aula8 (5)

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8ºaula
Indução e indutância
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• definir a força eletromotriz induzida e a corrente induzida;
• aplicar a lei de Faraday considerando uma variação uniforme do fluxo magnético; 
• compreender a relação entre o sentido da força eletromotriz e variação do fluxo magnético;
• resolver exercícios de indução e indutância, assim como de indutância mútua e autoindutância. 
Caros(as) alunos(as),
 Nesta aula 8, inicialmente, foram apresentados 
dois experimentos para a introdução dos conceitos de força 
eletromotriz e corrente induzida, determinadas pela variação 
do fluxo magnético em intervalo de tempo, como expresso pela 
lei de Faraday, na seção 2, onde também é aplicada a bobinas. 
Na seção 3, é expressa uma relação direta com a lei de Faraday, 
por meio da lei de Lenz, em que a força eletromotriz induzida 
possui sentido contrário a variação do fluxo magnético, 
trata-se do sinal negativo da lei de Faraday. E, na seção 4, 
explicaremos o processo de indutância mútua e autoindutância 
e demonstraremos as expressões para a indutância e a força 
eletromotriz autoinduzida. 
Bons estudos!
66Física Teórica e Experimental iii
seções de estudo
1 – Força Eletromotriz e Corrente Induzida
2 – Fluxo Magnético e Lei de Faraday
3 – Lei de Lenz
4 – Indutância Mútua e Autoindutância
1 - Força Eletromotriz e Corrente 
induzida
Começaremos a abordar outro importante princípio do 
eletromagnetismo, intimamente relacionado à disponibilidade 
das tecnologias atuais. Trata-se da indução, ou seja, a 
capacidade da variação do campo magnético gerar um 
campo elétrico, que por sua vez, produz corrente. Estas 
relações entre o campo magnético e o campo elétrico são 
explicadas de modo mais apropriada pela lei de Faraday. O 
funcionamento de guitarras elétricas decorre do princípio da 
indução, responsáveis por causarem uma revolução na música 
popular. Outra aplicação é em geradores de energia elétrica, 
mantendo o funcionamento de equipamentos mesmo em 
casos de colapsos. 
Como ilustração de como ocorre o processo de indução, 
consideremos dois experimentos (HALLIDAY et al., 2008). 
No primeiro deles, dispomos de um ímã em forma de barra 
e de uma espira conectada a um amperímetro. N outro 
experimento, temos duas expiras, sem nenhuma conexão 
entre elas. A primeira é conectada a um amperímetro e a 
segunda espira é conectada a um circuito com fonte, uma 
resistência arbitrária externa a fonte e uma chave. A seguir, 
analisemos cada um dos experimentos.
 No primeiro experimento, a aproximação entre o ímã 
em forma de bastão e a espira (de material condutor) fixa, gera 
uma leitura no amperímetro, que para de indicar a passagem 
de corrente quando a aproximação é cessada. O afastamento 
do ímã também gerará corrente, mas no sentido inverso. 
Disso, podemos concluir que a corrente somente é detectada 
com o movimento relativo entre a espira e o ímã; a magnitude 
da corrente é dependente da frequência deste movimento 
relativo; se a corrente na espira tem sentido horário com a 
aproximação do polo norte do ímã, a aproximação do polo 
sul gera uma corrente no sentido anti-horário e, ao afastar o 
ímã (em ambos os casos), ocorre a inversão dos sentidos. 
 No segundo experimento, com o arranjo de 
duas espiras próximas, mas sem conexão entre elas, se 
promovermos a passagem de corrente por uma delas, por 
meio do fechamento do circuito com a chave é verificada, 
neste exato momento, uma leitura de corrente no amperímetro 
conectado a outra espira. Abrindo a chave novamente, isto é, 
cessando a corrente, é registrada uma determinada corrente, 
mas no sentido oposto. Portanto, o que se verifica neste 
experimento é que somente a variação da corrente em uma 
das espiras é que poderá gerar corrente na outra. 
 A corrente na espira é denominada corrente 
induzida. A força eletromotriz induzida corresponde ao 
trabalho realizado por unidade de carga, para produzir o 
movimento dos elétrons de condução. A indução refere-se, 
especificamente, ao processo de geração da corrente e da força 
eletromotriz. O que foi constato com os experimentos é que 
ambas as grandezas são geradas pela variação de “algo” nos 
sistemas propostos, necessitamos, assim, de uma explicação 
para o que de fato ocorreu nestes experimentos, é o que 
veremos na próxima seção. 
