CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS

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· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função   no ponto P(-1,1).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: ,  e . Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções da variável  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função   com relação às variáveis   e   e precisamos das derivadas das funções   e   com relação à variável  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação à variável  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , ,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de  e  temos .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	As derivadas parciais com relação a   e a   fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis   quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função   com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por  . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função   no ponto   na direção do vetor  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e , que implicam que o vetor gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é .
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função   e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
 na direção de .
	Resposta Correta:
	 
 na direção de .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu vetor gradiente são: ,  e . Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de  é o vetor . Portanto, a derivada direcional é .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis   temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados   pertencentes ao plano   que satisfazem a lei de formação da função  . Assim, para determinar o domínio da função   precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir.
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
O domínio da função  é o conjunto .
	Resposta Correta:
	 
O domínio da função  é o conjunto .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os valores de  e :
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo, .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções das variáveis   e  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Já a derivada de   com relação à variável   é obtida por meio da expressão  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação às variáveis   e  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
 e 
	Resposta Correta:
	 
 e 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial de  com relação a  é: . Já a derivada parcial de  com relação a  é: .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade  , medida em  , em todos os pontos de uma placa retangular no plano   dada por  , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
	Resposta Correta:
	 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é .
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que   seja uma função diferenciável de   e  , tal que  . No entanto,   e   são funções de   expressas por   e  . Para se obter a derivada de   com relação a variável   devemos fazer uso da regra da cadeia.
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de   em relação a  , isto é,  , para quando  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto   do espaço tridimensional é expresso pela função  .
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e sua norma é , temos que a direção procurada é .
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função   o vetor gradiente é o vetor  . Dado um ponto  , o vetor gradiente da função   no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		RespostaSelecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Comentário da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função:
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante): 
- Derivada de  em relação a  (a variável  é vista como constante):  .
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos  e . Logo, o vetor gradiente é .