Cálculo Aplicado Várias Variáveis atividade 04

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24/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – GRA1594 ...
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Usuário DIEGO IOCA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-29779045.06
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 16/02/21 23:23
Enviado 25/02/21 00:11
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 192 horas, 48 minutos
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Pergunta 1
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da
resposta:
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos
obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas
condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que
pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação
diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . 
  
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003.  Disponível em:
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez.
2019. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim,
podemos resolvê-la separando as variáveis  e , integrando ambos os lados da
igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se  então . Trocando esses valores
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na solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 2
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da
resposta:
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função
dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma
função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da
função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for
verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. A função  é solução da equação diferencial . 
II. A função  é solução da equação diferencial . 
III. A função  é solução da equação diferencial . 
IV. A função  é solução da equação diferencial . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a de�nição de solução
de uma equação diferencial, temos que estão corretas as a�rmativas II e IV, pois: 
A�rmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que
 Trocando  na equação diferencial, temos: 
 
A�rmativa IV: correta. Dada a função , temos  e
. Trocando ,  e  na equação diferencial, temos: 
.
Pergunta 3
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da
resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver
um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691).
John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”. 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que
corresponde à solução da equação diferencial . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da igualdade, temos
.
Pergunta 4
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Comentário
da
resposta:
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de
  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma resistência
de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da
seguinte equação diferencial: , onde  é a carga, medida em coulombs. 
  
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
  
A função corrente é expressa por .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da
função carga, isto é, . A EDO  é uma equação linear de
primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
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. Dada a EDO
, temos que  e . Portanto, sua
solução geral é
. Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por
. Por �m, concluímos que a função corrente é .
Pergunta 5
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Comentário
da
resposta:
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método
de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características
apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma
  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a
integração em ambos os membros da igualdade. 
  
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as
afirmativas a seguir: 
  
I. A solução da equação  é . 
II. A solução da equação  é  . 
III. A solução da equação  é . 
IV. A solução da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método
de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
A�rmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
, onde
. 
A�rmativa III: correta. Separando as variáveis: .
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Integrando a equação:
, onde .
Pergunta 6
Resposta
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Comentário
da
resposta:
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma
 , onde  e  são funções contínuas” (STEWART,
2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se
  a equação é dita linear não homogênea. 
  
STEWART, J. Cálculo . 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
  
  
A equação diferencial  tem solução .
A equação diferencial  tem solução 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial
, escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo
essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para .
Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação
diferencial dada como .
Pergunta 7
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de
primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O
nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de 
 e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os lados
da igualdade. 
  
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da
resposta:
Dado que  é umaconstante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à
solução da equação diferencial separável . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da
igualdade, temos ,
onde .
Pergunta 8
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Comentário
da
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em
equação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações diferenciais
lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável
independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente 
 e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada
coeficiente depende apenas da variável independente . 
  
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as
afirmativas a seguir. 
  
I. A equação diferencial  é linear. 
II. A equação diferencial  é linear. 
III. A equação diferencial  é linear. 
IV. A equação diferencial  é linear. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de
linearidade de uma equação diferencial, temos que as a�rmativas I, III e IV estão
1 em 1 pontos
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resposta: corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente  e todas as suas
derivadas possuem grau 1, e cada coe�ciente depende apenas da variável
independente .
Pergunta 9
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Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força
eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: . Sabendo
que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de ,
uma indutância de  e uma voltagem constante de . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear
de primeira ordem  é expresso por . Dada a
EDO , temos que  e, portanto, o fator
integrante é .
Pergunta 10
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser
expressas por meio da seguinte forma: , onde  e 
 são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever
uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda
ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s)
Falsa(s). 
  
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
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Quinta-feira, 25 de Fevereiro de 2021 00h12min22s BRT
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Comentário
da
resposta:
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem  é
expressa por . 
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a
função . 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
V, F, F, F.
V, F, F, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das equações
diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as
a�rmativas apresentadas, apenas a a�rmativa I é verdadeira, sendo todas as outras
falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, F, F.