2 - Fluxo Magnético e lei de Faraday
O que gerou a corrente induzida e a força eletromotriz 
induzida nos dois experimentos da seção anterior foi a 
variação do campo magnético, que em termos quantitativos, 
é dada pela quantidade de linhas de campo magnético. 
Faraday descobriu essas relações, realizando uma enunciação 
conhecida como lei de Faraday, onde considerando a área de 
uma espira, por exemplo, afirma-se que a força eletromotriz é 
induzida quando ocorre uma variação da quantidade linha de 
campo magnético que a atravessam. 
Com isso, vemos uma relativa dificuldade em mensurar 
essa variação da quantidade de campo magnético, por isso 
é mais apropriado introduzir o termo fluxo magnético (
). Para isso, adotando uma espira de área , contida em um 
plano e um campo magnético uniforme, o fluxo magnético 
pode ser mensurado pelo produto escalar entre o vetor campo 
magnético e o vetor área , veja:
Entretanto, quando formos resolver os exemplos ao 
fim da aula, perceberemos que geralmente o ângulo entre 
os vetores e é nulo, ou seja, o campo magnético é 
perpendicular ao plano da espira, o que resulta na expressão:
A unidade de fluxo magnético no SI é o tesla-
metro quadrado, denominada weber ( ). Logo, 
. 
Uma enunciação mais concisa para a lei de Faraday 
apropria-se do conceito de fluxo magnético. Isto é, a força 
eletromotriz induzida em uma espira é dada pela variação do 
fluxo magnético or unidade de tempo ao atravessar uma 
determinada superfície. A orientação da força eletromotriz 
induzida é oposta à variação do fluxo, o que é elucidado pelo 
sinal negativo na seguinte expressão:
Assim, pode-se determinar o fluxo magnético e, por 
conseguinte, a força eletromotriz induzida em uma espira, 
conhecendo as magnitudes do campo magnético aplicado 
uniformemente (conforme as expressões que obtemos) em 
um intervalo de tempo e área da espira.
67
Figura 1 – O campo magnético se torna mais positivo (a), 
menos positivo (b), mais negativo (c) e menos negativo (d).
Fonte: Young e Freedman (2014).
No caso de uma bobina em que contenha espiras, 
a força eletromotriz depende diretamente da quantidade de 
espiras, onde:
A variação do fluxo magnético, buscando uma força 
eletromotriz com uma magnitude mais elevada, ou inferior, 
em uma espira, pode ser obtida de três formas: alterando o 
módulo do campo magnético; alterando a área da bobina, 
seja aumentando ou diminuindo o seu tamanho (alterando a 
quantidade de espiras) ou alterando a região atravessada pelo 
campo magnético; e alterando o ângulo entre o vetor campo 
magnético e o vetor área , isso comumente realizado 
fazendo a bobina girar (HALLIDAY et al., 2008). 
3 - lei de lenz
A lei de Lenz, uma regra proposta por Heinrich Friedrich 
Lenz, surge como um complemento a lei de Faraday, mas 
obviamente para a compreensão das propriedades relacionadas 
à corrente e à força eletromotriz induzida em espiras. A lei de 
Lenz propõe uma forma de determinar o sentido da corrente 
induzida. Assim sendo, o sentido da corrente induzida na 
espira ocorre de forma a se opor ao campo magnético que 
induziu a corrente. Novamente, a lei de Lenz pode ser melhor 
compreendida com a introdução de duas situações. 
Considere, em uma primeira situação, a aproximação 
entre o polo norte de um ímã em forma de bastão e uma espira 
condutora. Quando o ímã está distante, não há passagem de 
campo magnético pela espira, o fluxo magnético é nulo, mas 
seu valor é aumentado em razão da aproximação, produzindo 
uma corrente na espira, entretanto, a corrente gerada tem 
sentido tal que o dipolo magnético induzido ofereça resistência 
a aproximação do ímã. Aproximandoo polo norte do bastão, 
surgira um polo norte na espira, de modo a afastá-lo. 
O mesmo ocorre com a aproximação do polo sul do 
bastão. Esta orientação do campo magnético originado na 
espira pode ser deduzida empregando a regra da mão direita. 
