matematica_-_etapa_4_novo

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Nivelamento de Matemática
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Organização
Cristiane Bonatti
Reitor da UNIASSELVI
Prof. Herminio Kloch
Pró-Reitora de Ensino de Graduação a Distância
Prof ª. Francieli Stano Torres
Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a Distância
Prof. Hermínio Kloch
Diagramação e Capa
Davi Schaefer Pasold
Revisão:
Diógenes Schweigert
José Rodrigues
Marina Luciani Garcia
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RAZÕES E PROPORÇÕES
Razão de dois números é o quociente simplifi cado do 
primeiro pelo segundo, sendo o segundo diferente de zero.
Quando falamos
de quociente, estamos falando da divisão de dois 
números, e o quociente é o resultado dessa divisão; 
assim, o segundo precisa ser diferente de zero, pois 
não existe divisão por zero.
Proporção é a igualdade de duas razões.
Exemplo:
Há quatro números em uma sequência: 1, 4, 3, 12. 
Nessa ordem, formam uma proporção. Assim:
, lê-se: 1 está para 4, assim como 3 está para 12.
A razão do primeiro está para o segundo e a razão do 
terceiro está para o quarto. 
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Então, os números 1, 4, 3 e 12 formam uma proporção, 
assim:
Então: 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, ou vice-versa.
 
 Produto dos meios
 Produto dos extremos
 
REGRA DE TRÊS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
A regra de três simples é utilizada para resolver situações 
que envolvam grandezas diretamente proporcionais, isso 
quer dizer que, ao aumentar uma delas, a outra aumenta 
na mesma proporção.
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O que caracteriza duas grandezas diretamente 
proporcionais é a razão entre dois valores, uma delas é igual 
à razão entre os valores correspondentes da outra.
Vamos pensar na situação do consumo de energia 
elétrica de alguns aparelhos domésticos. Partindo do fato de 
que, quanto mais você usar, mais energia irá pagar, assim:
Exemplo:
TABELA 1 – CONSUMO DE ENERGIA POR APARELHOS DOMÉSTICOS
Aparelho Tempo de uso por dia Consumo (KWh)
Geladeira 8h 210
Computador 12h 50,4
TV 7h 18,9
Chuveiro 1h 46,6
FONTE: O autor
De acordo com a tabela 01, podemos observar que, quanto 
maior é o tempo de uso dos eletrodomésticos, maior será o consumo 
de energia de cada um. Isso quer dizer que tempo e consumo são 
grandezas diretamente proporcionais.
Se o uso da TV fosse de 15 horas por dia, qual seria o 
consumo? Veja que a energia é indicada por (x).
Tempo de uso Consumo (KWh)
7h 18,9
15h x
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Isso quer dizer que a proporção é de ; para 
obtermos o valor do (x), basta multiplicar numerador da 
primeira fração pelo denominador da segunda fração, e vice-
versa, veja:
Ou seja, a TV vai consumir 40,5 (KWh) se fi car ligada 
15 horas.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Em duas grandezas inversamente proporcionais, a 
razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da 
razão entre os dois valores.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando 
ao aumentar ou diminuir o valor de uma delas certo 
número de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta 
na mesma proporção.
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Exemplo:
Para colher 500 caixas de maçãs foram necessárias 15 
pessoas trabalhando durante 7 dias. Quantas pessoas seriam 
necessárias para colher as mesmas 500 caixas em 5 dias?
Analisando essas informações, podemos perceber que, 
quanto menos dias, mais pessoas serão necessárias. Sendo 
assim, podemos dizer que as grandezas, quantidades de 
pessoas e dias são inversamente proporcionais.
A resolução segue o mesmo procedimento: nesse caso, 
o (x) será o número de pessoas necessárias.
 pessoas dias
As grandezas são inversamente proporcionais, pois 
quanto mais pessoas, menos dias trabalhados.
Temos:
 
, observe que, conforme as fl echas indicaram, 
são inversamente proporcionais.
5.x = 15. 7
5x = 105
x = 21 
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Resposta: Serão necessárias 21 pessoas.
Ou seja, se quisermos colher em menos dias, 
precisaremos mais pessoas.
PORCENTAGEM
Porcentagem é qualquer razão 
b
a , na qual o b é igual 
a 100. A porcentagem é indicada pelo símbolo %, que 
indica uma divisão por 100.
Exemplo:
Toda porcentagem pode ser escrita na forma de fração 
e na forma decimal.
