Atividade Completa

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
#ATIVIDADE - 2 
DISCIPLINA​: ​CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
PROFESSOR​: Wilson Espindola Passos ​ANO​: 2020 
 
 
1- Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: 
a) 
y=x²+4x 
y'=2x^2-1+4(1) 
y'= 2x+4 
 
b) 
f '(x)= 2.x^-2 
f '(x)= 2. (-2x^-2-1) 
f '(x)= - 4x^-3 
f '(x)= - 4/x³ 
 
c) 
y=​3x² ​+ ​3 
 2 2 
y = ​3x²+3 
 2 
y =​ 3​ (x²+1) 
 2 
 
 
 
 
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d) 
y= x1/3 
y’=​ 1​ x1/3-1 
 3 
y’=​ 1​ . x -2/3 
 3 
y’= ​ 1 ​ . ​ 1 
 3 x2/3 
y’​= ​1 
 3³ Vx² 
 
e) 
F(x) = 18x² - 3x +6 – 1/x 
F(x) = 18x² - 3x +6 – x-¹ 
F(x) = 36x -3+ x-² 
F(x) 36x +​ 1 ​-3 
 X² 
f) 
Y’= ​ 5x³-¹ ​ - ​2x²-¹ ​ -1x ¹-¹ 
 a+b a-b 
y’ = ​5x4 ​ - ​ 2x ​ -1 
 a+b a-b 
 
 
 
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g) 
y' = 3.x+1^x-1 /x^3 /2 
y' = 3x^x-1/3x^x-1 /2 
y' = (x+1)³ / (x x³) . 2 
y' = -(x+1)² (x+4) / 2x^5 
 
h) 
Y= (2x^2-x)(3x+2) 
Y=6x^3+4x^2-3x^2-2x t 
Y=6x^3+x^2-2x 
dy/dx=18x^2+2x-2 
i) 
y = 2x^4/b²-2x² 
y' = 8x³.(b²-2x²) - (2x^4.(-4x))/ (b²-2x²)² 
y' = 8x³b² - 16x³+3x³/ (b²-2x²)² 
y' = 8x³b²-8x³/(b²-2x²)​² 
j)​ 
y’ = (-1a+x)-(a-x-1) / (a+x)² 
y’ = (-a-x) - (a-x )/ (a_x)² 
y’ = -a-x-a+x / (a+x)² 
y’ = 2a / (a+x)² 
 
 
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k) 
y = (a−xa+x)³ 
y =(a−x)³/(a+x)³ 
y′ = g′h−h′g /h² 
y′= 3(a−x)²(a+x)³−3(a+x)²(a−x)³ / (a+x)^6 
y′ =3(a−x)² (a+x)−3(a−x)³ /(a+x)³ 
 
l) 
y’ = 1/(x-1)² . /1-x√x + 1 
 
m) 
y’= (1+³√x³ ) 
y’ = d/dx (1+³√x³) 
y’ = d/dx ( 1 ) + d/dx (³√x³)= 
y’ = 0+1= 1 
 
 
 
 
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n) 
F'(x) / g'(x) = 
[g(x) . f'(x) - f(x) . g'(x)] ÷ [g(x)^2] 
f(x) = (2x^2 - 1) 
f'(x) = 4x 
g(x) = x . V(1 + x)^2 
 x . [(1 + x)^2]^1/2 
g'(x) = (x/2) . 2x 
 
 
o) 
dy/dx = dy/du.du/dx = 5u⁴.2x = 10x.(x²-a²)⁴ 
∴ dy/dx = 10x.(x²-a²)⁴ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2- Para cada função f(x), determine a derivada f​’​(x) no ponto x​0​ indicado: 
 
 
a) F'(x)=2x, logo,f'(4)=2.4=8 
b) F'(x)=2x, logo,f'(3)=2 
c) f'(x)=-3, logo, f'(1)=-3 
d) f'(x)=2x-3, logo,f'(2)=2.2-3=1 
e) f'(x)=2x, logo, f'(0)=2.0=0 
f) f'(X)=20x³+3x²-6x+9, logo, f'(0)=20.0³+3.0²-6.+9= 9 
g) f' (x) = -x^(-1-1) 
f' (x) = -x^-2 
f' (2) = -2^-2 = -1/2² = -1/4 
h) -​ f'x = (x²+5)²
(10x +2). (x²+5) − (5x² +3x−9). (2x) 
f'(5) = 4/9 
i - 
 
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Aplicação de derivaras e máximos e minimos 
 
1-Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m​3 de água. 
Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu 
revestimento interno. 
4 x 4= 16 ( quadrado tem medidas iguais ) * 2 (altura) = 32 
 
2- Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais 
dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que 
se tenha uma área máxima? 
R. 
2(x+y) =1500 
X+y= 1500/2 
X+y= 750 
X=750-y 
A=y(750-y) 
A= 750y-y² 
A’(y)= 750-2y 
Com, a’(y)=0 
0= 750-2y 
2y=750 
Y= 750/2 
Y= 375m 
Outra dimensão 
X=750-y 
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X=750-375 
X=375m 
Ou seja, 
A=375.375 
A= 140625m² 
 
3- Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. 
Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do 
retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado? 
R.​ 5 m x 5 m; A = 25 m2 
Para que seja possível ter o maior aproveitamento da área com os 20m de tela, a dona de casa deverá 
fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m, onde obterá uma área útil de 25m² 
 