Se afastarmos o ímã da espira, surgirá um campo magnético 
na espira tendendo a se opor ao movimento do ímã, ou seja, 
nesse caso o dipolo magnético gerado pela corrente induzida 
é orientado para tender a aproximação do ímã, o polo norte 
no bastão gera um polo sul na espira e vice-versa. 
Esta análise da lei de Lenz utiliza da tendência de oposição 
a movimento dos polos, ou seja, se estiver aproximando o 
ímã da espira, há a tendência a afastá-lo, mas ao afastar o 
ímã, surge a tendência a aproximação. Uma outra análise, 
em uma segunda situação, envolve o mesmo movimento de 
aproximação, mas visto sob a perspectiva da variação do fluxo 
magnético, ao invés da formação dos dipolos. Aproximando 
o polo norte do ímã, com campo magnético orientado para 
baixo, em relação a espira, com o aumento do fluxo magnético 
na espira, surge um campo magnético induzido orientado 
para cima, se opondo ao movimento do ímã. Neste caso, as 
orientações dos campos magnéticos do ímã e da espira são 
opostas, mas promovendo o afastamento do polo norte do 
ímã, surgira um campo magnético induzido na espira também 
para baixo, com o objetivo de se opor a este movimento do 
ímã. 
4 - indutância Mútua e autoindutância
4.1 – Transferência de energia 
 Havendo uma força magnética que ofereça resistência 
ao movimento de um ímã em relação a espira, seja por meio 
68Física Teórica e Experimental iii
da aproximação ou do afastamento, é conveniente supor a 
realização de trabalho pela força associada à movimentação 
do ímã. Contudo, em termos práticos, podemos mensurar 
essa realização de pela força magnética induzida na espira, o 
que por sua vez acaba se transformando em energia térmica. 
Neste caso, trata-se de deduzir uma taxa de transferência de 
energia, isto é, uma expressão para a potência. 
 Veja uma ilustração deste caso de transferência de 
energia na figura a seguir, em que um campo magnético 
uniforme perpendicular ao plano da espira (entrando no 
papel) gera um fluxo magnético na espira, em razão da 
realização de trabalho positivo, no sentido de saída da espira 
da região que contém o campo magnético (HALLIDAY 
et al., 2008). Observe que a região que contém o campo 
magnético possui largura , onde a porção do comprimento 
da espira em que o campo magnético atravessa é denotado 
por . Impondo uma força , no sentido indicado por , 
surge uma força magnética oposta a esse movimento, em que 
as componentes são representadas por , e , para cada 
seguimento da espira, mas como e têm módulos iguais 
e sentidos opostos, podem ser cancelados, restando de 
sentido oposto a , logo .
Figura 2 – Deslocamento de uma parcela do comprimento 
de uma espira de largura em um campo magnético de 
largura , o que gera uma corrente induzida na espira.
Fonte: Halliday et al. (2008).
 Como os vetores e são perpendiculares, obtemos 
o módulo de :
 A área da espira ainda submetida ao campo magnético 
é dada por , aplicando a lei de Faraday, encontra-se o fluxo 
magnético :
 O deslocamento da espira no sentido de diminuir 
gera uma força eletromotriz induzida , isto é:
 Não pode ser determinada a diferença de potencial 
para uma força eletromotriz induzida, assim não pode ser 
aplicada a regra das malhas para obter o valor absoluta da 
corrente induzida, mas pode-se empregar:
 Substituindo a expressão deduzida para :
 Substituindo a expressão acima para em :
 Considerando a força exercida sobre a espira para 
retirá-la do campo magnético e a velocidade adquirida pela 
mesma, a potência (taxa de realização de trabalho) é:
 Onde a taxa de geração de energia térmica na espira 
é exatamente a mesma. 
 Um indutor é um dispositivo que pode ser inserido 
em um circuito com o objetivo de obter as propriedades 
mais adequadas (conforme o caso estudado) de um campo 
magnético. Um exemplo de indutor comum é o solenoide. 
Dado um solenoide com espiras, ao passar corrente em 
seu interior, é gerado um fluxo magnético no seu interior. 
Com isso, tem-se um solenoide com a indutância :
Em que o produto é denominado enlaçamento de 
fluxo magnético.
 A unidade de indutância no SI é o tesla-metro 
quadrado por ampère ( ), mas é recorrentemente 
denominada de Henry ( ), em homenagem ao físico 
americano Joseph Henry, que também contribui para a 
formulação da lei da indução. 
