelas exercidas por corpos externos 
à estrutura (CASCÃO, 2009), sejam elas ativas ou reativas, que precisam estar 
em equilíbrio. Já os esforços internos são aqueles provenientes da interação 
entre as partes do corpo que você esteja analisando. Essas forças surgem 
em qualquer seção de um corpo que está sobre infl uência de um sistema de 
forças externo.
Para entender os esforços solicitantes internos, imagine um corpo subme-
tido a um sistema de forças externas em equilíbrio, como mostra a Figura 10.
Figura 10. Corpo seccionado.
Fonte: Adaptada de Cascão (2009).
Se for feita uma seção S no corpo, como você pode ver na Figura 11, será 
necessário criar um sistema de forças internas para manter a estrutura em 
equilíbrio tanto à direita quanto à esquerda da seção S.
Figura 11. Solicitações internas.
Fonte: Adaptada de Cascão (2009).
Vigas isostáticas10
Conhecendo os esforços externos, é possível, portanto, inferir os esforços 
solicitantes internos (ESI), uma vez que estes são resultado dos primeiros. 
No Quadro 1, são apresentados os tipos de esforços, as convenções de 
sinais, os tipos de solicitações e os tipos de deformações, além dos diagra-
mas utilizados para representar cada uma das seis categorias de esforços 
solicitantes internos.
Fonte: Adaptado de Cascão (2009).
Quadro 1. Categorias de ESI
A melhor maneira para você entender os esforços solicitantes internos em 
uma viga isostática é olhando para um exemplo desse tipo de estrutura. Na 
Figura 12, você pode ver uma viga isostática que sofre duas cargas externas, 
uma vertical, de cima para baixo, de intensidade 3P, e uma horizontal, da 
esquerda para a direita, de intensidade 2P.
11Vigas isostáticas
Figura 12. Viga isostática.
Fonte: Adaptada Cascão (2009).
Com a decomposição das forças, distribuindo as cargas nos dois apoios, 
conforme as restrições que estes exercem, chegamos no seguinte modelo 
matemático, desenhado na Figura 13.
Figura 13. Cargas distribuídas.
Fonte: Adaptada Cascão (2009).
Neste exemplo, você pode verificar os esforços solicitantes internos na 
seção S1, localizada entre o apoio A e as cargas pontuais. Para tanto, por se 
tratar de uma estrutura isostática, você pode optar por considerar o sistema à 
direita ou à esquerda de S1. Independentemente de qual lado você escolher, 
obterá os mesmos resultados.
Vigas isostáticas12
Quando trabalhar com estruturas isostáticas, não interessa qual lado da seção você 
escolher, pois o equilíbrio da estrutura faz com que os dois lados gerem o mesmo 
resultado. No entanto, é recomendado escolher o lado mais simples, com menos forças, 
pois, por facilitar os cálculos, diminui a chance de erros nos seus cálculos.
Levando-se em consideração a escolha do lado mais simples da seção, trabalharemos 
à esquerda de S1, pois, dessa forma, precisamos levar em consideração apenas as reações 
no apoio A. Neste exemplo, adotaremos a convenção de sinais contidos no Quadro 1.
Logo, os esforços solicitantes internos na seção S1 para a estrutura da Figura 11 são:
N (Normal) = +2P (tração)
Q (Cortante) = +P (sentido horário)
M (Momento) = +Pa (fibras inferiores tracionadas)
CASCÃO, M. Estruturas isostáticas. Rio de Janeiro: Oficina de Textos, 2009
MACHADO JUNIOR, E. F. Introdução à isostática. São Carlos: EESC-USP, 1999
13Vigas isostáticas