27% = = 0,27
8,5 % = = 0,085
150% = = 1,5
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No entanto, quando queremos saber a porcentagem 
de um desconto ou a quantidade que a porcentagem indica, 
resolvemos pela regra de três simples.
Exemplo:
(a)
Superoferta de refrigeradores de R$ 3.045,00, com 
desconto de 42%. Qual será o desconto?
Lembre: nesse caso o (x) é o valor do desconto.
Porcentagem % Valor
100 3.045
42 X
O desconto será de R$ 1.278,90.
(b)
Na compra de uma geladeira que custa R$ 1.296,00 
o desconto será de R$ 150,00. Esse desconto equivale a 
quantos por cento?
O (x) agora é a nossa porcentagem do desconto.
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ou seja, o desconto foi de aproximadamente 11,6 %.
- Você já percebeu que, quando tratamos do valor 
total, ele é representado por 100% = 
100
100 = 1. 
Assim podemos evidenciar várias situações onde a 
aplicabilidade da porcentagem é utilizada.
A mesma situação serve para quando tratamos dados 
numa tabela e queremos saber a porcentagem de cada item. 
Usamos a regra de três.
De acordo com a tabela 2, uma fábrica de conservas 
vendeu em seis meses 15 mil vidros de pepinos. Observe os 
dados:
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 TABELA 2 – QUANTIDADE CONSERVAS DE PEPINO
Meses
(2010)
Vidros
Vendidos
%
mês
Agosto 1.892
Setembro 3.612
Outubro 4.327
Novembro 1.918
Dezembro 3.251
∑=15000
 FONTE: O Autor
Para sabermos qual foi a porcentagem de cada mês, 
resolvemos através da regra de três.
Agosto Setembro Outubro
 
 
100
x
15000
4327
=
15000⋅x = 1892⋅100 15000⋅x = 3612⋅100 15000⋅x=4327⋅100
15000x = 189200 15000x = 361200 15000x = 432700
x = 
15000
325100
x = 
15000
361200
x = 
15000
432700
x ≅ 12,61 x ≅ 24,08 x ≅ 28,85
1892
100
x
15000
1918
=
3612
100
x
15000
3251
=
189200
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Novembro Dezembro
100
x
15000
1918
=
100
x
15000
3251
=
15000.x = 1918.100 15000.x =3251.100
15000x = 191800 15000x = 325100
x = 
15000
191800
x = 
15000
325100
x ≅ 12,79 x ≅ 21,67
TABELA 2 – QUANTIDADE CONSERVAS DE PEPINO
Meses
(2010)
Quantidade de vidros 
vendidos
%
mês
Agosto 1.892 12,61
Setembro 3.612 24,08
Outubro 4.327 28,85
Novembro 1.918 12,79
Dezembro 3.251 21,67
∑=15000 ∑= 100
FONTE: O Autor
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(c)
O preço da gasolina vai aumentar 7%. Calcule de 
quantos reais será esse aumento, sabendo-seque atualmente 
a gasolina custa R$ 3,12.
Observe que o que queremos saber, nesse caso, é o 
valor do aumento: ele será nosso (x).
3,12
x
100
7
= 
100.x = 21,84
x = 
x = 0,2184 
Ou seja, a gasolina terá um aumento de aproximadamente 
R$ 0,22 
Toda vez que calcularmos porcentagem em uma tabela, 
temos que tomar cuidado com os arredondamentos, 
pois o somatório da porcentagem sempre terá que 
ser 100%. Observe que, quando resolvemos a regra 
de três, sempre temos que observar os dados que a 
tabela ou a situação-problema nos traz.
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REGRA DE TRÊS
Grandezas diretamente proporcionais: ao aumentar uma 
delas, a outra aumenta na mesma proporção. Mais consumo 
de energia, maior a fatura de energia.
Grandezas inversamente proporcionais: ao aumentar 
uma, a outra diminui na mesma proporção. Numa colheita 
mais pessoas trabalhando, menos dias de colheita.
PORCENTAGEM
Porcentagem é qualquer razão 
b
a , na qual o b é igual 
a 100. A porcentagem é indicada pelo símbolo %, que indica 
uma divisão por 100.
R ESUMO DO TÓPICO
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1. Num treino de handebol, Sandro fez 500 arremessos e 
acertou 415. Rafael fez 400 arremessos e errou 89.
a) Calcule a porcentagem de acertos de cada um.
b) Quem teve a maior porcentagem de acertos?
