ATIVIDADE 4

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
CÂMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS
ENGENHARIA CIVIL - ENGENHARIA ELÉTRICA
CÁLCULO III
APONTAMENTO 4:
INTEGRAIS TRIPLAS
1. Integral dupla (sobre caixas retangulares)
A integral tripla de uma função real de três variáveis reais é o análogo tridimensional
da integral (simples) de uma função real de uma variável real: a integral (simples) está
relacionada ao problema do cálculo da área, enquanto a integral tripla está relacionada ao
problema do cálculo do hipervolume.
É dada uma função real de três variáveis reais, cont́ınua, positiva f , definida na caixa
retangular
B = [a, b]× [c, d]× [r, s] = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}.
Cálculo do hipervolume V de S = {(x, y, z, w) ∈ R4 : 0 ≤ w ≤ f(x, y, z), (x, y, z) ∈
R3}: sólido acima da caixa retangular B e abaixo do gráfico de f .
i) Subdivisão da caixa retangular B em subcaixas retangulares Bijk: divisão do in-
tervalo [a, b] em l subintervalos [xi−1, xi] de mesmo comprimento 4x =
b− a
l
; divisão do
intervalo [c, d] em m subintervalos [yj−1, yj] de mesmo comprimento 4y =
d− c
m
; divisão
do intervalo [r, s] em n subintervalos [zk−1, zk] de mesmo comprimento 4z =
s− r
n
, de
modo que Bijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj]× [zk−1, zk] (ao todo, lmn subcaixas retangulares),
cada uma das quais tem volume 4V = 4x4y4z.
ii) Escolha de pontos de amostragem (x∗ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk) em cada Bijk, o que permite
aproximar a parte de S que está acima de cada Bijk por uma caixa retangular fina com
base Bijk e altura f(x
∗
ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk), cujo hipervolume é dado por f(x
∗
ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk)4V .
iii) Cálculo do hipervolume V de S, conforme definição a seguir, na qual o somatório
triplo é denominado soma tripla de Riemann, usado como uma aproximação do valor
da integral tripla (cujo significado é o seguinte: para cada subcaixa, calculamos o valor
de f no ponto escolhido, multplicamos esse valor pelo volume da subcaixa e adicionamos
os resultados obtidos).
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Definição 0.0.1. A integral tripla de f sobre a caixa retangular B é
V = lim
l,m,n→∞
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
f(x∗ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk)4V =
∫∫∫
B
f(x, y, z)dV,
desde que esse limite exista.
Em outras palavras: a integral tripla é o limite das somas triplas de Riemann.
Uma função f é denominada integrável se o limite nessa definição existe.
Nota. Tal definição tem interesse apenas teórico, uma vez que o cálculo de uma
integral tripla por meio dela é, em geral, bastante trabalhoso, de modo que, de agora em
diante, em todo o restante do estudo desse conceito, preocupar-nos-emos em tratar de
métodos de cálculo realmente eficientes para lidar com ele.
2. Integrais iteradas
Suponhamos que f seja uma função real de três variáveis reais, integrável na caixa
retangular B = [a, b]× [c, d]× [r, s]. O procedimento de integrar f(x, y, z) em relação à x,
de a até b, mantendo y, z fixos, ou seja, calcular
∫ b
a
f(x, y, z)dx, é denominado integração
parcial em relação à x. Uma vez que
∫ b
a
f(x, y, z)dx é um número que depende tanto de
y quanto de z, ele define uma função real de duas variáveis reais A de y e de z:
A(y, z) =
∫ b
a
f(x, y, z)dx.
Definição 0.0.2. A integral dupla de A(y, z), de y = c até y = d e de z = r até z = s,
dada por∫ s
r
∫ d
c
A(y, z)dA =
∫ s
r
∫ d
c
[∫ b
a
f(x, y, z)dx
]
dydz =
∫ d
c
∫ s
r
[∫ b
a
f(x, y, z)dx
]
dzdy,
é denominada integral iterada.
O teorema a seguir (Teorema de Fubini) nos fornece um método prático para calcular
uma integral tripla, expressando-a como uma integral iterada (em qualquer ordem).
Teorema 0.0.1. (Teorema de Fubini) Se f é cont́ınua na caixa retangular B = [a, b] ×
[c, d]× [r, s], então ∫∫∫
B
f(x, y, z)dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y, z)dxdydz.
Uma vez que existem 6 posśıveis ordens de expressar o elemento de volume dV (com-
binações de dx, dy e dz), existem 6 posśıveis ordens de integração (uma das quais é apre-
sentada nesse teorema), todas fornecendo o mesmo resultado, de acordo com o Teorema
de Fubini.
