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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
#ATIVIDADE - 2 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos ANO: 2020 
 
 
1- Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: 
a) xxy 42  
y=x²+4x 
y'=2x^2-1+4(1) 
y'= 2x+4 
 
b)  
2
2
x
xf  
f '(x)= 2.x^-2 
 f '(x)= 2. (-2x^-2-1) 
f '(x)= - 4x^-3 
 f '(x)= - 4/x³ R:  
3
4
x
xf  
c) 
2
3
2
3 xx
y  
y=3x² + 3 2 2 
 y = 3x²+3 2 
 y = 3 (x²+1) 2 
d) 3 xy  
y= x1/3 
 y’= 1 x1/3-1 3 
y’= 1 . x -2/3 3 
y’= 1 . 1 3 x2/3 
 
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y’= 1 3³ Vx² 
e)    1613 




  x
x
xxf 
F(x) = 18x² - 3x +6 – 1/x 
F(x) = 18x² - 3x +6 – x-¹ 
 F(x) = 36x -3+ x-² 
 F(x) 36x + 1 -3 X² 
f) x
ba
x
ba
x
y 




25
 
Y’= 5x³-¹ - 2x²-¹ -1x ¹-¹ a+b a-b 
y’ = 5x4 - 2x -1 
a+b a-b 
 
g) 
 
2
3
31
x
x
y

 
y' = 3.x+1^x-1 /x^3 /2 
y' = 3x^x-1/3x^x-1 /2 
y' = (x+1)³ / (x x³) . 2 
y' = -(x+1)² (x+4) / 2x^5 
 
h)   2312  xxxy 
Y= (2x^2-x)(3x+2) 
Y=6x^3+4x^2-3x^2-2x t 
Y=6x^3+x^2-2x 
dy/dx=18x^2+2x-2 
 
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i) 
22
42
xb
x
y

 
y = 2x^4/b²-2x² 
y' = 8x³.(b²-2x²) - (2x^4.(-4x))/ (b²-2x²)² 
 y' = 8x³b² - 16x³+3x³/ (b²-2x²)² 
y' = 8x³b²-8x³/(b²-2x²)² 
j) 
xa
xa
y


 
y’ = (-1a+x)-(a-x-1) / (a+x)² 
y’ = (-a-x) - (a-x )/ (a_x)² 
y’ = -a-x-a+x / (a+x)² 
y’ = 2a / (a+x)² 
k) 
3









xa
xa
y 
y = (a−xa+x)³ 
 y =(a−x)³/(a+x)³ 
y′ = g′h−h′g /h² 
y′= 3(a−x)²(a+x)³−3(a+x)²(a−x)³ / (a+x)^6 
y′ =3(a−x)² (a+x)−3(a−x)³ /(a+x)³ 
l) 
x
x
y



1
1
 
y’ = 1/(x-1)² . √x + 1 /1-x 
m)  331 xy  
y’= (1+³√x³ ) y’ = d/dx (1+³√x³) 
y’ = d/dx ( 1 ) + d/dx (³√x³)= 
 y’ = 0+1= 1 
 
 
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n) 
2
2
1
12
xx
x
y


 
F'(x) / g'(x) = 
[g(x) . f'(x) - f(x) . g'(x)] ÷ [g(x)^2] 
f(x) = (2x^2 - 1) 
f'(x) = 4x 
g(x) = x . V(1 + x)^2 
 x . [(1 + x)^2]^1/2 
g'(x) = (x/2) . 2x 
 
o)  522 axy  
dy/dx = dy/du.du/dx = 5u⁴.2x = 10x.(x²-a²)⁴ 
∴ dy/dx = 10x.(x²-a²)⁴ 
 
2- Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2












xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
 
 
 
 
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a) F'(x)=2x, logo,f'(4)=2.4=8 
 b) F'(x)=2x, logo,f'(3)=2 
c) f'(x)=-3, logo, f'(1)=-3 
d) f'(x)=2x-3, logo,f'(2)=2.2-3=1 e) 
f'(x)=2x, logo, f'(0)=2.0=0 f) f'(X)=20x³+3x²-6x+9, logo, f'(0)=20.0³+3.0²-6.+9= 9 
 g) f' (x) = -x^(-1-1) 
f' (x) = -x^-2 
f' (2) = -2^-2 = -1/2² = -1/4 
Aplicação de derivaras e máximos e minimos 
 
1-Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. 
Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu 
revestimento interno. 
Resposta: 
4 x 4= 16 ( quadrado tem medidas iguais ) * 2 (altura) = 32 
 
2- Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais 
dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que 
se tenha uma área máxima? 
Resposta: 
2(x+y) =1500 
X+y= 1500/2 
 X+y= 750 
X=750-y 
A=y(750-y) 
A= 750y-y² 
A’(y)= 750-2y 
Com, a’(y)=0 
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0= 750-2y 
2y=750 
Y= 750/2 
Y= 375m 
Outra dimensão 
X=750-y 
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EXATAS E DA TERRA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO X=750-375 X=375m Ou seja, 
A=375.375 A= 140625m² 
3- Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. 
Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do 
retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado? 
Resposta: 
5 m x 5 m; A = 25 m2 Para que seja possível ter o maior aproveitamento da área com os 20m 
de tela, a dona de casa deverá fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m, onde obterá uma área 
útil de 25m² 
4- Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e 
cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao 
triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir 
o reservatório de volume de 36 m3. 
Resposta: 
Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, O volume desta caixa é 
dado por: V = 3 x x y = 3 x y A = ( 3 x x + 2 x y x y), logo a área A = 3 x + 8 x y (22) Substituindo a 
área, A(x) = 3 x + 8 x = 3 x + (23) A(x) = 3 x + 96 x à zero, assim: Para encontrar o valor máximo 
ou mínimo é preciso derivar a área e igualar A (x) = ( ) (24) A () = 3 x + 9 x 96 x = 6 x 96 x A (x) = 
0, A (x) = 6 x 96 = 0 x = 16 = 2 2 2,52 metros. Para calcular a altura é só substituir a medida x em y 
=, y =, logo, y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de material para 
um tanque de volume 36 m 3, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente, 
7,56 m, 2,52 m e 4,76 m. 
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5- O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um 
contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio 
com capacidade de 800 cm3. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de 
cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua 
fabricação seja mínima? 
Resposta: 
At = 2.πR² + 2πR.H 
At = 2.πR² + 2πR.(800/πR²) 
At = 2.πR² + 1600/R 
At' = 4πR - 1600/R² 
0 = 4πR - 1600/R² 
1600/R² = 4πR 
1600 = 4πR³ 
R³ = 400/π 
R = ∛(400/π) cm = 5,03 cm 
H = 800/πR² 
H = 800/π(5,03)² 
H = 10,06 cm 
6- Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela 
de 16m. Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões 
do mesmo para que sua dimensão seja máxima. 
 
 
 
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2x+y=16 
y = 16-2x 
A = x*(16-2x) 
 A = 16x-2x^2 
A' = 16 - 4x 
x = 16/4 = 4 
y = 16-2(4) 
y = 8 Agora sabemos que x = 4 e y = 8 
A = 4*8 = 32 
 
7- Sabendo-se que o custo total de produção de 𝒙 microondas por dia é de R$
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 + 𝟕𝟎𝒙 + 𝟓𝟎 
e o preço unitário é de R$(𝟏𝟎𝟎 − 𝒙). Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja máximo? 
Resposta: 
O Lucro Total é dado por L = Receita (R) Custo (C), onde a Receita = P(x).x. C(x) = x + 70 x +50, 
P(x) = (100 x) e R(x) = 100 x x (30) L(x) = R(x) C(x) = [100 x x ] - x + 70 x + 50 L(x) = 100 x x - x 
70 x 50 L(x) = x + 30 x 50 
8- No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 
pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar 
no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de 
venda maximizará o lucro? 
Resposta: 
L = L(x) = (310 x) ( x) = x 500x 50x (32) L(x) = x 50x 
 
 
 
 
 
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9- 
 
Uma bola de basquete é lançada verticalmente para cima, por um menino, e tem posição s no decorrer 
do tempo t dadas pelas funções horárias s(t)=60t – 5t² (s em metros e t em segundos). Qual o tempo 
gasto para atingir a altura máxima. E qual a altura máxima em relação ao solo 
Resposta: 
Uma bola de basquete é lançada verticalmente para cima, por um menino, e tem posição s no decorrer 
do tempo t dadas pelas funções horárias s(t)=60t – 5t² (s em metros e t em segundos). Qual o tempo 
gasto para atingir a altura máxima. E qual a altura máxima em relação ao solo? 
 
( -60/(2*(-5)) , -3600/(4*(-5))) ( 60/10 , 3600/20) ( 6 , 180) 
 Demora 6 segundos até atingir o máximo atinge uma altura máxima de 180 metros 
 
Podemos calcular a altura máxima a partir da equação 𝑠(𝑡) = 60𝑡 − 5𝑡² substituindo o t por 6 e calcular 
o s(6) s(6) = 60*6 - 5*6² = 180 metros 
 
10- 
 
Derivando-se a função s(t) = cos t, obtém-se como solução da letra a : s (t) = v(t) = sen t (38) v π 4 = 
sen π 4 v π 4 = 2 2 m/s Derivando a velocidade em função do tempo tem-se: v (t) = a(t) = cos t (39) 
 
 
11- 
 
 
Uma carga elétrica, em Coulombs, transmitida através de um circuito varia de acordo com a função 
q(t)=12t4 -48t2. Qual o tempo t quando a corrente i=q’(t) atinge seu valor minimo? 
 
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12- 
 
Este problema envolve taxa de variação da Temperatura em graus em relação ao tempo, logo ao 
derivar T em relação t: = 0,1 ( t) (41) 
 
 
13- 
 
No tempo t o tumor tem raio r = 0,5 cm, = 0,001 cm e volume V =. π. r, então: = 4 π r (44) dv dt = 4 
π (0,5) 0,001 dv dt = 4 π 0,25 0,001 dv dt = 0,001. π cm /dia Problema da velocidade 
 
14- 
 
 
Melhorando a expressão V(r) = krr kr, derivando-a e igualando a zero tem-se: V (r) = 2kRr 3kr (45) 
V (r) = 0 
 
 
15- 
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Derivando-se a expressão da população dessa espécie em relação ao tempo em anos e em seguida 
igualando a zero tem-se o tempo em que a população é máxima, assim: p = 100 (46) p = 100. (2 t + 
5) (t + 25) (t + 5 t + 25) 2 t [t + 25] p = t [t + 25] p = 500 [25 t ] [t + 25] p = [25 t ] [t + 25] = 0 [25 t ] 
= 0 
 
16- 
 
Resposta: 
Derivando a expressão, tem-se: f(x) = kx( x) (47) f (x) = k 2kx 2kx = k x = peixe