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Unidade 1
Sistemas de projeçãom plano.
A projeção é algo que está no nosso dia a dia. Podemos encontrá-la na natureza ou podemos produzi-la artificialmente. Por exemplo, em um dia claro, o sol projeta nossa sombra no chão. Neste caso, somos o objeto no espaço e o chão é o plano no qual o objeto está representado graças à luz solar.
Outros exemplos de projeções de sombras podem ser vistos em:
A sombra de objetos iluminados por uma lanterna;
A sombra de uma pessoa iluminada por uma lanterna;
Um objeto sendo iluminado por uma vela;
A sombra de uma pessoa projetada pelo sol.
ELEMENTOS DE PROJEÇÃO
Nos exemplos citados, a fonte de luz que projeta a sombra de algum objeto – o sol, a lanterna, a vela – são chamados de centros projetivos ou centros de projeções. Os raios luminosos, seja do sol (raio solares), da vela ou da lanterna são chamados de raios projetantes. Desse modo, a praia, a parede e o tecido são os planos nos quais os objetos são projetados. Nós os chamados de planos de projeção. A forma ou contorno da sombra, por sua vez, é chamado de figura ou ponto projetado.
Para saber o tipo de representação escolhido, alguns fatores devem ser levados em consideração, tais como os efeitos visuais desejados, pois o tipo de projeção traz um efeito visual diferente à forma do objeto.
APLICAÇÕES DAS PROJEÇÕES
Anteriormente, os desenhos técnicos não representavam, de maneira precisa e correta, a ideia dos objetos. Foi Gaspard Monge (1746 – 1818) quem criou um método para a representação gráfica dos desenhos técnicos como conhecemos hoje.
Atualmente, os desenhos são utilizados em diversas áreas e por diversos profissionais da área da engenharia para representar e descrever estruturas de edifícios, rodovias e as peças de máquinas. É também muito utilizado por arquitetos para apresentar a estética das edificações, e por artistas e designers para representar produtos.
EXPLICANDO
Gaspard Monge (1746 – 1818), matemático e desenhista francês, foi um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica. Aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios, que representavam apenas a planta, a elevação e o perfil.
Figura 1. Desenho técnico de um automóvel. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 16/10/2019.
O propósito da representação determina a escolha da projeção de um objeto tridimensional em um desenho plano, tendo, como objetivo, ilustrar a aparência de um objeto e, ao mesmo tempo, apresentar suas dimensões e formas. A interpretação da projeção do objeto depende da experiência e do treinamento dos observadores. Além disso, a quantidade de informações e sua complexidade dificultam ou facilitam o entendimento do desenho.
Um tipo de projeção é a perspectiva. Com essa projeção, temos a sensação de profundidade, tornando a representação mais próxima da realidade. A Figura 2 apresenta diferentes tipos de perspectiva na representação de um cubo.
Figura 2. Representação de um cubo em diferentes perspectivas.
Podemos observar que, na Figura 3, cada perspectiva apresenta o objeto de uma maneira diferente. Fazendo uma comparação, é possível perceber que a perspectiva que menos deforma o objeto é a isométrica. Isso ocorre porque ela mantém a mesma medida da largura, do comprimento e da altura. O resultado é um desenho proporcional.
Figura 3. Três eixos no espaço igualmente inclinados em relação ao plano de projeção. Fonte: MICELI, FERREIRA, 2009, p. 61. (Adaptado).
Há também a projeção ortogonal, que apresenta o formato exato e também possibilita ilustrar detalhes internos do objeto. É por meio da projeção ortogonal que representamos graficamente objetos tridimensionais em superfícies planas. Com isso, é possível apresentar as reais características com precisão e dimensões exatas.
Vale ressaltar que, quando um profissional vai produzir uma peça, ele recebe o desenho em perspectiva ortogonal, e não um desenho em perspectiva isométrica.
Arlindo Silva e outros autores, no livro Desenho técnico moderno, publicado em 2006, afirmam que:
O objetivo primordial do desenho técnico é definir a forma e a dimensão de um determinado objeto. A leitura de um desenho deve, por isso, ser isenta de ambiguidades e proporcionar ao leitor todos os dados necessários para a fabricação. O desenho funciona como elo de ligação entre a concepção e a fabricação (p. 41).
Figura 4. Objeto em perspectiva isométrica (esq.) e perspectiva ortogonal (dir.). Fonte: BASTOS, 2016, p. 12. (Adaptado
Sistema de projeção cilíndrica ortogonal
Primeiramente, vamos conhecer alguns elementos de projeção e suas relações. Para isso, é necessário conhecer algumas definições:
Centro de projeção: ponto que inicia todas a linhas de projeção;
Raio projetante: reta que inicia a partir do centro de projeção e passa por um ponto no objeto. O cruzamento do raio projetante com o plano de projeção ilustra a imagem do objeto;
Plano de projeção: superfície na qual ocorre a representação do objeto por meio da projeção.
O desenho obtido pela projeção em 2D (2 dimensões) de um objeto é resultado da relação entre três entidades: centro de projeção (ou observador), objeto e plano de projeção. De acordo com a autora Michele da Cruz, que escreveu o livro Projeções e perspectivas para desenhos técnicos, publicado em 2014, “[…] o centro de projeção pode estar numa distância finita ou infinita” (p. 7).
PROJEÇÃO CÔNICA OU CENTRAL
É considerada a representação mais “perfeita” de um objeto. Com isso, é fácil entendê-la, principalmente por pessoas leigas, apesar de ser uma representação deformada se comparada com outras representações.
A projeção cônica ou central acontece quando o centro de projeções está a uma distância finita, conforme mostra a Figura 5.
Para entender melhor o conceito, imagine que você tenha uma vela ou uma lanterna posicionada a uma distância finita O, um objeto F sendo iluminado pelas luzes (raios projetantes), o plano de projeção α e a sombra do objeto F’.
Figura 5. Projeção de um ponto. Fonte: CRUZ, 2016, p. 8. (Adaptado).
PROJEÇÃO CILÍNDRICA ORTOGONAL E OBLÍQUA
É chamada de posição cilíndrica ou paralela quando o centro de projeção é um ponto com uma distância infinita e todos os raios projetantes são paralelos. Essa projeção pode ser ortogonal ou oblíqua.
Imagine que, dessa vez, o objeto esteja iluminado por uma fonte de luz localizada no espaço a uma distância infinita da terra. Essa fonte de luz está tão distante que podemos considerar que os raios luminosos estão paralelos.
Quando a direção dos raios projetantes está em um ângulo de 90º do plano de projeção, é chamada de projeção ortogonal, ou seja, os raios projetantes estão perpendiculares ao plano de projeção.
Figura 6. Projeção cilíndrica ortogonal. Fonte: CRUZ, 2016, p. 9. (Adaptado).
A projeção oblíqua ocorre quando os raios projetantes não formam ângulos de 90º com o plano de projeção, ou seja, os raios projetantes desviam tanto do paralelismo quanto da perpendicularidade.
Figura 7. Projeção cilíndrica oblíqua. Fonte: CRUZ, 2016, p. 10. (Adaptado).
DICA
É possível utilizar um, dois, três ou mais planos de projeção, conforme a necessidade.
Existem outras classificações das projeções apresentadas no Diagrama 1, que derivam das projeções oblíquas e cilíndricas.
Diagrama 1. Classificação das projeções geométricas planas. Fonte: SILVA et al, 2006, p. 48. (Adaptado).
Sistemas de representação
Dentre os sistemas de projeção, a projeção ortogonal, especificamente a cilíndrica, apresenta características dos objetos projetados em verdadeira grandeza. Devido a isso, ela é largamente utilizada no desenho técnico por profissionais.
Para estudar o sistema de projeção ortogonal, é necessário entender a geometria descritiva criada por Gaspard Monge, também conhecido como sistema mongeano ou dupla projeção ortogonal. A partir desse sistema, é possível obter as projeções ortogonais, em que as vistas são projetadas em planos de projeção.
A geometria descritiva utiliza dois planos de projeção perpendiculares entre si. O desenho técnico,por sua vez, pode utilizar até seis planos de projeção.
MÉTODO MONGEANO
Estudar os fundamentos do sistema mongeano, como o estudo da reta, é necessário, uma vez que facilita o entendimento do posicionamento das retas no espaço e suas respectivas projeções nos planos π e π’. Imagine dois planos perpendiculares entre si, um vertical e um horizontal, dividindo-se em quatro regiões e formando um ângulo denominado diedro.
DICA
A sequência da numeração dos diedros é feita no sentido anti-horário, ou seja, no sentido contrário aos movimentos dos ponteiros do relógio.
Cada plano de projeção está associado a um centro projetivo (O e O’). Assim, o método determina que os raios projetantes que surgem do centro projetivo sejam perpendiculares ao plano horizontal (π) e ao plano vertical (π’), ou seja, os raios projetantes são cilíndricos e ortogonais.
Podemos ver, na Figura 8, a interseção do plano vertical e do plano horizontal, perpendiculares entre si, que resulta em uma linha chamada linha de terra. A cota está no plano vertical (π’), e será positiva quando o ponto estiver acima da linha de terra e negativa quando estiver abaixo da linha de terra.
A dimensão de afastamento, presente no plano horizontal (π), será positiva quando estiver antes da linha de terra e negativa quando estivar depois da linha de terra. Entre a cota e a extremidade do plano vertical, paralela à linha de terra, temos a dimensão da abcissa.
Figura 8. Projeção do ponto A, no plano horizontal e vertical. Fonte: BASTOS, 2016, p. 12. (Adaptado).
OPERAÇÕES PROJETIVAS NO ESPAÇO
Admitindo que qualquer figura geométrica, seja plana ou tridimensional, é um conjunto de pontos, podemos concluir que as operações necessárias para obter as projeções de um objeto é um conjunto de operações para alcançar as projeções de todos os pontos que o definem.
Em um sistema projetivo (1º, 2º, 3º ou 4º diedro), independentemente da localização do objeto, os centros projetivos e o observador da projeção estão sempre na mesma posição em relação ao conjunto, ou seja, o centro projetivo (O)∞ está localizado no semiespaço acima do plano horizontal (π) e o centro projetivo (O’)∞ está no semiespaço anterior ao plano vertical de projeção (π’).