 
4- Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e 
cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao 
triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para 
produzir o reservatório de volume de 36 m​3​. 
R​. ​I​ndicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, O volume desta caixa é dado por: 
V = 3 x x y = 3 x y 
A = ( 3 x x + 2 x y x y), logo a área A = 3 x + 8 x y (22) Substituindo a área, A(x) = 3 x + 8 x = 3 x + (23) 
A(x) = 3 x + 96 x à zero, assim: Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar 
A (x) = ( ) (24) A () = 3 x + 9 x 96 x = 6 x 96 x A (x) = 0, A (x) = 6 x 96 = 0 x = 16 = 2 2 2,52 metros. Para 
calcular a altura é só substituir a medida x em y =, y =, logo, y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que 
permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36 m 3, são aproximadamente: 
comprimento, largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m. 
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5- O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um 
contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em 
alumínio com capacidade de 800 cm​3​. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da 
altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio 
utilizada para sua fabricação seja mínima? 
R. 
At = 2.πR² + 2πR.H 
At = 2.πR² + 2πR.(800/πR²) 
At = 2.πR² + 1600/R 
At' = 4πR - 1600/R² 
 
0 = 4πR - 1600/R² 
1600/R² = 4πR 
1600 = 4πR³ 
 
R³ = 400/π 
R = ​∛​(400/π) cm = 5,03 cm 
 
H = 800/πR² 
H = 800/π(5,03)² 
H = 10,06 cm 
 
 
 
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6- Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma 
tela de 16m. Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as 
dimensões do mesmo para que sua dimensão seja máxima. 
 
 
 
2x+y=16 
y = 16-2x 
A = x*(16-2x) 
A = 16x-2x^2 
A' = 16 - 4x 
x = 16/4 = 4 
y = 16-2(4) 
y = 8 
Agora sabemos que x = 4 e y = 8 
A = 4*8 = 32 
 
 
 
 
 
 
 
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7- Sabendo-se que o custo total de produção de microondas por dia é de R$ x 
e o preço unitário é de R$ . Qual deve ser a produção diária para que o x 0x 0( 21 2 + 7 + 5 ) (100 )− x 
lucro seja máximo? 
R​. ​O Lucro Total é dado por L = Receita (R) Custo (C), onde a Receita = P(x).x. C(x) = x + 70 x + 50, P(x) 
= (100 x) e R(x) = 100 x x (30) L(x) = R(x) C(x) = [100 x x ] - x + 70 x + 50 L(x) = 100 x x - x 70 x 50 L(x)= x + 30 x 50 
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação à x, L (x) = 3 x + 30 (31) Para calcular os pontos 
críticos de L é só igualar L'(x) a zero, ou seja, L (x) = 0, e vêm 3. x + 30 = 0, que resultará em x = 10, ponto 
crítico da função. 
Portanto, é preciso fabricar 10 microondas por dia. 
 
 
 
8- No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 
pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar 
no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de 
venda maximizará o lucro? 
R​. ​ ​L = L(x) = (310 x) ( x) = x 500x 50x (32) L(x) = x 50x 
 
 
 
 
 
 
 
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9- 
 
 
R​. Uma bola de basquete é lançada verticalmente para cima, por um menino, e tem posição s no 
decorrer do tempo ​t ​dadas pelas funções horárias ​s(t)=60t – 5t² (s em metros e t em segundos)​. Qual 
o tempo gasto para atingir a altura máxima. E qual a altura máxima em relação ao solo? 
 
( -60/(2*(-5)) , -3600/(4*(-5))) 
( 60/10 , 3600/20) 
( 6 , 180) 
 
demora 6 segundos até atingir o máximo 
atinge uma altura máxima de 180 metros 
 
b) podemos calcular a altura máxima a partir da equação ​𝑠​(​𝑡​) = 60​𝑡 − 5​𝑡​² substituindo o t por 6 e 
calcular o s(6) 
s(6) = 60*6 - 5*6² = 180 metros 
 
 
10- 
 
R. ​Derivando-se a função s(t) = cos t, obtém-se como solução da letra a : s (t) = v(t) = sen t (38) v π 4 = sen 
π 4 v π 4 = 2 2 m/s Derivando a velocidade em função do tempo tem-se: v (t) = a(t) = cos t (39) 
 
 
 
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11- 
 
R​. ​Derivando-se a expressão q(t) = 12 t 4 8 t e em igualando a zero resultará em: q (t) = 48 t 144 t (40) q (t) 
= 0 48 t 144 t = 0 t = 0 segundo ou t = 3 segundos Assim, para q(0) = 0 e q(3) = 324, logo a solução é t = 3 
segundos. 
 
 
12- 
 
R. ​Este problema envolve taxa de variação da Temperatura em graus em relação ao tempo, logo ao derivar T 
em relação t: = 0,1 ( t) (41) 
 
 
13- 
 
R​. ​No tempo t o tumor tem raio r = 0,5 cm, = 0,001 cm e volume V =. π. r, então: = 4 π r (44) dv dt = 4 π 
(0,5) 0,001 dv dt = 4 π 0,25 0,001 dv dt = 0,001. π cm /dia Problema da velocidade 
 
 
 
 
 
 
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14- 
 
R. ​Melhorando a expressão V(r) = krr kr, derivando-a e igualando a zero tem-se: 
 V (r) = 2kRr 3kr (45) V (r) = 0 
 
 
15- 
 
R​. ​Derivando-se a expressão da população dessa espécie em relação ao tempo em anos e em seguida 
igualando a zero tem-se o tempo em que a população é máxima, assim: p = 100 (46) p = 100. (2 t + 5) (t + 
25) (t + 5 t + 25) 2 t [t + 25] p = t [t + 25] p = 500 [25 t ] [t + 25] p = [25 t ] [t + 25] = 0 [25 t ] = 0 
 
 
16-
 
R​. Derivando a expressão, tem-se: f(x) = kx( x) (47) f (x) = k 2kx 2kx = k x = peixe 
 
 
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