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3. Integral tripla sobre região geral
Dada uma função real de três variáveis reais f : E(⊂ R3) → R, desejamos calcular∫∫∫
E
f(x, y)dA, em que E é uma região espacial arbitrária limitada, ou seja, E está
contida em uma caixa retangular B = [a, b]× [c, d]× [r, s].
Consideremos a seguinte função F : B → R (extensão de f à B):
F (x, y, z) =
{
f(x, y, z), se (x, y, z) ∈ E
0 , se (x, y, z) ∈ B\E .
Definição 0.0.3. A integral tripla de f sobre E é dada por∫∫∫
E
f(x, y, z)dV =
∫∫∫
B
F (x, y, z)dV,
desde que F , definida acima, seja integrável.
Classificamos a região E nos tipos a seguir, em cada um dos quais D é, por sua vez,
uma região plana do tipo I ou do tipo II, o que totaliza 6 integrais triplas.
Definição 0.0.4. Uma região espacial arbitrária limitada E é denominada do tipo I
se é a região entre os gráficos de duas funções cont́ınuas u1 e u2 de (x, y), definidas em
[a, b]× [c, d], ou seja,
E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)},
em que D é a projeção de E sobre o plano xy.
Temos: ∫∫∫
E
f(x, y, z)dV =
∫∫
D
[∫ u2(x,y)
u1(x,y)
dz
]
dA.
Definição 0.0.5. Uma região espacial arbitrária limitada E é denominada do tipo II
se é a região entre os gráficos de duas funções cont́ınuas u1 e u2 de (y, z), definidas em
[c, d]× [r, s], ou seja,
E = {(x, y, z) ∈ R3 : (y, z) ∈ D, u1(y, z) ≤ x ≤ u2(y, z)},
em que D é a projeção de E sobre o plano yz.
Temos: ∫∫∫
E
f(x, y, z)dV =
∫∫
D
[∫ u2(y,z)
u1(y,z)
dx
]
dA.
Definição 0.0.6. Uma região espacial arbitrária limitada E é denominada do tipo III
se é a região entre os gráficos de duas funções cont́ınuas u1 e u2 de (x, z), definidas em
[a, b]× [r, s], ou seja,
E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, z) ∈ D, u1(x, z) ≤ y ≤ u2(x, z)},
em que D é a projeção de E sobre o plano xz.
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Temos: ∫∫∫
E
f(x, y, z)dV =
∫∫
D
[∫ u2(x,z)
u1(x,z)
dy
]
dA.
Para calcular uma integal tripla sobre uma região geral E, é conveniente analisarmos,
inicialmente, qual das projeções D nos fornece uma região mais simples de cálculo da
integral dupla que ocorre nas integrais que apresentamos imediatamente após as definições
dos tipos de região E.
Exemplo. Calcule
∫∫
E
√
x2 + z2dV , em que E é a região espacial limitada pelo
paraboloide y = x2 + z2 e pelo plano y = 4.
Resolução.
A Figura a seguir mostra o sólido E.
Figura 1: Região de integração E.
A projeção D de E que nos fornece a região mais simples de cálculo da integral
dupla que ocorre nos tipos de E que definimos é aquela sobre o plano xz — o disco
mostrado na Figura a seguir —, de modo que consideramos E como uma região do tipo
III. A justificativa dessa afirmação é simples: tal disco é a região “mais simétrica” dentre
as três posśıveis, possibilitando-nos, nesse caso, usar coordenadas polares (no plano xz:
x = rcosθ, y = rsenθ). O cálculo é como segue.
Figura 2: projeção de E sobre o plando xz.
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∫∫∫
E
√
x2 + z2dV
E do tipo III
=
∫∫
D
[∫ 4
x2+z2
√
x2 + z2dy
]
dA
Integração
=
∫∫
D
√
x2 + z2 y |y=4y=x2+z2 dA
TFC
=
∫∫
D
[4− (x2 + z2)]
√
x2 + z2dA
Conversão para coordenadas polares
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
(4− r2)r · rdrdθ
Álgebra elementar
=
∫ 2π
0
dθ
∫ 2
0
(4r2 − r4)dr
Integração
= θ |2π0
(
4r3
3
− r
5
5
)
|20
TFC
=
128
15
π.
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ATIVIDADE 4
A respeito do Exemplo resolvido,
a) expresse E dos três tipos posśıveis estudados (para cada tipo, é posśıvel expressar
D dos dois tipos estudados no APONTAMENTO 2, de modo que existem 6 expressões
posśıveis para E).
b) expresse as 6 integrais posśıveis, de acordo com as 6 expressões posśıveis de E no
item a).
c) calcule qualquer das integrais triplas que resulta da escolha de D como projeção de
E sobre o plano xy ou sobre o plano yz. (No Exemplo, apresentamos o cálculo da integral
tripla que resulta da escolha de D como projeção de E sobre o plano xz.)