Vamos entender melhor como funciona o método com a Figura 9.
Figura 9. Ponto P situado no 1º diedro. Fonte: BASTOS, 2016, p. 12. (Adaptado).
A projeção de (P) em (π) ocorre devido ao raio projetante que parte do centro projetivo (O), perpendicular ao plano (π), e determina o ponto P. Assim, podemos dizer que há uma projeção de (P) no plano (π). No plano (π’) ocorre o mesmo procedimento: o raio projetante parte do centro projetivo (O’), perpendicular ao plano (π’), e determina o ponto P’. Neste caso, podemos dizer que há uma projeção de (P) no plano (π’).
DICA
O ponto P é chamado de projeção horizontal de (P), enquanto o ponto P’ é chamado de projeção vertical do mesmo ponto (P).
PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA: ÉPURA
O próximo passo é utilizar o sistema de projeção em um mesmo plano. Para isso acontecer, considere a linha de terra como um eixo de rotação e gire o plano horizontal (π) no sentido horário até coincidir com o plano de projeção (π’), conforme mostram as Figuras 10 e 11.
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Figura 10. Rebatimento do plano horizontal (π): épura. Fonte: BASTOS, 2016, p. 13. (Adaptado).
Figura 11. Rebatimento do plano horizontal (π): épura. Fonte: BASTOS, 2016, p. 13. (Adaptado).
Somente as projeções são representadas na épura, excluindo os elementos da figura no espaço. O segmento P a P’ é chamado de linha de chamada. Ele é perpendicular à linha de terra. A distância entre P’ a LT é medida pela cota e a distância de P a LT é medida pelo afastamento.
DIEDRO
A posição das vistas pode ser realizada por métodos diferentes. No Brasil, o mais utilizado é o método de projeção no 1º diedro, também denominado de sistema europeu de projeção. O 3º diedro, por sua vez, é menos utilizado no Brasil e é conhecido como sistema americano de projeção.
O símbolo do método de projeção do 1º e 3º diedro pode ser visto na Figura 12.
Figura 12. Símbolo do método de projeção do 1º diedro (a) e do 3º diedro (b). Fonte: CRUZ, 2016, p. 12. (Adaptado).
Há diferenças entre a disposição das vistas do 1º e do 3º diedro. Dessa maneira, deve ser indicada, na folha de desenho, qual foi a projeção escolhida. A Norma NBR n. 10067, emitida em 1995, traz mais informações sobre as proporções e dimensões dos símbolos do 1º e 3º diedros.
ESTUDO DESCRITIVO DA RETA EM DOIS PLANOS
A geometria descritiva estabelece que uma reta é constituída por infinitos pontos. Todavia, são necessários apenas dois pontos para criá-la. Dessa forma, para projetar um segmento, basta projetar dois pontos extremos.
Existem três posições de retas:
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Segmentos de reta paralelos ao plano de projeção
–
As retas são projetadas em sua verdadeira grandeza, ou seja, com sua medida e inclinações reais, seja no plano horizontal ou vertical, conforme mostra o item (a) da Figura 13;
Segmentos de reta perpendiculares ao plano de projeção
–
Ocorre quando a projeção da reta é reduzida a apenas um ponto, não importando a posição do plano, conforme mostra o item (b) da Figura 13;
Segmentos de reta oblíquos em relação ao plano de projeção
–
Esse tipo de reta não é representado em verdadeira grandeza, ou seja, há uma deformação linear, não importando a posição do plano. Desse modo, ela sempre terá uma deformação, conforme mostra o item (c) da Figura 13.
Figura 13. Segmentos de retas paralelos (a), perpendiculares (b) e oblíquos (c) em relação ao plano de projeção. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009, p. 15. (Adaptado).
ESTUDO DESCRITIVO DE OBJETOS COM TRÊS DIMENSÕES EM DOIS PLANOS
Os objetos possuem complexidades maiores que apenas um ponto ou uma reta. Nesse sentido, quando nos deparamos com objetos mais complexos, é necessário identificar seus vértices. Na Figura 14, por exemplo, é possível identificar dez vértices, enumerados de A a J, aos quais podemos aplicar o conceito de projeção ortogonal.
EXPLICANDO
Um vértice é o ponto em comum entre dois ou mais lados de uma figura geométrica.
Figura 14. Identificação dos vértices e projeções ortogonais sobre os planos de projeção que constituem o referencial. Fonte: SILVA et al., 2006, p. 49. (Adaptado).
O item (b) da Figura 14, por exemplo, ilustra a projeção do objeto em dois planos. Cada plano estabelece dois pontos: um no plano de projeção vertical, designado por ’’, e um no plano de projeção horizontal, denominado ‘, associados ao ponto. Mais detalhes podem ser vistos na Figura 15.
Figura 15. Épura e representação do objeto da Figura 14. Fonte: SILVA et al, 2006, p. 49. (Adaptado).
PROJEÇÃO EM TRÊS PLANOS
Determinados objetos apresentam maior complexidade e dispõem de uma quantidade mais ampla de características. Assim, sua representação em apenas dois planos de projeção pode levar o leitor do desenho ao erro, conforme demonstra a Figura 16. Com isso, faz-se necessário aumentar o número de planos de projeção. Segundo as autoras Maria Teresa Miceli e Patricia Ferreira, autoras do livro Desenho técnico básico, de 2009, no desenho técnico, os planos de projeção correspondem às três vistas ortogonais principais, listadas a seguir.
A projeção no plano vertical é chamada de vista frontal (VF);
A projeção no plano horizontal é chamada de vista superior (VS);
A projeção no plano de perfil corresponde à vista lateral (VL).
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Figura 16. Ambiguidade na representação de projeções ortogonais (insuficientes) de um objeto. Fonte: SILVA et al., 2006, p 49. (Adaptado).
Figura 17. Projeção ortogonal adicional: plano de projeção adicional. Fonte: SILVA et al., 2006, p. 49. (Adaptado).
Como podemos observar na Figura 17, a vista adicional traz mais informações acerca das características do objeto. Sem ela, seríamos induzidos ao erro. Nesta situação, o observador consegue ter uma percepção em três dimensões a partir das projeções nos planos, conforme a Figura 18.
Figura 18. Épura da projeção ortogonal do objeto. Fonte: SILVA et al., 2006, p 52. (Adaptado)Normas de representação
Para representar um objeto no desenho técnico é necessário conhecer um conjunto de assuntos e normas específicos, como as linhas e suas respectivas espessuras. O desconhecimento dessas propriedades, por outro lado, torna impossível a realização do desenho, bem como sua correta leitura e interpretação.
Por esse motivo, foi sendo convencionada, na área, uma normatização especializada que determina os diferentes tipos de linhas a serem adotados para cada elemento representado. Por exemplo: a aresta de contorno visível de uma peça deve ser representada de maneira diferente de uma aresta invisível, segundo afirmado por Arlindo Silva e os outros autores do livro Desenho técnico moderno, de 2006.
Neste tópico iremos conhecer os diversos tipos de linhas, suas denominações e usos específicos.
APLICAÇÃO DE LINHAS EM DESENHOS
A norma que formaliza a aplicação das linhas em desenhos técnicos é a NBR 8403 – Aplicação de linhas em desenhos, de 1984, que apresenta os tipos de linhas, suas denominações e aplicações, que podem ser encontradas a seguir, no Quadro 1.
Quadro 1. Tipos de linhas, denominação e uso. Fonte: NBR 8403, 1984, p. 2. (Adaptado).
A NBR 8403 também prescreve que, se existirem duas alternativas em um mesmo desenho, só deve ser aplicada uma opção.
Figura 19. Aplicação geral das linhas. Fonte: NBR 8403, 1984, p 3. (Adaptado).
Veja a seguir mais alguns exemplos da aplicação das linhas aos desenhos.
Linha para contornos e arestas visíveis: é uma linha contínua, larga e uniforme, que serve para indicar as arestas visíveis do objeto (Figura 20).
Figura 20. Exemplo de contorno visível. Fonte: CRUZ, 2016. (Adaptado).
Linha para contornos e arestas não visíveis: é uma linha tracejada, larga e uniforme, que serve para indicar as arestas não visíveis do objeto (Figura 21).
Figura 21. Exemplo de linha tracejada – contorno não visível. Fonte: CRUZ, 2016. (Adaptado).
Linha de centro: linha estreita formada por traços e pontos alternados uniformemente. Ela serve para indicar, no desenho, o centro de furos (circulares ou quadrados), arcos de circunferência etc. (Figura 22).
Figura 22. Exemplo de linha de centro. Fonte: CRUZ, 2016. (Adaptado).
Na Figura 23 temos ainda outros exemplos de linhas, a saber: hachura – linha estreita, linha de cota e auxiliar, linha de corte etc.
Figura 23. Exemplo de linhas: hachura – linha estreita (a), linha de cota e linha auxiliar (b), linha de corte – traço e ponto estreita, larga nas extremidades. Fonte: CRUZ, 2016. (Adaptado).
Por fim, segundo a NBR 8403, se diferentes tipos de linhas forem usados, os respectivos significados devem ser explicados no próprio desenho ou por meio de referência às normas específicas correspondentes.
ORDEM DE PRIORIDADE DE LINHAS COINCIDENTES
Na ocorrência de duas ou mais linhas de diferentes tipos, alguns aspectos devem ser observados, conforme disposto a seguir, com base na NBR 8403:
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Arestas e contornos visíveis (linha contínua larga, tipo de linha A);
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Arestas e contornos não visíveis (linha tracejada, tipo de linha E ou F);
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Superfícies de cortes e seções (traço e ponto estreita, larga nas extremidades e na mudança de direção, tipo de linha H);
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Linhas de centro (traço e ponto estreita, tipo de linha G);
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Linhas de centro de gravidade (traço e dois pontos, tipo de linha K);
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Linhas de cota e auxiliar (linha contínua estreita, tipo de linha B).
