Cálculo de Derivadas e Máximos e Mínimos

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#ATIVIDADE - 2
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos					 ANO:	2020
1- Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
a) 
 R: 
b) 
 f '(x)= 2.x^-2 
f '(x)= 2. (-2x^-2-1)
 f '(x)= - 4x^-3
 R: 
c) 
y= + 
 y = 
 R: 
d) 
y= x1/3
y’=
y’=
R : 
e) 
F(x) = 18x² - 3x +6 – 1/x F(x) = 18x² - 3x +6 – x-¹ F(x) = 36x -3+ x-²
 R : 
f) 
Y’= 5x³-¹	- 2x²-¹ -1x ¹-¹ a+b		 a-b
 R: 
g) 
 y' = 3.x+1^x-1 /x^3 /2
 y' = 3x^x-1/3x^x-1 /2 
y' = (x+1)³ / (x x³) . 2
 R: 
h) 
Y= (2x^2-x)(3x+2)
Y=6x^3+4x^2-3x^2-2x t Y=6x^3+x^2-2x 
 R: 
i) 
y = 2x^4/b²-2x²
y' = 8x³.(b²-2x²)-(2x^4.(-4x))/ (b²-2x²)²
y' = 8x³b² - 16x³+3x³/ (b²-2x²)²
 R: 
j) 
y’ = (-1a+x)-(a-x-1) / (a+x)²
y’ = (-a-x) - (a-x )/ (a_x)² y’ = -a-x-a+x / (a+x)²
 R: 
k) 
 y = (a−xa+x)³
y =(a−x)³/(a+x)³ 
y′ = g′h−h′g /h²
y′= 3(a−x)²(a+x)³−3(a+x)²(a−x)³ / (a+x)^6 
y′ =3(a−x)² (a+x)−3(a−x)³ /(a+x)³
 R: 
l) 
 
 R: 
m) 
y’= (1+³√x³ )
y’ = d/dx (1+³√x³)
y’ = d/dx ( 1 ) + d/dx (³√x³)= y’ = 0+1= 1
 R: 
n) 
F'(x) / g'(x) =
[g(x) . f'(x) - f(x) . g'(x)] ÷ [g(x)^2] 
f(x) = (2x^2 - 1)
f'(x) = 4x
g(x) = x . V(1 + x)^2
x . [(1 + x)^2]^1/2
g'(x) = (x/2) . 2x
o) 
dy/dx = dy/du.du/dx = 5u⁴.2x = 10x.(x²-a²)⁴
 R: 
2- Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:
Respostas:
a) F'(x)=2x, logo, f'(4)=2.4=8
b) F'(x)=2x, logo, f'(3)=2
c) f'(x)=-3, logo, f'(1)=-3
d) f'(x)=2x-3, logo, f'(2)=2.2-3=1
e) f'(x)=2x, logo, f'(0)=2.0=0
f) f'(X)=20x³+3x²-6x+9, logo, f'(0)=20.0³+3.0²-6.+9= 9
g) f' (x) = -x^(-1-1)
f' (x) = -x^-2
f' (2) = -2^-2 = -1/2² = -1/4
h) - f’x= 
f'(5) = 4/9
Aplicação de derivaras e máximos e minimos
1-Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno.
R: V= a². y= 32
Y=32
 a²
A= 4.a.a²
2ª³-128=0
A=4
y=2
As dimensões da piscina para que se tenha mínimo gasto de material são, 4m, 4m e 2m.
2- Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima?
R: 2(x+y) =1500 
X+y= 1500/2 
X+y= 750
 X=750-y 
A=y(750-y)
A= 750y-y² 
A’(y)= 750-2y
Com, a’(y)=0 
0= 750-2y
2y=750 Y= 750/2 
Y= 375m
Outra dimensão 
X=750-y
X=750-375 
X=375m
Ou seja, A=375.375 
A= 140625m²
3- Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado? 
R:
Como o perímetro é de 20 m, as dimensões do retângulo são de 10 – x e x.
A (x) = x∙(10 – x) = 10 x – x2
A área será máxima, quando a tangente tiver inclinação zero.
A’(x) = 10 – 2x
Igualando- se a derivada a zero, 10 – 2.x = 0, deixando x em evidencia o resultado de x é 5.
Deve se fazer a horta com dimensão de 5x5 para obter a máxima utilização da tela.
4- Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3.
R. Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, O volume desta caixa é dado por: V = 3x. x. y = 3 x y
A = ( 3 x x + 2 x y x y), logo a área A = 3 x + 8 x y (22) Substituindo a área, A(x) = 3 x + 8 x = 3 x + (23) A(x) = 3 x + 96 x à zero, assim: Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar A (x) = ( ) (24) A () = 3 x + 9 x 96 x = 6 x 96 x A (x) = 0, A (x) = 6 x 96 = 0 x = 16 = 2 2 2,52 metros. Para calcular a altura é só substituir a medida x em y =, y =, logo, y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36 m 3, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m.
5- O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima?
R.
At = 2.πR² + 2πR.H
At = 2.πR² + 2πR.(800/πR²) 
At = 2.πR² + 1600/R
At' = 4πR - 1600/R²
0 = 4πR - 1600/R²
1600/R² = 4πR
1600 = 4πR³
R³ = 400/π
R = ∛(400/π) cm = 5,03 cm
H = 800/πR²
H = 800/π(5,03)² 
H = 10,06 cm
6- Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16m. Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que sua dimensão seja máxima.
CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
2x+y=16 y = 16-2x
A = x*(16-2x) A = 16x-2x^2 A' = 16 - 4x
x = 16/4 = 4 y = 16-2(4)
y = 8
Agora sabemos que x = 4 e y = 8 
A = 4*8 = 32 m²
7- Sabendo-se que o custo total de produção de microondas por dia é de R$ e o preço unitário é de R$. Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja máximo?
C(x)= .x²+70.x50
P(x)=100-x
R(x)= 100.x-x²
L(x)= R(x)-C(x)= (100.x-x²) - (.x²+70.x+50)
L(x)=100.x-x²-
L(x)= -
L’^(x)= -3x+30
L(x)= -3x+30=0
X=30/3 = 10 , é necessário fabricar 10 micro-ondas por dia.
8- No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de venda maximizará o lucro? 
Lucro 3,10 ou 310 centavos. 300-x
Quantidade vendida, 500+50x
L=L(x)=(300-x) . (500+50x)
L(x)= 155000+15500x-500x-50x²
L’^(x)= 15000-100x
L(x)= 15000-100x=0
X=150
Realizando a derivada da segunda é de -100, então 150 é o máximo, então o preço de venda deve ser de R$3,00.
9-
A) Deve se derivar a função s(t)=60t-5.t² a derivada da primeira desta função é aceleração como ensinado em aula então
S’^(t)=10t-60
Iguala a função a 0 para achar t
(t)=10t-60=0
(t)= 6segundos
B) Deve substituir o tempo na função 
s(t) = 60t-5.t²
s(t)= 60.6-5.6²
S(6)= 180 metros
10-
A) Derivando s=cos.t tem a velocidade 
s(t) = V(t)
s’(t)= -sen.t
Substituindo
V
B) Sua aceleração no instante =
Derivando a velocidade v(t)=a(t)
V(t)= -sen.t =a(t)= -cos.t
Substituindo= a(t)= -cos.= m/s²
11-
Q’(t)= 48t³-144t²
Igualar a 0
18t³-144t²=0
Isolando, t=3
Quando q(0)=0 e q(3)= -324 acorrente atinge o valor minimo de 3 segundos.
12-
A) 
Media 5 e 6 é 5,5
b) 
= -3
13- 
Volume= V = 
Raio = 0,5
/dia
14-
V(r)= kr²(R-r)
V(r)= kRr² - kr³
V’^(r)= 2kRr- 3kr²
Iguala a 0
2kRr- 3kr²=0
Kr(2R-3r3)=0
Kr= 0 ou 2R- 3r=0
Kr=0 ou 3.r = 2R
r= 2R/3
V( 2R/3)= 4kR³/ 27
15-
P= 
P’= 
P’= 
P’= 0
 =0
25-t²=0
T²=25
T=5
Após 5 anos.
16-
Realizando a Derivada de: f(x)kx(20000-x)
F’(x)= k.(20000-x)+1.(kx)
-2kx+20000k
2kx= 20000k
X= 10000 peixes
4
2
+
=
x
dx
dy
(
)
2
2
x
x
f
=
(
)
3
4
x
x
f
-
=
¢
2
3
2
3
x
x
y
+
=
(
)
1
2
3
2
+
=
x
dx
dy
3
x
y
=
3
2
3
1
x
dx
dy
=
(
)
(
)
1
6
1
3
-
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
x
x
x
x
f
(
)
3
1
36
2
-
+
=
x
x
dx
x
df
x
b
a
x
b
a
x
y
-
-
-
+
=
2
5
1
2
5
4
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-
-
+
=
b
a
x
b
a
x
dx
dy
(
)
2
3
3
1
x
x
y
+
=
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)
(
)
2
5
2
1
2
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2
x
x
x
dx
dy
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+
=
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)
(
)
2
3
1
2
+
-
=
x
x
x
y
(
)
1
9
2
2
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+
=
x
x
dx
dy
2
2
4
2
x
b
x
y
-
=
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)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
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x
b
x
b
x
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dy
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-
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x
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x
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y
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)
2
2
x
a
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dy
+
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ö
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x
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x
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(
)
4
2
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x
a
x
a
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dx
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-
=
x
x
y
-
+
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1
1
(
)
2
1
1
1
x
x
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dy
-
-
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3
3
1
x
y
+
=
2
3
1
1
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
x
x
x
dx
dy
2
2
1
1
2
x
x
x
y
+
-
=
(
)
5
2
2
a
x
y
-
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4
2
2
10
a
x
x
dx
dy
-
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6
4
3
)
(
)
5
5
9
3
5
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(
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2
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9
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0
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4
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0
2
0
2
2
0
0
2
3
4
0
2
0
2
0
0
0
2
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+
-
=
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+
-
+
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-
+
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+
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x
para
x
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i
x
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x
x
x
x
f
h
x
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x
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x
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x
x
x
x
x
f
f
x
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x
x
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x
x
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x
para
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x
f
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x
para
x
x
f
b
x
para
x
x
f
a
x
x
y
4
2
+
=