 No caso de um solenoide, é comum expressar 
a indutância por unidade de comprimento, que pode ser 
deduzida a partir de nossa última expressão. Assim sendo:
Onde o enlaçamento de fluxo é , 
em que é o número de espiras por unidade de comprimento 
do solenoide, é o comprimento de um seguimento próximo 
de seu centro; e o campo magnético é . 
 Para obter a indutância por unidade de 
comprimento , simplesmente, evidenciemos :
69
 Então, percebemos que a indutância depende apenas 
da geometria do dispositivo, sendo que a permeabilidade no 
vácuo também pode ser posta em termos da unidade 
henry por metro. Assim:
4.2 – indutância mútua
 A indutância mútua é um caso especial de indução, 
diferente da seção anterior em que ocorre devido à 
movimentação das espiras em relação a um campo magnético 
externo e da seção seguinte, em que trataremos da indução 
pela variação da corrente no próprio indutor. Neste caso, 
teremos a indução de uma bobina, por exemplo, devido à 
variação da corrente em uma outra bobina mantida em suas 
proximidades. A variação da corrente provoca uma variação 
do fluxo magnético, que gera uma força eletromotriz , 
conforme a lei de Faraday. Havendo duas bobinas próximas, 
há o entrelaçamento do fluxo magnético através de ambas 
(HALLIDAY et al., 2008). 
 Ligando cada bobina em um circuito com a bobina 
1, tem-se um circuito alimentado por uma fonte, em que a 
corrente varia alterando a resistência ; e com a bobina 2, 
tem-se conectado um amperímetro. As bobinas podem ser 
trocadas de circuito, mas, neste caso, teríamos resultados 
equivalentes. Se variar a corrente no circuito com a bobina, o 
fluxo magnético através da bobina 2 pode ser denotado por 
, enquanto a indutância mútua na mesma é representada 
por , sendo a sua quantidade de espiras. Isso implica 
na expressão:
 Se a resistência variar, tem-se uma variação da 
corrente e do fluxo de corrente, que pode ser avaliada em um 
intervalor de tempo , o que a partir da expressão acima, 
tem-se:
 O membro direito da expressão acima corresponde 
ao módulo da força eletromotriz na bobina , onde 
aplicando a lei de Lenz, temos que:
 Tratar as bobinas de circuito implica na mesma 
expressão acima, mas com notação inversa. Por isso, sabendo 
que , são válidas:
 E:
 Assim, temos as expressões válidas tanto para o 
caso em que a corrente é gerada na bobina 1, como quando a 
corrente é gerada na bobina 2. 
4.3 – autoindutância
 Sabemos como surge a força eletromotriz induzida. 
A autoindução se baseia no mesmo processo. Variando a 
corrente que passa pelo indutor, o fluxo magnético também 
varia, condição suficiente, conforme a lei de Faraday para a 
formação de uma força eletromotriz induzida . Como este 
processo não advém de uma agente externo, denomina-se 
autoindução e a respectiva força eletromotriz é denominada 
força eletromotriz autoinduzida ( ). 
 Segundo a lei de Faraday para um indutor de 
espiras:
 Onde , conforme a definição de 
indutância, o que implica em :
 De acordo com o sinal negativo acima (lei de Lenz), 
a variação da corrente se opõe a autoindução ou a força 
eletromotriz autoinduzida. 
 Pela variação do fluxo magnético não podemos 
definir um potencial elétrico, entretanto, podemos obtê-lo 
a partir de pontos externos ao indutor, em que os campos 
elétricos estão relacionados à variação de distribuições de 
carga e potenciais em decorrência da autoindução. Ou, ainda, 
pode-se determinara diferença de potencial autoinduzida 
 pelos terminais do indutor, cujo valor é igual a força 
eletromotriz autoinduzida no caso de um indutor ideal, o que 
não ocorre tratando-se um indutor real.
Exemplo 1
 Adiante, o campo magnético entre os polos do 
eletroímã permanece sempre uniforme, porém seu módulo 
aumenta com uma taxa crescente de . A área da 
espira condutora imersa no campo é igual a e a 
resistência total do circuito, incluindo o galvanômetro, é igual 
a (YOUNG; FREEDMAN, 2014, p. 283).
70Física Teórica e Experimental iii
Figura 3 – Espira posicionada entre os polos de um 
eletroímã, com uma taxa constante da variação do campo 
magnético uniforme. 
Fonte: Young e Freedman (2014).
(a) Calcule a fem induzida e a corrente induzida no 
circuito.
