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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA GES 104 - Estatística Aplicada à Engenharia Profs. Izabela R. C. de Oliveira e Tales J. Fernandes LISTA DE EXERCÍCIOS 4: Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas 1- Considere ninhadas de n = 3 filhotes de coelhos e que os eventos “nascer macho” e “nascer fêmea” sejam equiprováveis. Sendo X a variável aleatória que representa a ocorrência de filhotes fêmeas, cons- trua a distribuição de probabilidades de X e o seu respectivo gráfico. 2- A função de probabilidade da variável aleatória X é: P (X) = 1 5 , para X = 1, 2, 3, 4, 5. Calcular E(X) e E(X2). Usando esses resultados e as propriedades de esperança disponíveis no campus virtual, calcule: a) E(X + 3)2 b) VAR(3X − 2) 3- Uma pessoa vende um determinado tipo de máquina usado em construções. Visita semanalmente uma, duas ou três construtoras com probabilidades 0,2, 0,5 e 0,3, respectivamente. De cada contato pode conseguir a venda de 1 máquina por R$ 120.000,00 com probabilidade de 0,3, ou nenhuma venda com probabilidade 0,7. Determinar o valor total esperado (médio) das vendas semanais. 4- Seja X a renda familiar em R$ 1000,00, e Y o número de carros da família. Considere o quadro: X 2 3 4 2 3 3 4 2 2 3 Y 1 2 2 2 1 3 3 1 2 2 Calcular: a) E(X), E(Y ) b) VAR(X), VAR(Y ) 5- Seja X o número de peças com defeito produzidas em um turno de determinada indústria. A distribuição de probabilidades de X é dada por: X 0 1 2 3 4 P (X = xi) 0,41 0,37 p 0,05 0,01 a) Qual a probabilidade de serem encontradas duas peças defeituosas neste turno? b) Qual a probabilidade de ser encontrada no máximo uma peça defeituosa neste turno? E de serem encontradas mais de 3 peças defeituosas? c) Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão de peças defeituosas neste turno. 6- Na produção de uma peça são empregadas duas máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças, e o custo de produção é de R$50,00 por unidade. Das peças produzidas nessa máquina, 90% são perfeitas. As peças defeituosas (produzidas na primeira máquina) são colocadas na segunda máquina para uma tentativa de recuperação (torná-las perfeitas). Nessa segunda máquina o custo por peça é de R$25,00, mas apenas 60% das peças são de fato recuperadas. Sabendo que cada peça perfeita é vendida por R$90,00, e que cada peça defeituosa é vendida por R$20,00, calcule o lucro por peça esperado pelo fabricante. 7- De acordo com uma pesquisa da American Demographics (2005), entre jovens que compram online 20% possuem um aparelho celular com acesso a internet. Em uma amostra aleatória de 200 jovens que fazem este tipo de compra, considere X o número daqueles que possuem um telefone celular com acesso a internet. a) Explique porque X é uma variável aleatória Binomial. b) Qual o valor de p? Interprete este valor. c) Qual o valor esperado de X e qual a variância de X? Interprete estes valores. 8- Suponha que a probabilidade de qualquer peça produzida por uma determinada máquina ser defei- tuosa seja 0,2. Se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de não mais de uma peça defeituosa ser encontrada? 9- Um processo de produção que fabrica transistores opera, com fração de defeituosos de 2%. Todo dia extrai-se uma amostra aleatória de 50 transistores deste processo. Se a amostra contiver mais de dois defeituosos, o processo deve ser interrompido e a máquina regulada novamente. Qual é a probabilidade do processo ser interrompido? 10- Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre os que apresentam essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos à cirurgia. Determine: (a) A probabilidade de todos serem curados. (b) A probabilidade de, ao menos, 13 ficarem livres da doença. (c) A probabilidade de, pelo menos, 2 não serem curados. (d) A média e o coeficiente de variação do número de pacientes curados. 11- Uma transportadora garante que consegue entregar 95% das encomendas sem nenhum dano. Em um total de 50 entregas feitas por esta empresa, qual a probabilidade de que pelo menos 2 encomendas tenham avarias no transporte? 12- Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos. Um comprador adotou o seguinte procedimento: de cada lote ele testa 20 aparelhos, e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é rejeitado. Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso? 13- Na indústria têxtil, uma preocupação é com o número de pequenas avarias causadas pelas má- quinas no processo de construção do tecido, estas avarias devem ser verificadas e concertadas antes de enviar o tecido para o estoque. Determinada máquina apresenta em média 1 defeito a cada dez metros quadrados de tecido. Qual é a probabilidade de que em 10 metros quadrados de tecido, produzidos por esta máquina, não ocorra nenhum defeito? Se esta máquina produz 30 metros quadrados de tecido por dia, qual a probabilidade de serem encontrados no máximo 2 defeitos na produção diária da máquina. 14- A aplicação de um fundo anti-corrosivo em chapas de aço de 1m2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas nas pinturas) com média de 1,5 bolhas por m2. Pergunta-se a proba- bilidade de encontrar: (a) Pelo menos um defeito por m2; (b) No máximo 2 defeitos; (c) Exatamente um defeito em 2m2; (d) Entre 2 e 4 defeitos em 2m2; (e) Não mais de um defeito em meio m2. 15- Uma plantação de tomate, infestada por pragas, possui em média 2 moscas de N. elegantalis por planta. Qual é a probabilidade de que uma planta amostrada desta população não possua moscas? Qual é a probabilidade de que em uma amostra de tamanho n = 5 plantas, 3 delas não apresentem moscas? 16- Os engenheiros de determinada marca de lâmpada afirmam que de cada 400 lâmpadas, 2 se quei- mam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que em uma instalação de: a) 400 lâmpadas, nenhuma se queime? b) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem? c) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem? 17- Um empresário tem dois eventuais compradores de seu produto, que pagam preços em função da qualidade. • O comprador A paga R$150,00 por peça se em uma amostra de 100 peças não encontrar nenhuma peça defeituosa, mas paga somente R$50,00 por peça, se em uma amostra de 100 peças encontrar uma ou mais peças defeituosas. • O comprador B paga R$200,00 por peça desde que encontre no máximo uma peça defeituosa em uma amostra de 120 peças, mas paga somente R$30,00 por peça, se em uma amostra de 120 peças encontrar duas ou mais peças defeituosas. Qual dos dois compradores deve ser escolhido pelo empresário, sabendo-se que a proporção de peças defeituosas pode ser considerada constante e igual a 3%? 18- Suponha que em um recipiente existam 10.000 partículas. A probabilidade de que uma destas partículas escape do recipiente é igual a 0,0004. Admitindo-se que as partículas escapam de maneiram independente, qual a probabilidade de que mais de quatro partículas escapem? Respostas: 2: a) 38 b) 18 3: R$ 75600,00 4: a) 2,8 e 1,9 b) 0,56 e 0,49 5: a) 0,16 b) 0,78 e 0,01 c) 0,88; 0,8456 e 0,91956 6: E[x]=R$ 34,70 7: b) p = 0, 20 c) 40 e 32 8: 0,3758 9: 0,0784 10: a) 0,0352 b) 0,3980 c) 0,8329 d) 12 e 12,9% 11: 0,7206 12: 0,8333 13: 0,3678 e 0,4232 14: a) 0,7768 b) 0,8088 c) 0,1493 d) 0,2240 e) 0,8266 15: a) 0,1353 b) 0,0185 16: a) 0,1353 b) 0,5768 c) 0,0463 17: E[A] = R$54,98; E[B] = R$51,37 Logo deve ser escolhido o comprador A. 18: 0,3711
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