Assinale a alternativa correta:
a) 83% e 22,25%, Sandro maior pontuação.
b) 83% e 77,75%, Sandro maior pontuação.
c) 8,3% e 7,77%, Rafael maior pontuação.
d) 8,3% e 22,25%, Rafael maior pontuação.
2. A classe de Luiz tem 30 alunos: 4 com 8 anos, 14 com 9 
anos e 12 com 10 anos. Calcule a porcentagem dos alunos 
que têm 10 anos.
Assinale a alternativa correta:
a) 50 % dos alunos.
b) 40% dos alunos.
c) 12% dos alunos.
d) 36% dos alunos.
3. No início de uma corrida, havia 312 atletas. Depois de 
15 minutos, um terço dos atletas deixou a corrida. Dos que 
sobraram, metade desistiu. Dos que restaram, apenas 15% 
conseguiram chegar até o fi nal. Assim, concluíram a prova:
A UTOATIVIDADE
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a) Aproximadamente 16 atletas.
b) Aproximadamente 80 atletas.
c) Aproximadamente 45 atletas.
d) Aproximadamente 8 atletas.
4. Em uma classe de 26 alunos, faltaram 6. Qual a porcentagem 
dos alunos presentes?
a) Aproximadamente 77%
b) Aproximadamente 23%
c) Aproximadamente 6%
d) Aproximadamente 20%
5. Durante uma competição, um tenista disputou 47 
jogos e venceu 29 deles. Qual foi seu aproveitamento em 
porcentagem?
a) Aproximadamente 62%
b) Aproximadamente 38%
c) Aproximadamente 29%
d) Aproximadamente 47%
6. Uma empresa teve um faturamento de R$ 145.000,00 
durante o último semestre de 2010, sendo que o gerente 
gostaria de ter uma tabela com suas respectivas porcentagens/
mês. De acordo com a tabela, verifi que a porcentagem/mês 
dessa empresa.
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Meses (2010) Vendas/Mês
%
mês
Agosto 25.012,00
Setembro 30.545,26
Outubro 43.270,02
Novembro 19.188,22
Dezembro 26.984,50
Observação, as porcentagens estão em ordem de 
agosto a dezembro.
Assinale a alternativa correta:
a) 17%, 21%, 30%, 13%, 19%
b) 13%, 20%, 32%, 19%, 16%
c) 32%, 18%, 20%, 13%, 17%
d) 15%, 25%, 10%, 30%, 20% 
7. De acordo com a tabela a seguir, foram vendidos 36.548 
automóveis durante um feirão. A tabela nos mostra em 
porcentagem a venda desses veículos. Calcule quantos 
veículos de cada marca foram vendidos.
Frota de Veículos Vendas Feirão % Vendas
Volkswagen 33
Fiat 21
Ford 27
Chevrolet 17
Outras 2
∑= ∑=
∑=∑=
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Os valores estão na ordem de VW a Outras.
Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 12.061, 7.675, 9.868, 6.213, 731 carros.
b) Aproximadamente 3.300, 2.100, 2.700, 1.700, 200 carros.
c) Aproximadamente 33.061, 21.675, 9.868, 16.213, 2.731 
carros.
d) Aproximadamente 13.530, 11.536, 9.857, 827, 798, carros.
8. Para a pintura de um muro, são necessários, para pintar 
em 10 dias, 30 pintores. Para fazer o mesmo serviço em 6 
dias, quantos pintores serão necessários?
a) Serão necessários 50 pintores.
b) Serão necessários 18 pintores.
c) Serão necessários 36 pintores.
d) Serão necessários 40 pintores.
9. Uma casa é construída em 90 dias, por uma equipe de 
13 pedreiros. Em quanto tempo fi caria pronta a mesma casa 
com uma equipe de 26 pedreiros?
a) Em 45 dias.
b) Em 60 dias.
c) Em 108 dias.
d) Em 180 dias.
10. Em um campeonato de reciclagem, a turma de Maristela 
trouxe 615 kg de papel e a turma de Clara trouxe 13% a mais. 
Quantos quilos a turma de Clara trouxe?
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Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 695 kg. 
b) Aproximadamente 800 kg.
c) Aproximadamente 628 kg.
d) Aproximadamente 211 kg.
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1. Num treino de handebol, Sandro fez 500 arremessos e acertou 415. Rafael fez 
400 arremessos e errou 89.
a) Calcule a porcentagem de acertos de cada um.
b) Quem teve a maior porcentagem de acertos?
Sandro (acerto)
500 = 100
415 = x
Assim: 
500x =41500
x = 41500/500
x = 83%
Rafael (erro)
400 = 100
89 = x
Assim: 
400x =8900
x = 8900/400
x = 22,25% 
Como queremos saber a quantidade de acertos 100 - 22,25 = 77,75% acertos de 
Rafael.