Figura 24. Ordem de prioridade de linhas coincidentes. Fonte: NBR 8403, 1984, p. 4. (
SINTETIZANDO
Nesta unidade nós tratamos da projeção e suas prioridades, iniciando pela introdução do processo de projeção e elucidação da representação de um desenho técnico.
Você, leitor, pôde conhecer os diferentes tipos de projeções e perceber suas mudanças desde a criação do sistema mongeano, que utiliza a base da geometria descritiva na representação gráfica das vistas de um objeto sob os planos de projeção. Além disso, foi possível explicar qual a importância desse sistema para os profissionais que utilizam este método para exercício de suas atividades.
Além disso você viu que a representação dos desenhos é normatizada, estando sujeita a uma padronização da linguagem gráfica do desenho técnico, que leva em conta os tipos de vistas utilizadas, tipos de linhas, e como e quando utilizá-las. Dessa maneira, todo desenho técnico criado dentro das normas pode ser lido por qualquer pessoa que possua conhecimentos básicos.
Unidade 2
Projeção ortográfica
A projeção isométrica apresenta certa deformação na representação dos objetos, ou seja, a representação não possui as mesmas medidas do objeto, altura, largura e profundidade. Quando isso ocorre dizemos que não está em verdadeira grandeza. A projeção ortográfica, por sua vez, consegue transmitir com precisão as características reais do objeto e, por isso, ela é largamente utilizada no desenho técnico (PASTANA, 2006).
PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
É possível encontrar situações em que alguns objetos fornecem mais informações, de modo que o leitor do desenho precisa captá-las nas projeções. Quando isso ocorre, podemos utilizar mais planos de projeção, aumentando o número de vistas para até seis. Dessa maneira, o leitor conseguirá obter todas as informações necessárias para produzir uma peça.
Para entender como a projeção ortográfica funciona com seis vistas de projeção, imagine uma peça que deverá ser projetada nos planos de projeção. Como analisar essa peça e saber identificar qual a vista principal? Para conseguir desenhar as projeções, é necessário que o observador analise a peça com muita atenção.
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Figura 1. Objeto em três dimensões. Fonte: CRUZ, 2014.
Figura 2. Observador olhando de frente. Fonte: CRUZ, 2014.
Figura 3. Observador olhando a lateral esquerda da peça. Fonte: CRUZ, 2014.
O conceito é cercar o objeto com seis planos de projeção, como se esse objeto estivesse dentro de uma caixa transparente. Posteriormente, as seis projeções serão “desdobradas” (CRUZ, 2014), como apresenta a Figura 4.
Figura 4. Vistas projetadas em um cubo em torno do objeto. Fonte: CRUZ, 2014.
A peça de estudo é retirada da caixa transparente, ficando apenas os planos de projeções. Por fim, as vistas resultantes são colocadas de frente para o observador. O resultado final é a disposição das vistas ortográficas principais de um objeto tridimensional (BASTOS, 2016).
O desenho deve ser representado pela cor preta, mas, se houver a necessidade de utilizar outras cores para facilitar o entendimento do objeto, é preciso explicar o significado na legenda.
Figura 5. Vistas desdobradas no plano. Fonte: CRUZ, 2014.
Cada vista representada nos desenhos técnicos possui seus nomes característicos:
A = vista frontal
B = vista superior
C = vista lateral esquerda
D = vista lateral direita
E = vista inferior
F = vista posterior
Na prática, normalmente as projeções A, B e C são suficientes para a maioria das situações.
EXPLICANDO
A vista mais representativa é a vista frontal, por ser a vista de referência.
Figura 6. Vistas desdobradas no plano. Fonte: CRUZ, 2014.
MÉTODO DE PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA NO 1º E 3º DIEDRO
No Brasil, os métodos de arranjos dos planos utilizados são o 1º e 3º diedro, sendo o 1º diedro o mais utilizado, conhecido como sistema europeu. O posicionamento das vistas, ou seja, o arranjo no 1º diedro, é organizado em torno da vista principal. Isso ocorre da seguinte forma:
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A – Vista frontal
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É a vista principal, a mais representativa do objeto, considerada a vista de referência;
B – Vista superior
–
Neste caso, o observador olha o objeto de cima para baixo; esta vista deve ser posicionada abaixo da vista frontal;
C – Vista lateral esquerda
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Neste caso, o observador está observando a face esquerda do objeto; a vista deve ser posicionada à direita da vista frontal;
D – Vista lateral direita
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O observador está observando a face direita; a vista deve ser posicionada à esquerda da vista frontal;
E – Vista inferior
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O observador olha de baixo para cima; a vista deve ser posicionada acima da vistafrontal;
F – Vista posterior
–
O observador olha a parte de trás da peça; a vista pode ser posicionada à esquerda da vista C ou à direita da vista D, de acordo com o que for mais conveniente.
Figura 7. Posição das vistas no 1º diedro. Fonte: CRUZ, 2014.
Além do método europeu, há o método do 3º diedro, chamado de método americano. Nesse caso, há uma mudança no posicionamento das vistas. Novamente o arranjo das vistas acontece em torno da vista principal, ou seja, da vista frontal. As vistas, portanto, são ordenadas como se segue:
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A – Vista frontal
–
Por ser a vista de referência do objeto; é a vista mais representativa, ou seja, é a vista principal;
B – Vista superior
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Posiciona-se acima da vista frontal;
C – Vista lateral esquerda
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Posiciona-se no lado esquerdo da vista frontal;
D – Vista lateral direita
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Posiciona-se no lado direito da vista frontal;
E – Vista inferior
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Posiciona-se abaixo da vista frontal;
F – Vista posterior
–
Posiciona-se à esquerda da vista C ou à direita da vista D.
DICA
Segundo Cruz (2014), a disposição das vistas é diferente entre as projeções do 1º e 3º diedros. Por conta disso, é importante indicar na folha de desenho qual projeção foi a escolhida.
SUPRESSÃO DE VISTAS
Como vimos anteriormente, um objeto pode ser representado por meio das três vistas ortográficas principais (frontal, lateral esquerda e superior), ou podemos aumentar o número de vistas para até seis, ou seja, aumentar mais três vistas, a depender da complexidade do objeto de estudo. Caso o objeto possua menor complexidade, a representação do mesmo poderá ser reduzida de três para duas, ou até uma única vista (MICELI; FERREIRA, 2009).
EXPLICANDO
Isso é possível devido ao fato de as vistas possuírem pares semelhantes, ou seja, uma vista pode apresentar as mesmas informações de outras e, nesse caso, ocorre uma duplicidade (CRUZ, 2014).
Quando houver a supressão de vista, alguns critérios deverão ser obedecidos, tais como:
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VISTA FRONTALDETALHES IMPORTANTES
Por se tratar da vista mais importante, deverá ser sempre mantida;
Na Figura 9, podemos perceber que a vista superior foi suprimida em comparação com a Figura 8, restando as vistas frontal e lateral esquerda, o que não gera prejuízo na leitura do objeto uma vez que a vista superior não acrescenta informações relevantes.
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Figura 8. Exemplo A-1: vistas ortográficas e perspectiva isométrica do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
Figura 9. Exemplo A-2: vista frontal e lateral esquerda do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
No exemplo a seguir, as vistas frontal e superior são necessárias para se obter todas as informações do objeto.
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Figura 10. Exemplo B-1: vistas ortográficas e perspectiva isométrica do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
Figura 11. Exemplo B-2: vista frontal e superior do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
No exemplo a seguir, há a representação de um objeto em duas vistas (Figura 12). Como esse objeto possui características simples e simetria, é possível reduzir o número de vistas para apenas uma. A representação de uma única vista é possível por meio do uso de alguns símbolos, tais como Ø, que representa o diâmetro, também o símbolo quadrado e diagonais que indicam superfícies planas (Figura 13).
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Figura 12. Exemplo C-1: perspectiva isométrica e vista ortográfica do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
Figura 13. Exemplo C-2: única vista do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
O próximo exemplo de aplicação de única vista usa o símbolo quadrado e diagonais em linha contínua estreita para representar uma superfície plana.
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Figura 14. Exemplo D-1: vistas do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
Figura 15. Exemplo D-2: única vista do objeto com superfície plana. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
A representação de objetos de pequenas espessuras, como chapas ou placas, é simplificada pela indicação de espessura ESP. A indicação pode ter a localização interna ou externa, caso seja externa, deve se localizar no canto inferior direito (MICELI; FERREIRA, 2009).
Figura 16. Objeto com pequena espessura. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
Segundo Cruz (2014), para a criação das múltiplas vistas deve-se obedecer ao seguinte roteiro:
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Escolher a vista mais importante como vista principal;
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Selecionar a quantidade de vistas necessárias e suficientes para a completa caracterização do objeto e que gere o menor número possível de linhas tracejadas;
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Estudar o uso de corte e/ou seções;
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Determinar a posição das vistas na folha do desenho, mantendo a mesma distância entre elas;
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Traçar com traço leve as construções geométricas que auxiliam no desenvolvimento das projeções, pois elas serão apagadas ao final do desenho;
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Traçar com traço leve linhas auxiliares, pois elas serão apagadas ao final do desenho;
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Desenhar primeiramente as linhas de texto e/ou simetria;
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Desenhar circunferências e arcos;
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Desenhar linhas retas;
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Apagar cuidadosamente as linhas auxiliares e de construções;
11
Acentuar o traço dos contornos das vistas;
12
Inserir as dimensões dos objetos.
CORTES
Alguns objetos possuem características internas, como furos, aberturas ou quaisquer outras que estejam ocultas e que não podem ser representados nas vistas citadas até agora. Muitas vezes é necessário detalhar essas características. Desse modo, há o plano de corte, que é semelhante às vistas, entretanto, o plano de corte divide a peças em duas partes visando representar as partes internas mais importantes (MICELI; FERREIRA, 2009).
Figura 17. Representação de figura em vista frontal (esq.) e em corte total (dir.). Fonte: PASTANA, 2006.
DICA
A representação das vistas em corte é regulamentada pela norma NBR 10067, já a representação de área de corte por meio de hachuras é representada pela norma NBR 12298.
