Anuidades: Conceitos e Cálculos

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ANUIDADES
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LEITÃO, Cristiane.
Anuidades. / Cristiane Leitão. – Rio de Janeiro: Unigranrio, 2016.
23p.; 20 x 27 cm.
1. Anuidades ou Rendas Certas. 2. Montante do Modelo Básico. 3. 
Modelo Genérico de Anuidade.
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
COORDENAÇÃO GERAL
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Departamento de Produção
PRODUÇÃO E EDITORAÇÃO GRÁFICA
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MATERIAL DIDÁTICO
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO
Cristiane Leitão
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL
Solange Félix dos Santos
REVISÃO
Camila Andrade
Anuidades 3
umário
Anuidades
Síntese ...........................................................................................................................19
Leitura Complementar ...................................................................................................20
Recuperação/Reforço da Aprendizagem .........................................................................21
Referências Bibliográficas ...............................................................................................22
S
1. Anuidades ou Rendas Certas ......................................................................................05
1.1 Classificação das Anuidades ....................................................................................... 07
1.2 Modelo Básico de Anuidade ....................................................................................... 08
1.3 Valor Atual do Modelo Básico .................................................................................... 09
2. Montante do Modelo Básico ......................................................................................14
3. Modelo Genérico de Anuidade ...................................................................................16
Objetivos ........................................................................................................................04
Anuidades 4
Ao final desta unidade, você será capaz de:
 ● Conceituar renda certa ou anuidade;
 ● Distinguir o Valor Atual e Montante do modelo básico de uma anuidade;
 ● Determinar o Fator de Valor Atual de uma série uniforme de pagamento;
 ● Determinar o Fator de Acumulação de Capital de uma série uniforme de pagamento;
 ● Identificar os conceitos envolvidos no estudo das séries não uniformes;
 ● Resolver os exercícios propostos sobre Rendas Certas ou Anuidades.
bjetivosO
Anuidades 5
1. Anuidades ou Rendas Certas
Segundo Gomes (2000), nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez 
ou através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. As anuidades, também chamadas de ren-
das certas, são uma série de pagamentos ou recebimentos que objetivam a liquidação de uma dívida ou a 
constituição de um capital.
Quando o objetivo consiste em obter um capital em uma data futura, temos um processo de capitali-
zação. Porém, se quisermos pagar uma dívida, temos um processo de amortização.
O estudo dos financiamentos encontra inúmeras aplicações na Matemática Financeira. Em geral, o 
financiamento ocorre na venda ou compra de bens (automóveis, eletrodomésticos, imóveis etc.), assim 
como empréstimos pessoais. Dada uma série de capitais, referidos às suas respectivas datas:
R1 → n1
R2 → n2
Rm → nm
Anuidades 5
Anuidades 6
Com base nas informações apresentadas até agora, acesse o Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem e ajude uma empresa a calcular o valor das prestações.
INTERATIVIDADE 
Estes capitais podem ser pagamentos ou recebimentos, referentes a uma taxa de juros “i”. Chamamos 
isso de anuidade ou renda certa.
Valores — termos da anuidade.
Período — intervalo de tempo entre dois 
períodos.
Duração da anuidade — soma dos perí-
odos.
Valor Atual da anuidade — é a soma dos 
valores atuais de seus termos, na mesma 
data focal, à uma mesma taxa de juros “i”.
Montante da anuidade — é a soma dos 
montantes de seus termos, considerando 
a mesma taxa e a mesma data focal.
Anuidades 7
1.1 Classificação das Anuidades
Quanto ao prazo:
 ● Temporárias – quando a duração for limitada;
 ● Perpétuas – quando a duração for ilimitada.
Quanto ao valor dos termos:
 ● Constante – todos os termos são iguais;
 ● Variável – todos os termos não são iguais.
Quanto a forma de pagamento ou de recebimento:
 ● Imediatas – quando os termos são exigidos a partir do primeiro período.
 ● Postecipadas ou Vencida – quando os pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer no final 
de cada período. Podemos citar como exemplo o pagamento d fatura de cartão de crédito.
 ● Antecipadas – quando os pagamentos ou recebimentos começam no início de cada período. Po-
demos citar como exemplo os financiamentos com entrada.
 ● Diferidas – quando há um prazo de carência antes do início do fluxo de pagamentos ou recebi-
mentos.
