Mesopotamia e Egito

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO – UEMA 
CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE BALSAS – CESBA 
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA 6° PERÍODO 
 
 
 
 
 
Amanda Campelo da Silva 
Izaias Félix da Cunha 
Vera Lúcia Lopes dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA E NO EGITO 
 
 
 
 
Prof. Dr. Lusitonia da Silva Leite 
 
 
 
 
Balsas – MA 
2021 
 
ASPECTOS HISTÓRICOS MATEMÁTICO DA MESOPOTÂMIA E DO EGITO 
No período pré-histórico as pessoas já utilizavam os conhecimentos de contar e medir 
para solucionar situações do cotidiano, o que nos remete a uma Matemática criada e não 
inventada. Porém, foi nas regiões do Antigo Egito e da Mesopotâmia que o conhecimento 
passou a ser organizado e a seguir uma sequência lógica, tendo como data o ano de 3500 a.C. 
 No Egito o uso dos conhecimentos matemáticos está entrelaçados ao rio Nilo e seu 
período de cheia, pois eram nesses períodos que os egípcios deveriam calcular a extensão de 
terra que poderiam direcionar ao cultivo. Além disso, por não haver instrumento específico 
eram usados como base partes do corpo humano, como: os pés, o antebraço e o braço. 
 Quando se fala em escrever para armazenar conhecimento, a escrita mais usada no Egito 
Antigo era conhecida como escrita hieroglífica, pois era baseada em hieróglifos. Estes, por sua 
vez, eram desenhos e símbolos que representavam ideias, conceitos e objetos. Os hieróglifos 
eram juntados, formando textos. Devido à forte hierarquia egípcia está escrita era dominada, 
principalmente, pelos escribas. 
 Os conhecimentos da Matemática com o passar dos anos estruturou – se de forma mais 
precisa e necessitava ser armazenado. Diante dessa necessidade surgem uma espécie de papel 
denominado papiros. 
 Os papiros mais conhecidos dos antigos egípcios, são: o Papiro de Rhind e o Papiro de 
Moscou. Estes são compostos por exposições de problemas e suas resoluções. Foram por meio 
desses papiros que os cientistas compreenderam o sistema de numeração egípcia. Cujo o 
mesmo, baseava-se em sete números chave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. 
O Papiro de Rhind: Em 1855, o advogado e antiquário escocês Alexander Henry 
Rhind aos 22 anos, viajou por razões de saúde para o Egito em busca de um clima 
mais ameno, e lá começou a estudar objetos da Antiguidade. Em 1858, na cidade de 
Luxor, comprou um grande papiro que teria sido descoberto nas ruínas de um antigo 
edifício de Tebas. Rhind morreu cinco anos mais tarde (1863) e o seu papiro foi 
adquirido pelo British Museum, Museu Britânico de Londres. Por esse motivo o 
papiro leva seu nome. 
[...] 
O Papiro de Moscou, também chamado de Papiro de Golenischev em homenagem 
ao egiptólogo e colecionador russo Abraão V.S. Golenischev, que o comprou no Egito 
em 1893. Foi comprado em 1917 pelo Museu de Belas Artes de Moscou, aí passou a 
ser conhecido como Papiro de Moscou. O papiro foi escrito por um escriba 
desconhecido, tem cerca de 5 m de comprimento e 0,08 m de largura e contém 25 
problemas, mas devido ao seu estado de degradação é impossível interpretar muito 
deles. Neste papiro é apresentada uma forma de cálculo do volume do tronco de 
pirâmide de base quadrada. (MATEMATICOS DE MOGI, 2016) 
 