Para indicar que há um corte em determinada seção do objeto, é necessária a representação por meio da linha traço e ponto, com setas apontado para a parte que será removida e a indicação das letras (A). Na vista seccionada, ou vista em corte, as letras serão representadas para indicar que há uma associação com o plano de corte, isso é necessário porque, na mesma peça, pode conter mais de um plano de corte (A- A, B-B, C-C, etc.) (CRUZ, 2014).
1
2
Figura 18. Plano de corte. Fonte: CRUZ, 2014.
Figura 19. Exemplo de vista seccionada: corte total vertical. Fonte: CRUZ, 2014.
Vemos, na Figura 18, que o corte A-A, posicionado verticalmente, passa por toda a extensão da peça e gera uma vista. Nessa situação, o corte é chamado de corte total. O observador olha a peça na direção indicada pelas setas da seção A-A.
A parte que representa o sólido, ou seja, o material das peças, é representada pela hachura. Caso haja diferentes tipos de materiais, deve-se utilizar uma hachura diferente para cada material. As vistas de corte devem ser representadas na mesma disposição que as vistas ortográficas. Tendo a vista frontal como principal, seguem as posições do 1º e 3º diedro (CRUZ, 2014).
Quando houver detalhes de interesse que não estiverem alinhados, o corte composto ou em desvio poderá ser utilizado para analisar todos os elementos internos do objeto em uma única vista. Imagine, portanto, que o plano desvie de direção a fim de atingir todos os elementos importantes da peça (PASTANA, 2006).
Figura 20. Representação do corte composto por mais de dois planos de cortes paralelos. Fonte: PASTANA, 2006.
Há objetos em que é possível imaginar o corte em apenas uma parte, mantendo a outra parte visível em sua representação. Esse tipo de corte é chamado de meio corte e é comumente utilizado em peças assimétricas longitudinalmente e transversalmente (PASTANA, 2006).
Figura 21. Plano de corte e peça cortada. Fonte: PASTANA, 2006.
Para Silva et al. (2006), algumas regras podem ser definidas para a representação de cortes, são elas:
1
A representação da vista de corte é da superfície cortada e todos os elementos da peça posterior à superfície;
2
A parte da peça retirada deve ser representadanas vistas;
3
A região cortada deve possuir hachura com ângulos de 45º, a hachura deve estar sempre na mesma direção e com o mesmo espaçamento em todas as vistas;
4
Procurar passar os planos de corte no eixo de simetria da peça a ser cortada;
5
As linhas de contorno invisível (traços interrompidos) só devem ser usadas se trouxerem informações importantes para a representação da peça;
6
As superfícies de corte são sempre demarcadas por linhas de contorno visível (traço contínuo grosso).
HACHURA
A norma NBR 12298 define hachuras como linhas ou figuras com o objetivo de representar tipos de materiais em áreas de corte em desenho técnico. A hachura identifica os cortes, entretanto, não se deve hachurar no sentido longitudinal os seguintes elementos: dentes de engrenagem, parafusos, porcas, eixos, raios de roda, nervuras, pinos, arruelas, contrapinos, rebites, chavetas, volantes e manípulos (CRUZ, 2014).
As hachuras devem ser representadas como na Figura 22, utilizando linhas finas a 45º em relação às linhas de contorno principais da peça, ou aos eixos de simetria, e espaçamento mínimo de 0,7 mm. As hachuras podem ser diferentes entre si. Quando a peça possui partes ou outras peças adjacentes, elas devem ser diferenciadas pela direção ou espaçamento.
Figura 22. Exemplos de hachuras a 45º. Fonte: CRUZ, 2014.
Deve-se utilizar um tipo específico de hachura para cada tipo de material, conforme a Tabela 1.
Tabela 1. Hachuras específicas. Fonte: ABNT (c), 1995, p 3.
Para saber mais sobre hachura, consulte a norma ABNT NBR 12298.
Vistas auxiliares
Os detalhes que não são paralelos aos planos de projeção tornam a construção de vistas mais trabalhosa, sendo necessária a construção de vistas que já conhecemos e outras vistas simultaneamente (SILVA et al., 2006).
As vistas auxiliares são projeções parciais, utilizadas para representar peças com faces inclinadas e que, se representadas nas vistas ortográficas, ficariam deformadas e não representariam sua verdadeira grandeza (CRUZ, 2014).
Figura 23. Objeto de face inclinada (esq.), vista lateral esquerda deformada e com linhas sobrepostas. Fonte: CRUZ, 2014.
Observe a Figura 23. A vista frontal apresenta a peça em verdadeira grandeza, entretanto, a vista lateral esquerda não consegue representar as dimensões reais da peça, além de possuir linhas sobrepostas. Para resolver esse problema, utilizamos a vista auxiliar (Figura 24) a fim de ilustrar as informações imperceptíveis nas vistas ortográficas comuns.
Figura 24. Vista auxiliar. Fonte: CRUZ, 2014.
Nesse exemplo, podemos perceber uma vista frontal que possui uma indicação da representação da vista auxiliar e, ao lado, a vista representando a seção indicada.
Algumas peças podem possuir detalhes oblíquos em relação aos três planos de projeção, assim como é evidenciado na Figura 25 com a utilização de dois planos auxiliares de projeção.
Figura 25. Representação de peças com dois planos auxiliares de projeção. Fonte: SILVA et al., 2006.
VISTA DE DETALHES
As vistas de detalhes são utilizadas quando os objetos possuem uma pequena zona de uma vista que não é representada claramente. O detalhe é colocado dentro de uma circunferência com traço contínuo fino, conforme NBR 8403, e identificado por uma letra. 
Na vista ampliada há a letra que corresponde ao detalhe e à escala de ampliação, se necessário (SILVA et al., 2006).
Figura 26. Vista de detalhe de uma peça. Fonte: ABNT (b), 1995.
VISTA DE PEÇAS ASSIMÉTRICAS
Assim como as peças com detalhes, as peças assimétricas também podem ser representadas de maneira simplificada. Nesse caso, a representação será de apenas uma parte. Isso só será possível se a representação simplificada contiver todos os detalhes que possibilitam a perfeita interpretação.
É necessário utilizar uma linha simétrica composta de dois traços curtos, perpendiculares à extremidade da linha de simetria e paralelos entre si.
Figura 27. Representação simplificada. Fonte: CRUZ, 2014.
REPRESENTAÇÃO DE DETALHES REPETIDOS
Algumas peças podem possuir detalhes repetidos, nesse caso, não é necessário representar todos os detalhes, o desenho pode ser simplificado. Por exemplo: em peças com múltiplos furos (Figura 28), pode ser realizada a representação de apenas um ou dois furos e, para os demais, definir apenas os respectivos centros.
Figura 28. Objeto com perfurações e representação simplificada do objeto. Fonte: CRUZ, 2014.
Em algumas situações, as peças podem ser representadas pela sua quarta parte, o que é possível quando a linha assimétrica divide a vista em quatro partes iguais (Figura 29). 
Figura 29. Representação de peça simplificada. Fonte: CRUZ, 2014.
REPRESENTAÇÃO DE ARESTAS FICTÍCIAS
A representação de arestas fictícias torna mais fácil a leitura e a compreensão dos desenhos. Como o próprio nome diz, ela é uma aresta fictícia que corresponde a uma mudança de superfície suave. É muito comum encontrar essa situação em peças de fundição (SILVA et al., 2006). Veja alguns exemplos na Figura 30.
A arestas fictícias são representadas por uma linha fina que não se encontra com as linhas de contorno.
Figura 30. Representação convencional de arestas fictícias. Fonte: SILVA et al, 2006.
Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nessa unidade. Vamos lá?!
SINTETIZANDO
Nesta unidade você aprendeu que é possível aumentar o número de planos de projeção para até seis vistas utilizando o sistema mongeano, ou seja, a projeção ortográfica, que representa os objetos em verdadeira grandeza. Além disso, aprendeu como é a disposição das vistas ortográficas tanto no 1º quanto no 3º diedro, e que as vistas que apresentam informações irrelevantes ou repetidas podem ser suprimidas, sempre buscando utilizar somente a quantidade de vistas necessária.
Você conheceu a correta representação de cortes e seções de acordo com as convenções, pôde perceber a diferença entre corte total, meio corte e corte composto, além de como aplicá-los nas projeções. Estudou, também, a aplicação de hachuras nos cortes, quando devem ser utilizadas e como devem ser realizadas. Aprendeu, ainda, a diferenciar os tipos de acordo com a norma vigente.
Outros tipos de representações também foram estudadas, como, por exemplo, a vista auxiliar, que torna possível a leitura de objeto com seções oblíquas ao plano de projeção (e que, dependendo do objeto, necessitará de mais de uma vista auxiliar); a vista de detalhes usada em objetos que possuem uma pequena zona que não fica representada claramente nas vistas comuns; a representação de detalhes repetitivos em objetos; como representar as vistas de peças assimétricas; e, por fim, quando é aplicado o uso de arestas fictícias
Unidade 3 
Axonométrica ortogonal
A forma de representação gráfica de objetos tridimensionais se dá pela perspectiva que ilustra o objeto no seu modo mais próximo da realidade. Dessa maneira, é possível realizar, na forma de estudo, uma representação tridimensional num único desenho. A perspectiva surge de uma projeção na qual o centro de projeção é o observador, as linhas projetantes correspondem aos raios visuais e a perspectiva no desenho é a projeção no plano de projeção.
A NBR 8403 e a NBR 10067, estabelecidas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas, definem as representações, os tipos e as larguras de linhas. Portanto, elas são adotadas não apenas aqui como em todo o país, visto que objetivam padronizar o desenho técnico, incluindo as perspectivas. Maria Miceli e Patrícia Ferreira, no livro Desenho Técnico Básico, de 2009, determinam os seguintes tipos de perspectivas:
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CURIOSIDADE
O termo axonometria vem do grego axon (eixo) e metron (medida).