0 1 11
PV
PMT
Anuidade Postecipada
0 1 11
PV
PMT
Anuidade Antecipada
n-1
Anuidades 8
Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e ajude um cliente a escolher a melhor opção de 
financiamento para ele.
INTERATIVIDADE 
Quanto à periodicidade:
 ● Periódicas – se todos os períodos são iguais.
 ● Não-periódicas – se os períodos não são iguais.
1.2 Modelo Básico de Anuidade
As anuidades são:
 ● Temporárias (prazo limitado);
 ● Constantes (termos iguais);
 ● Postecipadas (termos exigidos ao final do 1º período);
 ● Periódicas (períodos iguais).
A taxa de juros “i” se refere ao mesmo período dos termos. Vejamos um exemplo:
Wallace comprou um carro, que será pago em quatro prestações mensais de R$ 2.626,24 sem entrada. 
As prestações serão pagas a partir do mês seguinte e o vendedor cobrou uma taxa de juros compostos de 
2% a.m. Qual será o preço do carro à vista?
Solução: O preço à vista corresponde à soma dos valores atuais das prestações na data focal zero. 
0 1 2 3 4
R1 R2 R3 R4
Anuidades 9
Para o valor atual do modelo básico, temos a seguinte fórmula:
 ● P = R . 1 + 1 + 1 + ... + 1
 (1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n
A soma dos valores atuais (P) é dado por:
 ● P = R1 + R2 + R3 + R4
 (1,02)1 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4
Como R1 = R2 = R3 = R4 = R , podemos escrever:
 ● P = R . 1 + 2 + 3 + 4
 (1,02)1 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4
 ● P = 2.624,24 [ 0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845]
 ● P = 2.624,24 . 3,808249426
 ● P = 10.000,00
1.3 Valor Atual do Modelo Básico
Onde: 
 ● P = principal a ser pago valor principal a ser pago, ou seja, o valor atual (preço à vista, valor pre-
sente PV);
 ● n = número de termos;
 ● R = valor do termo (pode ser representado também por PMT);
 ● i = taxa de juros.
Escrevendo a soma entre colchetes como:
 ● a n i = 1 + 1 + 1 + ... + 1
 (1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n
Temos:
 ● P = R . a n i
 ● R = P
 a n i
E lemos:
 ● a n i como: “ a, n cantoneira i ” ou “ a,n,i ”.
 ● a n i tambémé chamado de Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente (FVP).
Dizemos que o valor principal será pago em ‘n’ parcelas iguais a R.
OBS: O valor de a n i é obtido pela soma dos termos de uma PG.
 ● a n i = 1 (1+i)
-n
 i
Também podemos escrever esta fórmula de outra maneira. Basta multiplicar o numerador e denomi-
nador por: (1+i)n
 ● a n i = [ 1 - (1+i)
-n ] . (1+i)n = (1+i)n - 1 → a n i = (1+i)
n - 1
 i . (1+i)n i . (1+i)n i . (1+i)n
Esse fator de valor atual pode ser encontrado diretamente em tabelas financeiras.
Anuidades 10
Anuidades 11
Vamos a mais um exemplo: um televisor custa R$ 5.000,00 à vista, mas pode ser financiado sem en-
trada, em 10 prestações mensais a uma taxa de 3% a.m. Diante disso, calcule a prestação a ser paga pelo 
comprador
Solução:
 ● P = 5.000,00
 ● n = 10
 ● i = 3% a.m. = 0,03
 ● R = ? 