Solução:
 Conforme a figura 3, é disposta uma espira entre 
os polos de um eletroímã, onde há um campo magnético 
uniforme, com seu módulo crescendo a uma taxa de 
. Como o campo magnético varia, a variação 
do fluxo magnético gera uma força eletromotriz induzida na 
espira, o que por sua vez, gera uma corrente induzida. Para 
determinar a fem induzida, iremos a calcular a variação do 
fluxo magnético, enquanto a corrente induzida pode ser 
encontrada por . Portanto:
 Onde o fluxo magnético para um campo uniforme 
é , pois na expressão inicial com 
produto escala, dado que o ângulo entre os vetores e é 
nulo.
 Com e , é 
encontrado:
 A corrente induzida pela força eletromotriz pode 
ser obtida a partir da expressão , veja:
 A fem e a corrente induzida são e 
, respectivamente. 
(b) O que ocorreria com a fem induzida e a corrente 
induzida no circuito se a espira condutora fosse substituída 
por uma espira isolante?
Solução:
 Uma espira isolante possui uma resistência 
significativamente elevada a passagem de corrente. De acordo 
com a lei de Faraday, a força eletromotriz induzida não é 
dependente da resistência, assim a fem continuará a mesma. 
Contudo, a corrente induzida irá diminuir proporcionalmente 
ao aumento da resistência, isto é, , que poderá ser 
considerada zero, assumindo que a resistência seja infinita para 
a espira isolante. Nesse caso, pressupõe-se o comportamento 
semelhante ao de uma bateria isolada, sem qualquer ligação, 
onde existe uma fem, mas sem corrente elétrica. 
Exemplo 2
 Na figura a seguir, tem-se uma versão simples de 
um alternador, um dispositivo que gera uma fem. Fazemos 
uma espira retangular girar com velocidade angular em 
torno do eixo indicado. O campo magnético é uniforme 
e constante. No instante , . Determine a fem 
induzida (YOUNG; FREEDMAN, 2014, p. 286). 
Figura 4 – (a) Alternador no qual a espira gira em torno 
do eixo indicado gerando uma força eletromotriz induzida por 
meio da escova conectada aos anéis deslizantes. (b) Gráfico 
da força eletromotriz induzida em função do tempo, onde 
verifica-se os valores máximos para as posições de e 
do giro da espira.
Fonte: Young e Freedman (2014).
Solução:
 Este é um outro exemplo em que a fem é produzida 
pela variação do fluxo magnético na espira, mas neste 
sistema, ocorre pela variação do sentido de , sendo que se 
mantém constante. Neste exemplo, estudaremos somente o 
funcionamento e as principais propriedades deste dispositivo, 
para que possamos ter uma maior compreensão sobre a 
função das espiras na geração de fem. O vetor pode variar, 
simplesmente, girando a espira, como pode ser visualizado 
na figura 4. Quando a espira está nas posições horizontal 
e vertical de seu giro, tem-se o fluxo magnético máximo 
negativo e positivo, respectivamente, como visualizado em 
(b) na referida figura.
 O ângulo entre o vetor campo magnético e o 
vetor área é dado por , onde é a velocidade angular 
da espira. Com isso, o fluxo magnético é:
71
 Inserindo o fluxo magnético na expressão para a lei 
de Faraday, temos a seguinte equação:
 Por isso, a variação senoidal da fem induzida com 
o tempo que demonstramos inicialmente. Nos pontos em 
que o módulo de é máximo, o ângulo é ou 
e a variação do fluxo magnético é mais rápida. Como pode-
se visualizar neste exemplo, a fem induzida não depende da 
forma da espira, apenas de sua área. A proporcionalidade 
direta com e é utilizada por dispositivos para a medição 
da velocidade angular ou do campo magnético. 
 O dispositivo que estudamos é denominado 
alternador, cuja finalidade é produzir uma fem, sendo que 
a variação senoidal, provoca a geração de uma corrente 
alternada. A fem pode ser controlada alterando a velocidade 
de rotação, o módulo do campo magnético, a área da espira 
ou a quantidade de espiras. Os alternadores são facilmente 
encontrados em automóveis, lâmpadas e dispositivos 
utilizados no entretenimento. 