Como visto, a perspectiva axonométrica ortogonal está inserida nas projeções ortogonais, também chamadas de paralelas ortográficas. Segundo Michele Cruz, no livro Projeções e perspectivas para desenhos técnicos, de 2014, a projeção axonométrica é uma projeção ortogonal representada em um único plano, e a posição desse plano seria escolhida de tal maneira que é possível ilustrara forma tridimensional geral de um objeto, ou seja, ocorre a representação de um objeto em três dimensões. No livro Desenho técnico básico: fundamentos teóricos e exercícios à mão livre, de 1981, os autores José Carlos Bornancini, Nelson Petzold e Henrique Orlandi Júnior definem que a perspectiva axonométrica corresponde a desenhar a perspectiva sobre a lâmina de vidro, movendo o olho do observador ao mesmo tempo em que o lápis, de modo a sempre manter as perspectivas visuais que passam pelos diversos pontos do objeto, pela ponta do lápis e pelo olho, perpendiculares ao vidro.
Figura 1. Perspectiva cilíndrica ortogonal de um cubo. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Tomando como objeto de estudo a Figura 1, analise os pontos a seguir:
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A)B)C)
Imaginando que há um plano vertical translúcido por trás, é posto um cubo com uma de suas faces numa superfície horizontal, fazendo com que a vista frontal do cubo seja um quadrado;
Os eixos projetados (X’, Y’ e Z’) caracterizam as dimensões do objeto, correspondente à largura, altura e profundidade. A classificação das projeções axonométricas é de acordo com a orientação do plano de projeção, ou seja, depende dos ângulos entre o plano de projeção e os eixos de coordenadas. Quando todos os ângulos são iguais, chama-se de projeção isométrica; se há apenas dois ângulos iguais, a projeção é chamada de projeção dimétrica; se todos os ângulos forem diferentes, chama-se de projeção trimétrica.
DICA
Se quiser saber mais sobre a projeção dimétrica e trimétrica, consulte a norma ISO 5456-3.
Diagrama 1. Classificações das projeções geométricas planas. Fonte: CRUZ, 2014.
A perspectiva trimétrica tem estética mais agradável quando comparada a outros métodos axonométricos por permitir ilimitadas orientações do objeto, ainda que sua elaboração seja mais difícil. O método dimétrico, por outro lado, não dá a mesma liberdade de orientações do objeto e o resultado não é tão agradável aos olhos, porém, sua execução é mais simples. O método isométrico apresenta um resultado menos agradável aos olhos quando comparado aos dois primeiros, mas é mais fácil de desenhar e facilita a cotagem, razões pelas quais é um dos métodos mais utilizados.
A aplicação mais usual da axonometria é em perspectivas dos projetos de instalação hidráulica e em peças nas quais o problema de medidas é fundamental. Partindo de um esboço utilizando uma representação isométrica, o arquiteto cria uma volumetria, a fim de estudá-la e modificá-la. 
A representação isométrica também é uma ferramenta importante para o aluno de arquitetura, posto que a observação dos paralelismos entre as linhas e o exercício prático ajudarão a desenvolver a percepção tridimensional do aluno e o capacitarão a representar os seus projetos. Laura Ribeiro, no livro Apostila de Perspectivas, de 2015, acrescenta que seu uso no campo na engenharia é amplamente empregado devido à simplicidade de construção e ao fato de proporcionar imagens semelhantes às da perspectiva exata quando o ângulo visual desta é igual ou inferior a 30°.
Figura 2. Perspectivas axonométricas. Fonte: RIBEIRO, 2015.
PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
A perspectiva isométrica está dentro da representação axonométrica ortogonal em que qualquer de linha de projeção faz coordenada com ângulos iguais em relação aos eixos de coordenadas. A perspectiva isométrica ocorre quando os três ângulos projetados do plano são iguais entre si – 120º, como na Figura 3.
Figura 3. Eixos isométricos a, b e c. Fonte: CRUZ, 2014.
Na Figura 4 há uma redução na aresta AB quando projetada no plano (com o nome de A’B’). Mesmo assim, as projeções estão em verdadeira grandeza no que se chama de isométrica simplificada. Dessa forma, os objetos são representados em tamanho real, trazendo uma grande vantagem na facilidade de construção por ter apenas linhas paralelas em verdadeira grandeza na sua construção.
Figura 4. Objeto em perspectiva. Fonte: RIBEIRO, 2015.
Para representar um objeto em perspectiva isométrica, é necessário traçar duas linhas opostas a 30º da linha de base para, logo após, traçar uma linha perpendicular saindo da linha de base e delineando todas as demais linhas paralelas com medidas em verdadeira grandeza. Realizada esta etapa, as linhas devem continuar traçadas sempre paralelas a 30º e a 90º e em verdadeira grandeza.
Figura 5. Objeto representado em perspectiva isométrica. Fonte: CRUZ, 2014.
As linhas paralelas ao eixo isométrico são chamadas de isométricas e as linhas não paralelas são chamadas de não isométricas.
Figura 6. Linhas isométricas e linhas não isométricas. Fonte: PASTANA, 2006.
No exemplo da Figura 6, as linhas R, S, T e U são linhas isométricas. Já a linha V é não isométrica.
R e S são linhas isométricas porque são paralelas ao eixo Y;
T é isométrica porque é paralela ao eixo Z;
U é isométrica porque é paralela ao eixo X;
V não é linha isométrica porque não é paralela aos eixos X, Y, Z.
Dentro da perspectiva isométrica, há a perspectiva real ou exata, cujo desenho é representado com uma redução nos três eixos. Para isso, o fator de redução de 0,816 é utilizado para fazer o objeto ficar cerca de 20% menor, como na Figura 7.
Figura 7. Perspectiva isométrica real ou exata. Fonte: CRUZ, 2014.
Como os coeficientes de redução são iguais para os três eixos isométricos, pode-se tomar como medida das arestas do cubo sobre eles a verdadeira grandeza das mesmas e o efeito será idêntico, ficando apenas com suas dimensões ampliadas de 1 para 1,2 e 3.
A ampliação também é tolerada, haja vista a facilidade de trabalhar diretamente com as dimensões do objeto. O inconveniente se dá quando há representação pela projeção ortográfica junto da perspectiva isométrica, deixando a ampliação perceptível, o que é algo indesejável. Por isso, deve ser utilizado o coeficiente de redução ou a escala isométrica correspondente.
Uma circunferência ou uma linha curva qualquer não será representada na forma real quando o desenho estiver representado em perspectiva isométrica. Para representar uma circunferência na perspectiva, é utilizado o método da elipse de quatro centros. O mesmo processo é utilizado nas demais faces da figura isométrica.
É necessário encontrar o centro da circunferência, desenhar a perspectiva isométrica do quadrado circunscrito e, após isso, desenhar a circunferência seguindo os passos abaixo:
1
Encontrar os pontos médios do quadrado circunscrito (E, F, G, H);
2
Ligar os vértices A e C do quadrado aos pontos médios das arestas opostas a ele. Por exemplo, o vértice A se ligará aos pontos médios F e H;
3
Considerando o ponto A como centro, traçar um arco do ponto F ao H. Considerando o ponto C como centro, traçar um arco do G ao E;
4
Devido aos segmentos criados pelos vértices e pontos médios, temos duas intersecções: pontos I e J. A partir deles, também deve-se traçar um arco do F ao G, e do E ao H, respectivamente.
Em caso de dúvidas, consulte o livro Desenho técnico e tecnologia gráfica, lançado em 1995, de Thomas French e Charles Vierck.
CONSTRUÇÃO DAS PERSPECTIVAS ISOMÉTRICAS
No desenho à mão livre, utiliza-se o processo de construção baseado nas coordenadas axonométricas presente na elaboração de qualquer axonometria e, desta maneira, é usado na perspectiva isométrica.
Considerando as três direções do objeto que correspondem às dimensões H, L e P, desenham-se os eixos isométricos correspondentes à perspectiva dos eixos do triedro do objeto, aplicando o coeficiente de redução para se obter as coordenadas isométricas correspondentes aos respectivos eixos isométricos. Nesse caso, as medidas estarão diretamente sobre os eixos.
No modelo da Figura 8 será utilizado o processo de coordenadas para obter o desenho isométrico de um prisma reto obtido através de suas vistas ortográficas.
Figura 8. Exemplo de perspectiva ortográfica. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Considerando o ponto de origem dos eixos isométricos como o vértice do prisma, é realizada a marcação – em verdadeira grandeza – da altura no eixo H, dalargura do eixo L e da profundidade do eixo P do prisma. Após isso, são traçadas as linhas paralelas aos eixos, conforme mostra a Figura 9.
Figura 9. Eixos isométricos e prisma em perspectiva isométrica. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
ESCOLHA DOS EIXOS
É importante escolher corretamente a posição do objeto, correspondendo à posição dos eixos isométricos. Na escolha habitual, a altura coincide com o eixo isométrico vertical e a largura e a profundidade aparecerão com direções inclinadas em 30º em relação ao plano horizontal. Tal disposição do eixo é conhecida como primeira posição, correspondente a começar a construção da perspectiva do objeto pelo vértice superior. Em determinadas situações, torna-se mais interessante iniciar a construção pelo vértice frontal inferior do objeto, sendo chamado de segunda posição, cuja representação aparece na Figura 10. Isto se configura apenas em uma disposição prática dos eixos isométricos.
Figura 8. Exemplo A-1: vistas ortográficas e perspectiva isométrica do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
No exemplo a seguir, as vistas frontal e superior são necessárias para se obter todas as informações do objeto.
Figura 10. Exemplo B-1: vistas ortográficas e perspectiva isométrica do objeto. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
Nos exemplos vistos até agora, o objeto está inclinado para frente em relação ao quadro, mostrando sua face superior. Porém, na situação chamada de posição invertida, ele inclina-se para trás, fazendo com que a perspectiva isométrica correspondente mostre a face inferior, como na Figura 11.
Figura 11. Perspectiva de objeto em posição invertida. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Quando a construção de uma perspectiva isométrica se dá a partir das vistas ortográficas, deve-se escolher a posição dos eixos baseando-se nas vistas dadas. As arestas do objeto têm linhas não paralelas aos eixos, como um triedro, e têm como perspectivas linhas não isométricas. Nessa situação, como não é possível transferir as medidas diretamente para a perspectiva, a solução é unir dois dos seus pontos através das respectivas coordenadas isométricas, conforme apresenta a Figura 12.