 ● P = R . a n i
Observe que P = 5.000 e R é a prestação que queremos calcular. Então, devemos primeiramente cal-
cular o valor de a n i
 ● a n i = (1+i)
n - 1
 i . (1+i)n
 ● a 10 3 = (1+0,03)
10 - 1 = 1,34391679 -1 = 0,343916379 = 8,530203
 0,03 . (1+0,03)10 0,03 . 1,343916379 0,040317491
 ● Taxa do período: 3,0%
Anuidades 12
n (1 + i)n 
1
(1 )ni+
 FVA (i; n) 
 
1
( , )FVA i n
 
 
FAC(i ,n) 
1
( , )FAC i n n 
1 1,030000 0,970874 0,970874 1,030000 1,000000 1,000000 1 
2 1,060900 0,942596 1,913470 0,522611 2,030000 0,492611 2 
3 1,092727 0,915142 2,828611 0,353530 3,090900 0,323530 3 
4 1,125509 0,888487 3,717098 0,269027 4,183627 0,239027 4 
5 1,159274 0,862609 4,579707 0,218355 5,309136 0,188355 5 
6 1,194052 0,837484 5,417191 0,184598 6,468410 0,154598 6 
7 1,229874 0,813092 6,230283 0,160506 7,662462 0,130506 7 
8 1,266770 0,789409 7,019692 0,142456 8,892336 0,112456 8 
9 1,304773 0,766417 7,786109 0,128434 10,159106 0,098434 9 
10 1,343916 0,744094 8,530203 0,117231 11,463879 0,087231 10 
11 1,384234 0,722421 9,252624 0,108077 12,807796 0,078077 11 
12 1,425761 0,701380 9,954004 0,100462 14,192030 0,070462 12 
13 1,468534 0,680951 10,634955 0,094030 15,617790 0,064030 13 
14 1,512590 0,661118 11,296073 0,088526 17,086324 0,058526 14 
15 1,557967 0,641862 11,937935 0,083767 18,598914 0,053767 15 
16 1,604706 0,623167 12,561102 0,079611 20,156881 0,049611 16 
17 1,652848 0,605016 13,166118 0,075953 21,761588 0,045953 17 
18 1,702433 0,587395 13,753513 0,072709 23,414435 0,042709 18 
19 1,753506 0,570286 14,323799 0,069814 25,116868 0,039814 19 
20 1,806111 0,553676 14,877475 0,067216 26,870374 0,037216 20 
21 1,860295 0,537549 15,415024 0,064872 28,676486 0,034872 21 
22 1,916103 0,521893 15,936917 0,062747 30,536780 0,032747 22 
23 1,973587 0,506692 16,443608 0,060814 32,452884 0,030814 23 
24 2,032794 0,491934 16,935542 0,059047 34,426470 0,029047 24 
25 2,093778 0,477606 17,413148 0,057428 36,459264 0,027428 25 
26 2,156591 0,463695 17,876842 0,055938 38,553042 0,025938 26 
27 2,221289 0,450189 18,327031 0,054564 40,709634 0,024564 27 
28 2,287928 0,437077 18,764108 0,053293 42,930923 0,023293 28 
29 2,356566 0,424346 19,188455 0,052115 45,218850 0,022115 29 
30 2,427262 0,411987 19,600441 0,051019 47,575416 0,021019 30 
36 2,898278 0,345032 21,832252 0,045804 63,275944 0,015804 36 
40 3,262038 0,306557 23,114772 0,043262 75,401260 0,013262 40 
42 3,460696 0,288959 23,701359 0,042192 82,023196 0,012192 42 
45 3,781596 0,264439 24,518713 0,040785 92,719861 0,010785 45 
48 4,132252 0,241999 25,266707 0,039578 104,408396 0,009578 48 
50 4,383906 0,228107 25,729764 0,038865 112,796867 0,008865 50 
55 5,082149 0,196767 26,774428 0,037349 136,071620 0,007349 55 
60 5,891603 0,169733 27,675564 0,036133 163,053437 0,006133 60 
70 7,917822 0,126297 29,123421 0,034337 230,594064 0,004337 70 
72 8,400017 0,119047 29,365088 0,034054 246,667242 0,004054 72 
80 10,640891 0,093977 30,200763 0,033112 321,363019 0,003112 80 
90 14,300467 0,069928 31,002407 0,032256 443,348904 0,002256 90 
96 17,075506 0,058563 31,381219 0,031866 535,850186 0,001866 96 
100 19,218632 0,052033 31,598905 0,031647 607,287733 0,001647 100 
 
Podemos encontrar esse valor utilizando a tabela financeira:
Anuidades 13
Agora é só colocar os valores na fórmula:
 ● P = R . a n i
 ● 5000 = R . 8,530203
 ● R = 5000 = 586,15
Portanto, o comprador deverá pagar uma prestação mensal de R$ 586,15, por 10 meses.
Vale ressaltar que a quantidade de operações envolvidas é grande. Porém se utilizarmos a calculadora 
financeira HP 12C, essa dificuldade desaparece.
Solução:
 ● Digite 5000 PV _ 
 ● 3 i_
 ● 10 n_
 ● E, por fim, digite PMT →
 ● Aparecerá no visor: − 586,15
OBS: Como a calculadora trabalha com fluxo de caixa, se o PV foi informado como positivo, o PMT tem 
que ser negativo. Por isso, a resposta é − 586,15.