Exemplo 3
 
O solenoide longo representado em corte logo abaixo, 
possui espiras/ , tem um diâmetro e 
conduz uma corrente . No centro do solenoide é 
colocada uma bobina , de enrolamento compacto, com 
espiras e diâmetro . A corrente no solenoide é 
reduzida a zero a uma taxa constante em . Qual é o 
valor absoluto da força eletromotriz induzida na bobina 
enquanto a corrente no solenoide está variando (HALLIDAY 
et al., 2008, p. 267)?
Figura 5 – Solenoide com uma bobina ao centro, de 
enrolamento compacto.
Fonte: Halliday et al. (2008).
Solução:
 A corrente no solenoide diminui a uma taxa 
constante, portanto, o fluxo magnético também diminui a 
uma taxa constante, o que implica na validade de , 
sem a forma diferencial própria da lei de Faraday, isso significa 
que precisamos conhecer apenas os valores final e 
inicial . O fluxo magnético final é nulo, dado que há 
uma contínua diminuição. 
Como a bobina possui o diâmetro , a 
sua área é:
 
O campo elétrico no interior do solenoide depende 
da corrente e da quantidade de espiras por unidade de 
comprimento:
 O fluxo magnético final é , portanto:
Para , , e 
, temos:
Assim, a razão entre a variação do fluxo magnético e o intervalo de tempo especificado é:
 Estamos interessados somente em valores absolutos, desconsiderando o sinal negativo acima, a força eletromotriz 
induzida é:
 Onde, o número de espiras é e em termos absolutos, , desse modo:
72Física Teórica e Experimental iii
 e , respectivamente.
Fonte: Halliday et al. (2008).
(a) Determine o módulo e o sentido da força eletromotriz 
 induzida na espira pelo campo no instante 
.
Solução:
 Escrevendo a lei de Faraday considerando que 
apenas o campo magnético varia com o tempo:
 O fluxo magnético ocorre apenas em parte da 
bobina, na semicircunferência, assim a área em que ocorre 
a variação do fluxo magnético é:
 Por , entende-se a variação do campo 
magnético em relação ao tempo dependente de , como 
implícito no enunciado deste exemplo e não somente dos 
instantes inicial e final, como havíamos feito até o momento. 
Logo, a fem induzida com as expressões que dispomos é 
dada por:
 Em , para :
Em s, a força eletromotriz induzida na espira é de 
aproximadamente . Em que o sentido do campo 
elétrico induzido é contrário ao fluxo magnético através da 
espira apontando para fora do plano do papel, ou seja, é 
orientado para dentro do papel. Com a regra da mão direita (o 
polegar aponta para dentro do papel) a corrente induzida tem 
sentido horário, que é igual ao sentido da fem induzida .
(b) Qual é a corrente na espira no instante ?
 
Observe que a fonte no circuito da espira gera uma 
corrente no sentido anti-horário e a força eletromotriz 
induzida gera uma corrente no sentido horário, esta com maior 
magnitude que a corrente gerada pela fonte. Dessa maneira, a 
força eletromotriz resultante possui 
sentido, dado que (com maior magnitude) apresenta o 
sentido horário. Assim, a corrente na espira é a seguinte:
 Substituindo , e 
 (resistência da espira), é determinando:
 Em , a corrente na espira é de, aproximadamente, 
.
Exemplo 5
 
A figura 7 mostra um circuito que contém três resistores 
iguais de resistência , dois indutores iguais 
 Em termos absolutos, a força eletromotriz induzidana bobina , em razão da variação da corrente no solenoide, é de 
.
Exemplo 4
 
Abaixo, é mostrada uma espira condutora formada por uma semicircunferência de raio e três fios retilíneos. 
A semicircunferência está em uma região onde existe um campo magnético uniforme orientado para fora do plano do papel; 
o módulo do campo em relação ao tempo é dado por , com em teslas e em segundos. Uma fonte 
ideal com uma força eletromotriz é ligada à espira. A resistência da espira é (HALLIDAY et al., 2008, 
p. 269).
Figura 6 – Espira formada por uma semicircunferência de raio e um segmento horizontal e dois verticais com comprimento 
73
de indutância e uma fonte ideal de força 
eletromotriz (HALLIDAY et al., 2008, p. 283).
Figura 7 – Circuito conectando uma fonte a três 
resistências e dois indutores, por meio de uma chave.
Fonte: Halliday et al. (2008).
(a) Qual é a corrente que atravessa a fonte no instante 
em que a chave é fechada?