Figura 12. Projeção ortogonal e perspectiva de objeto com linhas não isométricas. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Não é possível representar os ângulos em verdadeira grandeza na perspectiva isométrica. Entretanto, é perfeitamente possível construí-los na projeção ortográfica, devido à deformação das linhas que não estão paralelas aos eixos isométricos. A construção desta perspectiva deve ser realizada utilizando as coordenadas de seu vértice, segundo a Figura 13.
Figura 13. Projeção de objeto em vista e perspectiva isométrica. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Quando há uma face do objeto que não é paralela a nenhum plano do triedro objetivo, ela é denominada face não isométrica. Bem como os ângulos, ela deve ser construída através das coordenadas isométricas, como consta na Figura 14.
Figura 14. Vista e perspectiva de objeto com face não isométrica. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
COTAGEM DOS ELEMENTOS
Um desenho completo deve transmitir as informações necessárias, características, formas e dimensões. Sem a descrição dimensional, o projeto fica incompleto e não pode ser executado. Essas informações são transmitidas através das cotas, que podem ser dividas em:
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Cotas totais
–
Definem a maior área do polígono dentro do qual a peça se encontra (modelo A da Figura 15);
Cotas de dimensão dos detalhes
–
São as cotas que definem a forma de cada detalhe individualmente (modelo B da Figura 15);
Cotas de posição dos detalhes
–
Os detalhes que se encontram nos limites das dimensões totais têm sua posição definida pelas cotas dimensionais (modelo C da Figura 15);
Cotas racionais completas
–
São as cotas de dimensão e as cotas de posição num único desenho (modelo D da Figura 15).
Figura 15. Tipos de cotas. Fonte: PASTANA, 2006.
A representação de cotas de peças em uma perspectiva isométrica – ou em qualquer outra perspectiva – é mais difícil quando comparada às vistas ortográficas. Geralmente, a regra é fazer as linhas de extensão e as linhas de cotas também em perspectivas. Os números devem ser colocados de tal maneira que pareçam estar situados sobre o plano da face que contém a parte cortada, como demonstra a Figura 16, ou seja, devem-se desenhar os números em perspectiva e representar o algarismo do tipo vertical.
EXPLICANDO
Linhas de extensão são linhas estreitas que limitam a linha de cota. Deve ser prolongada além da linha de cota e não deve tocar no objeto, e deve haver um espaço entre a linha de extensão e linha de contorno do desenho.
Figura 16. Cotas em perspectiva. Fonte: PASTANA, 2006.
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS ATÉ AGORA?
Um desenho deve transmitir as informações necessárias, características, formas e dimensões. Essas informações são transmitidas através das cotas. Relacione-as conforme sua definição.
Cotas racionais completas
Cotas totais
Cotas de dimensão dos detalhes
Cotas de dimensão e posição num único desenho.
Definem a maior área do polígono dentro do qual a peça se encontra.
Definem a forma de cada detalhe.
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Correto
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Muito bem, a resposta está correta! 
Cotas Racionais Completas são as cotas de dimensão e as cotas de posição num único desenho; as totais definem a maior área do polígono dentro do qual a peça se encontra e as de dimensão dos detalhes são as cotas de dimensão e as cotas de posição num único desenho.
TENTE NOVAMENTE
PROCEDIMENTO DE COTAGEM
Cada elemento geométrico possui suas próprias características e para cada característica há uma maneira de aplicar as cotas. A Figura 17 apresenta diferentes elementos e suas formas de definição.
Figura 17. Procedimento de cotagem. Fonte: PASTANA, 2006.
As cotas para cada tipo de elemento são:
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Cotas A e B
–
São cotas de dimensões totais, definidas por arestas paralelas, geralmente importantes na definição da forma da figura;
Cota G
–
São chamadas cota de posição e sua função é definir posição de elementos geométricos. Nesse caso C e D posicionam o centro do furo com diâmetro E;
Cota E
–
Define o valor do diâmetro do furo;
Cotas RF e RG
–
Definem o valor do raio de arredondamento de um canto da figura;
Cotas H, J, K e l
–
Definem dimensões lineares da figura;
Cota Mº
–
Define medida angular.
A cotagem de elementos angulares também é normalizada pela ABNT. De acordo com a norma NBR 10126/1987, são aceitáveis as duas formas para indicar as cotas na cotagem angular. Compare as duas alternativas, a seguir na Figura 18.
Figura 18. Opções de cotagens de elementos angulares. Fonte: PASTANA, 2006.
PERSPECTIVAS AXONOMÉTRICAS ORTOGONAIS, TRIMÉTRICAS E DIMÉTRICAS
A classificação do sistema axonométrico ortogonal é definida pela inclinação dos eixos objetivos em relação ao quadro pelos ângulos entre os eixos axonométricos e pelos respectivos coeficientes de redução.
Certas representações de objetos em perspectiva isométrica podem trazer problemas na sua interpretação, tornando-a confusa, incompleta, ambígua e aparentemente errada. Por isso, estudaremos um sistema de axonometria ortogonal resultado de uma projeção cilíndrica ortogonal do triedro objetivo sobre o quadro em que os três eixos – X, Y e Z – formam ângulos diferentes.
Quando os três eixos axonométricos formam ângulos diferentes entre si, há uma perspectiva trimétrica ou anisométrica que, além de ângulos diferentes para cada eixo, também tem diferentes coeficientes de redução. Por sua execução ser mais lenta em comparação às outras formas, é raramente utilizada.
Quando dois eixos axonométricos formam ângulos iguais e diferentes do terceiro, o sistema é denominado dimétrico. Nesta perspectiva, a face da frente conserva a largura e a face de fuga, ou eixo x, é reduzida em 2/3, sendo os ângulos de aproximadamente 7º e 42º. Esse método é raramente utilizado devido à dificuldade de desenhar circunferências atravésdas perspectivas.
Figura 19. Eixos axonométricos dimétricos. Fonte: RIBEIRO, 2015.
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS ATÉ AGORA?
As projeções axonométricas estão dentro das projeções ortogonais e podem ser dividida em:
dimétrica, trimétrica e isométrica.
ortogonal, cavaleira e quadrimétrica.
cônica, paralela e cilíndrica.
Axonometria ortogonal do círculo
As representações em perspectivas apresentadas são eficazes para a representação de objetos de arestas retilíneas. Entretanto, na axonometria ortogonal, os círculos são representados por elipses e a linha de curva é mostrada pela perspectiva isométrica da curva real, visto que uma circunferência ou qualquer linha curva não aparecerá em sua forma real. As chamadas elipses isométricas representam circunferências em projeções axonométricas isométricas.
A construção de uma circunferência na perspectiva isométrica só é possível graças à técnica de aproximar a representação da elipse por quatro arcos de circunferência. Geometricamente, o centro de qualquer arco tangente a uma linha reta se situa numa perpendicular a esta reta pelo ponto de tangência. Se forem traçadas perpendiculares pelo ponto médio de cada lado do quadrado circunscrito, as interseções dessas perpendiculares serão os centros de arcos tangentes aos dois lados. Evidentemente, duas dessas interseções cairão em dois vértices do quadrado isométrico, já que as perpendiculares têm a altura de triângulos equiláteros.
A Figura 20 apresenta o desenho de uma circunferência nos três planos isométricos, cada um deles com centro facilmente localizável. Para realizar a construção da elipse, é necessário localizar o centro da circunferência, desenhar a perspectiva isométrica do quadrado circunscrito e, após isso, desenhar a circunferência pelos seguintes passos, ilustrados na na Figura 21:
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ABCD
Encontrar os pontos médios do quadrado circunscrito (E, F, G, H);
1
2
Figura 20. Desenho de circunferências nos três planos isométricos. Fonte: SILVA, 2006.
Figura 21. Construção da elipse através dos quatros arcos de circunferência. Fonte: RIBEIRO, 2015.
A Figura 22 apresenta a construção de várias elipses numa peça em U. Arlindo Silva, Carlos Ribeiro, João Dias e Luís Sousa, no livro Desenho técnico moderno, de 2006, resumem a sequência de construção da seguinte forma:
1
Primeiramente, constrói-se a perspectiva isométrica dos retângulos que envolvem as figuras que compõem a base, logo, representam os losangos que envolvem as elipses na perspectiva;
2
Traçam-se os arcos de concordância através dos losangos, seguindo os passos da Figura 21;
3
Construída a espessura da peça, os centros e os arcos são transferidos ao longo da linha isométrica vertical para a face paralela inferior;
4
Desenha-se a tangente vertical ao arco de circunferência.
Figura 22. Perspectiva de uma peça em U. Fonte: SILVA, 2006.
LINHAS CURVAS
Na perspectiva axonométrica, as linhas são basicamente não isométricas e, portanto, devem ser construídas ponto a ponto. As curvas pertencentes às faces isométricas são construídas sobre a perspectiva de tais faces por meio de pares de coordenadas isométricas dos seus pontos.
No caso da Figura 23, por exemplo, basta traçar em perspectiva, conforme indicação, a curva que representa a interseção daquela superfície com a face superior. Logo após, constrói-se a curva na parte inferior a partir de uma série de geratrizes verticais, onde sempre é tomada a mesma dimensão, baseada na altura da placa.
Figura 23. Perspectiva de objeto com superfície curva. Fonte: RIBEIRO, 2015.
Quando a curva estiver situada em uma face plana não isométrica, devem ser tomadas as coordenadas dos pontos segundo as direções isométricas, transferindo-as para o plano da face, conforme a Figura 24.
Figura 24. Objeto com superfície não isométrica. Fonte: RIBEIRO, 2015.
CORTES OU SEÇÕES EM PERSPECTIVAS
Para uma representação mais clara, com detalhes internos de determinados objetos, pode-se utilizar o corte em perspectiva. Os planos de corte são escolhidos de acordo com os planos isométricos e, devido ao ângulo do plano axonométrico nessa situação, a hachura não apresenta inclinação de 45º. No caso de um plano isométrico, a hachura deve possuir ângulos de 60º, correspondentes aos 45º das representações por sistema das vistas ortográficas.