Não se esqueça de apertar f_ e depois clx_ ao final, para limpar todo o registro e não atrapalhar a 
próxima operação. Faça isso sempre!
Anuidades 14
2. Montante Do Modelo Básico
Segundo Gomes (2000), o montante (S) é a soma dos montantes de cada termo:
Na prática:
 ● 1 + (1+i)1 + (1+i)2 + ... + (1+i)n-1 s n 1
 → lemos “s, cantoneira, i” ou “s,n,i”.
 ● S n 1 também é chamado de Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor Futuro (FVF).
OBS: A fórmula do S n 1 é obtida pela soma dos termos de uma PG finita.
 ● S n 1 = (1+i)
n - 1
 i
Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e ajude o pai zeloso a calcular o momento acumu-
lado, para custear os estudos do seu filho.
INTERATIVIDADE 
0 1 2 3
R R R
n-1 n
R R
S
 ● S = R + R . (1+i)1 + R . (1+i)2 + ... + R . (1+i)n-1
 ● S = R [1+ (1-i)1 + (1+i)2 + ... + (1+i)n-1]
 ● S = R . s n 1 → R = S
 s n 1
Anuidades 15
Vamos a mais um exemplo: uma pessoa deposita R$ 1.000,00 mensalmente. Se ela está ganhando 2% 
ao mês, quanto possuirá em dois anos?
 ● Sabemos que S = R . s n 1 
 ● Nesse caso então, temos S = 1.000,00 . S24 2
 ● Utilizando a expressão S n 1 = (1+i)
n - 1 = (1+0,02)24 - 1 = 1,6084372 - 1 = 0,6084372 = S 24 2 = 30,421862 
 i 0,02 0,02 0,02
Podemos encontrar também o fator de acumulação de capital pela tabela.
Assim:
 ● S =1.000,00 . 30,421862
 ● S = 30.421,86
Anuidades 15
Anuidades 16
Wallace fará uma aplicação em sua empresa e depositará R$ 10.000,00 no fim de cada semes-
tre, durante cinco anos, em uma instituição financeira que paga juros de 6% ao semestre.
Diante disso, qual será o montante acumulado pela empresa do Wallace?
 ● R = 10.000,00
 ● n = 5 anos = 10 semestres
 ● i = 6% ao semestre
 ● S = R . s n 1
 ● S = 10.000 . S 10 6
 ● Utilizando a expressão: S n 1 = (1+i)
n - 1 = (1+0,06)10 - 1 = 1,790847697 - 1 → S 10 6 = 13,180795
 i 0,06 0,06
Assim:
 ● S = 10.000 . 13,180795
 ● S = 131.807,95
NA PRÁTICA
3. Modelo Genérico de Anuidade
Anuidade Diferida
Como vimos, as anuidades diferidas são aquelas anuidades onde temos os pagamentosou recebi-
mentos que são exigidos após uma certa quantidade de períodos, ou seja, um período de carência. 
Exemplo: Um aparelho de som é vendido em quatro parcelas mensais de R$1.200,00, com a 1ª presta-
ção para 90 dias. Sabendo que a taxa de juros é de 1,5% a.m, qual seria o preço à vista?
Solução: Podemos resolver esse problema considerando duas séries do modelo básico.
Comparando com o modelo básico temos um diferimento (carência) de dois períodos, pois o paga-
mento será feito no fim do segundo período. Assim a primeira série terá 6 termos de R$ 1.200,00 sem ca-
rência, e a segunda série terá dois termos de R$ 1.200,00. O valor atual da primeira menos o valor atual da 
segunda será o valor atual da série dada no problema considerando a carência.
Assim:
 ● P = R . a 6 1,5
 ● P = 1200 . 5,697187
 ● P = 6.836,62
 ● P = R . a 2 1,5
 ● P = 1200 . 1,955883
 ● P = 2.347,06
e
 ● Resolvendo: R$ 6.836,62 – R$ 2.347,06 = R$ 4.489,56 
Podemos também fazer diretamente:
 ● P = R . (a 6 1,5 - a 2 1,5)
 ● P = 1200 . (5,697187 - 1,955883)
 ● P = 1200 . 3,741304
 ● P = 4.489,56
Anuidades 17
0 1 2 3 4 5 6
Anuidades 18
Como os seus negócios vão bem, Wallace agora pretende comprar um carro! Fazendo uma pes-
quisa de mercado, ele encontra um modelo bem interessante a R$ 80.000,00 à vista. A revende-
dora exige 30% de entrada, financiando o saldo em 36 vezes, com seis meses de carência. Sabendo 
que a taxa de juros da agência é de 3,5% a.m, qual é o valor das prestações que Wallace terá que 
pagar se comprar esse carro?