Assim Sandro teve 83 % e Rafael 77,75% de acertos.
Assinale a alternativa correta:
a) 83% e 22,25%, Sandro maior pontuação.
b) 83% e 77,75%, Sandro maior pontuação.
c) 8,3% e 7,77%, Rafael maior pontuação.
d) 8,3% e 22,25%, Rafael maior pontuação.
2. A classe de Luiz tem 30 alunos: 4 com 8 anos, 14 com 9 anos e 12 com 10 anos. 
Calcule a porcentagem dos alunos que têm 10 anos.
30 = 100
12 = x
Assim: 
30x =1200
G ABARITO
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x = 1200/30
x = 40%
Assinale a alternativa correta:
a) 50% dos alunos.
b) 40% dos alunos.
c) 12% dos alunos.
d) 36% dos alunos.
3. No início de uma corrida, havia 312 atletas. Depois de 15 minutos, um terço dos 
atletas deixou a corrida. Dos que sobraram, metade desistiu. Dos que restaram, 
aproximadamente 15% conseguiram chegar até o fi nal. Assim, concluíram a prova:
Desenvolvimento
104x
x
3
312
x
3
1312.
=
=
=
 
Primeiramente precisamos saber quantos sobraram depois dos 15 minutos, ou 
seja 208 atletas.
Desses 104 metade desistiu então: 
E por fi m desses 104 atletas somente 15% concluíram a prova, então 104 ⋅ 0,15 
= 15,6 atletas.
a) Aproximadamente 16 atletas.
b) Aproximadamente 80 atletas.
c) Aproximadamente 45 atletas.
d) Aproximadamente 8 atletas.
4. Em uma classe de 26 alunos, faltaram 6. Qual a porcentagem dos alunos 
presentes?
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26 = 100
6 = x
Assim,
26x = 600
x = 600 / 26
x = 23,08% estes são os que faltaram, assim, os que compareceram 
100 – 23,08 = 76,92 ou seja aproximadamente 77 %
a) Aproximadamente 77%
b) Aproximadamente 23%
c) Aproximadamente 6%
d) Aproximadamente 20%
5. Durante uma competição, um tenista disputou 47 jogos e venceu 29 deles. Qual 
foi seu aproveitamento em porcentagem?
47 = 100
29 = x
Assim, 
47x = 2900
x = 2900 / 47
x = 61,70%
a) Aproximadamente 62%
b) Aproximadamente 38%
c) Aproximadamente 29%
d) Aproximadamente 47%
6. Uma empresa teve um faturamento de R$ 145.000,00 durante o último semestre 
de 2010, sendo que o gerente gostaria de ter uma tabela com suas respectivas 
porcentagens mês. Verifi que na tabela a porcentagem mês dessa empresa:Meses (2010) Vendas/Mês
%
mês
Agosto 25.012,00
Setembro 30.545,26
Outubro 43.270,02
Novembro 19.188,22
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Dezembro 26.984,50
∑= ∑=
Desenvolvimento
Primeiro saber o faturamento semestral que é o somatório dos últimos 6 
meses assim, 145.000,00
Para calcularmos o percentual de cada mês utilizamos a regra de três:
Assim, 
Mês Agosto
145.000,00 = 100
 25.012,00 = x
145.000,00x = 2.501.200,00
x = 2.501.200,00 /145.000,00
x = 17,25 %
Mês Setembro
145.000,00 = 100
 30.545,26 = x
145.000,00x = 3.054.526,00
x = 3.054.526,00 /145.000,00
x = 21,07 %
Mês Outubro
145.000,00 = 100
 43.270,02 = x
145.000,00x = 4.327.002,00
x = 4.327.002,00 /145.000,00
x = 29,84 %
Mês Novembro
145.000,00 = 100
 19.188,22 = x
145.000,00x =1.918.822,00
x = 1.918.822,00 /145.000,00
x = 13,23 %
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Mês Dezembro
145.000,00 = 100
 26.984,50 = x
145.000,00x =2.698.450,00
x = 2.698.450,00 /145.000,00
x = 18,61 %
Lembre-se que quando vamos montar uma tabela o total da porcentagem 
deve ser 100 % por isso tome cuidado com os arredondamentos. 