Para a construção do meio corte, o contorno completo da mesma é esboçado. Após isso, a perspectiva é cortada por dois planos isométricos perpendiculares entre si, de onde se retira a quarta parte frontal.
Figura 25. Representação de meio corte em perspectiva isométrica. Fonte: SILVA et al, 2006.
Tratando-se de um corte total, é recomendado iniciar a construção do objeto pela face cortada acrescentando a parte posterior. Os planos de cortes sempre terão as direções dos planos axonométricos quando o mesmo estiver utilizando o método das perspectivas axonométricas.
Figura 26. Representação do corte total do objeto em perspectiva isométrica. Fonte: MICELI, FERREIRA, 2009.
VAMOS REFORÇAR O QUE APRENDEMOS ATÉ AGORA?
Sabendo que a construção da circunferência em perspectiva é mais trabalhosa quando comparado à construção de circunferência em vista, qual método deve ser utilizado:
Quatro arcos de circunferência;
Cinco arcos de circunferência;
Três arcos de circunferência;
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Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nessa unidade. Vamos lá?!
SINTETIZANDO
Nesta unidade, foi apresentada a axonometria ortogonal e como ela é dividida em perspectivas isométricas, dimétricas e trimétricas. A perspectiva isométrica é a mais utilizada pela facilidade na construção dos desenhos, podendo estudar os passos necessários para a construção das perspectivas isométricas, partindo da representação das vistas ortográficas e como escolher os eixos isométricos.
Além disso, também se pôde estudar a representação de planos inclinados, como se deve elaborar as linhas não isométricas e como as circunferências são ilustradas em perspectivas com o uso da elipse
Também foram vistos os procedimentos para a construção da elipse através do método da elipse de quatro cantos. Ao final, foi mostrado como devem ser construídas as superfícies não isométricas e os cortes em perspectiva.
Unidade 4
Cavaleira
Com o intuito de transmitir a ideia de profundidade e relevo, a perspectiva retrata objetos em três dimensões num único plano. Para isso, ela junta a representação e percepção de três elementos inerentes a um objeto: altura, largura e profundidade. A perspectiva pode ser de várias maneiras, concebendo resultados semelhantes ou próximos à visão humana.
Laura Ribeiro, no livro Apostila de perspectivas, de 2015, aponta que as perspectivas são divididas dependendo da forma como se reproduzem os objetos. Assim, elas são classificadas em ortogonal ou oblíqua, suas respectivas subcategorias de projeção.
Figura 1. Classificação das perspectivas. Fonte: CRUZ, 2014.
TIPOS DE PERSPECTIVA
A projeção cilíndrica ocorre quando os raios projetantes, aqueles que incidem no objeto e nos planos de projeção, estão todos paralelos entre si. Por exemplo, a sombra de um objeto exposto ao sol, projetada na calçada, é a projeção do objeto e os raios solares são os raios projetantes. Assim, podemos afirmar que o sol é o centro de projeção, ou seja, de onde partem os raios paralelos entre si.
Há diferentes tipos de perspectivas, como se vê na Figura 2:
Figura 2. Um cubo em diferentes perspectivas. Fonte: PASTANA, 2006.
É possível perceber que esses três sistemas oferecem representações semelhantes à perspectiva cônica com dois pontos de fuga e que cada perspectiva mostra o cubo de um jeito. Comparando as três formas, a perspectiva em que o objeto fica menos deformada é a isométrica.
De acordo com a classificação, na projeção oblíqua há a perspectiva cavaleira, enquanto na ortogonal há a perspectiva axonométrica (isométrica) e vistas ortográficas. A perspectiva cônica é um sistema fundamentado na projeção cônica, que parte de conceitos incipientes à geometria descritiva. A perspectiva cônica,desta forma, concebe uma figura de forma planificada, utilizando um sistema de visão superior e vista lateral.
DICA
Para mais detalhes sobre perspectiva cônica, o site Desenho Projetivo tem um artigo a respeito, com diversas informações.
SAIBA MAIS
Figura 3. Exemplo de perspectiva cônica. Fonte: GOMES; GALVÃO, 2009.
A perspectiva axonométrica é uma representação da projeção cilíndrica ortogonal sobre um plano oblíquo em relação à altura, comprimento e profundidade do corpo do objeto. É classificada em dois tipos: axonometria oblíqua (perspectiva cavaleira) e axonometria ortogonal (perspectivas isométricas, dimétricas e trimétricas).
PERSPECTIVA CAVALEIRA
Em conformidade com o exposto por Cláudia Flores no trabalho “A história da perspectiva e a visualização no ensino de matemática: laços entre técnica, arte e olhar”, apresentado no VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, ocorrido em Recife no ano de 2004, o uso de imagens na matemática como instrumento de domínio do espaço, mais exatamente em cálculos de volumes e áreas, teve seu ápice na era das artes e dos feudos, castelos e reinos. Neste período, a perspectiva cavaleira saiu do meio artístico e passou a ser teorizada e geometrizada. Novas estratégias, principalmente as paralelas, fixaram a representação como também a execução de espaços mais visíveis, controlados e esquadrinhados.
Segundo o livro Desenho técnico básico: fundamentos teóricos e exercícios à mão livre, escrito por José Carlos Bornancini, Nelson Petzold e Henrique Orlandi Júnior em 1981, é denominada como perspectiva cavaleira a projeção cilíndrica oblíqua de um objeto com uma de suas faces paralela ao plano de projeção, tratando-se de caso particular devido à condição de paralelismo de uma das faces do objeto com o quadro.
Na perspectiva cavaleira, os objetos são trabalhados na visão de um observador posicionado a uma distância infinita, de tal maneira que, os visuais projetantes, paralelos entre si, estejam oblíquos no que se refere ao quadro.
Figura 4. Eixos da perspectiva cavaleira. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
A propriedade das projeções cilíndricas é projetar, em verdadeira grandeza, os objetos num plano paralelo ao quadro. Na perspectiva cavaleira, isto acontece na face frontal do objeto, ou seja, o objeto possui uma das faces paralela ao plano de projeção. As outras faces são projetadas obliquamente sob um certo ângulo (θ) e, por isso, sofrem deformação em perspectiva, algo apontado por Maria Miceli e Patrícia Ferreira, no livro Desenho técnico básico, lançado em 2009.
É importante ressaltar que, normalmente, o quadro é posicionado na vertical, mas, caso esteja na horizontal, será projetada uma variedade da perspectiva cavaleira, que, no começo do século XIX, os franceses chamavam de perspectiva militar.
Desta maneira, dois eixos do triedro objetivo (OX e OZ), têm um coeficiente de transformação menor, igual ou maior que a unidade. As projeções oblíquas das retas perpendiculares ao quadro recebem o nome de fugitivas ou linhas de fuga.
Figura 5. Linhas fugitivas. Fonte: RIBEIRO, 2015.
EXPLICANDO
Pela definição dada por Bornancini, Petzold e Orlandi Júnior, o coeficiente de transformação ou alteração é o elo entre a projeção de um segmento de reta e a sua verdadeira grandeza. Ele também pode ser denominado de coeficiente de redução ou encurtamento, dado que lhe são atribuídos valores menores que a unidade. É importante destacar ainda que alguns autores o designam como módulo.
Para proporcionar uma forma agradável à representação do objeto, usa-se um coeficiente de redução ou de alteração (K) no eixo das larguras. Tal coeficiente pode assumir vários valores, variando conforme o ângulo de inclinação (θ), que pode ser 30º, 45º, 60º ou 75º, mas, na prática, a representação mais empregada é a perspectiva cavaleira a 45º, devido a facilidade de execução. O fator de redução incide no vínculo constante entre o comprimento real de um segmento e o comprimento dele depois de projetado, sendo aproveitado em casos em que se quer mostrar uma face em detalhes. Em suma, caso uma face não esteja sendo vista completamente, se aplica o fator de deformação K a fim de que a face seja representada.
Figura 6. Exemplos de perspectiva cavaleira. Fonte: SANTOS, 2016.
Medida dos ângulos: dependendo do ângulo formado, a exemplo da Figura 6, as reduções da medida de largura ou profundidade são diferentes:
Cavaleira 15°: redução de um quarto (2/4) da linha fugitiva;
Cavaleira 30°: redução de dois terços (2/3) da linha fugitiva;
Cavaleira 45°: redução da linha fugitiva em um meio (1/2);
Cavaleira 60°: redução de um terço (1/3) da linha fugitiva;
Cavaleira 75°: redução de dois quartos (1/4) da linha fugitiva.
Figura 7. Coeficiente de redução aplicado em um cubo. Fonte: MICELI; FERREIRA, 2009.
A perspectiva cavaleira tem como vantagem seu uso, em verdadeira grandeza, na reprodução de objetos cuja face frontal contém detalhes circulares ou irregulares, como visto na Figura 7. Contudo, como pontuado por Miceli e Ferreira, não é recomendado seu uso para objetos com detalhes circulares nas faces que não estão em verdadeira grandeza, devido ao fato de que a perspectiva cavaleira não possui um método exato para o traçado de circunferências.
Figura 8. Objetos com detalhes irregulares e circulares. Fonte: MICELI, 2009.
MÉTODO CONSTRUTIVO
A perspectiva cavaleira de um objeto carece, inicialmente, das vistas ortográficas, do ângulo α e do coeficiente de redução K. Após estabelecer a linha de terra e linhas fugitivas, é verificado o posicionamento da perspectiva mediante observação das vistas. Objetos com o contorno irregular devem ser colocados em paralelo ao plano do quadro, de modo a facilitar o traçado da superfície. Em termos práticos, esta é uma vantagem da perspectiva cavaleira sobre a isométrica.
ASSISTA
O vídeo do canal Coxinha Educativo demonstra, de uma maneira simples, didática e objetiva, como reproduzir uma perspectiva cavaleira usando corretamente o esquadro. O link do vídeo está disponível nas Referências Bibliográficas.
ASSISTA
Figura 9. Exemplo de face de objeto circular paralelo ao quadro. Fonte: RIBEIRO, 2015.