Solução: Observe que nesse caso será dada uma entrada de 30%, ou seja, 30% de 80.000,00 = 
24.000,00. Sendo assim, o valor a ser financiado é de R$ 56.000,00.
A primeira série terá 41 termos e a segunda cinco termos. Então:
 ● P = R . (a 41 3,5 - a 5 3,5)
 ● 56000 = R . (21,599104 - 4,515052)
 ● 56000 = R . 17,084052
 ● R = 56000
 17,084052
 ● 3.277,91
NA PRÁTICA
Devemos ficar atentos, pois a anuidade diferida deve sempre ser comparada com o modelo 
básico. Por exemplo, uma carência de três meses terá um diferimento de dois períodos, já que é 
considerado como final do segundo período!
IMPORTANTE
Ainda existem outros modelos genéricos de anuidades, como por exemplo: nas anuidades em que o 
período dos termos não coincide com o período da taxa, devemos calcular a taxa equivalente e recair no 
modelo básico. Um financiamento com parcelas mensais deve ter a taxa mensal!
Anuidades 19
ínteseS
Nesta unidade de aprendizagem, iniciamos o estudo das rendas certas ou anuidades.
Aprendemos também o conceito de modelo básico de uma anuidade e o valor atual do modelo bá-
sico. Usamos esses conceitos na determinação do valor atual, utilizando o fator de valor atual ou presente 
através de uma relação que envolve o valor da taxa “i” e do período da série, valores que também podem 
ser encontrados em tabelas.
Valor Atual da Anuidade:
P = R . a n i onde: a n i = 1-(1+i)
-n
 i
Montante da Anuidade:
S = R . s n i onde: s n i = 1-(1+i)
-n
 i
Anuidades 20
Um televisor de 70 polegadas é vendido em cinco prestações de R$ 2.000,00 a serem pagas a cada 
dois meses. Sendo a taxa de juros cobrada de 3% a.m. Qual o preço a vista do televisor ?
 ● Observe que o parcelamento é bimestral e a taxa dada é mensal. Devemos primeiramente calcu-
lar a taxa equivalente bimestral.
rabalho Discente Efetivo – TDET
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eitura Complementar
Você pode encontrar as tabelas do Fator de Valor Atual e do Fator de Acumulação de Capital na inter-
net ou na bibliografia recomendada.
Para saber mais informações sobre o assunto ou sobre os Modelos Genéricos de anuidades, acesse a 
bibliografia recomendada.
Matemática Didática. Disponível em: www.matematicadidatica.com.br
L
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ecuperação/Reforço da Aprendizagem
 ● Atividade 1: Márcio deseja comprar uma máquina de lavar. Ao chegar na loja, encontra o objeto 
desejado por R$ 1.500,00 , sendo oferecido dois planos de financiamento:
1. Em 12 vezes, com entrada de R$ 100,00, mais 11 prestações, a uma taxa de juros de 2,0 % ao mês.
2. Em 18 vezes sem entrada, a uma taxa de juros de 2,5% ao mês.
 ● Sabendo que Márcio só dispõe de R$ 100,00 por mês para efetuar a compra, determine o que ele 
fará.
 ● Atividade 2: O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses depósitos de R$ 
200,00 em um banco que paga 2% a.m. sobre o saldo. Este dinheiro se destina ao custeamento 
do estudo superior do filho. Qual será o montante acumulado após ser feito o último depósito?
 ● Atividade 3: Um noivo precisa comprar seus móveis e não possui dinheiro de imediato. Então, ele 
abriu um crediário em uma loja, no valor de R$ 20.000,00. Por esta compra, ele pagará uma taxa 
de 5% a.m, em 24 prestações mensais, e com carência de seis meses. Quanto ele pagará mensal-
mente?
R
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eferências BibliográficasR
AYRES, Frank Jr. Matemática Financeira. São Paulo: Makron, 1981. 
GOMES, José M; MATHIAS, Washington F., Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 2007. (reim-
pressão 2013).
SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. 3 ed. São Paulo: Atlas, 2010.
SOBRINHO, José D. V., Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000.