Solução:
 Antes e imediatamente após o fechamento da chave, 
não há a passagem de corrente nos indutores. Neste momento, 
os indutores se comportam como fio interrompidos, isto 
é, como se não existissem, interrompendo a passagem de 
corrente nestes pontos. 
 Na regra das malhas, o potencial em apenas uma das 
resistências é considerada, pois no momento do fechamento 
da chave, os indutores impedem a passagem de corrente nos 
demais capacitores, o que anula os potenciais correspondentes. 
Logo:
 Com e , é obtido:
 Atravessa uma corrente de pela fonte no 
momento que a chave é fechada.
(b) Qual é a corrente que atravessa a fonte depois que a 
chave permanece fechada por um longo tempo?
Solução:
 Após um longo tempo com a chave fechada, a 
corrente gerada pela fonte percorre por todo o circuito e 
os indutores passam a adquirir o comportamento de fios, 
de modo que após um longo tempo podemos considerar 
a ausência de indutores no circuito. Assim, a resistência 
equivalente é:
 A corrente que passa pela resistência equivalente 
 é a mesma que atravessa a fonte, então:
 A corrente de atravessa a fonte após um longo 
período de tempo com a chave fechada. 
Exemplo 6
 
Em uma das versões da bobina de Tesla (um gerador 
de alta voltagem que talvez você já tenha visto em algum 
museu de ciência), um solenoide longo, de comprimento e 
seção reta com área , possui espiras enroladas de modo 
compacto. Uma bobina com espiras é enrolada em seu 
centro (veja a figura abaixo). Determine a indutância mútua 
(YOUNG; FREEDMAN, 2014, p. 318).
Figura 8 – Um tipo de bobina tesla na qual um solenoide 
longo possui uma bobina ao centro.
Fonte: Young e Freedman (2014).
Solução:
 O campo magnético gerado no centro do 
solenoide é proporcional a corrente e ao número de espiras 
por unidade de comprimento . Assim:
 Através da seção reta do solenoide o fluxo magnético 
é , em que sendo um solenoide longo, não é 
produzido campo magnético em pontos exteriores e o fluxo 
 ocorre através de cada espira da bobina externa. Então, 
a indutância mútua pode ser expressa por:
 Substituindo :
74Física Teórica e Experimental iii
 Uma característica do cálculo da indutância mútua 
é sempre estar associada ao produto dos números de espiras 
. A indutância mútua depende, essencialmente, da 
geometria das bobinas e, não, das correntes através das 
mesmas. 
Exemplo 7
 
Um solenoide toroidal com seção reta de área e um 
raio médio contém espiras bastante compactadas (veja 
a figura adiante). Esse toróide está enrolado em torno de um 
núcleo não-magnético. Determine sua auto-indutância . 
Suponha que seja uniforme através da área da seção reta 
(ou seja, despreze a variação de com a distância ao eixo do 
toróide) (YOUNG; FREEDMAN, 2014, p. 322). 
Figura 9 – Solenoide com uma bobina ao centro, de 
enrolamento compacto.
Fonte: Young e Freedman (2014).
Solução:
 A autoindutância pode ser determinada a partir 
do fluxo magnético e da corrente no solenoide ou, 
ainda, conhecendo a fem autoinduzida e a taxa de variação 
da corrente. Neste caso, utilizaremos o primeiro método. O 
campo magnético a uma distância do eixo do toróide é:
 Com isso, o fluxo magnético através da área 
da seção reta é dado por:
 Dessa maneira, define-se a autoindutância :
 Para espiras, e 
, obtém-se:
 Portanto, a autoindutância no solenoide toroidal é de 
.
 
retomando a aula
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. Vamos, 
então, recordar algumas discussões realizadas ao 
longo das seções? 
1 – Força Eletromotriz e Corrente Induzida 
 Nesta seção, tratamos de dois experimentos com 
conclusões semelhantes. Em um deles, tem-se a aproximação 
entre o ímã em forma de bastão e a espira (de material 
condutor) fixa. Disso, foi concluído que a corrente somente 
é detectada com o movimento relativo entre a espira e o 
ímã; a magnitude da corrente é dependente da frequência 
deste movimento relativo; se a corrente na espira tem 
sentido horário com a aproximação do polo norte do ímã, 
a aproximação do polo sul gera uma corrente no sentido 
anti-horário, e ao afastar o ímã (em ambos os casos) ocorre 
a inversão dos sentidos. Assim, a força eletromotriz induzida 
corresponde ao trabalho realizado por unidade de carga, para 
produzir o movimento dos elétrons de condução. E a indução 
refere-se, especificamente, ao processo de geração da corrente 
e da força eletromotriz. 