Determinada a face do objeto paralela ao quadro, é indispensável selecionar a direção das linhas fugitivas e a posição da peça em relação ao observador. A escolha dita qual das duas faces perpendiculares deverá predominar sobre a outra, ou se ambas serão destacadas igualmente. Na Figura 10, são exemplificadas quatro possibilidades de posição do observador quanto ao objeto, considerando a face anterior de um objeto coincidente ao quadro e a sua profundidade perpendicular ao mesmo.
Figura 10. Direções das linhas fugitivas. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
A opção dentre as quatro possibilidades depende da posição que simbolizar as faces com os detalhes mais importantes do objeto, isto é, as faces correspondentes às vistas ortográficas.
Quando o ângulo α das linhas fugitivas for igual a 45º, as faces horizontais e as laterais, posicionadas se baseando nos planos perpendiculares ao quadro, são valorizadas igualmente. Sendo o ângulo α maior que 45º, as faces horizontais predominam sobre as laterais, e quando o ângulo α for menor a 45º, as faces laterais irão predominar sobre as horizontais.
Figura 11. Representação das faces do objeto. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
ESCOLHA DA FACE FRONTAL DO OBJETO 
A face que ficará paralela ao quadro deverá ser indicada em função das três regras a seguir, de acordo com Bornancini, Petzold e Orlandi Júnior:
1ª Regra – a face que apresentar mais irregularidades e detalhes deve ser colocada paralela ao quadro, especialmente em faces com contornos curvos. Desta maneira, eles estarão interpretados em verdadeira grandeza, não precisando das coordenadas axonométricas;
Figura 12. Circunferência com face paralela e em perspectiva. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
2ª Regra – nos objetos com dimensão predominante em comparação às demais, opta-se pelo posicionamento com esta dimensão paralela aoquadro. Com isto, é evitado o efeito deformador em perspectiva cavaleira, causada pela falta de convergência das linhas fugitivas e que vai contra a experiência visual, visto que tal efeito torna a aparência dos objetos mais alongada;
Figura 13. Objetos com dimensões predominantes. Fonte: RIBEIRO, 2015.
As duas primeiras regras fazem com que a escolha da face frontal seja sobre a face que corresponde à vista frontal no sistema de vistas ortográficas.
3ª Regra – a primeira regra tem precedência sobre a segunda, enquanto a terceira é aplicada mesmo em objetos cujas faces não têm contornos curvos ou quando a deformação da perspectiva pode ser atenuada.
Figura 14. Aplicação da 3º regra. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Sendo assim, a perspectiva cavaleira é adequada a objetos em que uma face predomina sobre as outras, tanto por complexidades de contornos como nos respectivos detalhes, como dimensões.
CONSTRUÇÃO DE UMA PERSPECTIVA CAVALEIRA
 
É evidente que as figuras paralelas ao quadro têm duas dimensões: H – altura e L – largura, ambas projetadas em verdadeira grandeza. A terceira dimensão, P – profundidade, é perpendicular ao quadro, projetando-se na direção da linha fugitiva e tendo sua medida estipulada em função do ângulo.
Figura 15. Vistas ortográficas e perspectiva de um cubo. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Caso um segmento de reta tenha a direção diferente das mencionadas, este terá sua perspectiva estabelecida pelas de seus extremos.
Figura 16. Segmento de reta não paralelo ao quadro. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Em se tratando de ângulos não paralelos ao quadro, eles serão construídos na perspectiva pela determinação do vértice e de um ponto situado em cada um dos lados.
Figura 17. Ângulo não paralelo ao quadro. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Curvas com planos perpendiculares são arquitetadas ponto a ponto valendo-se de coordenadas, como na Figura 18. As circunferências da face frontal, por sua vez, estão em verdadeira grandeza, assim como todas as outras medidas. Entretanto, as faces perpendiculares ao quadro, como face superior e lateral, são construídas usando a elipse, assim como na perspectiva axonométrica ortogonal, presente na figura 19. Por isso, elas precisam ser tangentes ao meio dos lados que equivale à perspectiva dos quadrados circunscritos.
Por não possuir o aspecto habitual de circunferência, as elipses aparentam ter deformações visuais. A deformação é reduzida quando utilizada a perspectiva no fator de redução = ½, mas ainda existe. Assim, é preferível evitar a representação de circunferências nos planos perpendiculares ao quadro.
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Figura 18. Objeto com plano curvo. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Figura 19. Cubo com circunferências. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
Perspectiva cavaleira – superfície cilíndrica: na perspectiva isométrica e na perspectiva cavaleira, as arestas circulares são feitas com o compasso e obedecendo a uma sequência de operações que torna o traçado mais fácil. A Figura 20 apresenta um traçado de um cilindro em perspectiva cavaleira, com a sequência de operações básicas, retiradas do livro Desenho técnico, escrito por Cleudiane Santos e publicado em 2016.
Passo 1: desenhar as linhas que geram a peça, traçando um quadrado frontal onde os lados são o diâmetro do círculo, repetindo o processo na parte posterior da mesma maneira que a parte anterior;
Passo 2: traçar uma linha dividindo os lados do quadrado anterior ao meio para determinar o centro da circunferência frontal, que também deve tangenciar a circunferência posterior;
Passo 3: traçar a circunferência frontal, usando o compasso e tangentes à circunferência e tangenciar a circunferência para a parte posterior;
Passo 4: apagar as linhas auxiliares e reforçar os traços definitivos.
Figura 20. Cilindro em perspectiva. Fonte: SANTOS, 2016.
DICA
Por mais que ela possa ser aproveitada na representação de circunferências, não se recomenda a perspectiva cavaleira para objetos com detalhes circulares nas faces que não estejam em verdadeira grandeza, uma vez que isto pode prejudicar a reprodução de forma grave.
Um dos erros mais comuns na elaboração da perspectiva cavaleira é a não aplicação do fator de redução a detalhes de profundidade.
Figura 21. Representação de detalhes de profundidade. Fonte: BORNANCINI, PETZOLD, ORLANDI JÚNIOR, 1981.
PASSO A PASSO NA CONSTRUÇÃO DA PERSPECTIVA CAVALERA A 45º COM USO DOS QUADROS
A seguir, está o passo a passo da construção do objeto da Figura 22
Figura 22. Bloco a ser construído. Fonte: CRUZ, 2014.
Para esse objeto, se pode utilizar o esquadro de 45º para traçar os eixos de comprimento, largura e altura que servirão de base para marcar as dimensões dos objetos, a exemplo da Figura 23;
Figura 23. Eixos para cavaleira. Fonte: CRUZ, 2014.
Faça a marcação do comprimento, altura e largura do objeto usando os esquadros, sem esquecer de aplicar o coeficiente de redução na medida de profundidade, cujo valor, neste caso, é k=1/2.
Figura 24. Marcação das dimensões. Fonte: CRUZ, 2014.
Agora, use os esquadros para desenhar o bloco empregando retas paralelas aos eixos:
Figura 25. Traçado das paralelas. Fonte: CRUZ, 2014.
Para finalizar o objeto, reforce as linhas do contorno do objeto e suprima as linhas desnecessárias.
PASSO A PASSO NA CONSTRUÇÃO DA PERSPECTIVA CAVALEIRA A 30º COM USO DOS ESQUADROS 
Veja os passos para a construção do objeto a seguir:
Figura 26. Objeto a ser desenhado. Fonte: CRUZ, 2014.
Na perspectiva cavaleira desse objeto, se usa o esquadro de 30º, com o qual se traçam os eixos do comprimento, altura e largura, que serão as bases das dimensões do objeto. Marque o comprimento, altura e largura nos eixos com o esquadro. Na dimensão de profundidade, a medida deve ser reduzida aplicando o coeficiente de redução que, para o ângulo de 30º, utiliza k = 2/3. Logo, com a profundidade real de 6 e sua redução em 2/3 do total, o valor da redução é igual a 4.
Figura 27. Marcação das dimensões. Fonte: CRUZ, 2014.
Com os esquadros, desenhe o bloco com retas paralelas aos eixos e trace as demais linhas de contorno.
Figura 28. Traçado do bloco e demais linhas. Fonte: CRUZ, 2014.
Reforce as linhas de contorno:
Figura 29. Reforço das linhas de contorno. Fonte: CRUZ, 2014.
Apague as linhas inúteis:
Figura 30. Objeto finalizado. Fonte: CRUZ, 2014.
ROTEIRO PARA ESCOLHA DA SEQUÊNCIA DO TRAÇADO DAS PERSPECTIVAS 
Para um desenho na perspectiva, os passos a seguir servem de parâmetro:
Sempre escolha a perspectiva que oferece um traçado mais simples;
A posição da perspectiva deve oferecer a melhor visualização;
Defina a escala do desenho;
As linhas auxiliares devem ser traçadas com linhas leves;
Desenhe os arcos e circunferências;
Desenhe as arestas;
Reforce todas as linhas de contorno do objeto;
Apague as linhas auxiliares.
Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nessa unidade. Vamos lá?!
SINTETIZANDO
Nesta unidade, se pode aprender sobre a perspectiva cavaleira, entender sua classificação e conhecer onde ela se posiciona, no que diz respeito à prática. Além disso, se depreendeu como a perspectiva cônica está presente nos desenhos artísticos e desenhos técnicos.
A rigor, conhecendo melhor a perspectiva cavaleira e entendendo a diferença com outras perspectivas, como a perspectiva isométrica, foi possível mentalizar as razões pelas quais a perspectiva cavaleira representa melhor a face frontal, ou face principal, dos objetos em verdadeira grandeza, tanto em sua largura, quanto na altura.
Não obstante, foram expostos também tipos de representações cavaleira que mudam por corresponderem ao ângulo da face da profundidade perpendicular ao quadro, devido ao fato de que há um coeficiente de redução que deve ser aplicado em cada ângulo, de modo que não se apresentem deformações na representação.
Ao final, também se pôde aprender a construir objetos em perspectiva cavaleira com 30º e com 45º, percebendo as diferenças entre os dois tipos de perspectivacavaleira, quais suas aplicações específicas e as causas para tanto.