Então as porcentagens mês:
Agosto 17,25 %
Setembro 21,07 %
Outubro 29,84 %
Novembro 13,23 %
Dezembro 18,61%
Assim o total é de 17,25 + 21,07 + 29,84 + 13,23 + 18,61 = 100 
Meses (2010) Vendas Mês %
mês
Agosto 25.012,00 17,25
Setembro 30.545,26 21,07
Outubro 43.270,02 29,84
Novembro 19.188,22 13,23
Dezembro 26.984,50 18,61
∑= 145.000,00 ∑= 100
 
Observação, as porcentagens estão em ordem de agosto a dezembro.
Assinale a alternativa correta:
a) 17%, 21%, 30%, 13%, 19%
b) 13%, 20%, 32%, 19%, 16%
c) 32%, 18%, 20%, 13%, 17%
d) 15%, 25%, 10%, 30%, 20% 
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7. De acordo com a tabela a seguir, foram vendidos 36.548 automóveis durante 
um feirão. A tabela nos mostra em porcentagem a venda desses veículos. Calcule 
quantos veículos de cada marca foram vendidos.
Frota de Veículos Vendas Feirão % Vendas
Volkswagen 33
Fiat 21
Ford 27
Chevrolet 17
Outras 2
∑= ∑=
Volkswagen
36548 = 100
 x = 33
100x = 1.206.084
x = 1.206.084/ 100
x = 12.060,84
Fiat
36548 = 100
 x = 21
100x = 767.508
x = 767.508/ 100
x = 7.675,08 
Chevrolet 
36548 = 100
 x = 27
100x = 986.796
x = 986.796/ 100
x = 9.867,96 
Ford
36548 = 100
 x = 17
100x = 621.316
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x = 621.316/ 100
x = 6.213,16 
Outros
36548 = 100
 x = 2
100x = 73.096
x = 73.096/ 100
x = 730,96 
A soma dos valores de vê ser 365548 
Assim, 12.060,84 + 7.675,08 + 9.867,96 + 6.213,16 + 730,96 = 36.548
Lembrando que como estamos exemplifi cando veículos temos que arredondar os 
valores, para preenchermos a tabela:
Então:
 Aproximadamente
VW = 12.061
Fiat = 7.675
Chevrolet = 9.868
Ford = 6.213
Outros = 731
Frota de Veículos Vendas Feirão % Vendas
Volkswagen 12.061 33
Fiat 7.675 21
Ford 9.868 27
Chevrolet 6.213 17
Outras 731 2
∑= 36.548 ∑= 100
27
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Os valores estão na ordem de VW a Outras.
Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 12.061, 7.675, 9.868, 6.213, 731 carros.
b) Aproximadamente 3.300, 2.100, 2.700, 1.700, 200 carros.
c) Aproximadamente 33.061, 21.675, 9.868, 16.213, 2.731 carros.
d) Aproximadamente 13.530, 11.536, 9.857, 827, 798, carros.
8. Para a pintura de um muro, são necessários 30 pintores para pintá-lo em 10 
dias. Para fazer o mesmo serviço em 6 dias, quantos pintores serão necessários?
Para esse desenvolvimento vamos utilizar a regra de três inversa
30 = 10
x = 6
Assim:
30 = 6
x = 10
6x = 10 . 30
6x = 300
x = 300/6
x = 50 Assim com menos dias serão necessários mais pintores.
a) Serão necessários 50 pintores.
b) Serão necessários 18 pintores.
c) Serão necessários 36 pintores.
d) Serão necessários 40 pintores.
9. Uma casa é construída em 90 dias, por uma equipe de 13 pedreiros. Em quanto 
tempo fi caria pronta a mesma casa com uma equipe de 26 pedreiros?
Para esse desenvolvimento vamos utilizar a regra de três inversa.
90 = 13
 x = 26
Assim:
90 = 26
x = 13
26x = 13 . 90
26x = 1170
x = 1170/26
x = 45 Assim com mais pedreiros menos dias serão necessários.
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a) Em 45 dias.
b) Em 60 dias.
c) Em 108 dias.
d) Em 180 dias.
10. Em um campeonato de reciclagem, a turma de Maristela trouxe 615 kg de 
papel e a turma de Clara trouxe 13% a mais. Quantos quilos a turma de Clara 
trouxe?
615 . 0,13 = 79,95
Como 13 % representam 79,95 kg somando a quantidade de Maristela temos 615 
+ 79,95 = 694,95 kg
Assinale a alternativa correta:
a) Aproximadamente 695 kg.
b) Aproximadamente 800 kg.
c) Aproximadamente 628 kg.
d) Aproximadamente 211 kg.