2 – Fluxo Magnético e Lei de Faraday
 Como estudado, na lei de Faraday, considerando 
a área de uma espira, por exemplo, afirma-se que a força 
eletromotriz é induzida quando ocorre uma variação da 
quantidade linha de campo magnético que a atravessam. 
Uma enunciação mais concisa para a lei de Faraday 
apropria-se do conceito de fluxo magnético. Isto é, a força 
eletromotriz induzida em uma espira é dada pela variação 
do fluxo magnético ou unidade de tempo ao atravessar uma 
determinada superfície. No caso de uma bobina em que 
contenha espiras, a força eletromotriz depende diretamente 
da quantidade de espiras.
3 – Lei de Lenz
 A lei de Lenz propõe uma forma de determinar 
o sentido da corrente induzida. Assim sendo, o sentido da 
corrente induzida na espira ocorre de forma a se opor ao 
campo magnético que induziu a corrente. Uma análise da lei 
de Lenz utiliza da tendência de oposição a movimento dos 
polos, ou seja, se aproximar o ímã da espira, há a tendência 
de afastá-lo, mas ao afastar o ímã, surge a tendência de 
75
aproximação. Uma outra análise sob a perspectiva da variação 
do fluxo magnético, as orientações dos campos magnéticos 
do ímã e da espira, quanto próximos, são opostas, mas 
promovendo o afastamento do polo norte do ímã, surgira 
um campo magnético induzido na espira também para baixo, 
com o objetivo de se opor a este movimento do ímã.
4 – Indutância Mútua e Autoindutância
 Um indutor é um dispositivo que pode ser inserido 
em um circuito com o objetivo de obter as propriedades 
mais adequadas (conforme o caso estudado) de um campo 
magnético. Um exemplo de indutor comum é o solenoide. 
Na indutância mútua teremos a indução de uma bobina, por 
exemplo, devido à variação da corrente em uma outra bobina 
mantida em suas proximidades. Havendo duas bobinas 
próximas, há o entrelaçamento do fluxo magnético através 
de ambas. Nesta seção, também foi analisado que variando a 
corrente que passa pelo indutor, o fluxo magnético também 
varia, gerando uma força eletromotriz induzida. Como 
este último processo não advém de uma agente externo, 
denomina-se autoindução e a respectiva força eletromotriz é 
denominada força eletromotriz autoinduzida.
Vale a pena
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2008.
 TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene; MORS, Paulo 
Machado. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
 YOUNG, Hugh; FREEDMAN, Roger A. Física 
III: eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison 
Wesley, v. 3, 2014. 402 p.
Vale a penaler
Lei da indução de Faraday. Disponível 
em: http://www.ifsc.usp.br/~strontium/
Teaching/Mater ia l2010-2%20FFI0106%20Lab 
FisicaIII/11-LeideInducaodeFaraday.pdf. Acesso em: 05 
maio 2020.
 Indutores e indutância. Disponível em: https://
www.youtube.com/watch?v=hhFXr-06G9o. Acesso em: 
05 maio 2020.
 Lei de Faraday – Indução e Lei de Lenz. Disponível 
em: https://www.youtube.com/watch?v=_rbpAiO3KGk. 
Acesso em: 05 maio 2020.
Vale a pena acessar
Minhas anotações
76Física Teórica e Experimental iii
referências
BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo e cálculo de campos. 2. ed. 
Florianópolis: Editora da UF, 1992. 
BISCÚOLA, G. J.; DOCA, R. H.; VILLAS, N. B. Tópicos 
de física: eletricidade. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 1992. 
DOS SANTOS, J. I. C. Conceitos de física: eletricidade. São 
Paulo: Ática, 1986. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. 
Fundamentos de física: eletromagnetismo. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2008.
MARTINS, N. Introdução à teoria da eletricidade e do 
eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1994. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: 
eletromagnetismo. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2015. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G.; MORS, P. M. Física para 
cientistas e engenheiros: eletricidade e magnetismo, óptica. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2014.
WOLSKI, B. Fundamentos do eletromagnetismo. Rio de 
Janeiro: Ao Livro Técnico, 2005. 
YOUNG, H.; FREEDMAN, R. A. Física III: 
eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2015.
Minhas anotações