 Não diferentemente do Egito, a Mesopotâmia situava – se às margens de rios, ou melhor, 
entre os rios Tigres e Eufrates reafirmando a tradução grega de seu nome “terra entre rios”. 
 Habitada principalmente por sumérios e acadianos, a Matemática estava presente e com 
o objetivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração das colheitas, organização de 
obras públicas e a cobrança de impostos, bem como seus registros. 
 Com os mesopotâmicos surgiram as representações em “tabletes” com o uso do sistema 
sexagesimal posicional que buscava representar quantidades com o intuito de visualização e 
controle de produtos e mercadorias. Está forma de calcular era mais prática que a dos egípcios 
pois os divisores naturais de 60 são 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60, facilitando o cálculo com 
frações. 
 Para mais, este povo possuía uma maior facilidade e habilidade em resolver cálculos, 
tendo também, técnicas para equações quadráticas e bi quadráticas, fórmulas para áreas de 
figuras retilíneas simples, para o cálculo do volume de sólidos simples. Sua geometria tinha 
suporte algébrico. Eram conhecedores das relações entre os lados de um triângulo retângulo e 
trigonometria básica, conforme descrito na tábua “Plimpton 32”. 
A Matemática vista com sua história permite o estabelecimento de relações e de 
influências entre a Álgebra, a Geometria, a Aritmética e a Análise; permite perceber como seus 
problemas geram, no fluxo do pensamento matemático, novas questões e, consequentemente, 
novas descobertas/novas construções. Os textos provenientes das primeiras civilizações 
orientais do Egito ou da Babilônia não são suficientes para nos permitir a maneira pela qual 
pôde-se constituir uma aritmética, uma geometria e uma álgebra, desenvolvidas desde o 2º 
milênio antes da nossa era. 
Certamente não se trata de especulações abstratas, mas de “receitas” transmitidas por 
castas de escribas especializados e destinados a regrar os problemas práticos que põe uma 
sociedade agrária já muito estruturada: trocas, litígios, partilhas e rendas. Os documentos que 
chegaram a nós (papiros e tabletes de barro cozido), entretanto, já mostram conhecimentos 
sobre as frações, as progressões aritméticas e geométricas, a extração de raízes quadradas; 
problemas de caráter algébrico (nos babilônios, com linguagem geométrica) equivalentes a 
equações lineares, quadráticas, cúbicas e bi quadráticas. 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS E VALOR POSICIONAL 
 
Atualmente, utilizamos um sistema de numeração baseado em dez algarismos, 
denominado decimal. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 podemos formar qualquer 
número envolvendo dezenas, centenas, milhares, e assim sucessivamente. Antes mesmo do 
surgimento desses números, outras formas eram desenvolvidas e utilizadas por civilizações 
antigas. Por exemplo, os babilônicos, povos da região da Mesopotâmia (atual Iraque), eram 
detentores de uma incrível habilidade matemática. Devido à sua linguagem matemática 
acessível, dominavam os cálculos e desenvolviam técnicas de resolução de equações quadradas 
e biquadradas. E no ramo da Geometria, possuíam fórmulas para o cálculo de áreas e volumes 
de sólidos geométricos. Os babilônios, bem como os outros povos da região mesopotâmica, 
desenvolveram técnicas para resolução de cálculos envolvendo multiplicação e divisão, raiz 
quadrada e raiz cúbica, valor posicional dos números, e criaram símbolos responsáveis por 
expressarem números envolvendo unidades e dezenas. Os Egípcios já aprenderam há muito 
tempo a fazer operações aritméticas por meio de seus algarismos. A adição e subtração não 
apresentam nenhuma dificuldade: para a primeira, por exemplo, basta justapor ou superpor as 
representações dos números a somar, em seguida reunir (mentalmente) os números idênticos, 
substituindo a cada vez dez signos de uma categoria pelo algarismo da classe decimal 
imediatamente superior. Utilizaremos os seguintes símbolos egípcios: 
 
 
Em geometria plana, figura tais como quadrado, retângulo, trapézio, circunferência, 
ângulo reto, são conhecidas provavelmente em ligação com o uso de utensílios tais como: o 
cordel do agrimensor, o esquadro do pedreiro a roda do oleiro. A ideia de semelhança é atestada 
nos babilônios dos quais um texto enuncia que em uma escada a relação da altura com a largura 
de um degrau é a mesma que esta da altura total da escada com a sua projeção horizontal. 
 
Noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à 
história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das 
comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem 
conscientemente ou não a juízos aritméticose propriedades geométricas. Sem esquecer que a 
ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da 
matemática. Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos 
astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do 
teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São 
etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos 
conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. 
E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas. 
 
 
Uma medida para a vida as origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem 
coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir 
casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas 
que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações 
egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à 
astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. 
Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um 
trabalho de Hipócrates. Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-
retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a 
escola pitagórica do século (VI a.C.). Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o 
círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada 
euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em 
postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides. 
 
REGISTROS CUNEIFORMES 
Uma escrita sistematizada aparece somente por volta de 3500 a.C., quando os sumérios 
desenvolveram a escrita cuneiforme na Mesopotâmia. Os registros cotidianos, econômicos e 
políticos da época eram feitos na argila, com símbolos formados por cones. Nesse mesmo 
momento, surgem os hieróglifos no Egito. Essa escrita era dominada apenas por pessoas 
poderosas da sociedade, como escribas e sacerdotes. Por volta de 500 a.C., as primeiras 
universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o 
conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e 
aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria 
eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e 
o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo 
aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não 
plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de 
calcular. 
Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos 
ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados 
métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é 
de estranhar" desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, 
ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos 
 
conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um 
observador e o cálculo da altura de uma construção. 
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, 
recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles 
pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo 
de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um 
triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e, portanto, os catetos 
eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do 
barco até a costa. 
 
FRAÇÕES SEXAGESIMAIS 
Sexagesimal também conhecida como base 60 ou sexagenária é um sistema numeral 
com sessenta como base. Ele se originou com os antigos sumérios no terceiro milênio a.C., foi 
passado para os antigos babilônios e ainda é usado em uma forma modificada para medir o 
tempo, ângulo e coordenadas geográficas. 
O porquê de esses povos terem adotado uma base de valor tão elevado talvez nunca seja 
completamente esclarecido, mas há diversas hipóteses que tentam justificar essa escolha. Uma 
 
possível razão para o aparecimento deste sistema de numeração poderá residir no elevado 
número de divisores de 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). Com tantos fatores muitas 
frações envolvendo números sexagesimais são simplificadas. Exemplo disso: uma hora pode 
ser dividida uniformemente em seções de 30 minutos, 20 minutos, 15 minutos, 12 minutos, 10 
minutos, 6 minutos, 5 minutos, 4 minutos, 3 minutos, 2 minutos e 1 minuto. 
Outra hipótese para o aparecimento deste sistema de numeração poderá vir de uma 
união de um sistema de contagem de base 5 que se baseava em contar com os dedos da mão e 
o sistema de contagem de base 12 que usava o método das três falanges. O sistema consistia 
em contar as falanges dos dedos da mão direita, utilizando o polegar, totalizando doze falanges( 
três falanges em quatro dedos), com os cinco dedos da mão esquerda , contam-se as dúzias 
totalizando cinco dúzias ou seja 60. 
Um sistema com uma base tão elevada traz consigo a desvantagem de sobrecarregar a 
memória, pois se torna necessário gravar uma grande quantidade de algarismos. Entretanto os 
mesopotâmicos souberam muito bem como contornar esse problema. A saída encontrada por 
eles, foi assim como o fizeram os chineses e maias, representar os números de 1 a 59 através de 
um sistema de numeração do tipo aditivo, nesse caso decimal. Assim, os únicos algarismos 
desse sistema de numeração eram os símbolos, representando a unidade, e , 
representando a dezena. 
Os babilônios antigos fizeram os registros de suas escritas em tábuas de argila úmidas. As 
tábuas eram cozidas num forno até endurecer, obtendo-se assim registros permanentes. Nas 
tábuas cuneiformes do período 2000 a.C. a 200 a.C., o número 60 se expressava da mesma 
forma que o número 1, ou seja, eram representados pelo mesmo símbolo. 
A partir de sessenta, o sistema de numeração mesopotâmico passa a ser posicional, e números 
como 5.569 = 1 𝑥 60² + 32 𝑥 60 + 49 = (1; 32; 49)60, são representados da seguinte 
forma: 
 
Esse sistema sofre do mesmo problema dos anteriores devido à forma como são constituídos 
seus algarismos. Assim, diferenciar nele números como 2 e 61 nem sempre era fácil. Às vezes 
isto era feito aumentando a distância entre os algarismos como mostrado abaixo. 
 
 
 
Mas nem sempre isso ficava claro para o leitor, além disso, por muito tempo os mesopotâmicos 
usaram o princípio de posição sem terem ainda inventado o zero, o que, como já sabemos, causa 
uma série de confusões. 
Os babilônios, através de sua numeração de posição com base sessenta, foram os 
primeiros a atribuir às frações uma notação racional convertendo-as em frações sexagesimais, 
cujo denominador é igual a uma potência de sessenta e exprimindo-as mais ou menos como se 
exprime as frações de horas em minutos e segundos. Mas os babilônios não chegaram ao uso 
de “vírgula” para diferenciar os inteiros das frações sexagesimais da unidade. A expressão (33; 
45) tanto podia significar 33h45min quanto 0h33min 45s. Era uma notação “flutuante” que só 
o contexto podia explicar. 
Por volta da segunda metade do terceiro milênio a.C., os babilônios e os sumérios já 
utilizavam uma notação racional, como hoje fazemos com as frações de horas, minutos e 
segundos. Dessa forma, 1 hora e meia é representada,em escrita racional, 1 +
30
60
, e na escrita 
cuneiforme: . 
 
 
Acontece que essa mesma notação poderia significar 1 x 60 + 30, como já vimos. Os 
babilônios representavam as frações utilizando a mesma escrita dos números inteiros assim, 
muitos números podiam ser confundidos, pois a representação de um número poderia indicar 
um outro número, exemplo disso: 
 
 
Essa representação poderia expressar tanto o número inteiro 45 como também poderia 
representar a fração 
45
60
. O denominador é 60, pois o sistema utilizado é sexagesimal. A forma 
correta de ler o número dependia do contexto no qual estava inserido. Os babilônios 
compreendiam a leitura em função da ordem de grandeza em que estavam trabalhando. 
 
 
TRIADE PITAGÓRICA 
 Um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por 
três números naturais a, b e c tais que 𝑎2 + 𝑏2 = c2. Se (a, b, c) é um terno pitagórico, então 
(𝑘𝑎, 𝑘𝑏, 𝑘𝑐) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k, tendo em vista essa 
afirmação, podemos dizer que existe um número infinito de ternas. Um terno pitagórico 
primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si e os ternos. Os 
primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 
41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29) etc. 
Por volta de 1700 AC foram encontradas, na Babilônia, tabelas contendo listas de ternas 
de números inteiros com a propriedade de que um dos números quando elevado ao quadrado 
era igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como tais listas eram extensas, acredita-se que 
os Babilônios já possuíam um método sistemático de gerar tais ternas. Há registros históricos 
que comprovam a existência e uso de tais tabelas no Egito antigo. 
Os Pitagóricos foram, por volta de 600 AC, os primeiros a dar um método de 
determinação de infinitas ternas desse tipo, hoje denominadas de ternas Pitagóricas. Utilizando 
uma notação atual descrevemos o método da seguinte maneira: sejam 𝑥 =
 𝑛, 𝑦 = 1(𝑛²– 1), 𝑧 = 1 (𝑛² + 1) onde n é um inteiro ímpar maior que 1; então a terna 
resultante (x, y, z) é uma terna Pitagórica onde z = y + 1. 
Por volta de 300 a.C., quando Euclides publicou a coleção de 13 livros denominada 
Elementos, todos os fatos matemáticos apresentados foram demonstrados formalmente. No 
décimo livro, Euclides deu um método de obtenção de todas as ternas Pitagóricas. Apesar de 
não apresentar uma demonstração formal do seu método, Euclides obtinha todas as ternas. 
Utilizando-se a notação atual, o método consiste nas seguintes fórmulas: 𝑥 = 𝑝2 − 𝑞2, 
𝑦 = 2𝑝𝑞, 𝑧 = 𝑝2 + 𝑞2, nos fornece ternas pitagóricas primitivas, mas para isso 𝑝 e 𝑞 precisam 
seguir algumas restrições. A primeira é que 𝑝 > 𝑞 > 0, segunda 𝑝 e 𝑞 devem ser primos entre 
si e por ultimo 𝑝 e 𝑞 não podem sem ambos ímpares. Para obtenção dos outros ternos, basta 
tomarmos cada um dos ternos Pitagóricos primitivos e multiplicar seus valores por 2,3,4,5,6..., 
ou seja, se você conhece o terno pitagórico primitivo, então facilmente poderá encontrar os seus 
ternos derivados. 
Euclides demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos, o 
primeiro terno pitagórico é formado pelos números 3, 4, 5 já que 32 + 42 = 52. A primeira 
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Primos_entre_si
 
terna pitagórica desempenha um papel importante em todos os ternos pitagóricos, pois em 
qualquer terna pitagorica reduzida, os nùmeros 3, 4, 5 estão presentes. Devemos entender que 
3, 4, 5 estão presentes como fatores dos elementos da terna. 
Pode provar-se, pela definição ou pela fórmula de Euclides, que num terno pitagórico 
primitivo: não há como escapar dos números 3, 4 e 5. O fator 4 sempre vai estar no elemento 
2𝑝𝑞, pois um dos números 𝑝 ou 𝑞 é par. Se o fator 3 não ocorrer no elemento 2𝑝𝑞, então ele 
estará em 𝑝2 − 𝑞2. Pois ao dividirmos 𝑝 e 𝑞 por 3 encontraremos resto 1 ou 2, ou seja, estes 
números são da forma 3𝑘 + 1 ou 3𝑘 + 2. Em qualquer caso, o quadrado é da forma 3𝑘 + 1. 
Portanto a diferença 𝑝2 − 𝑞2 de dois números da forma 3𝑘 + 1 é divisível por 3. Se o fator 5 
não ocorrer no elemento 2𝑝𝑞, então ele estará em 𝑝2 − 𝑞2 ou em 𝑝2 + 𝑞2. Pois dividindo 𝑝 e 
𝑞 por 5, encontraremos para resto um dos números 1, 2, 3 ou 4. Isto é, 𝑝 e 𝑞 são de uma das 
formas: 5𝑘 + 1, 5𝑘 + 2, 5𝑘 + 3 ou 5𝑘 + 4. O quadrado de qualquer um desses números é da 
forma 5𝑘 + 1 ou 5𝑘 + 4. Assim, se 𝑝 e 𝑞 forem do mesmo tipo (5𝑘 + 1 ou 5𝑘 + 4), 𝑝2 −
𝑞2 será múltiplo de 5. Caso contrário, o fator 5 estará em 𝑝2 + 𝑞2. 
GEOMETRIA COMO ARITMÉTICA APLICADA E DEFICIÊNCIAS MATEMÁTICA 
Os babilônios consideravam vários problemas matemáticos que poderíamos chamar de 
geometria, como aritmética aplicada. Exemplo disso a área de um quadrilátero era achada 
tomando o produto das médias aritméticas dos pares dos lados opostos. 
É possível notarmos várias deficiências matemáticas nas civilizações antigas da 
Mesopotâmia e do Egito. Umas dessas deficiências está na falta de enunciados explícitos e na 
ausência da distinção entre resultados exatos e aproximados. Outra deficiência está na falta da 
necessidade de se provar as resoluções das questões. 
Muitos historiadores sustentam a ideia de que apesar do desenvolvimento da matemática 
nessas civilizações, a matemática não era utilizada por eles para fins práticos e sim para o prazer 
e o lazer. 
REFERÊNCIAS 
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